Vol 63, No 3 (2023)

В работе показано, что интегральное тождество, полученное в работе Д.Е. Апушкинской и С.И. Репина для приближенных решений бигармонической задачи с препятствием, удовлетворяющих поточечному ограничению на вторую дивиргенцию, справедливо для произвольных приближенных решений. С помощью этого результата получена новая оценка меры отклонения приближенных решений от точных в случае, когда приближенные решения не удовлетворяют поточечному ограничению на вторую дивиргенцию. Библ. 5.

Предлагается модель финансовой пирамиды, где каждый участник принимает решения о входе в пирамиду и выходе из нее на основе принципа гарантированного результата, опираясь на свои представления о характеристиках других участников. Если организаторы пирамиды имеют возможность провести весь процесс достаточно быстро (так, чтобы выплаты агентам, поучаствовавшим в пирамиде и вовремя ее покинувшим, не имели слишком большого значения), то в результате неудачниками окажутся в точности те агенты, кто имел завышенную оценку доли неудачников в общей массе агентов. Библ. 14.

В работе исследуется математическое описание экономического поведения домашних хозяйств с помощью уравнения Колмогорова–Фоккера–Планка. Данное уравнение описывает динамику плотности распределения домашних хозяйств по двум характеристикам: финансовому состоянию и доходам. Основываясь на статистических данных Росстата об экономическом положении домашних хозяйств России, исследуется вопрос о согласованности статистических данных с решением уравнения Колмогорова–Фоккера–Планка. Задача формализована в виде минимизации отклонения решения уравнения Колмогорова–Фоккера–Планка от статистических данных за счет управления расходами домашних хозяйств. Представлено численное решение экстремальной задачи, приведены результаты расчетов. Библ. 10. Фиг. 11. Табл. 1.

Рассматривается плоская задача обтекания цилиндра произвольного сечения потенциальным потоком жидкости над неровным дном со скоростью потока на бесконечности, направленной параллельно дну. Циркуляция поля скорости определяется из постулата Гольдштика: максимальная скорость на контуре цилиндра должна быть минимальна. Для решения этой задачи разработаны две численные схемы метода граничных элементов. Одна численная схема определяет течение на ограниченной, но произвольно заданной поверхности дна. Вторая схема определяет обтекание контура в полуплоскости. Сравнение расчетов по численным схемам и точным решениям показывает скорость сходимости метода при увеличении элементов сетки. Проводится сопоставление давления на цилиндрической и донной поверхностях с экспериментальными данными и численными расчетами по \(k\)–\(\omega \) модели, а также сопоставление картин линий тока с учетом отрывной зоны. Библ. 16. Фиг. 8. Табл. 3.

Рассматриваются прямая и обратная задачи трехмерной квазистатической эластографии – метода онкологической диагностики. Они основаны на модели исследуемой биологической ткани, подвергаемой поверхностному сжатию, деформации в которой подчиняются законам линейной теории упругости. Возникающие трехмерные смещения ткани описываются краевой задачей для уравнений в частных производных с коэффициентами, которые определяются переменным модулем Юнга и постоянным коэффициентом Пуассона. Краевая задача содержит малый параметр, что позволяет решить ее с помощью теории регулярных возмущений уравнений в частных производных. Это составляет прямую задачу. Обратная задача состоит в нахождении распределения модуля Юнга по известным смещениям ткани. Значительное превышение величины модуля Юнга в некоторой области ткани является признаком возможной онкологии. В статье при некоторых предположениях выписываются простые формулы для решения как прямой, так и обратной задачи трехмерной квазистатической эластографии. Представлены результаты численных экспериментов по приближенному решению трехмерных обратных модельных задач с помощью предлагаемых формул. Полученные приближенные решения достаточно хорошо воспроизводят точные модельные решения. Расчеты по формулам требуют лишь несколько десятков миллисекунд на персональном компьютере средней производительности для достаточно мелких сеток, и поэтому предлагаемый подход с использованием малого параметра может быть применен при онкологической диагностике в реальном времени. Библ. 19. Фиг. 9. Табл. 1.

Для полиномиальных кооперативных игр дается описание интегрального представления вектора Шепли. Это представление осуществляется с помощью так называемого функционала Шепли. Анализируется взаимосвязь предложенного варианта вектора Шепли и полярных форм однородных полиномиальных игр как для конечного, так и для бесконечного числа участников. Особое внимание уделяется некоторым классам однородных кооперативных игр, порожденных произведениями неатомических мер. Отличительной чертой предлагаемого подхода является систематическое использование продолжений полиномиальных функций множества до отвечающих им мер на симметрических степенях исходных измеримых пространств. Библ. 19.

Предлагается новый алгоритм построения стабильного потока в сети с несколькими источниками и стоками. Он основан на идее предпотоков (примененной в 1970-х годах для более быстрого решения классической задачи о максимальном потоке) и имеет временнýю сложность \(O(nm)\) для сети с \(n\) вершинами и \(m\) ребрами. Полученные результаты затем распространяются на более широкий класс объектов – т.н. стабильные квазипотоки с ограниченными отклонениями от балансовых соотношений в нетерминальных вершинах. Библ. 12.