The problem of distinguishing between a centre and a focus in the space of vector fields with given Newton diagram

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We investigate the problem of distinguishing between a centre and a focus in the class of analytic vector fields with fixed Newton diagram, which satisfy certain natural conditions of general position. A method is proposed for constructing explicit expressions for the coefficients in the asymptotic representation of the monodromy transformation, known as the Dulac series. These are analogous to the Lyapunov focal quantities. These coefficients make it possible — up to an infinite-codimensional set of exceptional cases — to complete the stability analysis for a compound monodromic (that is, centre-focus) singular point. A computer-aided calculation of formulae for coefficients of the Dulac series is presented. Examples are treated of Newton diagrams with two and three edges. Bibliography: 30 titles.

About the authors

Nataliya Borisovna Medvedeva

Chelyabinsk State University

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Н. Б. Медведева, “Особые точки векторных полей на плоскости”, СОЖ, 1999, № 5, 121–127
  2. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
  3. Yu. S. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles, Transl. from the Russian, Transl. Math. Monogr., 94, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, x+288 pp.
  4. Н. Б. Медведева, “Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса”, Нелинейные аналитические дифференциальные уравнения, Сборник статей, Тр. МИАН, 254, Наука, М., 2006, 11–100
  5. В. И. Арнольд, “О локальных задачах анализа”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1970, № 2, 52–56
  6. Ю. С. Ильяшенко, “Алгебраически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 12, 1987, 118–136
  7. F. Dumortier, “Singularities of vector fields on the plane”, J. Differential Equations, 23:1 (1977), 53–106
  8. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, ГИТТЛ, М.–Л., 1947, 392 с.
  9. A. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, ГИТТЛ, М.–Л., 1950, 471 с.
  10. A. М. Ляпунов, “Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения”, Общая задача об устойчивости движения, ГТТИ, М.–Л., 1950, 369–449
  11. R. Moussu, “Symmetrie et forme normale des centres et foyers degeneres”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 2:2 (1982), 241–251
  12. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1949, 545 с.
  13. А. Д. Брюно, Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979, 253 с.
  14. В. П. Варин, “Отображения последования некоторых полиномиальных систем дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 195:7 (2004), 3–20
  15. Ю. С. Ильяшенко, “Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр–фокус”, Функц. анализ и его прил., 6:3 (1972), 30–37
  16. Ю. С. Ильяшенко, “Мемуар Дюлака “О предельных циклах” и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений”, УМН, 40:6(246) (1985), 41–78
  17. А. Дюлак, О предельных циклах, Наука, М., 1980, 157 с.
  18. Н. Б. Медведева, “Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен”, Сиб. матем. журн., 33:2 (1992), 116–124
  19. Н. Б. Медведева, Е. В. Мазаева, “Достаточное условие фокуса для монодромной особой точки”, Тр. ММО, 63, Изд-во Моск. ун-та, М., 2002, 87–114
  20. Н. Б. Медведева, “Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по геометрии раздутия”, Сиб. матем. журн., 38:1 (1997), 135–150
  21. А. С. Воронин, Н. Б. Медведева, “Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2009, № 3, 34–49
  22. А. С. Воронин, Н. Б. Медведева, “Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона”, Вестник ЧелГУ, 2011, № 14, 12–26
  23. А. С. Воронин, Н. Б. Медведева, “Асимптотика преобразования монодромии в некоторых классах монодромных ростков”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 35–52
  24. Н. Б. Медведева, “Об аналитической неразрешимости проблемы устойчивости на плоскости”, УМН, 68:5(413) (2013), 147–176
  25. Ф. С. Березовская, Н. Б. Медведева, “Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 15, Изд-во Моск. ун-та, М., 1991, 156–177
  26. Ж. Адамар, Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, Наука, М., 1978, 351 с.
  27. Н. Б. Медведева, “Асимптотическое разложение преобразования монодромии”, Челяб. физ.-матем. журн., 1:1 (2016), 56–72
  28. Н. Б. Медведева, “Критерий монодромности особой точки векторного поля на плоскости”, Алгебра и анализ, 13:2 (2001), 130–150
  29. Д. Н. Чергинец, “Функция соответствия для систем с простым седлом”, Вестник БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика, 2008, № 1, 71–76
  30. Н. Б. Медведева, В. А. Викторова, “Приближeнное вычисление интегралов Адамара специального вида”, Челяб. физ.-матем. журн., 4:4 (2019), 398–411

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Medvedeva N.B.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).