Характеристики скалярного частотно-волнового спектра пристеночных пульсаций давления в безградиентном турбулентном пограничном слое

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Скалярный частотно-волновой спектр [1] представляет суммарную энергию всех волновых компонент поля турбулентных давлений с заданным модулем волнового вектора. Помимо того, что данная характеристика имеет определенное прикладное значения, ее изучение позволяет относительно наглядно представить структуру пульсационного воздействия ввиду уменьшенного по сравнению с классическим волновым спектром количества переменных.

В данной работе выполнен анализ основных свойств скалярного частотно-волнового спектра турбулентных давлений на гладкой плоской поверхности под безградиентным турбулентным пограничным слоем при небольших дозвуковых скоростях внешнего потока. Анализ основывается на известных моделях частотно-волнового спектра.

Основное внимание уделено моделям, в которых рассматривается приведенный частотно-волновой спектр (отнесенный к частотному спектру), что позволяет уменьшить количество режимных и сторонних факторов, влияющих на исследуемые зависимости. В качестве основных исходных выбраны модифицированная модель Ефимцова [2], в которой данные [2] по продольному и поперечному спектрам распространены на всю волновую плоскость в соответствии со схемой волнового эллиптического окна [1], модель Смольякова–Ткаченко [3], а также относительно недавняя модель Френди–Чжана [4].

Оценки влияния числа Маха на скалярный спектр выполнены на основании моделей Чейза [5]. Влияние числа Рейнольдса оценивается с использованием соответствующих зависимостей для частотного спектра, определяемых моделью Гуди [6].

В качестве основных определяющих кинематических параметров рассматриваемого скалярного спектра приняты скорость внешнего потока U и толщина пограничного слоя δ. При приведении моделей [2–6] к унифицированной форме использованы соотношения между величиной δ и толщинами вытеснения δ* и потери импульса δ**, соответствующие закону степени 1/7 для распределения скоростей, справедливому при умеренно больших числах Рейнольдса [7]:

${\delta }^{\text{*}}=\frac{\delta }{8}; {\delta }^{\text{**}}=\frac{7}{72}\delta$. (1)

Меняющееся в достаточно узком диапазоне (0.03…0.04) отношение “скорости трения” U_τ к скорости U принято равным 0.035. Отметим, что аналогичный подход принят при сопоставлении различных моделей в работах [3, 4].

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

Некоторые универсальные свойства скалярного спектра могут быть получены из анализа графических зависимостей, представляющих (векторный) частотно-волновой спектр турбулентных давлений кривыми равного уровня на плоскости компонент k₁ (вдоль направления внешнего потока) и k₂ (в перпендикулярном направлении) волнового вектора k. Такое представление получило в настоящее время широкое распространение [1, 4, 8]. При всех заметных конкретных различиях, графики, схематически показанные на рис. 1, имеют очевидные общие свойства.

 

Рис. 1. К качественному анализу свойств скалярного волнового спектра; 1 – кривые равных значений частотно-волнового спектра; 2 – конвективный гребень (максимальные значения); 3 – контур интегрирования, соответствующий максимальному значению скалярного волнового спектра

 

Так, линии равных уровней частотно-волнового спектра представляют собой замкнутые контуры, вытянутые поперек направления потока. При этом вытянутая зона максимальных значений (зона конвективного гребня) концентрируется, как правило, вокруг единственной точки максимума, координаты которой оцениваются значениями $\left(\raisebox{1ex}{$\omega $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$U_c$}\right., 0\right)$, где ω – угловая частота, U_c – конвективная скорость, несколько меньшая скорости U внешнего потока. Скорость снижения уровней частотно-волнового спектра уменьшается по мере удаления от конвективного гребня. Собственно контуры постоянных значений волнового спектра симметричны относительно оси k₂ = 0, их конфигурация для приведенных спектров зависит лишь от одного параметра – безразмерной частоты $\overline{\omega }=\raisebox{1ex}{$\omega \delta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$U$}\right.$. Такая зависимость существенна лишь в диапазоне относительно небольших значений $\overline{\omega }$, в котором крутизна гребня возрастает с увеличением частоты $\overline{\omega }$. При значениях параметра $\overline{\omega }$ выше граничного значения ${\overline{\omega }}_{\text{гр}}~10$ приведенный частотно-волновой спектр может быть оценен универсальной зависимостью от безразмерного вектора $\raisebox{1ex}{$kU$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.$. В этой автомодельной области частот двукратное отклонение продольной компоненты волнового вектора от точки максимума влечет за собой снижение значений спектра более чем на порядок. Собственно конвективный гребень в данном случае расположен в коротковолновой области $k_1\delta \gtrsim 10$, в которой продольные масштабы меньше толщины пограничного слоя.

Практически все модели предполагают ненулевое значение частотно-волнового спектра при $\left|k\right|=0$.

Отмеченные основные свойства модельных частотно-волновых спектров в целом подтверждаются результатами относительно недавних прямых измерений [9–12]. Некоторое отличие состоит в фактическом существовании дополнительной составляющей в акустической зоне $\left|k\right|<\raisebox{1ex}{$\omega $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.$ (c – скорость звука), в значительной мере связанной со сторонними источниками шума.

Из представленных свойств можно сделать некоторые общие выводы о характеристиках скалярного волнового спектра Ф(ω, k_S), представляющего собой интеграл от волнового спектра E(ω, k₁, k₂) по окружности радиуса k_S [1]. При этом естественно сравнивать скалярный спектр

$\Phi \left(k_s,\omega \right)=k_s\underset{0}{\overset{2\pi }{}}E\left(k_s\text{cos}\phi , k_s\text{sin}\phi ,\omega \right)d\phi$ (2)

с достаточно изученными продольным E₁(k₁, ω) и поперечным E₂(k₂, ω) волновыми спектрами, являющимися интегралами

$E_i\left(k_i,\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }E\left(k_i,k_j,\omega \right)d{k}_j$

$i=\mathrm{1,} 2; j=i-{\left(-1\right)}^i$ (3)

от E(k₁, k₂, ω) по всему диапазону значений соответственно k₂ и k₁.

Рассмотрение приведенных на рис. 1 графических зависимостей приводит к следующим достаточно общим выводам:

1) В автомодельном диапазоне частот $\raisebox{1ex}{$\omega \delta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$U$}\right.\gtrsim {\overline{\omega }}_{\text{гр}}$ с ярко выраженным конвективным гребнем зона максимальных значений скалярного спектра близка к аналогичной области продольного волнового спектра. При этом собственно уровни максимальных значений скалярного спектра должны быть немного ниже, а пиковая зона несколько смещена в сторону высоких значений волновых чисел. Снижение частотного параметра $\overline{\omega }$, сопровождаемое размыванием конвективного гребня, приводит к росту этого смещения и в целом к большему различию между областями максимальных значений продольного и скалярного спектров.

2) В силу вытянутости контуров постоянных значений, интегрирование волнового спектра по контуру $\left|k\right|=k_s$ при больших волновых числах можно приближенно заменить суммой интегралов по k₁ при $k_2=k_s$ и при $k_2=-k_s$. В этом случае, с учетом фактора симметрии, величины скалярного спектра турбулентных давлений приближаются к удвоенным значениям поперечного спектра:

$\begin{array}{c}\Phi \left(k_s,\omega \right)\approx 2{\int }_{-\infty }^{\infty }E\left(k_1,k_s,\omega \right)d{k}_1=\\ =2E_2\left(k_s,\omega \right)\text{\hspace{0.17em}при} \raisebox{1ex}{$U{k}_s$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.\gg 1.\end{array}$ (4)

3) Поскольку в длинноволновой области ненулевое значение частотно-волнового спектра меняется относительно медленно, то здесь скалярный спектр пристеночных турбулентных давлений практически линейно зависит от волнового числа k_S, так что

$\Phi \left(k_s,\omega \right)\approx 2\pi {\kappa }_s E\left(\mathrm{0,0,}\omega \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при} \raisebox{1ex}{$U{k}_s$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.\ll 1$. (5)

Представленные общие выводы иллюстрируются на рис. 2 конкретными зависимостями в терминах отнесенных к частотному спектру P(ω) безразмерных величин приведенного скалярного спектра

$\phi \left(\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)=\frac{\omega }{U}\frac{\Phi \left(k_s,\omega \right)}{P\left(\omega \right)}$, (6)

 

Рис. 2. Приведенные спектральные зависимости при различных значениях безразмерной частоты $\overline{\omega }=\raisebox{1ex}{$\omega \delta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$U$}\right.$. Модели: (a) – Смольякова–Ткаченко [3]; (б) – модифицированная Ефимцова [2]; (в) – Френди–Чжана [4]. Значения $\overline{\omega }=\raisebox{1ex}{$\omega \delta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$U$}\right.$: 1 – 10; 2 – 1.0; 3 – 0.1. Кривые:         $\phi \left(\raisebox{1ex}{$kU$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$; —— $e_1\left(\raisebox{1ex}{$kU$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$; ---- $2e_2\left(\raisebox{1ex}{$kU$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$; •••••• $2\pi e\left(\mathrm{0,0,}\overline{\omega }\right)\raisebox{1ex}{$kU$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.$

 

продольного e₁ и поперечного e₂ волновых спектров

$e_i\left(\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)=\frac{\omega }{U}\frac{E_i\left(k_i,\omega \right)}{P\left(\omega \right)}$ (7)

и частотно-волнового спектра

$e\left(\raisebox{1ex}{$k_{1}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\raisebox{1ex}{$k_{2}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)={\left(\frac{\omega }{U}\right)}^2\frac{E\left(k_1,k_1,\omega \right)}{P\left(\omega \right)}$. (8)

Графические зависимости, представленные на рис. 2, показывают, что положения 1)…3) справедливы для всех рассмотренных достаточно различных моделей в широком диапазоне изменения параметра $\overline{\omega }$.

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ

Результаты расчетов приведенных скалярных спектров $\phi \left(\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$ применительно к моделям [2–4] показаны на рис. 3а–3в.

 

Рис. 3. Кривые равных уровней приведенного скалярного спектра $\phi \left(\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$. Показаны значения 10lgφ. Модели: (а) – Смольякова–Ткаченко [3]; (б) – модифицированная Ефимцова [2]; (в) – Френди–Чжана [4]; (г) – приближение (10)

 

Несмотря на определенные различия, характеристики модельных спектров имеют очевидные общие свойства. Так, при высоких значениях $\overline{\omega }$ линии равного уровня стремятся к вертикальным прямым, так что волновая характеристика приобретает универсальный характер с выраженным максимумом (конвективный гребень) в зоне величины $\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.$ немногим больше единицы. При снижении характерной частоты $\overline{\omega }=\raisebox{1ex}{$\omega \delta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$U$}\right.$ конвективный гребень размывается, в то время как зона максимальных значений несколько смещается в сторону увеличения волновых чисел.

Аппроксимация скалярных спектров на рис. 3а–3в единым аналитическим выражением представляет собой технически непростую задачу, поскольку для всех значений частотного параметра $\overline{\omega }$ требуется выполнения условия

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\phi \left(\kappa ,\overline{\omega }\right)\delta \kappa =1$, (9)

непосредственно следующего из определения приведенного спектра φ. К настоящему времени, исходя из представленных модельных данных и условия (9), можно предложить приближенную формулу для оценки приведенного скалярного спектра поля пристеночных турбулентных давлений применительно к частотам $\overline{\omega }\ge 0.1$ в форме

$\begin{array}{c}\phi \left({\kappa }_s,\overline{\omega }\right)=a_1\left(\overline{\omega }\right){\phi }_0\left(a_2\left(\overline{\omega }\right){\left(\raisebox{1ex}{${\kappa }_s$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0.8$}\right.\right)}^{a_3\left(\overline{\omega }\right)}\right)\times \\ \times \exp \left(-{\left(\raisebox{1ex}{${\kappa }_s$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$10$}\right.\right)}^{0.3}\right).\end{array}$ (10)

Здесь функции φ₀, a₁, a₂ и a₃ определены выражениями:

$$\begin{gathered} {\phi }_0\left(x\right)=0.0012x\frac{1+15x^2}{1+0.56x^5}+\frac{2.4x^{11}}{1+x^{14}}; \\ {a}_1\left(\overline{\omega }\right)=\frac{{\overline{\omega }}^3}{0.6\left({\overline{\omega }}^3+0.001\right)}\left(1-\text{exp}\left(-\frac{{\overline{\omega }}^{1.3}}{1.6}\right)\right); \\ {a}_2\left(\overline{\omega }\right)=1-\text{exp}\left(-2.6 {\overline{\omega }}^{0.2}\right); a_3\left(\overline{\omega }\right)=1-\text{exp}\left(-{\overline{\omega }}^{0.8}\right). \end{gathered}$$

Кривые равных уровней скалярного спектра, посчитанного по формуле (10), приведены на рис. 3г. Несмотря на некоторую громоздкость, использование данных соотношений достаточно удобно при моделировании экспериментов и прикладных оценках. Последние естественно проводить в переменных k_Sδ и $\overline{\omega }$, в которых линейная и временна́я компоненты независимы.

В переменных k_Sδ и $\overline{\omega }$ выражение для приведенного скалярного спектра ψ(k_Sδ, $\overline{\omega }$) связано с рассмотренной характеристикой $\phi \left(\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$ простым соотношением

$\psi \left(k_s\delta ,\overline{\omega }\right)= \frac{1}{\overline{\omega }}\phi \left(\raisebox{1ex}{$k_s\delta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\overline{\omega }$}\right.,\overline{\omega }\right)$. (11)

При этом скалярный волновой спектр (2) представляется посредством произведения

$\Phi \left(k_s,\omega \right)= \delta \psi \left(k_s\delta ,\overline{\omega }\right)P\left(\omega \right)$. (12)

На рис. 4 представлены результаты расчетов безразмерного скалярного волнового спектра

$\overline{\Phi }\left(k_s\delta ,\overline{\omega }\right)=\frac{U}{{\tau }^2{\delta }^2}\Phi \left(k_s,\omega \right)$ (13)

 

Рис. 4. Кривые равных уровней безразмерного скалярного спектра $\overline{\Phi }\left(k_s\delta ,\overline{\omega }\right)$. Показаны значения 10lg$\overline{\Phi }$. Модели: (а) – Смольякова–Ткаченко [3]; (б) – модифицированная Ефимцова [2]; (в) – Френди–Чжана [4]; (г) – скалярная модель (10)

 

(τ – касательное напряжение на стенке) применительно к рассмотренным моделям. Расчеты выполнены в соответствии с (12), где частотный спектр P(ω) определен эмпирическим соотношением Гуди [6, 13], получившим к настоящему времени наибольшее признание, при значении параметра Гуди $R_T={\left(\frac{U_{\tau }}{U}\right)}^2{\text{Re}}_{\delta }$, равном 100.

Графические зависимости рис. 4 дают исчерпывающую наглядную информацию о скалярном волновом спектре пристеночных турбулентных давлений в рамках рассматриваемых моделей. В частности, из них видно, что наибольшие уровни скалярного спектра наблюдаются в зоне волновых чисел в районе $k_s~\frac{1}{\delta }$.

О ВЛИЯНИИ ЧИСЕЛ МАХА И РЕЙНОЛЬДСА

Влияние сжимаемости на характеристики скалярного спектра может быть оценено на основании расширенной модели Чейза [5]. Согласно этой модели, обоснованной для значений $\overline{\omega }$ > 1 [14], волновое поле турбулентных пристеночных давлений может быть представлено в рамках схемы несжимаемой жидкости при условии, что квадраты волновых чисел турбулентных давлений значительно превышают соответствующие значения генерируемого потоком звукового поля, т.е. при

$k^2\gg {\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2$. (14)

В переменных диаграмм рис. 4 данное условие может быть переписано в виде соотношения

${\left(\frac{\overline{\omega }}{k_s\delta }\right)}^2\ll \frac{1}{{\text{M}}^2}$, (15)

определяющего зону относительного влияния числа Маха M на форму соответствующего представления скалярного спектра.

Результаты конкретных расчетов скалярного спектра для различных чисел M представлены на рис. 5. Расчеты показывают степень и характер искажения линий постоянного уровня скалярного спектра по мере роста числа Маха. Изменения, как и следовало ожидать, развиваются в левом верхнем углу диаграммы и в рассмотренном диапазоне частот $\overline{\omega }$ даже в случае M = 0.5 не затрагивают уровни, приближающиеся к максимальным. Безусловно, данный результат относится к случаю отсутствия сторонних акустических источников.

 

Рис. 5. Влияние числа Маха на безразмерный скалярный спектр $\overline{\Phi }\left(k_s\delta ,\overline{\omega }\right)$. Расширенная модель Чейза [5]. Значения чисел M: (а) – 0.01 (пунктир – 0); (б) – 0.1; (в) – 0.3; (г) – 0.5

 

Что касается чисел Рейнольдса, то, в рамках рассмотренных моделей [2–4] и прикладного приближения (10), их влияние оказывается независящим от волнового числа и проявляется лишь посредством изменений частотного спектра согласно формуле (12). При этом данные соответствующих оценок, продемонстрированные на рис. 6, показывают, что снижение значений параметра R_T (однозначно связанного с числом Рейнольдса Re_δ) от 300 до 30 заметно “сплющивает” контуры постоянных значений скалярного спектра при значениях $\overline{\omega }\gtrsim 10$.

 

Рис. 6. Влияние числа Рейнольдса на безразмерный скалярный спектр $\overline{\Phi }\left(k_s\delta ,\overline{\omega }\right)$. Скалярная модель (10). Значения R_T: —— 300; ---- 30

 

Необходимо отметить, что представленная формальная независимость степени воздействия чисел Рейнольдса от волновых масштабов может быть объяснена лишь ограниченностью использованных здесь моделей приведенного частотно-волнового спектра, в которых фактор вязкости не учитывается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены характеристики скалярного частотно-волнового спектра, представляющего в компактной и наглядной форме информацию о волновой структуре поля турбулентных пристеночных пульсаций давления в пограничном слое. Исходя из сложившихся к настоящему времени общих представлений о частотно-волновом спектре турбулентных давлений, сформулированы универсальные свойства его скалярного аналога. Полученные на базе известных моделей конкретные результаты расчетов скалярного спектра позволили установить его характерные особенности и сформулировать степень и характер влияния основных определяющих параметров. В частности, отмечено определенное смещение максимума приведенного скалярного спектра $\phi \left(\raisebox{1ex}{$k_{s}U$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\omega $}\right.,\overline{\omega }\right)$ в сторону высоких волновых чисел при уменьшении характерной частоты $\overline{\omega }$ ниже значения $\overline{\omega }$ = 1. Предложена приближенная модель собственно скалярного волнового спектра, допускающая использование как при моделировании и отработке экспериментальных методов, так и при решении широкого круга прикладных задач, в которых значимые эффекты воздействия турбулентных пульсаций зависят лишь от модуля волнового вектора.

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (тема “Мониторинг” № 122042500031-8).

Об авторах

Е. Б. Кудашев

Институт космических исследований РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: fmkdshv@gmail.com
Россия, Москва

Л. Р. Яблоник

Научно-производственное объединение по исследованию и проектированию энергетического оборудования им. И.И. Ползунова

Email: yablonik@gmail.com
Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

Дополнительные файлы