Renormalized solutions of elliptic equations with variable exponents and general measure data

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A class of second-order elliptic equations with variable nonlinearity exponents and the right-hand side in the form of the general Radon measure with finite total variation is considered. The existence of a renormalized solution of the Dirichlet problem is proved as a consequence of stability with respect to the convergence of the right-hand side of the equation. Bibliography: 37 titles.

About the authors

Larisa Mikhailovna Kozhevnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University; Elabuga Branch of Kazan (Volga Region) Federal University

Email: kosul@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. J. Leray, J.-L. Lions, “Quelques resultats de Višik sur les problèmes elliptiques non lineaires par les methodes de Minty–Browder”, Bull. Soc. Math. France, 93 (1965), 97–107
  2. L. Boccardo, T. Gallouët, “Non-linear elliptic and parabolic equations involving measure data”, J. Funct. Anal., 87:1 (1989), 149–169
  3. L. Boccardo, T. Gallou{e}t, “Nonlinear elliptic equations with right hand side measures”, Comm. Partial Differential Equations, 17:3-4 (1992), 641–655
  4. P. Benilan, L. Boccardo, T. Gallouët, R. Gariepy, M. Pierre, J. L. Vazquez, “An $L^1$-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 22:2 (1995), 241–273
  5. С. Н. Кружков, “Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными”, Матем. сб., 81(123):2 (1970), 228–255
  6. F. Murat, Soluciones renormalizadas de EDP elipticas no lineales, Tech. rep. R93023, C.N.R.S., Laboratoire d'analyse numerique, Univ. P. & M. Curie (Paris VI), Paris, 1993, 33 pp.
  7. G. Dal Maso, F. Murat, L. Orsina, A. Prignet, “Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 28:4 (1999), 741–808
  8. A. Malusa, “A new proof of the stability of renormalized solutions to elliptic equations with measure data”, Asymptot. Anal., 43:1-2 (2005), 111–129
  9. M. F. Betta, A. Mercaldo, F. Murat, M. M. Porzio, “Existence of renormalized solutions to nonlinear elliptic equations with a lower-order term and right-hand side a measure”, J. Math. Pures Appl. (9), 82:1 (2003), 90–124
  10. L. Veron, Local and global aspects of quasilinear degenerate elliptic equations. Quasilinear elliptic singular problems, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017, xv+457 pp.
  11. А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 206:10 (2015), 71–102
  12. В. В. Жиков, “О вариационных задачах и нелинейных эллиптических уравнениях с нестандартными условиями роста”, Проблемы матем. анализа, 54, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 23–112
  13. В. В. Жиков, С. Е. Пастухова, “О повышенной суммируемости градиента решений эллиптических уравнений с переменным показателем нелинейности”, Матем. сб., 199:12 (2008), 19–52
  14. Ю. А. Алхутов, М. Д. Сурначев, “Поведение в граничной точке решений задачи Дирихле для $p(x)$-лапласиана”, Алгебра и анализ, 31:2 (2019), 88–117
  15. M. Sanchon, J. M. Urbano, “Entropy solutions for the $p(x)$-Laplace equation”, Trans. Amer. Math. Soc., 361:12 (2009), 6387–6405
  16. M. Bendahmane, P. Wittbold, “Renormalized solutions for nonlinear elliptic equations with variable exponents and $L^1$ data”, Nonlinear Anal., 70:2 (2009), 567–583
  17. Chao Zhang, Shulin Zhou, “Entropy and renormalized solutions for the $p(x)$-Laplacian equation with measure data”, Bull. Aust. Math. Soc., 82:3 (2010), 459–479
  18. Boqiang Lv, Fengquan Li, Weilin Zou, “Existence and uniqueness of renormalized solutions to some nonlinear elliptic equations with variable exponents and measure data”, J. Convex Anal., 21:2 (2014), 317–338
  19. M. B. Benboubker, H. Chrayteh, M. El Moumni, H. Hjiaj, “Entropy and renormalized solutions for nonlinear elliptic problem involving variable exponent and measure data”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 31:1 (2015), 151–169
  20. T. Ahmedatt, E. Azroul, H. Hjiaj, A. Touzani, “Existence of entropy solutions for some nonlinear elliptic problems involving variable exponent and measure data”, Bol. Soc. Parana. Mat. (3), 36:2 (2018), 33–55
  21. Ф. Х. Мукминов, “Существование ренормализованного решения анизотропной параболической задачи для уравнения с диффузной мерой”, Математическая физика и приложения, Сборник статей. К 95-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Тр. МИАН, 306, МИАН, М., 2019, 192–209
  22. Л. М. Кожевникова, “Об энтропийных решениях анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях”, Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, СМФН, 63, № 3, РУДН, М., 2017, 475–493
  23. L. M. Kozhevnikova, “On solutions of anisotropic elliptic equations with variable exponent and measure data”, Complex Var. Elliptic Equ., 65:3 (2020), 333–367
  24. Л. М. Кожевникова, “Энтропийные и ренормализованные решения анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей”, Матем. сб., 210:3 (2019), 131–161
  25. Л. М. Кожевникова, “Эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений анизотропной эллиптической задачи в неограниченных областях с данными в виде меры”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 1, 30–45
  26. Ф. Х. Мукминов, “Единственность ренормализованного решения эллиптико-параболической задачи в анизотропных пространствах Соболева–Орлича”, Матем. сб., 208:8 (2017), 106–125
  27. L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Růžička, Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Lecture Notes in Math., 2017, Springer, Heidelberg, 2011, x+509 pp.
  28. Xianling Fan, Dun Zhao, “On the spaces $L^{p(x)}(Omega)$ and $W^{m,p(x)}(Omega)$”, J. Math. Anal. Appl., 263:2 (2001), 424–446
  29. Chao Zhang, “Entropy solutions for nonlinear elliptic equations with variable exponents”, Electron. J. Differential Equations, 2014 (2014), 92, 14 pp.
  30. I. Nyanquini, S. Ouaro, S. Soma, “Entropy solution to nonlinear multivalued elliptic problem with variable exponents and measure data”, An. Univ. Craiova Ser. Mat. Inform., 40:2 (2013), 174–198
  31. M. Fukushima, K. Sato, S. Taniguchi, “On the closable parts of pre-Dirichlet forms and the fine supports of underlying measures”, Osaka J. Math., 28:3 (1991), 517–535
  32. P. Harjulehto, P. Hästö, M. Koskenoja, S. Varonen, “Sobolev capacity on the space $W^{1,p(cdot)}(mathbb{R}^n)$”, J. Funct. Spaces Appl., 1:1 (2003), 17–33
  33. M. Abdellaoui, M. Kbiri Alaoui, E. Azroul, “Existence of renormalized solutions to quasilinear elliptic problems with general measure data”, Afr. Mat., 29:5-6 (2018), 967–985
  34. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, т. I, Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.
  35. E. Hewitt, K. Stromberg, Real and abstract analysis. A modern treatment of the theory of functions of a real variable, Springer-Verlag, New York, 1965, x+476 pp.
  36. G. Dal Maso, A. Malusa, “Some properties of reachable solutions of nonlinear elliptic equations with measure data”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 25:1-2 (1997), 375–396
  37. Ж. Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Мир, М., 1972, 587 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Kozhevnikova L.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».