FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE HEAT CONDUCTION EQUATION IN TIME-DEGENERATE DOMAINS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the first boundary value problem in a cone with a degeneracy of the domain at the initial moment of time for the heat equation. Own functions for the problem were found. Estimations of the Green’s function are obtained. For the problem with a zero boundary function, we establish unambiguous solvability in a certain class of functions that admits a definite growth when approaching the vertex of a cone. Similar results are obtained for the cone that degenerates at the final point in time. In addition, we consider the first boundary value problem in domains that are degenerate only in terms of variables.

About the authors

A. N Konenkov

Yesenin Ryazan State University

Email: an.konenkov@gmail.com
Ryazan, Russia

References

  1. Petrowsky I. Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgleichung // Compositio Mathematica. 1935. V. 1. P. 383–419.
  2. Михайлов В.П. О задаче Дирихле для параболического уравнения. I // Матем. сб. 1963. Т. 103. № 1. С. 40–64.
  3. Михайлов В.П. О задаче Дирихле для параболического уравнения. II // Матем. сб. 1963. Т. 104. № 2. С. 140–159.
  4. Labbas R., Medeghri A., Sadallah B.-K. Sur une equation parabolique dans un domaine non cylindrique // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I 2002. V. 335. № 12. P. 1017–1022.
  5. Labbas R., Medeghri A., Sadallah B.-K. On a parabolic equation in a triangular domain // Appl. Math. Comput. 2002. V. 130. № 2. P. 511–523.
  6. Kheloufi A., Sadallah B.-K. Study of the heat equation in a symmetric conical type domain of Rn+1 // Math. Meth. Appl. Sci. 2013. V. 37. № 12. P. 1807–1818.
  7. Kheloufi A. Existence and uniqueness results for parabolic equations with Robin type boundary conditions in a nonregular domain of R3 // Appl. Math. Comput. 2013. V. 220. № 9. P. 756–769.
  8. Jenaliyev M., Amangaliyeva M., Kosmakova M., Ramazanov M. About Dirichlet boundary value problem for the heat equation in the infinite angular domain // Boundary Value Problems. 2014. V. 2014. № 1. P. 1–21.
  9. Jenaliyev M.T., Ramazanov M.I., Kosmakova M.T., Tuleutaeva Zh.M. On the solution to a two-dimensional heat conduction problem in a degenerate domain // Euras. Math. J. 2020. V. 11. № 3. P. 89–94.
  10. Jenaliyev M.T., Kosmakova M.T., Tuleutaeva Zh.M. On the Solvability of Heat Boundary Value Problems in Sobolev Spaces // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43. № 8. P. 2133–2144.
  11. Ramazanov M., Jenaliyev M., Gulmanov N. Solution of the boundary value problem of heat conduction in a cone // Opuscula Math. 2022. V. 42. № 1. P. 75–91.
  12. Kheloufi A., Ikassoulene A. Lp-regularity results for 2m-th order parabolic equations in time-varying domains // Miskolc Math. Not. 2022. V. 23. № 1. P. 211–230.
  13. Widder D.V. The Heat Equation. New York: Acad. Press, 1976.
  14. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
  15. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. ММО. Т. 16. Изд. МГУ. М., 1967. С. 209–292.
  16. Grieser D. Uniform bounds for eigenfunctions of the laplacian on manifolds with boundary // Commun. Part. Different. Equat. 2002. V. 27. № 7–8. P. 1283–1299.
  17. Liu G. Some inequalities and asymptotic formulas for eigenvalues on Riemannian manifolds // J. Math. Analys. Appl. 2011. V. 376. P. 349–364.
  18. Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. Boston: Pitman Publ. Inc., 1985.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».