ON THE APPROXIMATION OF THE FIRST EIGENVALUE OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper studies the representation of eigenfunctions as scalar series for a two-point boundary value problem of the type (𝑛 − 1, 1) under the assumption that there exists a functional concentrated at one point such that the first 𝑛−1 of the original boundary conditions and ℓ̃𝑥 = 1 become the Cauchy conditions at this point. The eigenfunction of the boundary value problem under consideration, corresponding to the eigenvalue λ∗, is represented as a series in powers of λ∗. The equation Φ(λ) = 0, where Φ(λ) is the sum of the series in powers of λ, is considered for finding the eigenvalues of the original problem. Examples of calculating the first eigenvalue of some boundary value problems are given. Various estimates are obtained for the coefficients of such power series. A certain function of two variables 𝑡 and λ is defined, a partial differential equation is obtained for it, and conditions are obtained that it satisfies. The zeros of the “section” of this function coincide with the eigenvalues of the original boundary value problem, which can be used for their approximate calculation.

About the authors

M. Yu Vatolkin

Kalashnikov Izhevsk State Technical University

Email: vmyu6886@gmail.com
Izhevsk, 426069 Russia

References

  1. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Некоторые вопросы теории Штурма–Лиувилля // УМН. 1960. Т. 15. № 1(91). С. 3–98.
  2. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.
  3. Марченко В. А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. К.: Наук. думка, 1977.
  4. Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука, 1979.
  5. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во МГУ, 1986.
  6. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.
  7. Мирзоев К. А. Операторы Штурма–Лиувилля // Тр. ММО. 2014. Т. 75. № 2. С. 335–359.
  8. Конечная Н. Н., Мирзоев К. А. Главный член асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями первого порядка // Матем. заметки. 2019. Т. 106. № 1. С. 74–83.
  9. Конечная Н. Н., Мирзоев К. А. Об асимптотике решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка // Вестн. Моск. ун-та. 2020. Сер. 1. Матем., мех. № 1. С. 23–28.
  10. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма–Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН, Сер. мат. 2000. Т. 64. № 4. С. 47–108.
  11. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма––Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 6. С. 897–912.
  12. Савчук А. М. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 2. С. 277–285.
  13. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. матем. общ-ва. 2003. Т. 64. С. 159–212.
  14. Конечная Н. Н., Сафонова Т. А., Тагирова Р. Н. Асимптотика собственных значений и регуляризованный след первого порядка оператора Штурма–Лиувилля с 𝛿-потенциалом // Вестн. Сев. (Арктич.) федер. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2016. Вып. 1. С. 104–113.
  15. Сафонова Т. А., Рябченко С. В. О собственных значениях оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом // Вестн. Сев. (Арктич.) федер. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2016. Вып. 2. С. 115–125.
  16. Покорный Ю. В., Прядиев В. Л. Некоторые вопросы качественной теории Штурма–Лиувилля на пространственной сети // УМН. 2004. Т. 59. №3 (357). С. 116–150.
  17. Покорный Ю. В., Зверева М. Б., Ищенко А. С., Шабров C. А. О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. 2007. Т. 82. № 4. С. 578–582.
  18. Покорный Ю. В., Зверева М. Б., Шабров C. А. Осцилляционная теория Штурма–Лиувилля для импульсных задач // УМН. 2008. Т. 63. №1 (379). С. 111–154.
  19. Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009.
  20. Митрохин С. И. О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Arctic Environmental Research. 2017. Т. 17. № 4. С. 376–392.
  21. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Изв. вузов. Матем. 2018. № 6. С. 31–47.
  22. Митрохин С. И. Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка со знакопеременной весовой функцией // Вестник МГУ. Сер.: “Математика, механика”. 2018. № 6. С. 46–58.
  23. Митрохин С. И. Асимптотика спектра дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией // Журнал СВМО. 2020. Т. 22. № 1. С. 48–70.
  24. Дерр В. Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Известия Института математики и информатики УдГУ. 1999. № 1(16). С. 3–105.
  25. Дерр В. Я. Об адекватном описании сопряженного оператора // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 3. С. 43–63.
  26. Шин Д. Ю. О решениях линейного квазидифференциального уравнения 𝑛-го порядка // Матем. сборник. 1940. Т. 7(49). № 3. С. 479–532.
  27. Шин Д. Ю. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве // Матем. сборник. 1943. Т. 13(55). № 1. С. 39–70.
  28. Everitt W. N., Marcus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasi-differential operators // Amer. Math. Soc. 1999. V. 61.
  29. Eckhardt J., Gestezy F., Nichols R., Teschl G. Weyl–Titchmarsh theory for Sturm–Liuville operators with distributional potentials // Opuscula Mathematica. 2013. V. 33(3). P. 467–563.
  30. Everitt W. N., Race D. The regular representation of singular second order differential expressions using quasi-derivatives // Proc. London Math. Soc. (3) 1992. V. 65(2). P. 383–404.
  31. Xiao xia Lv, Ji-jun Ao, Zettl A. Dependence of eigenvalues of fourth-order differential equations with discontinuous boundary conditions on the problem // J. Math. Anal. Appl. 2017. V. 456(1). P. 671–685.
  32. Qinglan Bao, Jiong Sun, Xiaoling Hao, Zettl A. Characterization of self-adjoint domains for regular even order C-symmetric differential operators // Electronic J. of Qualitative Theory of Diff. Equat. 2019. V. 62. P. 1–17.
  33. Zettl A. Sturm-Liouville Theory. Amer. Math. Soc., 2005.
  34. Zett A. Recent Developments in Sturm-Liouville Theory. Berlin, Boston: De Gruyter, 2021.
  35. Jianfang Qin, Kun Li, Zhaowen Zheng, Jinming Cai. Dependence of eigenvalues of discontinuous fourthorder differential operators with eigenparameter dependent boundary conditions // J. of Nonlinear Math. Phys. 2022. V. 29(4). P. 776–793.
  36. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).