Exact formula for the solution of degenerate system of quadratic equations

Full Text

Точная формула для решения вырожденных систем квадратичных уравнений ^[1]

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается система нелинейных уравнений вида $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}}_n$, где отображение F определено как

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2+Mx+N\mathrm{,}$ (1)

где M $–$ матрица размерности n×n, $N$ $–$ вектор из ${ℝ}^n$ и $B:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ $–$ квадратичное отображение вида

$B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_{1}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_{n}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{{\rm T}}$ (2)

для $x\in {ℝ}^n$ и $B_i$ есть n×n симметричная матрица, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$.

В статье описывается применение теории p-регулярности [1$–$3] к решению систем нелинейных уравнений с отображением F, введенным в (1). Цель статьи представить точную формулу для решения уравнения $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}}_n$, где F(x) – квадратичное отображение вида (1) с вырождением в решении x*. Отметим, что нелинейные проблемы, среди которых квадратичные и полиномиальные уравнения, интенсивно исследуются в различных областях знаний и прикладных задачах. Оказывается, как это было показано в [4], нелинейность тесно связана с вырожденностью, а именно: так называемые существенно нелинейные задачи и вырожденные локально эквивалентны (см. [4]). Поэтому в данной статье исследуем системы квадратичных уравнений вида

$B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2+Mx+N{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n$ (3)

с вырождением, как основным характеристическим признаком нелинейности в решении. В данной статье покажем, как на основе теории p-регулярности и специальной конструкции 2-фактор оператора свести исходную задачу к системе линейных уравнений и получить формулу для решения системы (3).

Определение и обозначения. Обозначим через $\text{K}erS\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in {ℝ}^n\mathrm{<mo>|</mo>}Sx{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_m\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ядро линейного оператора $S:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ и через $\text{I}mS=\{y\in {\mathrm{ℝ}}^m\text{\hspace{0.05em}|}y=Sx\text{\hspace{0.33em}для\hspace{0.33em}некоторого\hspace{0.33em}}x\in {ℝ}^n\}$ $–$ образ этого оператора.

Пусть $B:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ непрерывное симметричное квадратичное отображение. 2-форма, ассоциированная с B, это отображение $B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ определено как $B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $x\in {ℝ}^n$. Будем использовать следующее обозначение $Im{}^{2}B\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}y\in {ℝ}^n\mathrm{<mo>|</mo>}\exists x\in {ℝ}^n:B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $Ker{}^{2}B\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in {ℝ}^n\mathrm{<mo>|</mo>}B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Через N(x*) обозначим окрестность точки x*.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ 2-РЕГУЛЯРНОСТИ

Напомним некоторые обозначения и определения теории 2-регулярности [1–7] для конечномерного случая и опишем несколько версий 2-фактор метода для решения вырожденных нелинейных уравнений. Проиллюстрируем, как применять модификацию 2-фактор метода для получения формулы решения нелинейной системы уравнений с квадратичным оператором. Рассмотрим нелинейную систему уравнений

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}}_n\mathrm{,}$ (4)

где F $–$ достаточно гладкое отображение из ${ℝ}^n$ в ${ℝ}^n$, $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{f}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\rm T}}$. Пусть x*-решение (4). Отображение F называется регулярным в точке x*, если

$\text{Im}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{ℝ}^n$ (5)

или, другими словами,

$\text{rank}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}n\mathrm{,}$

где $F^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ матрица Якоби отображения F в точке x*. Отображение называется нерегулярным (вырожденным), если (5) не выполнено. Пусть

${ℝ}^n\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1+Y_2\mathrm{,}$ $Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Im}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $Y_2\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1^{\perp }$. (6)

Определим отображения

$F_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}:{ℝ}^n\to Y_i\mathrm{,}{F}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_{Y_i}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$

где $P_{Y_i}:{ℝ}^n\to Y_i$ $–$ ортопроектор на $Y_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$. Тогда F может быть представлено как $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{F}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+F_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ или $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{F}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\rm T}}$.

Определение 1. Линейный оператор ${\Psi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{,}{Y}_1\oplus Y_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $h\in {ℝ}^n$, $h\ne 0$, определенный как

${\Psi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{{F^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

называется 2-фактор оператором. (Или 2-фактор оператором, порожденным вектором $h$.)

Рассмотрим нелинейный оператор ${\Psi }_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2$ такой, что

${\Psi }_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{F^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+{{F^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{.}$

Заметим, что ${\Psi }_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\Psi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Определение 2. 2-ядро оператора ${\Psi }_2$ обозначим

$H_2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Ker}{}^2{\Psi }_2\mathrm{,}$

где $\text{Ker}{}^2{\Psi }_2\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}h\in {ℝ}^n\mathrm{<mo>|</mo>}{F^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+{{F^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Отметим, что $\text{Ker}{}^2{\Psi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\cap }_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^2}\text{Ker}{}^k{F}_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$,

где $\text{Ker}{}^k{F}_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in {ℝ}^n\mathrm{<mo>|</mo>}{F}_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\xi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^k{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $k$ – ядро оператора $F_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot {\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^k$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$.

Определение 3. Отображение F называется 2-регулярным в точке x* на h, если $\mathrm{Im}{\Psi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{ℝ}^n$.

Определение 4. Отображение F называется 2-регулярным в точке x*, если оно 2-регулярно на каждом $h\in H_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash {\mathrm{<mo>\{</mo>0}}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ или $H_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>0}}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

2. 2-ФАКТОР МЕТОД РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Для решения системы (4) воспользуемся 2-фактор методом, предложенным в [1]:

$x_{k+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_k-{\mathrm{<mo>\{</mo>}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+P_{Y_2}{F}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo>\}</mo>}}^{-1}\left(F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+P_{Y_2}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\right)\mathrm{,}$ (7)

где вектор h, $‖h‖\mathrm{<mo>=</mo>1}$ выбирается таким образом, чтобы матрица $\left(F^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+P_{Y_2}{F}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\right)$ была обратима. Фактически схема (7) $–$ это схема метода Ньютона для решения системы

$\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+P_{Y_2}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n\mathrm{.}$ (8)

Следующий результат устанавливает факт сходимости 2-фактор метода (7).

Теорема 1. Пусть $F\in C^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и x* $–$ решение (4). Предположим, что существует вектор $h\in {ℝ}^n$, $‖h‖\mathrm{<mo>=</mo>1}$ такой, что $F$ $2$ -регулярно в точке $x^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ на элементе h, т.е. матрица $F^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+P_{Y_2}{F^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h$ не вырождена.

Тогда существует окрестность N(x*) точки x* такая, что для $x_0\in N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$, генерируемая 2-фактор методом (7), сходится к x*, причем

$‖x_{k+1}-x^{\ast }‖\le C{‖x_k-x^{\ast }‖}^2\mathrm{,}$ (9)

где C > 0 $–$ независимая константа.

Доказательство. Поскольку схема (7) $–$ это метод Ньютона, примененный к системе (8), и матрица ${\Phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не вырождена из условия 2-регулярности F в точке x* на векторе h, причем $\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}}_n$, то схему (7) можно переписать в виде

$x_{k+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_k-{\Phi }^{\prime }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (10)

для которой будет верна оценка (9). Теорема доказана.

Рассмотрим другую версию 2-фактор метода для решения системы (4). Поскольку

$P_{Y_2}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n$ (11)

для любого $h\in {ℝ}^n$, то можем рассматривать уравнение

$P_{Y_2}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n\mathrm{.}$ (12)

Причем, если на элементе h существует ${\left(P_{Y_2}{F}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\right)}^{-1}$, то точка x* будет локально единственным решением уравнения (12). Поэтому для решения (4) можно рассмотреть схему

$x_{k+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_k-{\left(P_{Y_2}{F}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\right)}^{-1}{P}_{Y_2}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}$ (13)

для которой будет справедлива следующая теорема сходимости.

Теорема 2. Пусть $F\in C^3$, x* $–$ решение (4). Предположим, что существует вектор $h$, $‖h‖\mathrm{<mo>=</mo>1}$ такой, что матрица $P_{Y_2}{F}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h$ не вырождена.

Тогда для $x_0\in N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ последовательность (13) сходится к x*, причем

$‖x_{k+1}-x^{\ast }‖\le C{‖x_k-x^{\ast }‖}^2\mathrm{,}$

где $C\mathrm{<mo>></mo>0}$ $–$ независимая константа.

Доказательство<. Следует из доказательства сходимости классического метода Ньютона. Отметим, что в схеме (13) оператор $P_{Y_2}$ определен в точке x*. Способы его построения по текущей точке x_k из достаточно малой окрестности N(x*) описаны в [7], и мы не будем здесь останавливаться на этом моменте.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ. ТОЧНАЯ ФОРМУЛА

Пусть теперь отображение F определяется как

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2+Mx+N\mathrm{,}$ (14)

где M $–$ матрица размерности n×n, $N$ $–$ вектор из ${ℝ}^n$ и $B:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ $–$ отображение, определенное формулой (2). Рассмотрим, как 2-фактор метод (13) может быть применен для поиска решения уравнения (14).

Более того, покажем, что 2-фактор метод (13) сходится за одну итерацию к решению x* уравнения (14), и дадим точную формулу для решения x* уравнения (14). Для уравнения (14) предположения теоремы 2 сводятся к существованию вектора $h\ne 0_n$ такого, что

1)

$P_{Y_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h{\mathrm{<mo>=</mo>0}}_n,$ (15)

2)

$P_{Y_2}2Bh\text{\hspace{0.33em}не\hspace{0.33em}вырождена\hspace{0.05em}}\mathrm{.}$ (16)

При этом соотношение (15) выполнено для любого $h\in {ℝ}^n$, так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\in \text{I}m{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $P_{Y_2}$ $–$ ортопроектор на ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{Im}{F}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\perp }$. Проблема состоит в построении оператора $P_{Y_2}$, который, вообще говоря, определяется неизвестной точкой x*. Однако при $x_0\in U_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ε>0 достаточно малое, мы можем восстановить оператор $P_{Y_2}$, используя только информацию о точке x₀. Полное описание этого факта и саму процедуру построения оператора $P_{Y_2}$ можно найти, например, в [7].

Тогда первая итерация 2-фактор метода дает

$x_1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}{P}_{Y_2}Bh\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2}{P}_{Y_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B{x}_0+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (17)

что эквивалентно $2P_{Y_2}Bh\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-x_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}{P}_{Y_2}B{x}_0+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}h$. Учитывая, что $2P_{Y_2}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}h\mathrm{,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>2}{P}_{Y_2}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{x}_0\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, получаем

$x_1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\left[P_{Y_2}Bh\right]}^{-1}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Mh\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (18)

где вектор h удовлетворяет условию (16).

Отметим, что множество векторов $h\in {ℝ}^n$, для которых выполнено условие (16), является массивным множеством (см. [3]), и поэтому мы не будем в данной статье останавливаться на способах построения векторов h, удовлетворяющих (16).

Пример 1. Рассмотрим отображение $F:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ следующего вида:

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{x}_1^2-x_2^2-2x_1+1\\ x_1{x}_2-x_2\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\mathrm{.}$ (19)

Представим отображение F в форме (14) при

$B\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\end{array}\right)\mathrm{,}M\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\mathrm{,}N\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Уравнение $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ имеет локально единственное решение $x^{\ast }{\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\rm T}}$. В этом примере $Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$, $Y_2\mathrm{<mo>=</mo>}{ℝ}^2$, $P_{Y_1}{\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0<mo\; stretchy="false">]</mo>}}_{2\times 2}$, $P_{Y_2}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}_{2\times 2}$, $h{\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\rm T}}$. Следовательно, применяя формулу (18), получаем

${\tilde{x}}^{\ast }\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{P}_{Y_2}Bh\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Mh\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{,}$

что означает ${\tilde{x}}^{\ast }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}^{\ast }$, и мы получаем точную формулу для решения системы квадратичных уравнений (14).

 

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 21-71-30005).

About the authors

Yu. G. Evtushenko

Federal Research Center “Computer Science and Control” of RAS; Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Author for correspondence.
Email: yuri-evtushenko@yandex.ru
Russian Federation, Vavilova str., 44, Moscow, 119333; Institutskiy per, 1, Dolgoprudnyi, Moscow Region, 141701

A. A. Tret'yakov

Federal Research Center “Computer Science and Control” of RAS; Siedlce University

Email: prof.tretyakov@gmail.com

Faculty of Exact and Natural Sciences

Russian Federation, Vavilova str., 44, Moscow, 119333; Siedlce, 08-110 Poland

References

Supplementary files