Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 65, № 11 (2025)
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО ДАННЫМ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
Аннотация
Развивается метод восстановления линейно параметризованных (в частности, полиномиальных) функциональных зависимостей по данным с интервальной неопределенностью. Во многих ситуациях он обеспечивает более адекватную обработку неточных результатов измерений и наблюдений, нежели традиционные теоретико-вероятностные подходы. Предлагаемый метод использует математический аппарат интервального анализа и основан на так называемом принципе максимума совместности. Он позволяет эффективно конструировать нелинейные функциональные зависимости, имеющие вид обобщенных полиномов, по интервальным данным, которые возникают как в зависимых, так и в независимых переменных. В качестве практического примера рассмотрена обработка реальных данных алюмотермического процесса утилизации промышленных отходов, где новый метод демонстрирует заметное преимущество в сравнении с традиционным методом наименьших квадратов. Библ. 30. Фиг. 7. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1761-1778
1761-1778
ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО РАДИУСА МАТРИЦЫ ЯКОБИ В ЯВНЫХ СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ МЕТОДАХ РУНГЕ–КУТТЫ
Аннотация
При использовании явных стабилизированных методов Рунге–Кутты для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо знать оценку спектрального радиуса матрицы Якоби. Такую оценку можно получить, применяя теорему Гершгорина либо степенной метод. В статье исследуются процедуры оценивания спектрального радиуса, основанные на применении нелинейного степенного метода и не требующие вычисления матрицы Якоби. Предложенные процедуры встроены в метод интегрирования и позволяют оценивать спектральный радиус также и в тех случаях, когда он изменяется в процессе решения. Приведены примеры решения тестовых задач. Библ. 35. Фиг. 2. Табл. 6.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1800-1812
1800-1812
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПОРЯДКУ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСОБЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Исследовано линейное интегродифференциальное уравнение с особым дифференциальным оператором в главной части. Для его приближенного решения в пространстве обобщенных функций предложены и обоснованы специальные обобщенные варианты методов моментов и подобластей. Установлена оптимальность по порядку точности построенных методов. Библ. 20.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1790-1799
1790-1799
МЕТОД МУЛЬТИПОЛЕЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЗАРЕМБЫ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ПОСТРОЕНИЮ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Аннотация
Работа, продолжающая статью авторов 2024 г., посвящена развитию аналитико-численного метода мультиполей применительно к задаче Зарембы, т.е. смешанной краевой задаче с граничными условиями типа Дирихле–Неймана для уравнения Лапласа в плоских односвязных областях g сложной формы, граница которых может содержать особенности. Метод позволяет получать не только решение, но и его производные на некоторых гладких участках границы вблизи особенностей. Эффективность метода была показана на примерах построения конформного, а в предыдущих работах (с другими соавторами), – на примерах построения гармонического отображения областей со сложными криволинейными границами. Библ. 11. Фиг. 4.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1779-1788
1779-1788
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА В НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМОЙ ГУРСА–ДАРБУ С ПОТОЧЕЧНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ-РАВЕНСТВОМ
Аннотация
На основе сопряжения методов оптимального управления, нелинейного анализа и теории некорректных задач рассматривается регуляризация принципа Лагранжа в недифференциальной форме, в регулярном и нерегулярном вариантах, в нелинейной (невыпуклой) задаче оптимизации системы Гурса–Дарбу общего вида с поточечным фазовым ограничением-равенством. Это ограничение понимается как равенство в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций и содержит аддитивно входящий в него параметр, что обеспечивает возможность применения для исследования задачи “нелинейной версии” метода возмущений. Основное предназначение обоих вариантов регуляризованного принципа Лагранжа — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей в рассматриваемой задаче, существование решения которой априори не предполагается. Их можно трактовать как обобщенные минимизирующие последовательности — образующие (регуляризирующие) операторы, ставящие в соответствие каждому набору исходных данных задачи субминималь (минималь) ее отвечающего этому набору регулярного модифицированного функционала Лагранжа, двойственная переменная в котором генерируется в соответствии с указанными в этих вариантах процедурами. Конструкция модифицированного функционала Лагранжа полностью определяется видом “нелинейных” субдифференциалов полунепрерывной снизу и, вообще говоря, невыпуклой функции значений как функции параметра задачи. В качестве последних используются хорошо известные в нелинейном анализе проксимальный субградиент и субдифференциал Фреше. В частном случае, когда задача регулярна, в смысле существования в ней обобщенного вектора Куна–Таккера, а ее исходные данные (интегранд функционала качества и правая часть управляемой системы) аффинным образом зависят от управления, предельный переход в соотношениях регуляризованного принципа Лагранжа ведет к классическим условиям оптимальности в форме недифференциальной теоремы Куна–Таккера и принципа максимума Понтрягина.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1813-1833
1813-1833
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ОПЕРАТОРНЫМ УРАВНЕНИЕМ II РОДА
Аннотация
Исследуется проблема корректного конструирования управления с обратной связью операторным уравнением II рода общего вида. Под корректностью понимается разрешение следующих трех вопросов: 1) сохранение разрешимости управляемого операторного уравнения при варьировании управления; 2) непрерывная зависимость решения уравнения от управления; 3) существование оптимального управления по заданному функционалу на сконструированном классе управлений. При решении проблемы корректности построения класса управлений с обратной связью существенно используются результаты о сохранении разрешимости операторных уравнений II рода, полученные автором ранее и основанные на понятии конусной нормы. В качестве примера рассматривается управляемое обыкновенное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве. Библ. 24.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1834-1848
1834-1848
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ КУЛОНОВСКОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ЦЕНТРОВ
Аннотация
Представлены новые алгоритмы решения кулоновской задачи двух центров дискретного и непрерывного спектров в вытянутых сфероидальных координатах с разделением независимых переменных. Собственные значения энергии и константы разделения, а также собственные функции дискретного спектра вычисляются методом секущих и методом конечных элементов (МКЭ) на подходящей сетке с вещественным параметром – расстоянием между кулоновскими центрами. На каждом шаге метода секущих собственные решения дискретного спектра вычисляются с помощью программы КАNТВР 5М, реализующей МКЭ в системе Maple. Для задачи непрерывного спектра (при фиксированном собственном значении энергии) достаточно решить задачу на собственные значения для квазиуглового уравнения относительно константы разделения и использовать ее при решении краевой задачи для квазирадиального уравнения относительно неизвестного фазового сдвига и собственной функции с помощью программы КАNТВР 5М. Результаты тестовых расчетов согласуются с эталонными расчетами, выполненными программами, реализующими альтернативные методы на языке FORTRAN, с требуемой точностью. Библ. 41. Фиг. 7. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1849-1864
1849-1864
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ОБ ОПЕРАТОРЕ ПУАНКАРЕ—СТЕКЛОВА ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ
Аннотация
Для несжимаемой стратифицированной упругой полосы рассматривается оператор Пуанкаре—Стеклова, отображающий нормальные напряжения в нормальные перемещения на части границы. Для построения передаточной функции (ПФ) оператора используется вариационная формулировка краевой задачи для трансформант перемещений. Дано определение и доказаны существование и единственность обобщенного решения вариационной задачи. Аппроксимация этой задачи производится методом конечных элементов. Получены главный член асимптотического разложения ПФ для малых и трехчленное асимптотическое разложение ПФ для больших значений параметра преобразования Фурье. Построены аппроксимации Паде полученного асимптотического ряда. Разработан комбинированный подход к вычислению ПФ с использованием ее асимптотических разложений и аппроксимаций Паде, сокращающий вычислительные затраты. Библ. 20. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1865-1880
1865-1880
РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИМОШЕНКО ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ
Аннотация
Для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка по времени, моделирующего распространение изгибных волн в стержне Тимошенко исследуется задача Коши в пространстве непрерывных функций, заданных на всей числовой оси и для которых существуют пределы на бесконечности. Установлен временной отрезок существования и единственности классического решения вспомогательной задачи Коши, связанной с исходной, и приведена оценка нормы этого локального решения. Найдены условия, обеспечивающие связь между локальными классическими решениями исходной и вспомогательной задач Коши на определенном временном отрезке. Рассмотрены достаточные условия продолжения локального классического решения задачи Коши до глобального и разрушения решения нелинейного уравнения Тимошенко на конечном временном отрезке. Библ. 9.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1881-1898
1881-1898
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ПРОБЛЕМА ВЫПОЛНЕНИЯ Н-ТЕОРЕМЫ ДЛЯ S-МОДЕЛЬНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация
Изучается Н-функция, специальным образом определенная для S-модельного кинетического уравнения для различных физических ситуаций. Рассматривается пространственно-однородная релаксация. Исследуется достаточно широкий класс начальных условий. Показано численно, что для них Н-теорема является справедливой. Библ. 14. Фиг. 9. Табл. 2.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1899-1907
1899-1907
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПРИСТЕНОЧНЫЙ СТАЦИОНАРНЫЙ ЗЕРНИСТЫЙ СЛОЙ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО БАРЬЕРА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Аннотация
Рассматривается задача о течении вязкой жидкости вдоль плоской твердой поверхности при наличии на ней стационарного зернистого слоя в виде бесконечного прямоугольного барьера. Зернистый слой состоит из бесконечного числа одинаковых сферических гранул, статистически равномерно распределенных в слое. Задача решается на основе ранее разработанного метода самосогласованного поля, позволяющего изучать эффекты гидродинамического взаимодействия большого числа сферических частиц в потоках вязкой жидкости, в том числе при наличии внешних границ, и получать осредненные динамические характеристики таких течений. Решение задачи, описывающее осредненное поле скорости жидкости как вне, так и внутри зернистого слоя, получено в конечном аналитическом виде в первом приближении по объемной доле гранул в слое. В результате получена характерная особенность течения жидкости в виде крупномасштабного стационарного вихря, внутри которого находится весь слой. Библ. 26. Фиг. 5.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1908-1919
1908-1919
РАЗДЕЛЕНИЕ СМЕСИ ГАЗОВ С БЛИЗКИМИ МОЛЕКУЛЯРНЫМИ МАССАМИ НА ОСНОВЕ РАДИОМЕТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА
Аннотация
Проведено численное моделирование разделения двухкомпонентной смеси газов с близкими молекулярными массами в тепловом микронасосе, основанном на радиометрическом эффекте. Метод моделирования основан на прямом решении кинетического уравнения Больцмана с помощью схемы расщепления. Решение задач релаксации осуществляется с помощью консервативного проекционного метода. Решение уравнений переноса выполняется с помощью схем первого и второго порядков. Предложена конструкция установки, которая может быть использована для разделения смеси близких масс. На основе моделирования проведена оценка эффективности данного устройства. Библ. 24. Фиг. 10. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1920-1931
1920-1931
Решеточные уравнения Больцмана на основе модели Шахова и приложения к моделированию разреженного течения Пуазейля с большой дозвуковой скоростью
Аннотация
В работе исследуется задача применимости решеточных уравнений Больцмана на основе кинетического уравнения Шахова к моделированию разреженных течений под действием значительной внешней силы. В качестве эталонной задачи рассмотрено двумерное плоское течение Пуазейля при разных числах Кнудсена и разных амплитудах внешней силы, приводящих к характерным скоростям течения, соответствующим числу Маха в интервале от 0.4 до 0.6. Показано, что двумерные решеточные модели с 37 скоростями могут описывать неравновесные эффекты за пределами применимости приближения сплошной среды, в режиме скольжения. Рассмотрены профили продольного и поперечного тепловых потоков, а также профили скорости и температуры разреженного газа. Библ. 31. Фиг. 4.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1932-1942
1932-1942
ПРИМЕНЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКИ В ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ УМЕНЬШЕНИЯ ОСЦИЛЯЦИЙ, ВЫЗВАННЫХ “ЭФФЕКТОМ ЛУЧА”
Аннотация
Возникновение осцилляций при численном решении методом дискретных скоростей нестационарных задач течения разреженного газа с разрывными граничными условиями является проблемой, известной в литературе как “эффект луча”. Этот эффект является существенным препятствием при численном интегрировании кинетических уравнений в режимах сильной неравновесности при малой частоте столкновений. Применение глобальной адаптации в скоростном пространстве позволяет во многих случаях уменьшить осцилляции макропараметров. Результаты использования данного алгоритма демонстрируются на решении двумерной задачи испарения при взаимодействии лазерного излучения с веществом. Библ. 26. Фиг. 9. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1943-1954
1943-1954
СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД С НЕЯВНЫМИ СХЕМАМИ И КОНТАКТНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА МАТЕРИАЛОВ
Аннотация
В работе представлен модифицированный сеточно-характеристический метод для моделирования распространения упругих волн в гетерогенных средах с явными границами раздела материалов. Предлагаемый подход основан на использовании неявных и явно-неявных схем численного решения, позволяющих совместно обеспечить устойчивость и точность при больших шагах по времени и маленьких шагах по пространству в областях с вытянутой формой. Была реализована корректная постановка контактных условий между материалами как в форме отраженных и преломленных волн, так и путем модификации строк системы уравнений для неявной схемы. Приведены численные эксперименты для одномерных и двумерных задач, включая моделирование волн в многослойных структурах и стеклянных композитах. Выполнена оценка порядка сходимости для различных схем. Результаты показывают возможность разработанного метода обеспечивать высокую точность моделирования и способность описывать сложные волновые картины в гетерогенных средах. Библ. 20. Фиг. 17.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(11):1955-1970
1955-1970