On the integral characteristic function of the Sturm-Liouville problem

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We introduce a function whose zeros, and only these zeros, are eigenvalues of the corresponding Sturm-Liouville problem. The boundary conditions of the problem depend continuously on the spectral parameter. Therefore, it makes sense to call the function thus constructed a characteristic function of the Sturm-Liouville problem (however, it is not a characteristic function in the ordinary sense). An investigation of the function thus obtained enables us to prove the solvability of the problem in question, to find the asymptotic behaviour of the eigenvalues, to obtain comparison theorems, and to introduce an indexing of the eigenvalues and the zeros of eigenfunctions in a natural way. Bibliography: 31 titles.

About the authors

Dmitry Viktorovich Valovik

Penza State University

Email: dvalovik@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, 2-е изд., Наука, М., 1969, 526 с.
  2. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака, Наука, М., 1988, 432 с.
  3. А. Г. Костюченко, И. С. Саргсян, Распределение собственных значений, Наука, М., 1979, 400 с.
  4. Ф. Аткинсон, Дискретные и непрерывные граничные задачи, Мир, М., 1968, 749 с.
  5. В. А. Марченко, Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения, Наукова думка, Киев, 1977, 331 с.
  6. Дж. Сансоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. I, ИЛ, М., 1953, 346 с.
  7. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970, 720 с.
  8. Ю. Г. Смирнов, “Задачи сопряжения на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных неоднородных анизотропных цилиндрических и плоских волноводах”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:3 (2015), 460–468
  9. А. С. Маркус, Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков, Штиинца, Кишинев, 1986, 260 с.
  10. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1965, 448 с.
  11. Ж. Бен Амара, А. А. Шкаликов, “Задача Штурма–Лиувилля с физическим и спектральным параметрами в граничном условии”, Матем. заметки, 66:2 (1999), 163–172
  12. R. Mennicken, H. Schmid, A. A. Shkalikov, “On the eigenvalue accumulation of Sturm–Liouville problems depending nonlinearly on the spectral parameter”, Math. Nachr., 189:1 (1998), 157–170
  13. H. Hochstadt, “Asymptotic estimates for the Sturm–Liouville spectrum”, Comm. Pure Appl. Math., 14:4 (1961), 749–764
  14. Ch. T. Fulton, “Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 77:3-4 (1977), 293–308
  15. P. A. Binding, P. J. Browne, K. Seddighi, “Sturm–Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions”, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2), 37:1 (1994), 57–72
  16. J. Walter, “Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary condition”, Math. Z., 133:4 (1973), 301–312
  17. H. Coşkun, N. Bayram, “Asymptotics of eigenvalues for regular Sturm–Liouville problems with eigenvalue parameter in the boundary condition”, J. Math. Anal. Appl., 306:2 (2005), 548–566
  18. Н. Ю. Капустин, “Осцилляционные свойства решений одной несамосопряженной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии”, Дифференц. уравнения, 35:8 (1999), 1024–1027
  19. Н. Б. Керимов, Х. Р. Мамедов, “Об одной краевой задаче со спектральным параметром в граничных условиях”, Сиб. матем. журн., 40:2 (1999), 325–335
  20. Н. Ю. Капустин, Е. И. Моисеев, “О базисности в пространстве $L_p$ систем собственных функций, отвечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии”, Дифференц. уравнения, 36:10 (2000), 1357–1360
  21. З. С. Алиев, А. А. Дуньямалиева, “Базисные свойства корневых функций задачи Штурма–Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях”, Докл. РАН, 451:5 (2013), 487–491
  22. Н. Б. Керимов, Р. Г. Поладов, “Базисные свойства системы собственных функций задачи Штурма–Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях”, Докл. РАН, 442:1 (2012), 14–19
  23. Д. Б. Марченков, “Базисность в пространстве $L_p(0,1)$ системы собственных функций, отвечающей задаче со спектральным параметром в граничном условии”, Дифференц. уравнения, 42:6 (2006), 847–849
  24. Ф. Трикоми, Дифференциальные уравнения, ИЛ, М., 1962, 352 с.
  25. Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1, 3-е изд., Гостехиздат, М.–Л., 1951, 476 с.
  26. В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных, Наука, М., 1976, 391 с.
  27. С. В. Курочкин, “Условия наличия отрицательных собственных значений в регулярной краевой задаче Штурма–Лиувилля и явные выражения для их количества”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:12 (2018), 2014–2025
  28. Д. В. Валовик, “Распространение электромагнитных волн в открытом плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой I: ТЕ-волны”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 59:5 (2019), 838–858
  29. Д. В. Валовик, “Распространение электромагнитных волн в открытом плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой II: ТМ-волны”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 60:3 (2020), 429–450
  30. Д. В. Валовик, “Исследование одной нелинейной задачи на собственные значения методом интегрального характеристического уравнения”, Дифференц. уравнения, 56:2 (2020), 175–189
  31. D. V. Valovik, “Integral dispersion equation method to solve a nonlinear boundary eigenvalue problem”, Nonlinear Anal. Real World Appl., 20 (2014), 52–58

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Valovik D.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).