Lifting of parallelohedra

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A parallelohedron is a polyhedron that can tessellate the space via translations without gaps and overlaps. Voronoi conjectured that any parallelohedron is affinely equivalent to a Dirichlet-Voronoi cell of some lattice. Delaunay used the term displacement parallelohedron in his paper “Sur la tiling regulière de l'espace à 4 dimensions. Première partie”, where the four-dimensional parallelohedra are listed. In our work, such a parallelohedron is called a lifted parallelohedron, since it is obtained as an extension of a parallelohedron to a parallelohedron of dimension larger by one. It is shown that the operation of lifting yields precisely parallelohedra whose Minkowski sum with some nontrivial segment is again a parallelohedron. It is proved that Voronoi's conjecture holds for parallelohedra admitting lifts and lifted in general position. Bibliography: 20 titles.

About the authors

Vyacheslav Petrovich Grishukhin

Central Economics and Mathematics Institute of the Russian Academy of Sciences

Email: grishuhn@cemi.rssi.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Vladimir Ivanovich Danilov

Central Economics and Mathematics Institute of the Russian Academy of Sciences

Email: vdanilov43@mail.ru

References

  1. Б. А. Венков, “О проектировании параллелоэдров”, Матем. сб., 49(91):2 (1959), 207–224
  2. В. П. Гришухин, “Параллелоэдры ненулевой толщины”, Матем. сб., 195:5 (2004), 59–78
  3. A. G. Horvath, “On the connection between the projection and the extension of a parallelotope”, Monatsh. Math., 150:3 (2007), 211–216
  4. A. Magazinov, “Voronoi's conjecture for extensions of Voronoi parallelohedra”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 5:3 (2015), 86–131
  5. B. Delaunay, “Sur la partition regulière de l'espace à 4 dimensions. Première partie”, Изв. АН СССР. VII сер. Отд. физ.-матем. наук, 1929, no. 1, 79–110
  6. G. Voronoi, “Nouvelles applications des paramètres continus à là theorie des formes quadratiques. Deuxième memoire. Recherches sur les parallelloèdres primitifs”, J. Reine Angew. Math., 1908:134 (1908), 198–287
  7. C. Davis, “The set of non-linearity of a convex piecewise-linear function”, Scripta Math., 24 (1959), 219–228
  8. P. McMullen, “Duality, sections and projections of certain Euclidean tilings”, Geom. Dedicata, 49:2 (1994), 183–202
  9. J. H. Conway, N. J. A. Sloane, “The cell structures of certain lattices”, Miscellanea mathematica, Springer, Berlin, 1991, 71–107
  10. С. С. Рышков, “Прямое геометрическое описание $n$-мерных параллелоэдров второго типа Вороного”, УМН, 54:1(325) (1999), 263–264
  11. Н. П. Долбилин, “Свойства граней параллелоэдров”, Геометрия, топология и математическая физика. II, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 266, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2009, 112–126
  12. Б. А. Венков, “Об одном классе эвклидовых многогранников”, Вестн. Ленинградск. ун-та. Сер. матем., физ., хим., 9:2 (1954), 11–31
  13. Г. Зейферт, В. Трельфалль, Топология, ГОНТИ, М.–Л., 1938, 400 с.
  14. Дж. Конвей, Н. Слоэн, Упаковки шаров, решетки и группы, т. 1, 2, Мир, М., 1990, 792 с.
  15. Е. П. Барановский, “Разбиение евклидовых пространств на $L$-многогранники некоторых совершенных решеток”, Дискретная геометрия и топология, К 100-летию со дня рождения Бориса Николаевича Делоне, Тр. МИАН СССР, 196, Наука, М., 1991, 27–46
  16. С. С. Рышков, Е. П. Барановский, “$C$-типы $n$-мерных решеток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий)”, Тр. МИАН СССР, 137, 1976, 3–131
  17. A. Vegh, “On extraction of parallelotopes”, Stud. Univ. Žilina. Math. Ser., 26:1 (2014), 49–54
  18. M. Dutour Sikiric, V. Grishukhin, A. Magazinov, “On the sum of a parallelotope and a zonotope”, European J. Combin., 42 (2014), 49–73
  19. В. П. Гришухин, “Свободные и несвободные многогранники Вороного”, Матем. заметки, 80:3 (2006), 367–378
  20. В. П. Гришухин, “Многогранники Делоне и Вороного корневой решетки $E_7$ и двойственной решетки $E_7^*$”, Классическая и современная математика в поле деятельности Бориса Николаевича Делоне, Сборник статей. К 120-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР Бориса Николаевича Делоне, Тр. МИАН, 275, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2011, 68–86

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Grishukhin V.P., Danilov V.I.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).