Encodings of trajectories and invariant measures

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider a discrete dynamical system on a compact manifold $M$ generated by a homeomorphism $f$. Let $C=\{M(i)\}$ be a finite covering of $M$ by closed cells. The symbolic image of a dynamical system is a directed graph $G$ with vertices corresponding to cells in which vertices $i$ and $j$ are joined by an arc $i\to j$ if the image $f(M(i))$ intersects $M(j)$. We show that the set of paths of the symbolic image converges to the set of trajectories of the system in the Tychonoff topology as the diameter of the covering tends to zero. For a cycle on $G$ going through different vertices, a simple flow is by definition a uniform distribution on arcs of this cycle. We show that simple flows converge to ergodic measures in the weak topology as the diameter of the covering tends to zero. Bibliography: 28 titles.

About the authors

Georgy Sergeevich Osipenko

Sevastopol Branch of the M.V. Lomonosov Moscow State University

Email: george.osipenko@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. G. Osipenko, Dynamical systems, graphs, and algorithms, Lecture Notes in Math., 1889, Springer-Verlag, Berlin, 2007, xii+283 pp.
  2. Г. С. Осипенко, Н. Б. Ампилова, Введение в символический анализ динамических систем, Изд-во С.-Петербургского ун-та, СПб., 2005, 240 с.
  3. В. М. Алексеев, “Символическая динамика”, XI математическая школа, Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1976, 5–210
  4. D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, xvi+495 pp.
  5. C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics, and chaos, Stud. Adv. Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 1995, xii+468 pp.
  6. W. Krieger, “On flow-equivalence of $mathscr R$-graph shifts”, Münster J. Math., 8:1 (2015), 229–239
  7. W. Krieger, “On subshift presentations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 37:4 (2017), 1253–1290
  8. K. Matsumoto, “A class of simple $C^*$-algebras arising from certain non-sofic subshifts”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 31:2 (2011), 459–482
  9. C. S. Hsu, Cell-to-cell mapping. A method of global analysis for nonlinear systems, Appl. Math. Sci., 64, Springer-Verlag, New York, 1987, xii+352 pp.
  10. Г. С. Осипенко, “О символическом образе динамической системы”, Краевые задачи, Пермский политех. ин-т, Пермь, 1983, 101–105
  11. В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, МЦНМО, М., 2004, 352 с.
  12. N. Kryloff, N. Bogoliouboff, “La theorie generale de la mesure dans son application à l'etude des systèmes dynamiques de la mecanique non lineaire”, Ann. of Math. (2), 38:1 (1937), 65–113
  13. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, М., 1999, 768 с.
  14. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1949, 545 с.
  15. П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация, Мир, М., 1969, 238 с.
  16. K. Gelfert, D. Kwietniak, “On density of ergodic measures and generic points”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 38:5 (2018), 1745–1767
  17. Л. Х. Диас, К. Гелферт, М. Рамс, “Топологические и эргодические свойства частично гиперболических диффеоморфизмов и негиперболических ступенчатых косых произведений”, Порядок и хаос в динамических системах, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 297, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 113–132
  18. M. Boshernitzan, G. Kolesnik, A. Quas, M. Wierdl, “Ergodic averaging sequences”, J. Anal. Math., 95 (2005), 63–103
  19. G. Osipenko, “Symbolic images and invariant measures of dynamical systems”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 30:4 (2010), 1217–1237
  20. Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн, Алгоритмы: построение и анализ, Вильямс, М., 2011, 1296 с.
  21. А. Левитин, Алгоритмы: введение в разработку и анализ, Вильямс, М., 2006, 576 с.
  22. А. П. Афанасьев, C. M. Дзюба, А. П. Пьянов, “Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону”, Тр. ИСА РАН, 25 (2006), 148–165
  23. Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, М., 2004, 416 с.
  24. П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977, 351 с.
  25. Г. С. Осипенко, “Спектр усреднения функции над псевдотраекториями динамической системы”, Матем. сб., 209:8 (2018), 114–137
  26. Г. С. Осипенко, И. В. Романовский, Е. И. Петренко, Н. Б. Ампилова, “О вычислении спектра Морса”, Проблемы матем. анализа, 27, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2004, 151–169
  27. R. M. Karp, “A characterization of the minimum cycle mean in a digraph”, Discrete Math., 23:3 (1978), 309–311
  28. J. Cochet-Terrasson, G. Cohen, S. Gaubert, M. McGettrick, J.-P. Quadrat, “Numerical computation of spectral elements in max-plus algebra”, 5th IFAC conference on system structure and control 1998 (SSC'98) (Nantes, 1998), IFAC Proceedings Volumes, 31, no. 18, 1998, 667–674

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Osipenko G.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».