Encodings of trajectories and invariant measures

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider a discrete dynamical system on a compact manifold $M$ generated by a homeomorphism $f$. Let $C=\{M(i)\}$ be a finite covering of $M$ by closed cells. The symbolic image of a dynamical system is a directed graph $G$ with vertices corresponding to cells in which vertices $i$ and $j$ are joined by an arc $i\to j$ if the image $f(M(i))$ intersects $M(j)$. We show that the set of paths of the symbolic image converges to the set of trajectories of the system in the Tychonoff topology as the diameter of the covering tends to zero. For a cycle on $G$ going through different vertices, a simple flow is by definition a uniform distribution on arcs of this cycle. We show that simple flows converge to ergodic measures in the weak topology as the diameter of the covering tends to zero. Bibliography: 28 titles.

About the authors

Georgy Sergeevich Osipenko

Sevastopol Branch of the M.V. Lomonosov Moscow State University

Email: george.osipenko@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. G. Osipenko, Dynamical systems, graphs, and algorithms, Lecture Notes in Math., 1889, Springer-Verlag, Berlin, 2007, xii+283 pp.
  2. Г. С. Осипенко, Н. Б. Ампилова, Введение в символический анализ динамических систем, Изд-во С.-Петербургского ун-та, СПб., 2005, 240 с.
  3. В. М. Алексеев, “Символическая динамика”, XI математическая школа, Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1976, 5–210
  4. D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, xvi+495 pp.
  5. C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics, and chaos, Stud. Adv. Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 1995, xii+468 pp.
  6. W. Krieger, “On flow-equivalence of $mathscr R$-graph shifts”, Münster J. Math., 8:1 (2015), 229–239
  7. W. Krieger, “On subshift presentations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 37:4 (2017), 1253–1290
  8. K. Matsumoto, “A class of simple $C^*$-algebras arising from certain non-sofic subshifts”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 31:2 (2011), 459–482
  9. C. S. Hsu, Cell-to-cell mapping. A method of global analysis for nonlinear systems, Appl. Math. Sci., 64, Springer-Verlag, New York, 1987, xii+352 pp.
  10. Г. С. Осипенко, “О символическом образе динамической системы”, Краевые задачи, Пермский политех. ин-т, Пермь, 1983, 101–105
  11. В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, МЦНМО, М., 2004, 352 с.
  12. N. Kryloff, N. Bogoliouboff, “La theorie generale de la mesure dans son application à l'etude des systèmes dynamiques de la mecanique non lineaire”, Ann. of Math. (2), 38:1 (1937), 65–113
  13. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, М., 1999, 768 с.
  14. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1949, 545 с.
  15. П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация, Мир, М., 1969, 238 с.
  16. K. Gelfert, D. Kwietniak, “On density of ergodic measures and generic points”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 38:5 (2018), 1745–1767
  17. Л. Х. Диас, К. Гелферт, М. Рамс, “Топологические и эргодические свойства частично гиперболических диффеоморфизмов и негиперболических ступенчатых косых произведений”, Порядок и хаос в динамических системах, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 297, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 113–132
  18. M. Boshernitzan, G. Kolesnik, A. Quas, M. Wierdl, “Ergodic averaging sequences”, J. Anal. Math., 95 (2005), 63–103
  19. G. Osipenko, “Symbolic images and invariant measures of dynamical systems”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 30:4 (2010), 1217–1237
  20. Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн, Алгоритмы: построение и анализ, Вильямс, М., 2011, 1296 с.
  21. А. Левитин, Алгоритмы: введение в разработку и анализ, Вильямс, М., 2006, 576 с.
  22. А. П. Афанасьев, C. M. Дзюба, А. П. Пьянов, “Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону”, Тр. ИСА РАН, 25 (2006), 148–165
  23. Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, М., 2004, 416 с.
  24. П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977, 351 с.
  25. Г. С. Осипенко, “Спектр усреднения функции над псевдотраекториями динамической системы”, Матем. сб., 209:8 (2018), 114–137
  26. Г. С. Осипенко, И. В. Романовский, Е. И. Петренко, Н. Б. Ампилова, “О вычислении спектра Морса”, Проблемы матем. анализа, 27, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2004, 151–169
  27. R. M. Karp, “A characterization of the minimum cycle mean in a digraph”, Discrete Math., 23:3 (1978), 309–311
  28. J. Cochet-Terrasson, G. Cohen, S. Gaubert, M. McGettrick, J.-P. Quadrat, “Numerical computation of spectral elements in max-plus algebra”, 5th IFAC conference on system structure and control 1998 (SSC'98) (Nantes, 1998), IFAC Proceedings Volumes, 31, no. 18, 1998, 667–674

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Osipenko G.S.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).