Email this article A strengthening of the Bourgain-Kontorovich method: three new theorems
- Authors: Kan I.D.1
-
Affiliations:
- Moscow Aviation Institute (National Research University)
- Issue: Vol 212, No 7 (2021)
- Pages: 39-83
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/article/view/133388
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9437
- ID: 133388
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Consider the set $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ of irreducible denominators of the rational numbers representable by finite continued fractions all of whose partial quotients belong to some finite alphabet $\mathbf{A}$. Let the set of infinite continued fractions with partial quotients in this alphabet have Hausdorff dimension $\Delta_{\mathbf{A}}$ satisfying $\Delta_{\mathbf{A}} \ge0.7748…$ . Then $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ contains a positive share of positive integers. A previous similar result of the author of 2017 was related to the inequality $\Delta_{\mathbf{A}} >0.7807…$; in the original 2011 Bourgain-Kontorovich paper, $\Delta_{\mathbf{A}} >0.9839…$ . Bibliography: 28 titles.
About the authors
Igor' Davidovich Kan
Moscow Aviation Institute (National Research University)
Email: igor.kan@list.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor
References
- S. K. Zaremba, “La methode des “bons treillis” pour le calcul des integerales multiples”, Applications of number theory to numerical analysis (Univ. Montreal, Montreal, QC, 1971), Academic Press, New York, 1972, 39–119
- Н. М. Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, Физматгиз, М., 1963, 224 с.
- H. Niederreiter, “Dyadic fractions with small partial quotients”, Monatsh. Math., 101:4 (1986), 309–315
- D. Hensley, “A polynomial time algorithm for the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets”, J. Number Theory, 58:1 (1996), 9–45
- J. Bourgain, A. Kontorovich, “On Zaremba's conjecture”, Ann. of Math. (2), 180:1 (2014), 137–196
- N. G. Moshchevitin, On some open problems in Diophantine approximation
- D. Hensley, “The Hausdorff dimensions of some continued fraction Cantor sets”, J. Number Theory, 33:2 (1989), 182–198
- D. A. Frolenkov, I. D. Kan, A reinforsment of the Bourgain–Kontorovich's theorem by elementary methods
- D. A. Frolenkov, I. D. Kan, A reinforsment of the Bourgain–Kontorovich's theorem
- И. Д. Кан, Д. А. Фроленков, “Усиление теоремы Бургейна–Конторовича”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:2 (2014), 87–144
- D. A. Frolenkov, I. D. Kan, “A strengthening of a theorem of Bourgain–Kontorovich. II”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 4:1 (2014), 78–117
- Shinn Yih Huang, “An improvement to Zaremba's conjecture”, Geom. Funct. Anal., 25:3 (2015), 860–914
- И. Д. Кан, “Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. III”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:2 (2015), 77–100
- И. Д. Кан, “Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. IV”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 103–126
- И. Д. Кан, “Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. V”, Аналитическая и комбинаторная теория чисел, Сборник статей. К 125-летию со дня рождения академика Ивана Матвеевича Виноградова, Тр. МИАН, 296, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2017, 133–139
- И. Д. Кан, “Верна ли гипотеза Зарембы?”, Матем. сб., 210:3 (2019), 75–130
- M. Magee, H. Oh, D. Winter, “Uniform congruence counting for Schottky semigroups in $operatorname{SL}_2(mathbf Z)$”, J. Reine Angew. Math., 2019:753 (2019), 89–135
- I. D. Shkredov, Growth in Chevalley groups relatively to parabolic subgroups and some applications
- N. Moshchevitin, B. Murphy, I. Shkredov, “Popular products and continued fractions”, Israel J. Math., 238:2 (2020), 807–835
- N. G. Moshchevitin, I. D. Shkredov, “On a modular form of Zaremba's conjecture”, Pacific J. Math., 309:1 (2020), 195–211
- O. Jenkinson, “On the density of Hausdorff dimensions of bounded type continued fraction sets: the Texan conjecture”, Stoch. Dyn., 4:1 (2004), 63–76
- И. Д. Кан, “Обращение неравенства Коши–Буняковского–Шварца”, Матем. заметки, 99:3 (2016), 361–365
- Р. Л. Грэхем, Д. Э. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. Основание информатики, Мир, М., 1998, 703 с.
- D. Hensley, “The distribution of badly approximable numbers and continuants with bounded digits”, Theorie des nombres (Quebec, PQ, 1987), de Gruyter, Berlin, 1989, 371–385
- Р. Вон, Метод Харди–Литтлвуда, Мир, М., 1985, 184 с.
- И. М. Виноградов, “Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 30:3 (1966), 481–496
- С. В. Конягин, “Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и сумм Гаусса”, IV международная конференция “Современные проблемы теории чисел и ее приложения”, посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова. Актуальные проблемы, Ч. 3 (Тула, 2001), МГУ, мех.-матем. фак-т, М., 2002, 86–114
- Н. М. Коробов, Тригонометрические суммы и их приложения, Наука, М., 1989, 240 с.
Supplementary files
