Interference of echo-signals from spherical scatterers located near the seabed

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Задача акустического рассеяния несколькими объектами имеет многочисленные практические приложения. Самый простой случай рассеяния объектами конечных размеров соответствует рассеянию двумя сферами. Обширную библиографию, посвященную этой задаче, можно найти в работах [1–14]. Однако, случай, когда рассеиватель располагается вблизи границы раздела двух сред, не был рассмотрен за исключением статьи [15], где сферические рассеиватели располагались в поглощающем дне, а источник/приемник — в водном полупространстве.

В настоящей работе исследуется интерференция эхосигналов от сферических рассеивателей, расположенных вблизи дна, которое моделируется жидким поглощающим полупространством. Модель жидкого дна характеризуется тремя параметрами: продольной скоростью звука c_b, плотностью ρ_b и параметром затухания δ. Для модели песчаного дна, рассмотренной в этой статье, показатель преломления

$n=\frac{c}{c_b}\left(1+i\delta \right),$

Где δ = 0.01. Точечный источник, излучающий сферическую падающую волну с циклической частотой ω, находится в точке M однородного водного полупространства. Приемник также находится в точке M. Геометрия задачи показана на рис. 1.

Вообще говоря, сферы могут иметь разные радиусы. Однако, для простоты, при численном моделировании предполагается, что их радиусы совпадают.

Эхосигнал от одной сферы в широком диапазоне частот вычисляется с помощью метода, предложенного в работах [16, 17]. Возникающие коэффициенты рассеяния сферы вычисляются с помощью метода перевала (см, например, [18]). Полученные асимптотические выражения позволяют существенно сократить число слагаемых в формуле для функции формы эхосигнала.

Альтернативной техникой для вычисления коэффициентов рассеяния сферы является метод комплексных источников [19–22]. Этот метод практически не имеет альтернативы, если расстояние между источником/приемником и рассеивателем мало. Однако, применение метода комплексных источников не позволяет сократить число слагаемых в формуле для функции формы эхосигнала столь же существенно, как при использовании метода перевала. Поэтому в настоящей статье для вычисления коэффициентов рассеяния сферы применяется метод перевала.

Целью этой статьи является изучение интерференционной структуры эхосигналов от двух или более сферических рассеивателей, находящихся вблизи поглощающего дна. В [6] показано, что в случае двух сферических рассеивателей радиуса  переотражением сигналов между ними можно пренебречь, если расстояние d между рассеивателями больше 8a. В данной статье неравенство d>8a предполагается выполненным.

Все вычисления и графики этой статьи выполнены с использованием системы Wolfram Mathematica. Для вычисления специальных функций, таких как сферические функции Ханкеля или сферические функции Бесселя, используются встроенные алгоритмы.

ЭХОСИГНАЛ ОТ ОДНОЙ СФЕРЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ОКОЛО ДНА

 

Рис. 1. Геометрия задачи. С каждой из рассеивающих сфер связана своя система координат: для первой сферы радиуса a это , для второй сферы радиуса ã это Oyz; d – расстояние между центрами сфер. Излучатель и приемник находятся в точке M. Õũ$\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{z}}$

 

Для определенности рассмотрим сферический рассеиватель радиуса a с центром в точке O (см. рис. 1). Для вычисления эхосигнала от этого рассеивателя воспользуемся методом, предложенным в [16, 17], где акустический потенциал эхосигнала представлен в виде

$\Phi =-\Phi =-\frac{i}{k}{\sum }_{l=0}^{\infty }{T}_l{\sum }_{m=0}^l{A}_{ml}\left(\mathit{r}\right)C_{ml}\left(\mathit{r}\right).$                                                                              (1)

При этом потенциал падающей волны в начале координат в отсутствие рассеивателя дается формулой Φ_inc = exp(ikr)/(4πr). В (1) k = ω/c – волновое число в воде, T₁ – элементы диагональной -матрицы сферы, которые находятся из граничных условий на поверхности сферы. Для акустически жесткой сферы

$T_l=-\frac{{j^{\text{'}}}_l\left(ka\right)}{{h_l^{\left(1\right)}}^{\text{'}}\left(ka\right)}$                                                                                                                      (2)

где $h_l^{\left(1\right)}\left(x\right)$ – сферическая функция Ханкеля 1-го рода, $j_l\left(x\right)$ – сферическая функция Бесселя, штрих у сферических функций обозначает производную по всему аргументу.

Коэффициенты рассеяния сферы ${\mathit{A}}_{ml}\left(\mathit{r}\right)$ имеют вид

${\mathit{A}}_{ml}\left(\mathit{r}\right)=i^{l-m+1}\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }}{\int }_0^{\infty }\frac{qdq}{h}{J}_m\left(qy\right){\Pi }_l^m\left(\frac{h}{k}\right)\times \left[{(-1)}^{l+m}{e}^{ihz}+V\left(q\right)e^{2ihb+ihz}\right]$                   (3)

Здесь J_m – цилиндрическая функция Бесселя порядка m; q и $h\left(q\right)=\sqrt{k^2-q^2}$ – горизонтальная и вертикальная компоненты волнового вектора в воде; ε₀ = 1 и ε_m = 2 при m ≥ 1; ${\Pi }_l^m\left(x\right)$ – нормированная присоединенная функция Лежандра, которая связана с присоединенной функцией Лежандра $P_l^m\left(x\right)$ порядка l и ранга m соотношением (см., например, [23])

${\Pi }_l^m\left(x\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{\left(l-m\right)!}{\left(l+m\right)!}}{P}_l^m\left(x\right)$;

V(q) – коэффициент отражения от границы раздела вода/дно [18]

$V\left(q\right)=\frac{{\rho }_{b}h-\rho h_b}{{\rho }_{b}h+\rho h_b}$                                                                                                                  (4)

где ρ и ρ_b — плотности воды и дна соответственно; $h_b=h_b\left(q\right)=\sqrt{k_b^2-q^2}$, $k_b=\omega /c_b$ — волновое число в дне. При этом предполагается, что на комплексной q - плоскости Imh (q) ⩾ 0, Imhb (q) ⩾ 0..

В этой статье мы будем использовать приближение однократного рассеяния, когда C_ml (r ) = A_ml (r), пренебрегая тем, что каждая сферическая гармоника после отражения от плоской границы раздела расщепляется на сумму гармоник. Сравнение эхосигналов от упругой сферической оболочки, вычисленных при 0 < ka ≤ 55 и небольших расстояниях между источником/приемником и сферой с учетом многократного рассеяния и в приближении однократного рассеяния, было проведено в [24]. В этой работе водная среда предполагалась полупространством, а оболочка, наполненная воздухом, располагалась у песчаного дна.

Количество слагаемых, которые надо просуммировать в (1), определяется тем, что для акустически жесткой сферы коэффициенты T₁ начинают экспоненциально убывать при 1 > ka ≤ 1. В [25] для упругих оболочек получена формула

$\max l=l_{\text{max}}=\left[ka+4.05{\left(ka\right)}^{1/3}\right]+\mathrm{3,}$                                                                                        (5)

где [x] — целая часть x. Проведенные вычисления показали, что для акустически жесткой сферы правило (5) также применимо. Для a =0.3 м, c = 1500 м/с и f = 60 кГц при вычислении акустического потенциала сферического отражателя необходимо вычислить более чем 4500 коэффициентов рассеяния сферы, которые даются формулой (3) и представляют собой интегралы от быстро осциллирующих функций по бесконечному промежутку интегрирования. Ниже с помощью метода перевала для интегралов (3) будут получены асимптотические формулы, которые могут быть использованы при достаточно больших расстояниях между источником и отражателем.

Представим коэффициент рассеяния сферы A_ml (r) в виде суммы двух слагаемых

${\mathit{A}}_{ml}\left(\mathit{r}\right)={\mathit{A}}_{ml}^{\left(f\right)}\left(\mathit{r}\right)+{\mathit{A}}_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right)$                                                                                                                         (6)

${\mathit{A}}_{ml}^{\left(f\right)}\left(\mathit{r}\right)=i^{l-m+1}{(-1)}^{l+m}\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }}{\int }_0^{\infty }\frac{qdq}{h}{J}_m\left(qy\right){\Pi }_l^m\left(\frac{h}{k}\right)e^{ihz}$                                                                (7)

${\mathit{A}}_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right)=i^{l-m+1}\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }}{\int }_0^{\infty }\frac{qdq}{h}{J}_m\left(qy\right) \times {\Pi }_l^m\left(\frac{h}{k}\right)V\left(q\right)e^{ih\left(2b+z\right)}$                                                        (8)

Интеграл может быть вычислен в явном виде [17]

${\mathit{A}}_{ml}^{\left(f\right)}\left(\mathit{r}\right)=ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }}{h}_l^{\left(1\right)}\left(kr\right){\Pi }_l^m\left(\cos \theta \right).$                                                                                                      (9)

Вклад этого слагаемого в эхо-сигнал (2) дает

${\Phi }^{\left(f\right)}=-\frac{i}{k}{\sum }_{l=0}^{\infty }{T}_l{\sum }_{m=0}^l{\left[A_{ml}^{\left(f\right)}\left(r\right)\right]}^2.$                                                                                                      (10)

Используя теорему сложения для присоединенных функций Лежандра [26], сумму по m можно записать в виде

$\sum _{m=0}^l{\left[A_{ml}^f\left(\mathbf{r}\right)\right]}^2 = k^{2 }\frac{2l+1}{4\pi } {\left[h_l^{\left(1\right)}\left(kr\right)\right]}^2,$

Таким образом,

${\Phi }^{\left(f\right)}=\frac{ik}{4\pi }{\sum }_{l=0}^{\infty }\left(2l+1\right) T_l {\left[h_l^{\left(1\right)}\left(kr\right)\right]}^2,$                                                                                                (11)

т.е. вклад Φ^(f) в Φ описывает эхосигнал от рассеивающей сферы, находящейся в изотропном водном пространстве (см., например, [27]).

Интеграл (8) вычисляется в явном виде, только если коэффициент отражения V(q) не зависит от q. Тогда

$A_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right)=ik{(-1)}^{l+m}\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }} V h_l^{\left(1\right)}\left(k{r}_d\right) {\Pi }_l^m\left(\cos {\theta }_d\right),$                                                                            (12)

где $\begin{array}{c}{r}_d=\sqrt{y^2+{(2b+z)}^2}, \\ {\theta }_d=\text{arctg}\left(\frac{y}{2b+z}\right),\\ \cos {\theta }_d=\frac{2b+z}{r_d}.\end{array}$                                                                                                (13)

В этом случае

${\Phi }^{\left(d\right)}=-\frac{i}{k}{\sum }_{l=0}^{\infty }{T}_l{\sum }_{m=0}^l{\left[A_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right)\right]}^2=\frac{ik{V}^2}{4\pi }{\sum }_{l=0}^{\infty }\left(2l+1\right) T_l {\left[h_l^{\left(1\right)}\left(k{r}_d\right)\right]}^2$,                                         (14)

т.е. вклад Φ^(d) в Φ описывает эхосигнал от образа рассеивающей сферы, отраженной от границы раздела вода/дно.

Наконец, для слагаемого Φ^(f,d)

${\Phi }^{\left(f,d\right)}=-\frac{2i}{k}{\sum }_{l=0}^{\infty }{T}_l{\sum }_{m=0}^l{A}_{ml}^{\left(f\right)}\left(\mathit{r}\right)A_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right),$                                                                                            (15)

используя теорему сложения для присоединенных функций Лежандра [26], получаем (V = const)

${\Phi }^{\left(f,d\right)}=\frac{ikV}{2\pi }{\sum }_{l=0}^{\infty }\left(2l+1\right) T_l{h}_l^{\left(1\right)}\left(kr\right) \times h_l^{\left(1\right)}\left(k{r}_d\right)P_l\left(\frac{y^2-2bz-z^2}{r r_d}\right)$.                                                       (16)

Таким образом, в случае границы раздела вода/дно с V = const эхосигнал от рассеивающей сферы может быть представлен в виде суммы потенциалов, определяемых по формулам (11), (14), (16)

$\Phi ={\Phi }^{\left(f\right)}+{\Phi }^{\left(d\right)}+{\Phi }^{\left(f,d\right)}$                                                                                                              (17)

Если коэффициент отражения V(q) зависит от q, то интеграл (8) в явном виде не вычисляется. По аналогии с [28, 29], вычисляя интеграл (8) с помощью метода перевала, в главном приближении при kr_d ⟶ ∞ получаем

${}^{{{}^{}}^{}}{A}_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right)~{(-1)}^m\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }} \frac{1}{r_d} {\Pi }_l^m\left(\cos {\theta }_d\right)\hat{V}\left({\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{d}}\right)e^{i\left(k{r}_d\frac{\pi l}{2}\right)} ,$                                              (18)

где r_d и θ_d  определяются формулами (13),

$\hat{V}\left(\mathrm{\theta }\right)=\frac{\chi {\mathrm{cos\theta }}_d-\sqrt{n^2-1+{\cos }^2{\theta }_d}}{\chi {\mathrm{cos\theta }}_d+\sqrt{n^2-1+{\cos }^2{\theta }_d}}$,                                                                                                  (19)

χ =  ρ_b/ρ — отношение плотностей дна и воды.

Если θ_d < α_*, где α_* = arcsin c/c_b – угол полного внутреннего отражения, то формула (18) и теорема сложения для присоединенных функций Лежандра дают (17), где Φ^(f) определяется (11),

${\Phi }^{\left(d\right)}=\frac{}{}\frac{i}{k}{\sum }_{l=0}^{\infty }{T}_l{\sum }_{m=0}^l{\left[A_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathit{r}\right)\right]}^2~\frac{i{V}^2}{4\pi k{r}_d^2}{e}^{2ik{r}_d}\sum _{i=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^l\left(2l+1\right)T_l$,                                            (20)

${\Phi }^{\left(f,d\right)}~\frac{}{}\frac{i{V}^2}{2\pi k{r}_d}{e}^{2ik\left(r+r_d\right)}\times \sum _{i=0}^{\infty }\left(2l+1\right)T_l{P}_l\left(\cos \left(\mathrm{\theta }+{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)\right)$.                                                                    (21)

Если $\hat{V}$ = const, то формулы (20), (21) совпадают с (14), (16) соответственно, если сферическую функцию Ханкеля 1-го рода $h_l^{\left(1\right)}\left(x\right)$ заменить главным членом ее асимптотического разложения при x → ∞

$h_l^{\left(1\right)}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{H}_{l+1/2}^{\left(1\right)}\left(x\right) ~ \frac{1}{x}\exp \left[i\left(x-\pi \left(l+1\right)/2\right)\right].$

Если θ_d > α_*, где α_* = arcsin c/c_b – угол полного внутреннего отражения, то в формуле (18) появляется дополнительное слагаемое – боковая волна

$A_{ml}^{\left(d\right)}~{\left(-1\right)}^{m+1}$$\sqrt{\frac{{\epsilon }_m}{2\pi }}\frac{\prod _l^m\left(\cos {\alpha }_{*}\right)}{k{r}_d^2}\mathrm{\Psi }\left( {\mathrm{\alpha }}_{*}, {\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}} \right)$$\times exp\left[ik{r}_d\cos \left({\alpha }_{*}- {\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)-i\pi l/2\right]$                               (22)

где

$\Psi \left({\alpha }_{\text{*}},{\theta }_d\right)=$$\frac{2n}{\chi \sqrt{\cos {\alpha }_{\text{*}}\sin {\theta }_d}{\left[\sin \left({\alpha }_{\text{*}}-{\theta }_d\right)\right]}^{\frac{3}{2}}}.$                                                                                       (23)

Появление слагаемого (22) математически связано с вкладом точки ветвления подынтегрального выражения (8).

Формула (22) теряет смысл, если c/c_b → 1, т. к. $\cos {\alpha }_{*}=\sqrt{1-{\sin }^2{\alpha }_{*}}=\sqrt{1-{\left(c/c_b\right)}^2}$, и если θ_d→ α_*. Аналогично тому, как это получено в [18] для классической боковой волны, можно показать, что формулы (18) и (22) справедливы при условии, что $k{r}_d{({\theta }_d-{\alpha }_{*})}^2\gg 1$.

В этом случае, как показано в [29], к сумме (17) добавляются новые слагаемые, связанные с наличием боковой волны:

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{Ф}}}_{}^{(f,d)}=-\frac{2i}{k}\sum _{l=0}^{\infty }{T}_i\underset{}{\overset{}{\sum _{m=0}^l{A}_{ml}^{\left(f\right)}\left(\mathbf{r}\right)}}{\hat{A}}_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathbf{r}\right)~\frac{i{V}^2}{2\pi k^{2}r r_d^2}\mathrm{\Psi }\left({\mathrm{\alpha }}_{*},{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ik}\left[\mathrm{r}+{\mathrm{r}}_{\mathrm{d}}\cos \left({\mathrm{\alpha }}_{*,}{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)\right]}\times \\ \times \sum _{l=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^l\left(2l+1\right)T_l{P}_l\left(\cos \left(\mathrm{\theta }+{\mathrm{\alpha }}_{*}\right)\right),\end{array}$                     (24)

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{Ф}}}_{}^{(d,d)}=-\frac{2i}{k}\sum _{l=0}^{\infty }{T}_i\underset{}{\overset{}{\sum _{m=0}^l{A}_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathbf{r}\right)}}{\hat{A}}_{ml}^{\left(d\right)}\left(\mathbf{r}\right)~\frac{i{V}^2}{2\pi k^2 r_d^3}\hat{V}\left({\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)\mathrm{\Psi }\left({\mathrm{\alpha }}_{*},{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ik}\left[\mathrm{r}+{\mathrm{r}}_{\mathrm{d}}\cos \left({\mathrm{\alpha }}_{*,}{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)\right]}\times \\ \times \sum _{l=0}^{\infty }\left(2l+1\right)T_l{P}_l\left(\cos \left({\mathrm{\alpha }}_{*}+{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)\right),\end{array}$              (25)

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{Ф}}}_{}^{\left(d\right)}=-\frac{i}{k}\sum _{l=0}^{\infty }{T}_i\underset{}{\overset{}{\sum _{m=0}^l{\left[{\mathbf{A}}_{\mathrm{ml}}^{\left(\mathrm{d}\right)}\left(\mathbf{r}\right)\right]}^2}}~\frac{i}{4\pi k^3 r_d^4}{\left[\mathrm{\Psi }\left({\mathrm{\alpha }}_{*},{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)\right]}^2\times \\ \times {\mathrm{e}}^{2\mathrm{ik}{r}_d\cos \left({\mathrm{\alpha }}_{*,}{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{d}}\right)}\sum _{l=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^l\left(2l+1\right)T_l,\end{array}$                                                     (26)

где функция $\mathrm{\Psi }\left({\alpha }_{*},{\mathrm{\theta }}_d\right)$ дается формулой (23).

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ФОРМЫ ДЛЯ ОДНОГО СФЕРИЧЕСКОГО РАССЕИВАТЕЛЯ, НАХОДЯЩЕГОСЯ ВБЛИЗИ ДНА

Для исследования зависимости эхосигнала от частоты рассмотрим функцию формы акустического рассеяния, которая в случае изотропного водного пространства определяется как

$F^{\left(f\right)}\left(ka\right)=\frac{2r}{a}\left|\frac{{\Phi }^{\left(f\right)}\left(ka\right)}{{\Phi }_{\text{inc}}}\right|,$                                                                                                 (27)

где Ф^(f)(ka) — акустический потенциал эхосигнала в точке приемника (11), Ф_inc = exp(ikr)/4πr) — потенциал падающей волны в начале координат в отсутствие рассеивателя.

 

Рис. 2. Функция формы эхосигнала, отраженного от акустически жесткой сферы радиуса a = 0.3 м, находящейся в изотропном водном пространстве; y = 50 м, z = 20 м; 40 ≤ f ≤ 60  кГц.

 

На рис. 2 показана зависимость функции формы F^(f)(ka) от ka  для эхосигнала, отраженного от акустически жесткой сферы радиуса a = 0.3 м, находящейся в изотропном водном пространстве с c = 1500 м/с и ρ = 1000 кг/м³, y = 50 м, z = 20 м, r = 53.85 м (см. рис. 1); 40 ≤ f ≤ 60 кГц. В этом случае эхосигнал состоит из двух компонент: зеркального отражения и поверхностной волны Франца, которая возбуждается на поверхности сферы на границе освещенной и теневой областей. Разность времен прихода этих двух волн в точке M равна

$\Delta T=\left[\left(2\sqrt{r^2-a^2}+\pi a\right)-2\left(r-a\right)\right]/c$

что дает период осцилляций ∆f = 1/∆T. Выражая период осцилляций через ka, получаем ∆_kaf = 2πa∆f/c. Для r = 53.85 м и a = 0.3 м это дает ∆_kaf = 1.22. На рис. 2 интерференция между двумя составляющими эхосигнала порождает осцилляции с периодом, равным 1.21.

Пусть теперь рассеиватель находится у песчаного дна. Скорость звука в дне c_b = 1600 м/с, показатель преломления n = c/c_b(1+iδ), где δ = 0.01, плотность дна ρ_b = 1800 кг/м³, y = 50 м, z = 20 м, b = 5 м (см. рис. 1). В этом случае функция формы определяется равенством

$F\left(ka\right)=\frac{2r}{a}\left|\frac{\mathrm{Ф}\left(ka\right)}{{\mathrm{Ф}}_{\mathrm{inc}}}\right|$                                                                                                     (28)

где Φ(ka) — акустический потенциал эхосигнала в точке приемника (см. (17), (11), (20), (21)), Ф_inc = exp(ikr)/4πr) — потенциал падающей волны в начале координат в отсутствие рассеивателя (см. [17]). Рис. 3 состоит из двух частей: часть (a) показывает зависимость функции формы от ka при 40 ≤ f ≤ 60 кГц; часть (б) — при 55≤ ka ≤ 60 . Пунктирная линия на рис. 3б — это функция формы для эхосигнала от сферы, находящей в изотропном водном пространстве (см. рис. 2). В этом случае α_* = arcsin c/c_b= 1.22 рад, d = arctg y/(2b+z) = 1.03 рад, т.е. d < α_*, kr_d(_d – α_*)² = 99.26  1.

 

Рис. 3. Функция формы эхосигнала, отраженного от акустически жесткой сферы радиуса a = 0.3 м, находящейся у песчаного дна; y = 50 м, z = 20 м, b = 5 м; (a) —40 ≤ f ≤ 60 кГц, (б) — 55≤ ka ≤ 60 . Пунктирная линия — функция формы для эхосигнала от сферы, находящей в изотропном водном пространстве.

 

Дополнительный сигнал, отраженный от дна, усиливает эхосигнал от сферического рассеивателя почти в два раза.

Сравнение результатов вычислений в нескольких точках интервала 55≤ ka ≤ 60 значений функции формы F(ka), полученных с использованием асимптотических выражений (17), (11), (20), (21), и точных значений функции формы, вычисленных по формулам (1)–(3), показало, что во всех этих точках разница между полученными значениями не превосходит 10^–5.

 

Рис. 4. Функция формы эхосигнала, отраженного от акустически жесткой сферы радиуса a = 0.3 м, находящейся у песчаного дна; y = 50 м, z = 20 м, b = 1 м; (a) — 40 ≤ f ≤ 60 кГц, (б) — 55≤ ka ≤ 60 . Пунктирная линия — функция формы для эхосигнала от сферы, находящей в изотропном водном пространстве.

 

На рис. 4 рассеиватель приближен к дну: b = 1 м. Все остальные параметры те же, что для рис. 3. Сравнение рис. 3 и 4 показывает, что при приближении рассеивателя к дню эхосигнал существенно усиливается. Период осцилляций функции формы также увеличивается.

Если акустически жесткая сфера находится в поглощающем дне, а источник/приемник в воде, то график функции формы для эхосигнала, как функция ka, представляет собой осциллирующую с маленькой амплитудой монотонно убывающую кривую (см. [15]).

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЭХОСИГНАЛОВ ОТ ДВУХ СФЕРИЧЕСКИХ РАССЕИВАТЕЛЕЙ, НАХОДЯЩИХСЯ ВБЛИЗИ ДНА

Функция формы двух сферических рассеивателей одного и того же радиуса , находящихся в изотропном водном пространстве, определяется следующим образом (см. [6])

$F^{\left(f\right)}\left(ka\right)=\frac{2}{a}\left|\frac{r {\Phi }^{\left(f\right)}\left(ka\right)}{{\Phi }_{\text{inc}}}+\frac{\tilde{r} {\tilde{\Phi }}^{\left(f\right)}\left(ka\right)}{{\tilde{\Phi }}_{\text{inc}}}\right|,$                                                                                                (29)

где ${\tilde{\Phi }}^{\left(f\right)}\left(ka\right)$ – акустический потенциал в случае акустически жесткой сферы радиуса ã = a = 0.3 м с центром в точке , находящейся в изотропном водном пространстве; ${\tilde{\Phi }}_{\text{inc}}$ – потенциал падающей волны в точке Õ в предположении, что рассеиватель отсутствует, ${\tilde{\Phi }}_{\text{inc}} =\exp \left(ik\tilde{r}\right)/\left(4\pi \tilde{r}\right)$. Будем предполагать, что y =50 м, ỹ =45 м, z = $\tilde{z}$ = 20 м, т.е. d = 5 м. При этом с каждой из рассеивающих сфер связана своя система координат: для первой сферы это Oyz, для второй сферы это $\tilde{O}\tilde{y}\tilde{z}$  (см. рис. 1).

На рис. 5 представлена зависимость функции формы (29) от ka. На рис. 5а показана зависимость функции формы от ka при 40 ≤ f ≤ 60 кГц; на рис. 5б — при 55≤ ka ≤ 60.

 

Рис. 5. Функция формы эхосигнала от двух акустически жестких сферических рассеивателей радиуса 0.3 м, находящихся в изотропном водном пространстве; y =50 м, ỹ = 45 м, z = = 20 м, d = 5м; (a) 40 ≤ f ≤ 60 кГц, (б) — 55≤ ka ≤ 60 .

 

Сравнение рис. 2 и 5 показывает, что интерференция зеркальных отражений и волн Франца не видна на графике функции формы для двух рассеивателей. Верхняя огибающая графика функции формы для двух рассеивателей совпадает с суммой значений функций формы для одиночных рассеивателей, а нижняя огибающая — с модулем разности значений функций формы для одиночных рассеивателей. Период осцилляций по графику равен 0.41. Он вычисляется как 2πa/$\left|r-\tilde{r}\right|$ .

 

Рис. 6. Функция формы эхосигнала от двух акустически жестких сферических рассеивателей радиуса 0.3 м, находящихся вблизи дна; e = 50 м, ỹ = 45 м, z = $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{z}}$ = 20 м, $\tilde{\mathit{b}}$ = 5 м, d = 5м; 55≤ ka ≤ 60 . Пунктирная линия — функция формы двух сферических рассеивателей, находящихся в изотропном водном пространстве.

 

Функция формы двух сферических рассеивателей одного и то же радиуса ã = a =0.3 м, находящихся вблизи дна, вычисляется по формуле

   (30)

где  — акустический потенциал сферы с центром в точке Õ (см. рис. 1).

Будем предполагать, что y =50 м, ỹ = 45 м, z = $\tilde{z}$ =20 м, , b = $\tilde{b}$= 5 м, d =5 м. Поскольку период колебаний полученной кривой мал, на рис. 6 задан интервал 55≤ ka ≤ 60. Пунктирная линия – функция формы двух сферических рассеивателей, находящихся в изотропном водном пространстве (см. рис. 5).

 

Рис. 7. Функция формы эхосигнала от двух акустически жестких сферических рассеивателей радиуса 0.3 м, находящихся вблизи дна; y =50 м, ỹ = 45 м , z = $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{z}}$ =20 м, b = $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{b}}$ = 1 м, d =5 м; 55≤ ka ≤ 60 . Пунктирная линия — функция формы двух сферических рассеивателей, находящихся в изотропном водном пространстве.

 

На рис. 7 рассеиватели приближены к дну: b = $\stackrel{\mathit{~}}{\mathit{b}}$ = 1 м. Все остальные параметры те же, что на рис. 6. Пунктирная линия — функция формы двух сферических рассеивателей, находящихся в изотропном водном пространстве.

По сравнению со случаем изотропного пространства максимальное значение функции формы для рассеивателей вблизи дна увеличивается с 2 до 3.5. Осцилляции становятся квазипериодическими.

Если акустически жесткие сферические рассеиватели находятся в поглощающем дне, а излучатель/приемник в воде, то эхосигнал от них, как функция ka, представляет собой осциллирующую кривую, верхняя огибающая которой совпадает с суммой функций формы для каждого из двух рассеивателей, а нижняя огибающая — с модулем разности этих двух функций формы (см. [15]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Статья предлагает эффективный метод вычисления эхосигнала от двух сферических рассеивателей, расположенных у дна. Эхосигнал от одного рассеивателя в широком диапазоне частот вычисляется с помощью метода, предложенного в работах [16, 17]. Возникающие коэффициенты рассеяния сферы вычисляются с помощью метода перевала. Полученные асимптотические выражения позволяют существенно сократить число слагаемых в формуле для функции формы эхосигнала.

Показано, что учет влияния дна на эхосигнал от двух сферических рассеивателей приводит к усилению эхосигнала почти в два раза по сравнению с эхосигналом от аналогичных рассеивателей, находящихся в изотропном водном пространстве.

Предложенный метод может быть использован и в случае упругих сфер или сферических оболочек. В этом случае формулы (17), (11), (18), (22) сохраняются. Меняются только выражения для коэффициентовT₁. Для сферической упругой оболочки, заполненной воздухом, эти выражения приведены, например, в [30].

Моделирование эхосигнала от трех или более сферических рассеивателей может быть проведено аналогично.

Предложенный метод может быть применен и в случае, когда источник и приемник не совмещены, а также в случае, когда вертикальная плоскость, проходящая через центр первой сферы и точку M, и вертикальная плоскость, проходящая через центр второй сферы и точку M, не совпадают.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской федерации в рамках программы научного центра мирового уровня «Передовые цифровые технологии» (договор № 075-15-2022-312 от 20.04.2022).

About the authors

N. S. Grigorieva

St. Petersburg State Marine Technical University

Email: nsgrig@natalie.spb.su
Russian Federation, Lotsmanskaya st. 3, St. Petersburg, 190008

F. F. Legusha

St. Petersburg State Marine Technical University

Email: legusha@smtu.ru
Russian Federation, Lotsmanskaya st. 3, St. Petersburg, 190008

K. S. Safronov

St. Petersburg State Marine Technical University

Author for correspondence.
Email: safronov.kirill.pm@gmail.com
Russian Federation, Lotsmanskaya st. 3, St. Petersburg, 190008

References

Supplementary files