THE JACOBI-MAUPERTUIS PRINCIPLE AND FERMAT VARIATIONAL PRINCIPLE IN THE PROBLEM OF SHORT-WAVE ASYMPTOTICS IN THE SOLUTION OF THE HELMHOLTZ EQUATION WITH A LOCALIZED SOURCE

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of short-wave asymptotics of the Helmholtz equation with a localized right-hand side in the form of a rapidly decreasing function is considered in the article. We present an algorithm for calculating rays using the variational method and the wave field applying the canonical Maslov operator method for given boundary conditions. This approach is used for model examples, including those with a logarithmic feature of the ray family. In addition, we consider applications of the variational method for calculating rays in the illuminated region and in the caustic shadow region.

About the authors

S. Y Dobrokhotov

P.G. Demidov Yaroslavl State University, Center for Integrated Systems; Ishlinsky Institute for Problems in Mechanic, Russian Academy of Sciences

Email: dobr@ipmnet.ru
Yaroslavl, Russia; Moscow, Russia

I. A Nosikov

P.G. Demidov Yaroslavl State University, Center for Integrated Systems

Email: igor.nosikov@gmail.com
Yaroslavl, Russia

A. A Tolchennikov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanic, Russian Academy of Sciences

Email: tolchennikovaa@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Матем. сб. 1964. Т. 65. № 4. C. 576–630.
  2. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.
  3. Кучеренко В.В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника для стационарного уравнения Шредингера // Теор. и матем. физ. 1969. Т. 1. № 3. С. 384–406.
  4. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Руло М. Канонический оператор Маслова на паре лагранжевых многообразий и асимптотика решений стационарных уравнений с локализованными правыми частями // Докл. АН. 2017. Т. 475. № 6. С. 624–628.
  5. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Руло М. Лагранжевы многообразия и конструкция асимптотик для (псевдо)дифференциальных уравнений с локализованными правыми частями // Теор. и матем. физ. 2023. Т. 214. № 1. С. 3–29.
  6. Свешников А.Г. Дифракция на ограниченном теле // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. № 1. С. 63–65.
  7. Каток А.Б. Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. № 3. С. 539–576.
  8. Богаевский И.А., Доброхотов С.Ю., Толченников А.А. Лагранжева особенность Арнольда в асимптотике решения модельного двумерного уравнения Гельмгольца с локализованной правой частью // Теор. и матем. физ. 2024. Т. 218. № 1. С. 23–47.
  9. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
  10. Доброхотов С.Ю., Миненков Д.С., Руло М. Принцип Мопертюи–Якоби для гамильтонианов вида f (x, |p|) в некоторых двумерных стационарных квазиклассических задачах // Матем. заметки. 2015. Т. 97. № 1. С. 48–57.
  11. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
  12. Abramowitz M. and Stegun I.A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. US Government printing office, 1964.
  13. Доброхотов С.Ю., Клименко М.В., Носиков И.А., Толченников А.А. Вариационный метод расчета лучевых траекторий и фронтов волн цунами, порожденных локализованным источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 8. С. 1439–1448.
  14. Jonsson H., Mills G., Jacobsen K.W. Nudged elastic band method for finding minimum energy paths of transitions // Classical and quantum dynamics in condensed phase simulations. 1998. P. 385–404.
  15. Nosikov I.A., Klimenko M.V., Zhbankov G.A., Podlesnyi A.V., Ivanova V.A., Bessarab P.F. Generalized force approach to point-to-point ionospheric ray tracing and systematic identification of high and low rays // IEEE T Antenn Propag. 2020. V. 68. No. 1. P. 455–467.
  16. Nocedal J., Wright S.J. Numerical Optimization. New York, NY. USA: Springer, 2006.
  17. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Цветкова А.В. Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах // Теор. и матем. физ. 2019. Т. 201. № 3. С. 382–414.
  18. Dobrokhotov S.Yu., Nazaikinskii V.E. Lagrangian Manifolds and Efficient Short-Wave Asymptotics in a Neighborhood of a Caustic Cusp // Math. Notes. 2020. V. 108. No. 3. P. 318–338.
  19. Nazaikinskii V.E., Tolchennikov A.A. Constructive implementation of semiclassical asymptotic formulas in a neighborhood of a generic caustic cusp // Russ. J. Math. Phys. 2022. V. 29. No. 4. P. 545–554.
  20. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Шафаревич А.И. Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. № 2. С. 53–96.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).