Математическое моделирование радиационных прозрачностей в счетной реализации метода дуальных энергий на основе аналогового амплитудного анализа исходных сигналов

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе общественного развития для обеспечения комплексной транспортной и экономической безопасности при перевозке пассажиров, товаров, перемещении транспортных средств, почтовых и багажных отправлений все более активную роль играет рентгеновский досмотровый контроль [1―8], целями которого является обнаружение и распознавание запрещенных веществ, материалов и предметов. Номенклатура технических систем (комплексов), используемых для этих целей, является достаточно большой. В настоящее время сканирующие системы цифровой рентгенографии (ССЦР) продолжают лидировать среди технических средств таможенного и досмотрового контроля как по охвату объектов контроля, так и по его эффективности [1, 2, 9―11].

Формирование цифровых рентгенографических изображений в ССЦР сводится к сканированию объекта контроля (ОК) узким (коллимированным) веерным пучком рентгеновского излучения, которое в последствии регистрируется коллимированной линейкой (одномерным матричным массивом) детекторов [2, 9].

В настоящее время широко применяются багажные и транспортные системы досмотрового контроля, дополненные функцией распознавания материала ОК и их структурных фрагментов методом дуальных энергий (МДЭ) [1, 2, 10, 11]. Отмеченная функция существенно повышает информативную способность систем досмотрового контроля. В качестве параметра распознавания материала используют эффективный атомный номер материала (ЭАН) либо некоторую функцию от него [12―14]. На формальном уровне одновременные оценки ЭАН материала ОК и его массовой толщины являются решением системы двух неких нелинейных уравнений, формируемых для условно низких и условно высоких энергий рентгеновских фотонов [3, 5, 12, 13]. Левые и правые части упомянутых уравнений могут характеризовать те или иные параметры ослабления условно низкоэнергетических и условно высокоэнергетических рентгеновских фотонов. В качестве параметров, характеризующих ослабление рентгеновских фотонов объектом контроля, могут выступать, например, радиационные прозрачности ОК для условно низкоэнергетических и условно высокоэнергетических рентгеновских фотонов [9].

Всю совокупность технических реализаций МДЭ можно разделить по способу получения первичной информации об ослаблении рентгеновских фотонов условно «низкой» энергии и условно «высокой» энергии и по способу обработки первичной информации. К классическому способу получения первичной информации в МДЭ относится раздельное сканирование ОК узкими пучками рентгеновского излучения с «низкой» и «высокой» максимальными энергиями [15]. Этот способ отличается достаточно низкой производительностью и пригоден для источников рентгеновского излучения непрерывного действия. Для импульсных источников рентгеновского излучения, допускающих чередование импульсов с «низкой» и «высокой» максимальной энергией, реализация классического метода сводится к однократному сканированию ОК [16]. Одним из недостатков такого подхода является зависимость производительности контроля от частоты следования импульсов рентгеновского излучения. Более быстродействующий способ получения первичной информации в МДЭ связан с однократным сканированием ОК узким пучком рентгеновских фотонов с регистрацией их сэндвич-детекторами (передний детектор + ослабляющий фильтр + задний детектор), которые осуществляют мягкую селекцию (разделение) рентгеновских фотонов при их регистрации на фотоны с условно «низкой» энергией (первый детектор) и с условно «высокой» энергией (второй детектор) [15, 17―20].

Еще один подход к реализации МДЭ, связанный с однократным сканированием ОК узким пучком рентгеновского излучения и формированием первичной дуальной информации, базируется на аналоговом разделении по амплитуде электрических сигналов с выхода усилителя детектора на сигналы условно «низкой» энергии и условно «высокой» энергии. Указанная трансформацию аналоговых сигналов для каждого отдельного элемента линейного детектора осуществляется с помощью специальных устройств ― двухканальных амплитудных анализаторов. Отмеченный подход к формированию первичной дуальной информации в информационном отношении имеет потенциальное преимущество, в частности, по сравнению со схемой, где используются сэндвич-детекторы. Это обусловлено двумя факторами. Во-первых, в сэндвич-детекторе принципиально возможно «диффузное перемешивание» низко- и высокоэнергетической частей спектра излучения, а именно ― высокоэнергетический фотон может поглотиться в переднем детекторе и, напротив, низкоэнергетический фотон, пусть и с малой вероятностью, может поглотиться в заднем детекторе. Это приводит к определенному искажению информации. Во-вторых, наличие промежуточного фильтра между передним и задним детекторами приводит к тому, что часть излучения просто поглощается без регистрации, что также приводит к потере информации.

Сформулируем цель наших исследований. Для теоретической оценки потенциальных возможностей схемы реализации МДЭ с двухканальными амплитудными анализаторами необходимо внести соответствующие усовершенствования, обусловленные введением этих элементов в схему ССЦР, в математические модели формирования исходной дуальной информации [19, 20] с учетом аналогового разделения электрических сигналов на сигналы, ассоциированные с фотонами с условно «низкой» энергией и условно «высокой» энергией. Далее отмеченные усовершенствованные модели исходной дуальной информации должны быть трансформированы в математические модели радиационных прозрачностей ОК для сигналов с условно «низкой» энергией рентгеновских фотонов и условно «высокой» энергией рентгеновских фотонов.

На первом этапе приведем описание математической модели исходной дуальной информации для линейного детектора рентгеновского излучения, элементы которого сопряжены с двухканальными амплитудными анализаторами и счетчиками импульсов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ С ДЕТЕКТОРА, СОДЕРЖАЩЕГО ДВУХКАНАЛЬНЫЙ АНАЛОГОВЫЙ АМПЛИТУДНЫЙ АНАЛИЗАТОР

Для построения математической модели предположим, что используется ССЦР, содержащая линейку идентичных детекторов, каждый из которых сопряжен с двухканальным аналоговым амплитудным анализатором. Предположим также, что аналоговые сигналы с выходов двухканального аналогового амплитудного анализатора поступают на вход счетного устройства (счетчика импульсов). Амплитудный анализатор осуществляет аналоговую селекцию исходных импульсов по энергии. Схема формирования выходных цифровых сигналов для отдельного детектора из линейки приведена на рис. 1.

 

Рис. 1. Схема формирования цифровых сигналов для отдельного детектора из линейки, сопряженного с двухканальным аналоговым амплитудным анализатором: 1 ― поток квантов рентгеновского излучения, падающих на детектор; 2 ― детектор излучения; 3 ― поток электрических импульсов на выходе детектора; 4 ― аналоговый амплитудный анализатор; 5 ― поток низкоэнергетических электрических импульсов; 6 ― поток высокоэнергетических электрических импульсов; 7, 8 ― устройство регистрации (счетчик импульсов); 9 ― низкоэнергетический цифровой сигнал; 10 ― высокоэнергетический цифровой сигнал.

 

Из аналитических соотношений, приведенных в [21, 22], и анализа схемы, изображенной на рис. 1, вытекает, что при наличии ОК число электрических импульсов N_L(H) с канала амплитудного анализатора, ассоциированного с условно «низкой» энергией фотонов, и число электрических импульсов N_H(H) с канала амплитудного анализатора, ассоциированного с условно «высокой» энергией фотонов, оцениваются по формулам:

$N_L\left(H\right) = \left[\overline{N_L}\left(H\right)+{\mathrm{\Phi }}_L\left(H\right)\right]; N_H\left(H\right) =\left[\overline{N_H}\left(H\right)+{\mathrm{\Phi }}_H\left(H\right)\right]$;                                        (1)

$\overline{N_L}\left(H\right) =C_{id}\underset{0}{\overset{E_{\mathrm{thr}}}{\int }}g\left(E,E_{\max }\right)\exp \left(-m\left(E\mathit{,}Z\right)\mathrm{\rho }H\right)\mathrm{\epsilon }\left(E\right)\mathrm{d}E\underset{}{\overset{}{}}$;                                                    (2)

$\overline{N_L}\left(H\right) =C_{id}\underset{\mathrm{thr}}{\overset{E_{\mathrm{thr}}}{\int }}g\left(E,E_{\max }\right)\exp \left(-m\left(E\mathit{,}Z\right)\mathrm{\rho }H\right)\mathrm{\epsilon }\left(E\right)\mathrm{d}E$;                                                                  (3)

Здесь [arg] ― целая часть аргумента arg; $\overline{N_L}\left(H\right)$, $\overline{N_H}\left(H\right)$ ― средние значения цифровых сигналов N_L(H) и N_H(H); H ― толщина ОК, см; Φ_L(H), Φ_H(H) ― шумы, обусловленные квантовой природой рентгеновского излучения, со средними значениями $\overline{{\mathrm{\Phi }}_L}\left(H\right), \overline{{\mathrm{\Phi }}_H}\left(H\right)$ и дисперсиями σ²(Φ_L(H)), σ²(Φ_H(H)), оцениваемыми по формулам:

$\overline{{\mathrm{\Phi }}_L}\left(H\right) = 0, \overline{{\mathrm{\Phi }}_H}\left(H\right) = 0$                                                                                                     (4)

${\mathrm{\sigma }}^2\left({\mathrm{\Phi }}_L\left(H\right)\right) = {\mathrm{\sigma }}^2\left(N_{\mathrm{L}}\left(H\right)\right) = C_{id}{\underset{0}{\overset{}{\int }}}_{}^{E_{\mathit{thr}}}g\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }{E}_{\mathit{max}}\mathit{)}\exp \mathit{(}\mathit{-}m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\rho H\mathit{)}\mathrm{\epsilon }\left(\mathrm{E}\right)\mathrm{d}E$;                (5)

${\mathrm{\sigma }}^2\left({\mathrm{\Phi }}_H\left(H\right)\right) = {\mathrm{\sigma }}^2\left(N_H\left(H\right)\right) = C_{id}{\underset{}{\overset{}{\int }}}_{E_{\mathit{thr}}}^{E_{\max }}g\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }{E}_{\max }\mathit{)}\exp \mathit{(}\mathit{-}m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\rho H\mathit{)}\mathrm{\epsilon }\left(\mathrm{E}\right)\mathrm{d}E$;              (6)

где C_id = C_id0T ― параметр, характеризующий систему контроля, а

$C_{id}=\frac{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}\mathrm{\psi }\left({\mathrm{\Omega }}_{\det }\right)}{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}{F}^2}S$                                                                                                                                   (7)

― вероятность попадания фотона, излученного источником, на фронтальную поверхность элемента детектора при отсутствии ОК; Ω_det ― вектор направление луча фотонов от источника на центр фронтальной поверхности детектора; ψ(Ω) ― распределение числа фотонов, излучаемых источником по направлениям Ω; S ― площадь эффективной фронтальной поверхности чувствительного к радиации элемента детектора; T ― время формирования аналогового сигнала; F ― расстояние от центра фокусного пятна источника излучения до центра фронтальной поверхности детектора; E_max ― максимальная энергия рентгеновских фотонов, МэВ; E_thr ― энергетический эквивалент порога аналогового амплитудного анализатора U_thr = γ_cE_thr, установленного в анализаторе для разделения суммарного потока электрических импульсов на промежуточном выходе детектора на потоки аналоговых сигналов с условно «низкой» и «высокой» энергией, попадающих на соответствующие счетчики импульсов, на выходе которых и оценивается число фотонов N_L(H) и N_H(H), зарегистрированных на промежутке [0, T], с условно «низкой» и «высокой» энергией; γ_c ― коэффициент преобразования энергии рентгеновских фотонов, зарегистрированных детектором, в электрический заряд, Кл/МэВ; g(E, E_max) = dN/dE ― нормированное распределение числа фотонов по энергии, 1/(МэВ·с); m(E, Z) ― массовый коэффициент ослабления (МКО) гамма-излучения с энергией E для материала ОК, см²/г; Z ― эффективный атомный номер материала ОК; ρ ― плотность материала ОК, г/(см³); ρH ― массовая толщина ОК, г/(см²);

$\mathrm{\epsilon }\left(E\right) = 1 - \exp \left(-rn \left(E, Z_{\det }\right){\mathrm{\rho }}_{\det }{H}_{\det }\right)$                                                        (8)

― эффективность регистрации детектором гамма-квантов с энергией Е; Z_det, ρ_det, H_det ― атомный номер, плотность и толщина радиационно-чувствительного элемента детектора.

Напомним, что итоговые цифровые сигналы N_L(H) и N_H(H) имеют следующий физический смысл: N_L(H) ― количество рентгеновских фотонов из энергетического диапазона [0, E_thr], регистрируемых детектором за время T при наличии ОК толщиной H; N_H(H) ― количество рентгеновских фотонов из энергетического диапазона (E_thr, E_max), регистрируемых детектором за время T при наличии ОК толщиной H. Соответственно при этом: $\overline{N_L}\left(H\right)$ ― среднее значение цифрового сигнала N_L(H); $\overline{N_H}\left(H\right)$  ― среднее значение цифрового сигнала N_H(H).

Средние значения и дисперсии цифровых сигналов N_L(0) и N_H(0) в случае отсутствия ОК находятся из формул (2), (3), (7), (8) с помощью подстановки H = 0.

Набор выражений (1)―(8) является усовершенствованием математической модели процесса формирования цифровых сигналов N_L(H) и N_H(H) с учетом аналогового разделения исходных электрических сигналов с детектора рентгеновского излучения по амплитуде на условно низкоэнергетические и условно высокоэнергетические импульсы с последующим счетом этих импульсов. Аналоговое разделение выходных сигналов детектора рентгеновского излучения по амплитуде осуществляется с помощью двухканального амплитудного анализатора.

Отмеченная предложенная модель формирования исходной дуальной информации позволяет получить сведения о различии ослабления рентгеновского излучения в двух энергетических диапазонах, поэтому может служить основой для уточнения математической модели оценки радиационных прозрачностей ОК [20] применительно к аналоговому разделению исходных (первичных) сигналов с детектора фотонов по амплитуде на условно низкоэнергетические и условно высокоэнергетические сигналы (импульсы) с последующим их счетом.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБОРНОЙ ОЦЕНКИ РАДИАЦИОННОЙ ПРОЗРАЧНОСТИ ОБЪЕКТА КОНТРОЛЯ ДЛЯ АНАЛИЗИРУЕМОГО ВАРИАНТА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СЕЛЕКЦИИ

Радиационная прозрачность объекта контроля является одним из параметров, характеризующих процесс ослабления гамма- или рентгеновского излучения. Традиционно это понятие связывают с вероятностью прохождения фотонами ОК без взаимодействия [9, 23, 24]. Так как оценка радиационной прозрачности применительно к МДЭ зависит от режима регистрации рентгеновских фотонов, параметров радиационно-чувствительных элементов детекторов и варианта энергетической селекции, то такую оценку логично называть приборной. Приборная оценка радиационной прозрачности ОК по определению равна отношению цифрового сигнала с детектора, расположенного за ОК, к цифровому сигналу в случае отсутствия объекта при одних и тех же условиях измерения. Используя данное определение и математическую модель цифровых сигналов с детектора для рассматриваемого варианта энергетической селекции, можно получить соответствующие формулы для приборной оценки радиационных прозрачностей d_L, d_H для фотонов с условно «низкой» и с условно «высокой» энергией. Упомянутые формулы выглядят следующим образом:

$d_L=\frac{N_L\left(H\right)}{N_L\left(0\right)}=\frac{\overline{N_L}\left(H\right) + {\mathrm{\Phi }}_L\left(H\right)}{\overline{N_L}\left(0\right) + {\mathrm{\Phi }}_L\left(0\right)}$;                                                                         (9)

$d_L=\frac{N_H\left(H\right)}{N_H\left(0\right)}=\frac{\overline{N_H}\left(H\right) + {\mathrm{\Phi }}_H\left(H\right)}{\overline{N_H}\left(0\right) + {\mathrm{\Phi }}_H\left(0\right)}$;                                                                        (10)

Для оценки итоговых цифровых сигналов N_L(0) и N_H(0), ассоциированных с условно «низкой» энергией и с условно «высокой» энергией, на практике можно использовать их выборочные средние значения, которые оцениваются экспериментально по выборкам большого объема. Для выборок большого объема и соблюдения неравенств N_L(0) ≫ 1 и N_H(0) ≫ 1 дисперсиями выборочных средних $\overline{N_L}\left(0\right)$ и $\overline{N_H}\left(0\right)$ допустимо пренебречь. Условия N_L(0) ≫ 1 и N_H(0) ≫ 1 необходимы для предотвращения так называемого «квантового голодания». Из сказанного выше следует, что

$N_L\left(0\right)\approx \overline{N_L}\left(0\right)$, $N_H\left(0\right) = \overline{N_H}\left(0\right)$.                                                                 (11)

Формула (11) эквивалентна следующей:

${Ф}_L\left(0\right) \approx 0, {Ф}_H\left(0\right) \approx 0.$                                                                               (12)

Выражения (9), (10) с учетом (11), (12) примут вид:

$d_L\approx \frac{N_L\left(H\right)}{\overline{N_L}\left(0\right)}=\frac{\overline{N_L}\left(H\right) + {\mathrm{\Phi }}_L\left(H\right)}{\overline{N_L}\left(0\right)}=\frac{\overline{N_L}\left(H\right)}{\overline{N_L}\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{\Phi }}_L\left(H\right)}{\overline{N_L}\left(0\right)}=d_{tL}+ {\mathrm{\Phi }}_{dL}$;                 (13)

$d_H\approx \frac{N_H\left(H\right)}{\overline{N_H}\left(0\right)}=\frac{\overline{N_H}\left(H\right) + {\mathrm{\Phi }}_H\left(H\right)}{\overline{N_H}\left(0\right)}=\frac{\overline{N_H}\left(H\right)}{\overline{N_H}\left(0\right)}+\frac{{\mathrm{\Phi }}_H\left(H\right)}{\overline{N_H}\left(0\right)}=d_{tH}+ {\mathrm{\Phi }}_{dH}$               (14)

где d_tL и d_tH ― средние значения приборных оценок радиационных прозрачностей ОК для фотонов с условно «низкой» и с условно «высокой» энергией; Φ_dL и Φ_dH ― шумы приборных оценок радиационных прозрачностей ОК, обусловленные квантовой природой рентгеновского излучения, для цифровых сигналов, ассоциированных с условно «низкой» и с условно «высокой» энергией рентгеновских фотонов.

Поясним физический смысл величин d_L, d_tL в (13) и d_H, d_tH в (14). Под d_L, d_tL будем понимать экспериментальную и теоретическую приборные оценки радиационных прозрачностей ОК для цифровых сигналов, ассоциированных с условно «низкой» энергией, а под d_H, d_tH ― экспериментальную и теоретическую приборные оценки радиационных прозрачностей ОК для цифровых сигналов, ассоциированных с условно «высокой» энергией.

Для проведения анализа влияния параметров излучения, детектора и ОК на величину и точность приборных оценок радиационных прозрачностей ОК, а также последующего определения информативных параметров рассматриваемой реализации МДЭ, необходима развернутая аналитическая запись соответствующих уравнений связи. Упомянутые уравнения связи выводятся из формул (2), (13) и (3), (14):

$d_{tH}=\frac{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_0^{E_{\mathrm{thr}}}g\left(E, E_{\max }\right)\exp \left(-m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\mathrm{\rho }H\right)\mathrm{\epsilon }\left(E\right)\mathrm{d}E}{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_0^{E_{\mathrm{thr}}}g\left(E, E_{\max }\right)\mathrm{\epsilon }\left(E\right)\mathrm{d}E}$ ;                                                     (15)

$d_{tH}=\frac{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_{E_{\mathrm{thr}}}^{E_{\max }}g\left(E, E_{\max }\right)\exp \left(-m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\mathrm{\rho }H\right)\mathrm{\epsilon }\left(E\right)\mathrm{d}E}{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_{E_{\mathrm{thr}}}^{E_{\max }}g\left(E, E_{\max }\right)\mathrm{\epsilon }\left(E\right)\mathrm{d}E}$ ;                                                    (16)

Из анализа уравнений (15) и (16) теоретическим приборным оценкам радиационных прозрачностей можно придать следующий теоретиковероятностный смысл: d_tL ― вероятность того, что фотон из энергетического диапазона [0, E_thr], испущенный источником в сторону детектора, пройдет через ОК без взаимодействия и будет зарегистрирован детектором; d_tH ― вероятность того, что фотон из энергетического диапазона (E_thr, E_max], испущенный источником в сторону детектора, пройдет через ОК без взаимодействия и будет зарегистрирован детектором.

Развернутые выражения для вычисления средних значений шумов ${\overline{\mathrm{\Phi }}}_{dL}, {\overline{\mathrm{\Phi }}}_{dH}$  и дисперсий шумов σ²Φ_dL, σ²Φ_dH приборных оценок радиационных прозрачностей выводятся из формул (2)―(7), (13), (14) и выглядят следующим образом:

${\overline{\mathrm{\Phi }}}_{dL}= 0, {\overline{\mathrm{\Phi }}}_{dH} = 0;$                                                                                     (17)

${}_{{}_{}}{\sigma }^2\left({\mathrm{\Phi }}_{dL}\right)=\frac{{\sigma }^2\left[{\mathrm{\Phi }}_L\left(H\right)\right]}{{\left[{\overline{N}}_L\left(0\right)\right]}^2}=\frac{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_0^{E_{\mathrm{thr}}}g \left(E, E_{\max }\right) exp \left(-m \left(E, Z\right) \mathrm{\rho }H\right) \epsilon \left(E\right) \mathrm{d}E}{{\displaystyle }{C}_{id}{\left[{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_0^{E_{\mathrm{thr}}}g \left(E, E_{\max }\right) \epsilon \left(E\right) \mathrm{d}E\right]}^2}$;                    (18)

${}_{{}_{}}{\sigma }^2\left({\mathrm{\Phi }}_{dH}\right)=\frac{{\sigma }^2\left[{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{dH}}\left(\mathrm{H}\right)\right]}{{\left[{\overline{N}}_L\left(0\right)\right]}^2}=\frac{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}{\int }_{E_{\mathrm{thr}}}^{E_{\max }}g \left(E, E_{\max }\right) exp \left(-m\left(E, Z\right) \mathrm{\rho }H\right) \epsilon \left(E\right) \mathrm{d}E}{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}{C}_{id}{\left[{\int }_{{}_{\mathrm{thr}}}^{E_{\max }}g \left(E, E_{\max }\right) \epsilon \left(E\right) \mathrm{d}E\right]}^2}$;                  (19)

Совокупность формул (13)―(19) определяет математическую модель приборных оценок радиационных прозрачностей ОК для низко- и высокоэнергетического сигналов для рассматриваемого варианта энергетической селекции. Вместе с тем для полноты описания данной модели целесообразно исследовать статистическую взаимосвязь исследуемых цифровых сигналов, поскольку это имеет существенное значение, в частности, для корректного проведения численных экспериментов на основе этой модели.

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НИЗКО- И ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СИГНАЛАМИ

Для удобства проведения дальнейших преобразований введем обозначения:

$G(E, E_{\max }; H) = C_{id0 }g (E, E_{\max }) \exp (-m( E, Z)\rho H )\epsilon \left(E\right)$

• ― числовой энергетический спектр фотонов излучения, регистрируемых детектором в единицу времени при наличии ОК, 1/(МэВ·с);

$\lambda ={\underset{}{\overset{}{\int }}}_0^{E_{\max }}G(E, E_{\max }; H)\mathrm{d}E$

• ― интенсивность потока импульсов на выходе элемента детектора при наличии ОК, 1/с;

$f\left(E\right)=\frac{G(E, E_{\max }; H) \mathrm{d}E}{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_0^{E_{\max }}G(E, E_{\max }; H) \mathrm{d}E} = \frac{g\left(E, E_{\max }\right) \exp \left(-m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\rho H\right) \mathrm{\epsilon }\left(E\right)}{{{\displaystyle \underset{}{\overset{{{}^{}}^{}}{\int }}}}_0^{E_{\max }}G(E, E_{\max }) \exp \left(-m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\rho H\right) \mathrm{\epsilon }\left(E\right)}$;                 (20)

• ― плотность распределения энергии зарегистрированного детектором фотона излучения при наличии ОК;

$A_i ={\gamma }_c E_{ab} \left(E_i\right)$                                                                                                          (21)

― амплитуда электрического импульса, соответствующая поглощенной энергии E_ab(E_i) зарегистрированного детектором в момент времени t_i фотона с энергией E_i.

Далее ограничимся случаем, когда каждый из отдельных детекторов линейки представляет собой детектор полного поглощения, что в физическом отношении вполне оправдано из соображений полноты использования падающего на детектор излучения. Тогда

$\epsilon \left(E\right) = 1; E_{ab}\left(E_i\right) = E_i.$

Соответственно при этом формулы (20) и (21) преобразуются к виду:

$f\left(E\right) =\frac{g(E, E_{\max }) \exp \left(-m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\mathrm{\rho }H\right){\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}}{{{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\int }}}}_0^{E_{\max }}g(E, E_{\max }) \exp \left(-m\mathit{(}E\mathit{,}\mathit{ }Z\mathit{)}\mathrm{\rho }H\right)\mathrm{d}{E}^{{}^{}}}$

$A_i = {\gamma }_c{E}_i.$                                                                                                                                 (22)

Для исследования статистической взаимосвязи между низко- и высокоэнергетическими сигналами целесообразно проанализировать сам процесс на выходе детектора, поскольку именно из него в последующем и формируются эти сигналы.

Согласно [25―27], процесс на выходе детектора излучения представляет собой случайный поток электрических импульсов, который может быть описан следующим образом:

$Z\left(t\right) = \sum _{i=1}^N{A}_i\delta \left(t-t_i\right),$(23)

здесь N ― случайное число импульсов на выходе детектора на промежутке измерения (регистрации) излучения [0, T]; δ(t) ― дельта-функция Дирака.

Величины в правой части (23) имеют следующий теоретиковероятностный смысл [26, 27]: N ― случайная величина, которая распределена по Пуассону с параметром L, L = λT; A_i (i = 1, 2, …, N) ― последовательность амплитуд электрических импульсов, которые являются взаимно независимыми случайными величинами с одинаковым распределением; последовательность времен {t_i} образует пуассоновский поток событий с интенсивностью λ.

На выходе двухканального амплитудного анализатора формируются низко- Z_L(t) и высокоэнергетический Z_H(t) потоки электрических импульсов:

$Z_L\left(t\right) = \sum _{i=1}^N{A}_{i}I\left\{A_i\le A_{\mathrm{thr}}\right\}\delta \left(t-t_i\right);$

$Z_H\left(t\right) = \sum _{i=1}^N{A}_{i}I\left\{A_i\le A_{\mathrm{thr}}\right\}\delta \left(t-t_i\right);$

Здесь I{A_i ≤ A_thr} и I{A_i > A_thr} — индикаторы событий {A_i ≤ A_thr} и {A_i > A_thr} соответственно.

Сформированные на выходе амплитудного анализатора в течение промежутка времени [0, T] импульсы подсчитываются на соответствующих устройствах. При этом различие в амплитудах импульсов не принимается во внимание (игнорируется).

Формально данная процедура регистрации излучения может быть описана следующим образом. Сначала потоки Z_L(t) и Z_H(t) путем замены в них множителей A_i (i = 1, 2, …, N) на 1 преобразуются в потоки  и Ẑ_L(t) и Ẑ_H(t)  соответственно:

${Ẑ}_L\left(t\right) =\sum _{i=1}^{N}I\left\{A_i\le A_{\mathrm{thr}}\right\}\delta \left(t-t_i\right);$

${Ẑ}_L\left(t\right) =\sum _{i=1}^{N}I\left\{A_i>A_{\mathrm{thr}}\right\}\delta \left(t-t_i\right).$

Затем потоки Ẑ_L(t) и Ẑ_H(t) интегрируются на промежутке [0, T], в результате чего и получаются низко- и высокоэнергетический цифровые сигналы:

$N_L\left(H\right)={\underset{}{\overset{}{\int }}}_0^T{Ẑ}_L\left(t\right)\mathrm{d}t =\sum _{i=1}^{N}I\left\{A_i\le A_{\mathrm{thr}}\right\};$                                                                             (24)

$N_H\left(H\right)={\int }_0^T{Ẑ}_H\left(t\right)\mathrm{d}t =\sum _{i=1}^{N}I\left\{A_i>A_{\mathrm{thr}}\right\};$                                                                            (25)

Из (24), (25) следует, что в теоретиковероятностном отношении низко- и высокоэнергетический цифровые сигналы представляют собой суммы случайного числа случайных слагаемых.

С учетом равенства A_thr = γ_cE_thr и (22) формулы (24) и (25) примут вид:

$N_L\left(H\right) =\sum _{i=1}^{N}I\left\{E_i\le E_{\mathrm{thr}}\right\}$;                                                                                                      (26)

$N_H\left(H\right) =\sum _{i=1}^{N}I\left\{E_i>E_{\mathrm{thr}}\right\}$;                                                                                                      (27)

Для краткости описания последующих выкладок введем дополнительные обозначения:

$X = N_L\left(H\right); Y = N_H\left(H\right);$                                                                                                      (28)

$X_i = I\left\{E_i\le E_{\mathrm{thr}}\right\} =\left\{\begin{array}{l}1, E_i \le E_{\mathrm{thr}}\\ 0, E_i >E_{\mathrm{thr}}\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}1, 0 \le E_i\le E_{\mathrm{thr}}\\ 0, E_{\mathrm{thr}}< E_i\le E_{\max }\end{array}\right.$;                                        (29)

$Y_i = I\left\{E_i>E_{\mathrm{thr}}\right\} =\left\{\begin{array}{l}1, E_i > E_{\mathrm{thr}}\\ 0, E_i \le E_{\mathrm{thr}}\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}1, E_{\mathrm{thr}}< E_i\le E_{\max }\\ 0, 0 \le E_i\le E_{\mathrm{thr}}\end{array}\right.$;                                        (30)

$p ={\underset{}{\overset{}{\int }}}_0^{E_{\mathrm{thr}}}f\left(E\right)\mathrm{d}E$

― вероятность того, что при наличии ОК энергия, зарегистрированного детектором кванта, находится в низкоэнергетическом диапазоне [0, E_thr];

$q = 1- p ={\underset{}{\overset{}{\int }}}_{E_{\mathrm{thr}}}^{E_{\max }} f\left(E\right) \mathrm{d}E;\underset{}{\overset{}{}}$

― вероятность того, что при наличии ОК энергия зарегистрированного детектором кванта находится в высокоэнергетическом диапазоне [E_thr, E_max].

Из (26) ― (30) получаем:

$X = \sum _{i=1}^N{X}_i; Y = \sum _{i=1}^N{Y}_i$                                                                                           (31)

Таким образом, задача выявления статистической взаимосвязи между сигналами N_L(H) и N_H(H) свелась к эквивалентной задаче — выявлению указанной взаимосвязи между случайными величинами X и Y, описываемыми формулами (29), (30) и (31).

Отметим очевидные, но важные свойства случайных величин X_i, Y_i (i = 1, 2, …, N):

X_i + Y_i = 1 (i = 1, 2, …, N);    X_iY_i = 0 (i = 1, 2, …, N).

Наряду с этим, вследствие независимости как процессов испускания отдельных фотонов источником излучения, так и процессов их прохождения через вещество, для данных случайных величин будут также справедливы и следующие свойства:

– X_iY_i (i = 1, 2, …, N) не зависят от N;

– X_i (i = 1, 2, …, N) не зависят от Y_j (j = 1, 2, …, N) при i ≠ j;

– X_i (i = 1, 2, …, N) независимы друг от друга и имеют одинаковое распределение;

– Y_i (i = 1, 2, …, N) независимы друг от друга и имеют одинаковое распределение.

Закон распределения X_i (i = 1, 2, …, N) имеет вид:

$P = \left\{X_i= 0\right\} =q; P\left\{X_i=1\right\} = p.$                                                                         (32)

Закон распределения Y_i (i = 1, 2, …, N) имеет вид:

$P = \left\{Y_i= 0\right\} =p; P\left\{Y_i=1\right\} = q.$                                                                         (33)

Из свойств анализируемых случайных величин X_i, Y_i (i = 1, 2, …, N), законов распределения (32), (33) и теорем из [28, 29] следует, что случайные величины X и Y распределены по Пуассону с параметрами L_L и L_H:

L_L = λTp;   L_H = λTq.

В [30] сформулирована и доказана теорема о независимости потоков, формируемых в результате вероятностного раздвоения пуассоновского потока. Из данной теоремы, в частности, следует, что рассматриваемые нами случайные величины X и Y являются независимыми.

Таким образом, из результатов проведенных исследований вытекает, что низкоэнергетический цифровой сигнал N_L(H) и высокоэнергетический цифровой сигнал N_H(H) являются независимыми случайными величинами, распределенными по Пуассону с параметрами L_L и L_H соответственно. При этом очевидно, что L_L = $\overline{N}$_L(H), L_N = $\overline{N}$_H(H) (в чем также легко убедиться, учитывая формулы, описывающие параметры L_L, L_H, λ, T, p, q). Заметим также, учитывая (13) и (14), что из независимости сигналов N_L(H) и N_H(H) следует независимость приборных оценок радиационных прозрачностей d_L и d_H равно как и шумов Φ_dL и Φ_dH. Что же касается законов распределения прозрачностей d_L и d_H (шумов Φ_dL и Φ_dH), то в соответствии с (13) и (14) они будут однозначно определяться по известным законам распределения сигналов N_L(H) и N_L(H).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье рассмотрена одна из схем реализации метода дуальных энергий, заключающаяся в однократном сканировании объекта контроля узким пучком рентгеновского излучения с аналоговой энергетической селекцией регистрируемых фотонов с помощью двухканального аналогового амплитудного анализатора с последующим счетом электрических импульсов с элемента детектора. При этом на выходе одного из каналов каждого амплитудного анализатора, дополненного счетчиком импульсов, формируется низкоэнергетический цифровой сигнал, а на выходе другого ― высокоэнергетический цифровой сигнал. Представлена и исследована математическая модель формирования дуальных цифровых сигналов для анализируемой реализации метода дуальных энергий. На ее основе построена математическая модель приборных оценок радиационных прозрачностей объекта контроля, соответствующих условно «низкой» и условно «высокой» энергии рентгеновского излучения.

Модели могут быть использованы для проведения исследований по влиянию шумов, обусловленных квантовой природой рентгеновского излучения, на качество идентификации ослабляющего материала, например, по эффективному атомному номеру, применительно к рассматриваемой реализации метода дуальных энергий, а также для обоснованного выбора параметров соответствующих двухэнергетических систем цифровой радиографии и рентгеновской компьютерной томографии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках Государственного задания «Наука», проект № FSWW-2023-0004.

Об авторах

В. А. Удод

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: pr.udod@mail.ru
Россия, 634050 Томск, пр-т Ленина, 36

С. Э. Воробейчиков

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Email: sev@mail.tsu.ru
Россия, 634050 Томск, пр-т Ленина, 36

С. П. Осипов

Национальный исследовательский Томский политехнический университет

Email: osip1809@rambler.ru
Россия, 634050 Томск, пр-т Ленина, 30

Список литературы

Дополнительные файлы