Статистические свойства трехмерных полиэдров Клейна

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Пусть $\Gamma$ – $s$-мерная решетка из $\mathbb R^s$. Выпуклые оболочки ненулевых узлов из $\Gamma$, содержащихся в каждом ортанте, называются полиэдрами Клейна решетки $\Gamma$. Эта конструкция была введена Ф. Клейном (1895 г.) в связи с обобщением классического алгоритма непрерывных дробей на многомерный случай. В. И. Арнольд сформулировал ряд задач о статистических и геометрических свойствах полиэдров Клейна. В двумерном случае соответствующие результаты вытекают из теории непрерывных дробей. В работе выводится асимптотическая формула для среднего значения $f$-вектора (количество граней, ребер и вершин) трехмерных полиэдров Клейна. Усреднение проводится по полиэдрам Клейна трехмерных целочисленных решеток с определителем из отрезка $[1,R]$, где $R$ – растущий параметр. Библиография: 27 названий.

Об авторах

Андрей Анатольевич Илларионов

Тихоокеанский государственный университет

Email: illar_a@list.ru
доктор физико-математических наук, без звания

Список литературы

  1. F. Klein, “Ueber eine geometrische Auffassung der gewöhnlichen Kettenbruchentwickelung”, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl., 3 (1895), 357–359
  2. V. I. Arnold, “$A$-graded algebras and continued fractions”, Comm. Pure Appl. Math., 42:7 (1989), 993–1000
  3. V. I. Arnold, “Higher dimensional continued fractions”, Regul. Chaotic Dyn., 3:3 (1998), 10–17
  4. V. I. Arnold, “Preface”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ix–xii
  5. В. И. Арнольд, Задачи Арнольда, Фазис, М., 2000, x+452 с.
  6. H. Tsuchihashi, “Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities”, Tohoku Math. J. (2), 35:4 (1983), 607–639
  7. G. Lachaud, “Polyedre d'Arnol'd et voile d'un cône simplicial: analogues du theorème de Lagrange”, C. R. Acad. Sci. Paris Sr. I Math., 317:8 (1993), 711–716
  8. G. Lachaud, “Sails and Klein polyhedra”, Number theory (Tiruchirapalli, 1996), Contemp. Math., 210, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 373–385
  9. E. Korkina, “La periodicite des fractions continues multidimensionnelles”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 319:8 (1994), 777–780
  10. Е. И. Коркина, “Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры”, Особенности гладких отображений с дополнительными структурами, Сборник статей, Тр. МИАН, 209, Наука, Физматлит, М., 1995, 143–166
  11. А. Д. Брюно, В. И. Парусников, “Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта”, Матем. заметки, 56:4 (1994), 9–27
  12. M. L. Kontsevich, Yu. M. Suhov, “Statistics of Klein polyhedra and multidimensional continued fractions”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 9–27
  13. Ж.-О. Муссафир, “Паруса и базисы Гильберта”, Функц. анализ и его прил., 34:2 (2000), 43–49
  14. J.-O. Moussafir, Voiles et polyèdres de Klein. Geometrie, algorithmes et statistiques, Doc. Sci. These, Univ. Paris IX–Dauphine, Paris, 2000
  15. О. Н. Герман, “Паруса и норменные минимумы решеток”, Матем. сб., 196:3 (2005), 31–60
  16. О. Н. Карпенков, “Об инвариантной мере Мeбиуса и распределении граней Гаусса–Кузьмина”, Анализ и особенности. Часть 1, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН, 258, Наука, М., 2007, 79–92
  17. О. Н. Герман, Е. Л. Лакштанов, “О многомерном обобщении теоремы Лагранжа для цепных дробей”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008), 51–66
  18. O. N. Karpenkov, “Constructing multidimensional periodic continued fractions in the sense of Klein”, Math. Comp., 78:267 (2009), 1687–1711
  19. А. В. Быковская, “О многомерном обобщении теоремы Лагранжа о цепных дробях”, Матем. заметки, 92:3 (2012), 343–360
  20. А. А. Илларионов, “О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток”, Матем. сб., 204:6 (2013), 23–46
  21. O. Karpenkov, Geometry of continued fractions, Algorithms Comput. Math., 26, Springer, Heidelberg, 2013, xviii+405 pp.
  22. И. А. Макаров, “Внутренние полиэдры Клейна”, Матем. заметки, 95:6 (2014), 854–866
  23. А. А. Илларионов, “Некоторые свойства трехмерных полиэдров Клейна”, Матем. сб., 206:4 (2015), 35–66
  24. А. А. Илларионов, “Распределение гиперграней многомерных полиэдров Клейна”, Матем. сб., 209:1 (2018), 58–73
  25. А. А. Илларионов, “Многомерное обобщение теоремы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби”, Матем. сб., 205:3 (2014), 119–132
  26. A. Illarionov, “On the asymptotic distribution of integer matrices”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 1:4 (2011), 13–57
  27. А. А. Илларионов, “Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток”, Алгебра и анализ, 23:3 (2011), 189–215

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Илларионов А.А., 2020

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).