Интегральные представления для эллиптических систем второго порядка на плоскости

Abstract

Построена фундаментальная матрица решений эллиптических систем второго порядка с постоянными старшими коэффициентами. С помощью нее получено интегральное представление функций, принадлежащих классу Гельдера в замкнутой области с ляпуновской границей. В случае бесконечной области эти функции подчинены степенной асимптотике на бесконечности. Данное представление применено к исследованию смешанно-контактной краевой задачи для эллиптической системы второго порядка с кусочно-постоянными ставшими коэффициентами. Эта задача редуцирована к системе интегральных уравнений, фредгольмовых в области и сингулярных на ее границе. Библ. 24.

Full Text

1. Постановка смешанно-контактной задачи

В открытом множестве D, ограниченном гладким контуром Γ, для l-вектор-функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{u}_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy,$ рассмотрим эллиптическую систему

 $a_{11}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\left(a_{12}+a_{21}\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+a_{22}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+L^{0}u\mathrm{<mo>=</mo>}f$   (1.1)

с постоянными матричными коэффициентами $a_{ij}\in {ℝ}^{l\times l}$ и подчиненным оператором первого порядка

$L^{0}u\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1\frac{\partial u}{\partial x}+a_2\frac{\partial u}{\partial y}+a_{0}u\mathrm{.}$

Условие эллиптичности состоит в том, что матрицы $a_{11}\mathrm{,}{a}_{22}$ обратимы и характеристический многочлен

 $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\det \left[a_{11}+\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{12}+a_{21}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\zeta }^2{a}_{22}\right]$ (1.2)

не имеет вещественных корней.

Кривую Γ разобьем на два контура ^Γ0 и ^Γ+, предполагая, что D лежит по обе стороны от ^Γ0 и по одну сторону от ^Γ+, при этом ^Γ0 ориентируем произвольно, а ^Γ+ ориентируем так, чтобы множество D оставалось слева. Для краткости D называем (составной) областью, состоящей из некоторого числа связных компонент $D^1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{D}^n,$ при n = 1 говорим о простой области D. Область D предполагается конечной, т.е. она лежит внутри некоторого круга. Случай “бесконечного” множества D, когда оно содержит внешность некоторого круга, рассмотрим ниже в отдельном разделе.

Связные компоненты контуров ^Γ0 и ^Γ+ перенумеруем в виде семейств ${\Gamma }_j^0\mathrm{,}1\le j\le m^0\mathrm{,}$ и ${\Gamma }_j^{+}\mathrm{,}1\le j\le m^{+}\mathrm{,}$ соответственно и положим $m\mathrm{<mo>=</mo>}{m}^{+}+2m^0$. Очевидно, m совпадает с суммарным числом связных компонент контуров $\partial D^s,$ $1\le s\le n.$ Введем “одностороннее” замыкание $\widehat{D}$ области D, рассматривая окрестности точек контура ^Γ0, лежащие слева и справа от него. Непрерывные в $\widehat{D}$ функции по отношению к D являются кусочно-непрерывными. Другими словами, функция $u\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ кусочно-непрерывна в области D, если она непрерывна в замыкании ${\overline{D}}^s$ каждой связной компоненте области D. Поэтому u допускает соответствующие односторонние граничные значения

 $u^{\pm }\in C\left({\Gamma }^0\right)\mathrm{,}{u}^{+}\in C\left({\Gamma }^{+}\right)$ (1.3)

на контурах ^Γ0 и ^Γ+. Класс всех кусочно-непрерывных функций обозначим $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Аналогичный смысл имеет классы $C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дифференцируемых функций, а также соответствующие классы $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ кусочно-гельдеровых функций. Эти обозначения используются также для вектор- или матриц-функций. Для класса кусочно-постоянных функция co значениями в некотором конечномерном пространстве X используем обозначение $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Аналогичный смысл имеет класс X(Γ) для кусочно-постоянных функций на контуре Γ (т.е. постоянных на его компонентах). Например, в этих обозначениях кусочно-постоянные старшие коэффициенты aij уравнения (1.1) принадлежат ${ℝ}^{2\times 2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ В дальнейшем относительно границы Γ составной области D и младших коэффициентов уравнения (1.1) предполагается, что

 $\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }^0\cup {\Gamma }^{+}\in C^{\mathrm{1,}\nu }\mathrm{,}{a}_j\in C^{\mu }\widehat{\left(D\right)}\mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}\mu \mathrm{<mo><</mo>}\nu \mathrm{<mo><</mo>1.}$ (1.4)

Обозначим $e\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_1+i{e}_2$ комплекснозначную функцию на Γ, который геометрически в точке t контура представляет собой единичный касательный вектор, направленный согласно выбранной ориентации контура. Тогда n = –ie в точке t является единичным вектором нормали к Γ, внешним к D в случае $t\in {\Gamma }^{+}.$ Матрицы aij определяют конормальные граничные значения

 $\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_1{\left(a_{11}\frac{\partial u}{\partial x}+a_{12}\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^{+}+n_2{\left(a_{21}\frac{\partial u}{\partial x}+a_{22}\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^{+}$ (1.5)

на контуре ^Γ+ и аналогичные граничные значения со знаками ± на ^Γ0.

Пусть ^Γ+ разбит на два контура ${\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ и ${\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$, которые составлены, соответственно, из $m_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ и $m_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ простых контуров, так что

 $m^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}+m_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{.}$ (1.6)

Смешанно-контактная задача для системы (1.1) определяется смешанными краевыми условиями

 $u^{+}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1^{+}\mathrm{,}\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{+}\mathrm{,}$ (1.7)

и контактными условиями

 $\left(u^{+}-u^{-}\right){\left|{}_{{\Gamma }^0}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1^0\mathrm{,}\left(\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }-\frac{\partial u^{-}}{\partial \nu }\right)\right|}_{{\Gamma }^0}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^0\mathrm{,}$ (1.8)

В предположении (1.4) решение этой задачи ищется в классе $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

При ${\Gamma }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ и ${\Gamma }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ имеем, соответственно, первую и вторую контактные задачи. Если контур ^Γ0 отсутствует и, следовательно, D является простой областью, частными случаями этой задачи служат задача Дирихле

 $u^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}g$ (1.9)

и Неймана

 $\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}$ (1.10)

называемые также первой и второй краевыми задачами.

Применительно к однородной эллиптической системе

 $Lu\equiv a_{11}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\left(a_{12}+a_{21}\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+a_{22}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$    (1.11)

можно ввести понятие сопряженной функции v к ее решениям u с помощью соотношений

 $\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}-\left(a_{21}\frac{\partial u}{\partial x}+a_{22}\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm{,}\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{11}\frac{\partial u}{\partial x}+a_{12}\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{.}$ (1.12)

В силу (1.11) это определение корректно, т.е. форма $dv\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_{x}dx+v_{y}dy$ в каждой простой подобласти Ds замкнута. Очевидно, в этой подобласти функция v определена по u единственным образом с точностью до постоянного вектора $\xi \in {ℝ}^l$ и, вообще говоря, многозначна. При этом

${\displaystyle {\int }_{\partial D^s}}\frac{\partial u^{+}}{\partial {\nu }^s}{d}_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Суммируя это равенство по s и учитывая, что на каждой компоненте контура Γ⁰ определена пара противоположных векторов v^s и v^r, приходим к соотношению

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }^0}}\left(\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }-\frac{\partial u^{-}}{\partial \nu }\right)d_{1}t+{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }^{+}}}\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }{d}_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (1.13)

которое справедливо для любого решения $u\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (1.11). В частности, при ${\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }^{+}$ правая часть второй контактной задачи должна удовлетворять необходимому условию ортогональности

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }^0}}{h}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_{1}t+{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }^{+}}}{h}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (1.14)

С учетом (1.5) и равенства n = –ie из определения (1.12) сопряженной функции следует, что на внешней границе ^Γ+ имеем соотношение

$\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_1\frac{\partial v^{+}}{\partial x}+e_2\frac{\partial v^{+}}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(v^{+}\right)}^{\prime }\mathrm{,}$

где штрих означает производную по параметру длины дуги на контуре. Поэтому краевое условие (1.10) можно переписать в форме $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^{+}{)}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}g$ с вообще говоря многозначной функцией v+, производная которой однозначна.

Аналогичным образом краевые условия (1.7), (1.8) для уравнения (1.11) можно переписать в форме

$u^{+}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1^{+}\mathrm{,}{\left(v^{+}\right)}^{\prime }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(g_2^{+}\right)}^{\prime }\mathrm{,}$

$\left(u^{+}-u^{-}\right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }^0}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1^0\mathrm{,}{\left(v^{+}-v^{-}\right)}^{\prime }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }^0}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(g_2^0\right)}^{\prime }\mathrm{.}$

Остановимся подробнее на задачах Дирихле (1.9) и Неймана (1.10) для однородной системы (1.11) в области D, ограниченной ляпуновским контуром Γ.

В 1948 г. А. В. Бицадзе [1] был построен пример эллиптической системы (1.11) с коэффициентами

 $a_{11}\mathrm{<mo>=</mo>}-a_{22}\mathrm{<mo>=</mo>1,<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{a}_{12}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{21}\mathrm{<mo>=</mo>}\pm \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{,}$ (1.15)

для которой однородная задача Дирихле в единичном круге имеет бесконечное число линейно независимых решений. Позднее А. В. Бицадзе [2] был описан класс эллиптических систем, названных им слабо связанными, для которых задача Дирихле фредгольмова. Этот класс может быть описан следующими образом [3]. С каждой системой (1.11) можно связать такие матрицы $b\mathrm{,}J\in {ℂ}^{l\times l}$, что

$\det \left(\begin{array}{cc}b& \overline{b}\\ bJ& \overline{bJ}\end{array}\right)\ne \mathrm{0,}{a}_{11}b+\left(a_{11}+a_{11}\right)bJ+a_{11}b{J}^2\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

При этом матрица J есть прямая сумма верхне-треугольных клеток Жордана, диагональные элементы которой составляют множество корней характеристического уравнения (1.2) в верхней полуплоскости, а матрица b определена с точностью до умножения справа на обратимую матрицу, коммутирующую с J. Тогда условия (1.16) не зависят от указанного выбора b. В этих обозначениях класс слабо связанных систем описывается условием

 $\det b\ne 0.$ (1.17)

Принадлежность этому классу необходима и достаточна [2, 4] для фредгольмовости задачи (1.9), (1.11). С другой стороны, с точки зрения современной общей эллиптической теории [5] фредгольмовость задачи Дирихле обеспечивается так называемым условием дополнительности. Можно показать [6], что это условие необходимо и достаточно для слабой связанности эллиптической системы.

Работа А. В. Бицадзе [1] стимулировала появление различных классов эллиптических систем, для которых задача Дирихле всегда фредгольмова. Наиболее важным из них является введенное М. И. Вишиком [7] понятие сильной эллиптичности. Оно заключается в положительной определенности для всех $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy\ne 0$ матрицы

 $x^2{a}_{11}+xy\left(a_{12}+a_{21}\right)+y^2{a}_{22}\mathrm{.}$ (1.18)

Можно проверить непосредственно [3], что для этих матриц условие (1.17) выполнено. Примером сильно эллиптической системы служит система (1.11) с коэффициентами

 $a_{11}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{22}\mathrm{<mo>=</mo>1,}{a}_{12}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{21}^{\text{T}}\mathrm{<mo>=</mo>}p\mathrm{,}$ (1.19)

где p — ортогональная матрица, не имеющая вещественных собственных значений. В частности, порядок l системы должен быть обязательно четным. Для этой системы матрицу (1.18) можно записать в записать в виде $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+y{p}^{\text{T}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x+yp\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ так что она положительно определенна.

Еще более узкий класс составляют введенные в [8] так называемые усиленно эллиптические системы. В дополнение к условию эллиптичности он описывается требованием неотрицательной определенности 2l×2l-матрицы

 $a\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\mathrm{,}$ (1.20)

или, что равносильно, условием

 $a_{ji}^{\text{T}}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{ij}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{ij}{\xi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_i\ge 0$ (1.21)

для любых ${\xi }_1\mathrm{,}{\xi }_2\in {ℝ}^l$.

Примером подобной системы служит 2×2-система Ламе плоской анизотропной теории упругости [9] с коэффициентами

 $\begin{array}{ll}{a}_{11}=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1& {\alpha }_6\\ {\alpha }_6& {\alpha }_3\end{array}\right)\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}\hfill & a_{12}=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_6& {\alpha }_4\\ {\alpha }_3& {\alpha }_5\end{array}\right),\hfill \\ \hfill & \hfill \\ a_{21}=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_6& {\alpha }_3\\ {\alpha }_4& {\alpha }_5\end{array}\right),\hfill & a_{22}=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_3& {\alpha }_5\\ {\alpha }_5& {\alpha }_2\end{array}\right).\hfill \end{array}$ (1.22)

Элементы _αj этих коэффициентов, называемые модулями упругости, подчиняются требованию положительной определенности матрицы.

Составленная из коэффициентов 4×4-матрица (1.20) неотрицательно определена. В самом деле, одновременная перестановка ее строк и столбцов с номерами 2 и 4 приводит к матрице, которая получается добавлением к 3×3-матрице (1.23) четвертой строки и столбца $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_6\mathrm{,}{\alpha }_5\mathrm{,}{\alpha }_3\mathrm{,}{\alpha }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и которая, очевидно, неотрицательно определенна.

Если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\xi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ то $a\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}$ и, значит, $\xi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\nu \mathrm{,}-\nu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с некоторым v. Поскольку векторы ${\xi }_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\xi }_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\nu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ линейно зависимы только при $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ отсюда следует, что система (1.11), (1.22) эллиптична и, следовательно, усиленно-эллиптична.

Иначе выглядит критерий фредгольмовости задачи Неймана (1.11), (1.10), изученной в [2, 10, 11]. Его можно сформулировать следующим образом [6, 12]: задача Неймана фредгольмова тогда и только тогда, когда

 $\det c\ne \mathrm{0,}c\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{21}b+a_{22}bJ\mathrm{.}$ (1.24)

В отличие от задачи Дирихле, это требование может быть нарушено даже для усиленно эллиптических систем. Как установлено в [6, 12], любое решение однородной задачи Неймана в конечной области $D$ принадлежит $C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и интеграл

${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^2}\left(a_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)\frac{\partial u}{\partial x_j}d{x}_{1}d{x}_2\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

На основании (1.21) отсюда

$a_{i1}\frac{\partial u}{\partial x}+a_{i2}\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>0,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

или, что равносильно, сопряженная функция v к решению u, определяемая соотношениями (1.12), постоянна. Такие решения системы (1.11) назовем вырожденными.

Например, для системы (1.11), (1.19) пространство вырожденных решений содержит решения эллиптической системы первого порядка

$\frac{\partial u}{\partial x}+p\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>0}$

и, следовательно, бесконечномерно. В частности, для этой системы определитель матрицы (1.24) равен нулю.

Частным случаем вырожденных решений служат многочлены первой степени $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\xi }_0+x{\xi }_1+y{\xi }_2,$ коэффициенты ${\xi }_1\mathrm{,}{\xi }_2\in {ℝ}^l$ которых удовлетворяют системе

$a_{i1}{\xi }_1+a_{i2}{\xi }_2\mathrm{<mo>=</mo>0,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Многочлены этого вида назовем тривиальными решениями системы (1.1).

Как установлено в [13, ] (теорема 5]), для усиленно эллиптической системы условие (1.24) выполнено тогда и только тогда, когда

 $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{11}^{-1}{a}_{12}{a}_{22}^{-1}{a}_{21}\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{22}^{-1}{a}_{21}{a}_{11}^{-1}{a}_{12}\xi \Rightarrow \xi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$   (1.25)

и при выполнении этого условия любое ее вырожденное решение является тривиальным. Кроме того, условие (1.24) заведомо выполнено в случае, когда ранг матрицы (1.20) не меньше 2l – 1.

Как было отмечено выше, система Ламе (1.11), (1.22) усиленно эллиптична. Нетрудно убедиться, что она также обладает и свойством (1.25). В самом деле, матрица $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\det \alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }^{-1}$, присоединенная к матрице (1.23), также положительно определена. В явном виде

$\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_1& {\beta }_4& {\beta }_6\\ {\beta }_4& {\beta }_2& {\beta }_5\\ {\beta }_6& {\beta }_5& {\beta }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\begin{array}{cc}{\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_2{\alpha }_3-{\alpha }_5^2& {\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_1{\alpha }_3-{\alpha }_6^2\mathrm{,}\\ {\beta }_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_1{\alpha }_2-{\alpha }_4^2& {\beta }_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_5{\alpha }_6-{\alpha }_3{\alpha }_4\mathrm{,}\\ {\beta }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_4{\alpha }_6-{\alpha }_1{\alpha }_5\mathrm{,}& {\beta }_6\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_4{\alpha }_5-{\alpha }_2{\alpha }_6\mathrm{.}\end{array}$

В терминах элементов этой матрицы

$a_{11}^{-1}{a}_{12}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\beta }_2}\left(\begin{array}{cc}0& -{\beta }_4\\ {\beta }_2& -{\beta }_6\end{array}\right)\mathrm{,}{a}_{22}^{-1}{a}_{21}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\beta }_1}\left(\begin{array}{cc}{\beta }_6& {\beta }_1\\ -{\beta }_4& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Поэтому если $\xi \in {ℝ}^2$ удовлетворяет системе в левой части (1.25), то $\delta {\xi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\delta {\xi }_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$ с множителем $\delta \mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_1{\beta }_2-{\beta }_4^2,$ который в силу положительной определенности матрицы β положителен.

2. Представление решений

Рассмотрим эллиптическую систему (1.11) в области D, ограниченной ляпуновским контуром Γ. Классический метод исследования задач Дирихле и Неймана для этой системы основан [2] на представлении ее общего решения через набор аналитических функций и последующим использованием интегралов типа Коши. К сожалению, наличие в этом представлении производных аналитических функций приводит к определенным затруднениям. С другой стороны, это представление существенно упрощается, если вместо аналитических функций использовать решения эллиптической системы первого порядка

 $\frac{\partial \varphi }{\partial y}-J\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (2.1)

которая при J = i переходит в классическую систему Коши–Римана.

Для тёплицевой матрицы J решения этой системы отвечают аналитическим функциям от гиперкомплексного аргумента, изученным в 1953 г. А. Дуглисом [14]. В общем случае они были подробно изучены в [15]. По этой причине решения системы (2.1) называем J-аналитическими, или функциями, аналитическими по Дуглису. Принятый термин мотивируется, тем, что для функций класса C¹ система (2.1) равносильна существованию в каждой точке z обобщенной производной

${\varphi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{t\to z}{{\displaystyle \lim }}{\left(t-z\right)}_J^{-1}\left[\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}$

которая совпадает с частной производной по x. Здесь и ниже с комплексным числом $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy$ связывается матрица $z_J\mathrm{<mo>=</mo>}x+yJ$, где $x\mathrm{<mo>=</mo>}x1$ означает скалярную матрицу. Аналогичный смысл имеет и матричный дифференциал $d{z}_J\mathrm{<mo>=</mo>}dx+Jdy$ в криволинейных интегралах.

Напомним, что J представляет собой жорданову матрицу $J\mathrm{<mo>=</mo>}\text{diag}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{J}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с верхне-треугольными клетками Жордана Ji. Если эта матрица имеет единственное собственное значение v, то существует обратимое преобразование $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}E\psi ,$ переводящее аналитические l-вектор-функции ψ комплексной переменной $x+\nu y$ в J-аналитические вектор-функции по формуле

 $\varphi \left(x+iy\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\ge 0}}\frac{y^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}{\left(J-\nu \right)}^k{\psi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x+\nu y\right)\mathrm{.}$ (2.2)

Здесь учтено, что ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J-\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^l\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и суммирование фактически ведется по $0\le k\le l-1$. Обратное преобразование дается аналогичной формулой

$\psi \left(x+\nu y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\ge 0}}\frac{{\left(-y\right)}^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}{\left(J-\nu \right)}^k{\varphi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(x+iy\right)\mathrm{,}{\varphi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^k\varphi }{\partial x^k}\mathrm{.}$

В общем случае в соответствии с блочно-диагональной структурой матрицы J преобразование E определяется поблочно.

Отметим, что если роль ψ играет скалярная функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\nu y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то формулу (2.2) можно рассматривать как значение $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ аналитической функции f от матрицы zJ или, что равносильно, как значение $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ аналитической функции $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\zeta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ от матрицы J. В этом случае матрица-функция $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ коммутирует с J и удовлетворяет системе (2.1). В частности, ее столбцы являются J-аналитическими вектор-функциями.

Связь J-аналитических функций с решениями системы (1.11) описывается следующим образом [6]. В обозначениях (1.16) общее решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (1.11) в односвязной области представимо в виде

 $u\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}b\varphi \mathrm{,}$ (2.3)

где J-аналитическая функция $\varphi$ определяется по u с точностью до постоянного слагаемого однозначно. Более точно, справедливо равенство

$\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>2}\left(b^0\frac{\partial u}{\partial x}+b^1\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cc}{b}^0& b^1\\ {\overline{b}}^0& {\overline{b}}^1\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\begin{array}{cc}b& \overline{b}\\ bJ& \overline{b}\overline{J}\end{array}\right)}^{-1}\mathrm{.}$

При этом для функции v, сопряженной к решению u, имеет место выражение

 $v\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}c\varphi +\xi \mathrm{,}\xi \in {ℝ}^l\mathrm{,}$ (2.4)

с матрицей c, фигурирующей в (1.24).

Существуют и другие теоретико-функциональные подходы (см., например, [16, 17]) к исследованию системы (1.11).

Подстановка преобразования (2.2) в (2.3) приводит к известному представлению А. В. Бицадзе [2] общего представления решений системы (1.11) через аналитические функции. С другой стороны, представление (2.3) существенно проще, и, кроме того, для функций, аналитических по Дуглису, справедливы все основные результаты классической теории аналитических функций, основанные на интеграле Коши [15].

Именно, если функция $\varphi$ аналитична по Дуглису в области D, то она бесконечно дифференцируема в этой области и в окрестности каждой точки $z_0\in D$ раскладывается в ряд Тейлора

$\varphi \left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\left(z-z_0\right)}_J^k\frac{{\varphi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(z_0\right)}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}{\varphi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^k\varphi }{\partial x^k}\mathrm{.}$

Если область D ограничена гладким контуром и $\varphi \in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то, как и в классической теории, имеют место теорема и формула Коши

 ${\displaystyle {\int }_{\Gamma }}d{t}_J{\varphi }^{+}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}{\left(t-z\right)}_J^{-1}d{t}_J{\varphi }^{+}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\varphi \left(z\right)\mathrm{,}& z\in D\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& z\notin \overline{D}\mathrm{,}\end{array}\right.$      (2.5)

где контур Γ ориентирован положительно по отношению к области D.

Если область D многосвязна, то функция $\varphi$ многозначна и при обходе связных компонент границы допускает, вообще говоря, ненулевые приращения, хотя ее производная $\varphi$′ однозначна. Чтобы оставаться в классе однозначных функций, необходимо выделить конечномерное подпространство решений системы (1.11), приводящих к многозначным сопряженным функциям.

Теорема 2.1. Пусть область D ограничена гладким контуром Γ, состоящим из m компонент ${\Gamma }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\Gamma }_m$ и ориентированным положительно по отношению к D.

Тогда существуют такие l × l-матрицы-функции $u_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_{m-1}\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, столбцы которых являются решениями системы (1.11), что любое ее решение $u\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ представимо в виде

 $u\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_1{\xi }_1+\dots +u_{m-1}{\xi }_{m-1}+\text{Re}\left(b\varphi \right)\mathrm{,}{\xi }_j\in {ℝ}^l\mathrm{,}$       (2.6)

где функция $\varphi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ однозначна и J-аналитична в области D, так что

 $\frac{\partial u^{+}}{\partial \nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{m-1}}\frac{\partial u_j^{+}}{\partial \nu }{\xi }_j+{\left[\text{Re}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\prime }\mathrm{.}$ (2.7)

При этом $u=0$ в данном представлении влечет ${\xi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\xi }_{m-1}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $\varphi =\eta \in {ℂ}^l.$

Доказательство. Пусть для определенности контур _Γm является внешним, т.е. охватывает все остальные компоненты (которые называем внутренними контурами). В силу замкнутости формы $dv\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_{x}dx+v_{y}dy$ имеем равенство

${\displaystyle {\int }_{\Gamma }}dv\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

поэтому функция v однозначна тогда и только тогда, когда

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}dv\mathrm{<mo>=</mo>0,}1\le j\le m-1.$ (2.9)

С другой стороны, из первого условия (1.16), очевидного равенства

 $\left(\begin{array}{cc}b& \overline{b}\\ c& \overline{c}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -a_{21}& -a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& \overline{b}\\ bJ& \overline{bJ}\end{array}\right)$ (2.9)

и формул (2.3), (2.4) следует, что функция однозначна тогда и только тогда, когда этим свойством обладает v.

Поэтому с каждой внутренней компонентой _Γj достаточно построить такую 2 × 2-матрицу-функцию $u_j\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ столбцы которых являются решениями системы (1.1), что сопряженные к ним многозначные матрицы vj удовлетворяют условию

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_i}}d{v}_j=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}i=j,\\ \mathrm{0,}i\ne j\mathrm{,1}\le i,j\le m-1.\end{array}\right.$ (2.10)

Пусть точка $z_{j^{\prime }}$ лежит внутри _Γj, $1\le j\le m-1.$ Следуя [15], рассмотрим многозначную матрицу функцию $\ln {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-z_{j^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_J,$ которая понимается как значение аналитической функции $\ln {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-z_{j^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\zeta }$ комплексной переменной ζ в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\zeta >0$ от матрицы J. Как отмечено выше, ее столбцы которой являются J-аналитическими функциями. При обходе точки $z_{j^{\prime }}$ против часовой стрелки матрица-функция $\ln {(z-z_{j^{\prime }})}_J$ получает приращение, равное скалярной матрице $2\pi \text{i}\text{.}$ В силу обратимости матрицы (2.9) существует единственный вектор ${\eta }_j\in {ℂ}^2,$ для которого

$\text{Re}\left[b\frac{{\eta }_j}{2\pi \text{i}}\right]\mathrm{<mo>=</mo>0,}\text{Re}\left[c\frac{{\eta }_j}{2\pi \text{i}}\right]\mathrm{<mo>=</mo>1.}$

Поэтому матрица-функция

$v_j\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left[c\frac{{\eta }_j}{2\pi \text{i}}\ln {\left(z-z_{j^{\prime }}\right)}_J\right]\mathrm{,}$

сопряженная к

$u_j\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left[b\frac{{\eta }_k}{2\pi \text{i}}\ln {\left(z-z_{j^{\prime }}\right)}_J\right]\mathrm{,}$

будет удовлетворять условиям (2.10).

Как и в случае классических аналитических функций, можем ввести обобщенный интеграл типа Коши

 $\left(I\phi \right)\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}{\left(t-z\right)}_J^{-1}d{t}_J\phi \left(t\right)\mathrm{,}z\notin \Gamma \mathrm{,}$ (2.11)

определяющий J-аналитическую функцию $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}I\phi ,$ и соответствующий сингулярный интеграл Коши

 $\left(K\phi \right)\left(t_0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}{\left(t-t_0\right)}_J^{-1}d{t}_J\phi \left(t\right)\mathrm{,}{t}_0\in \Gamma \mathrm{,}$ (2.12)

который понимается в смысле главного значения. Как показано в [18], интеграл типа Коши как линейный оператор I ограничен в пространстве Гёльдера $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и справедлива формула Сохоцкого–Племеля

  $2{\varphi }^{\pm }\mathrm{<mo>=</mo>}\pm \phi +K\phi$ (2.13)

для граничных значений функции $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}I\phi .$ Если дополнительно выполнено условие гладкости $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu }$ контура Γ, то этот оператор ограничен и $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $0<\mu <\nu .$ В частности, отсюда следует ограниченность сингулярного оператора K в пространствах $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Отметим, что в C^1,μ-случае существенно используется [18] формула дифференцирования интегралов (2.5), (2.6).

Обсудим еще связь оператора K с классическим сингулярным оператором Коши S, который на ориентируемом составном контуре $\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_1\cup \dots \cup {\Gamma }_m$ действует вдоль его компонент _Γj по формуле

 $\left(S\phi \right)\left(t_0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}\frac{\phi \left(t\right)dt}{t-t_0}\mathrm{,}{t}_0\in {\Gamma }_j\mathrm{,}1\le j\le m\mathrm{.}$      (2.14)

Лемма 2.1. Пусть $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu },0<\nu <\mathrm{1,}$ и оператор $\overline{S}$ действует по формуле $\overline{S}\phi =\overline{S\overline{\phi }},$ где черта справа означает комплексное сопряжение.

Тогда каждый из операторов $K-S,$ $\overline{S}+S$ компактен в пространствах $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $0<\mu <\nu .$

Хорошо известна теорема Н. И. Мусхелишвили [19] о представлении аналитических функций интегралами типа Коши с вещественной плотностью. Аналог этой теоремы справедлив [20] и для J-аналитических функций. Его удобно объединить вместе с теоремой 2.1.

Теорема 2.2. Пусть область D ограничена гладким контуром $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu },$ состоящим из m компонент ${\Gamma }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\Gamma }_m,$ последняя из которых является внешним контуром.

Тогда любое решение $u\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (1.11) единственным образом представимо в виде

 $u=u_1{\xi }_1+\dots +u_m{\xi }_m+\mathrm{Re}\left(bI\phi \right),{\xi }_j\in {ℝ}^l,$ (2.15)

где $u_m\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Im}b,$ матрицы-функции $u_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_{m-1}\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ фигурируют в теореме 2.2 и вещественная l-вектор-функция $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условиям

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}\phi \left(t\right)d_{1}t=\mathrm{0,}1\le j\le m-\mathrm{1,}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_m}}\left[\left(\mathrm{Re}bJ\right)\phi +\left(\mathrm{Im}bJ\right){\xi }_m\right]d_{1}t=0.$ (2.16)

Доказательство. Аналог теоремы Н. И. Мусхелишвили, о котором шла речь выше, формулируется следующим образом [20]. Любая J-аналитическая в области D функция $\varphi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ единственным образом представима в виде $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}I\phi -i\xi$ с некоторыми $\xi \in {ℝ}^l$ и вещественной l-вектор-функцией $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ удовлетворяющей первым m – 1 условиям (2.16). При этом $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}\eta \in {ℂ}^l$ влечет

$\phi {|}_{{\Gamma }_m}={\xi }^{\prime }\in {ℝ}^l,I\phi ={\xi }^{\prime }.$

Совместно с теоремой 2.1 отсюда следует представление (2.15) с _ξm = ξ, причем u = 0 влечет $\text{Re}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\phi -i\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ Но тогда имеем равенства (2.17), так что с учетом последнего условия (2.16) получим

 $\text{Re}\left[b\left({\xi }^{\prime }-i\xi \right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>0,}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_m}}\text{Re}\left[bJ\left({\xi }^{\prime }-i\xi \right)\right]d_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>0.}$    (2.17)

Таким образом, $\mathrm{Re}[b({\xi }^{\prime }-i\xi )]=\mathrm{Re}[bJ({\xi }^{\prime }-i\xi )]=0$ и на основании (1.16) отсюда $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Для неоднородной системы (1.1) можно построить фундаментальную матрицу решений, позволяющую свести дело к однородной системе (1.11). В случае системы Ламе с коэффициентами (1.22) подобная матрица была описана в [21]. Аналогичные построения можно провести и в общем случае. Несколько отступая от (1.18), введем матричный многочлен

$\sigma \left(z\right)=y^2{a}_{11}-xy\left(a_{12}+a_{21}\right)+x^2{a}_{22},z=x+iy,$

и положим

 $\begin{array}{c}{e}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}{\sigma }^{-1}\left(z\right)d_{1}z\mathrm{,}\\ e_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}{\sigma }^{-1}\left(z\right)\left[xy\left(a_{11}-a_{22}\right)-y^2\left(a_{12}+a_{21}\right)\right]d_{1}z\mathrm{,}\end{array}$ (2.18)

где T означает единичную окружность и d1z есть элемент длины дуги.

Лемма 2.2. Матрица-функция

 $h_0\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^{-1}\left(e^{i\theta }\right)\left[\cos \theta \sin \theta \left(a_{11}-a_{22}\right)e_1+{{\displaystyle \sin }}^2\theta \left(a_{12}+a_{21}\right)e_1+a_{22}{e}_2{a}_{22}^{-1}\right]$ (2.19)

допускает π-периодическую первообразную h(θ).

Доказательство. В обозначениях (2.18) необходимо показать, что

 $\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{h}_0\left(\theta \right)d\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{h}_0\left(\theta \right)d\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\left(e_2+e_1{a}_{33}\right)e_1+e_1{a}_{22}{e}_2{a}_{22}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (2.20)

где для краткости положено $a_{33}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{12}+a_{21}.$ С этой целью рассмотрим блочную матрицу

 $A\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -a_{22}^{-1}{a}_{11}& -a_{22}^{-1}{a}_{33}\end{array}\right)\mathrm{.}$ (2.21)

Соотношение

$\left(\zeta -A\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& \zeta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ \zeta +a_{22}^{-1}{a}_{33}& a_{22}^{-1}{a}_{11}+{\zeta }^2+\zeta a_{22}^{-1}{a}_{33}\end{array}\right)$

показывает, что собственные значения матрицы A совпадают с корнями характеристического многочлена (1.2) и, в частности, не лежат на вещественной оси. Введем матрицу

 $E\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}{\left(x+yA\right)}^{-1}\left(-y+xA\right)d_{1}z\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}{\left(x+yA\right)}^{-1}\left(dx+Ady\right)\mathrm{,}$ (2.22)

где во втором интеграле окружность ориентирована против часовой стрелки. Аналогично [22] убеждаемся, что правую часть этого равенства можно рассматривать как значение h(A) аналитической вне вещественной прямой функции

$h\left(\zeta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\frac{dx+\zeta dy}{x+\zeta y}$

от матрицы A. Поскольку $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\pm i$ в полуплоскости $\pm \text{Im}\zeta \mathrm{<mo>></mo>0,}$ то ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-1.$ Таким образом, матрица E обратима и

                                                                                                E2 = –1. (2.23)

Прямая проверка показывает, что

 ${(x+yA)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^{-1}(z)& 0\\ 0& {\sigma }^{-1}(z)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x{a}_{22}-y{a}_{33}& -y\\ y{a}_{11}& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a_{22}\end{array}\right)$ (2.24)

и, следовательно,

$\begin{array}{c}{\left(x+yA\right)}^{-1}\left(-y+xA\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\sigma }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ {\sigma }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x{a}_{22}-y{a}_{33}\\ y{a}_{11}\end{array}\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-y\\ -x{a}_{11}\end{array}\begin{array}{c}x\\ -y{a}_{22}-x{a}_{33}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\\ =\left(\begin{array}{c}{\sigma }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ {\sigma }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}xy\left(a_{11}-a_{22}\right)+y^2{a}_{33}\\ -\left(x^2+y^2\right)a_{11}\end{array}\begin{array}{c}\left(x^2+y^2\right)a_{22}\\ xy\left(a_{11}-a_{22}\right)-x^2{a}_{33}\end{array}\right)\mathrm{.}\end{array}$

Поэтому в блочном 2 × 2-виде матрица E определяется равенством

$E\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{e}_2& e_1\\ -e_1{a}_{11}& e_2\end{array}\right)\mathrm{,}$

где в дополнение к (2.18) положено

$e_{2^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}{\sigma }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}xy\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{11}-a_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+y^2{a}_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}{d}_{1}z\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_2+e_1{a}_{33}\mathrm{.}$

С учетом (2.23) отсюда ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{E}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{12}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}_2+e_1{a}_{33}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_1{a}_{22}+e_1{a}_{22}{e}_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ что доказывает (2.25).

В обозначениях леммы 2.2 положим

 $\omega \left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\ln \left|z\right|\right)e_1+h\left(\arg z\right).$ (2.25)

Теорема 2.3. Пусть область D ограничена контуром $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu }.$

Тогда оператор

$\left(Tf\right)\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}\omega \left(\zeta -z\right)f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}z\in D\mathrm{,}$

ограничен $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $0<\mu <\nu ,$ и служит правым обратным к оператору L в (1.11), т.е. функция $u\mathrm{<mo>=</mo>}Tf$ удовлетворяет уравнению $Lu\mathrm{<mo>=</mo>}f$ в области D.

Теорема означает, в частности, что с точностью до постоянного множителя ω представляет собой фундаментальную матрицу решений системы (1.1).

Доказательство. Исходя из матрицы (2.21), удобно с каждым комплексным числом $z\mathrm{<mo>=</mo>}x+iy$ связать матрицу $z_A\mathrm{<mo>=</mo>}x1+yA,$ которая при $z\ne 0$ обратима. Рассмотрим интеграл

 $U\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}{\left(\zeta -z\right)}_A^{-1}\phi \left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}z\in ℂ\mathrm{,}$ (2.27)

с векторной плотностью $\phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_1\mathrm{,}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Как установлено в [18] (см. лемму 3.5.2), эта функция непрерывно дифференцируема в области D и ее производные вычисляются по формулам

$\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_1\phi \left(z\right)-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}}{\left(\zeta -z\right)}_A^{-2}\phi \left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}$

$\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_2\phi \left(z\right)-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}}A{\left(\zeta -z\right)}_A^{-2}\phi \left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}$

с матричными коэффициентами

${\alpha }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}x{\left(x+yA\right)}^{-1}{d}_{1}z\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}y{\left(x+yA\right)}^{-1}{d}_{1}z\mathrm{,}$

и двумерными сингулярными интегралами.

Таким образом, функция U удовлетворяет уравнению

$\frac{\partial U}{\partial y}-A\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}-E\phi$

с матрицей $E\mathrm{<mo>=</mo>}-{\alpha }_2+{\alpha }_{1}A,$ фигурирующей в (2.22).

Выберем теперь плотность $\phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_1\mathrm{,}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ интеграла (2.27) в форме

 $\phi \mathrm{<mo>=</mo>}E\tilde{\phi }\mathrm{<mo>;</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\mathrm{0,}{a}_{22}^{-1}f\right)\mathrm{.}$ (2.28)

Тогда с учетом (2.23)

$\frac{\partial U}{\partial y}-A\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{.}$

Полагая $U\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_1\mathrm{,}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ в обозначениях (2.21) это уравнение можем записать в форме системы

 $\frac{\partial u_1}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial x}=\mathrm{0,}{a}_{22}\frac{\partial u_2}{\partial y}+a_{11}\frac{\partial u_1}{\partial x}+a_{33}\frac{\partial u_2}{\partial x}=f.$ (2.29)

В силу (2.22), (2.28) вектор $\phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}_{1}f\mathrm{,}{e}_2{a}_{22}^{-1}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Следовательно, вектор U имеет своими компонентами

$u_k\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}}\left\{{\left[{\left(\zeta -z\right)}_A^{-1}\right]}_{k1}{e}_1+{\left[{\left(\zeta -z\right)}_A^{-1}\right]}_{k2}{e}_2{a}_{22}^{-1}\right\}f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Расписывая элементы матрицы (2.24), в соответствии с (2.18) отсюда приходим к выражениям

$u_k\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}}{\omega }_k\left(\zeta -z\right)f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$

с ядрами

${\omega }_1\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^{-1}\left(z\right)\left[x{a}_{22}{e}_1-y\left(a_{33}{e}_1+a_{22}{e}_2{a}_{22}^{-1}\right)\right]\mathrm{,}{\omega }_2\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^{-1}\left(z\right)\left(x{a}_{22}{e}_2{a}_{22}^{-1}+y{a}_{11}{e}_1\right)\mathrm{.}$

Первое равенство (2.30) показывает, что форма $u_{1}dx+u_{2}dy$ замкнута в области D и, следовательно, в односвязной подобласти $D_0\subseteq D$ существует функция $u\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D-\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ для которой

$\frac{\partial u}{\partial x}=u_1,\frac{\partial u}{\partial y}=u_2.$

В частности, второе равенство (2.29) означает, что u является решением уравнения Lu = 0 в области D0.

Таким образом, для любых точек $z_0\mathrm{,}{z}_1\in D_0$ разность $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можем записать в форме криволинейного интеграла

${\displaystyle {\int }_{z_0}^{z_1}}{u}_1\left(z\right)dx+u_2\left(z\right)dy\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}f\left(\zeta \right)d_2\zeta {\displaystyle {\int }_{z_0}^{z_1}}{\omega }_1\left(\zeta -z\right)dx+{\omega }_2\left(\zeta -z\right)dy\mathrm{.}$

В полярных координатах $z\mathrm{<mo>=</mo>}r{e}^{i\theta }$ имеем:

${\omega }_{1}dx+{\omega }_{2}dy\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x{\omega }_1+y{\omega }_2\right)\frac{dr}{r}+\left(-y{\omega }_1+x{\omega }_2\right)d\theta \mathrm{.}$

Прямая проверка показывает, что

$x{\omega }_1\left(z\right)+y{\omega }_2\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_1\mathrm{,}-y{\omega }_1\left(z\right)+x{\omega }_2\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_0\left(\theta \right)$

с π-периодической функцией h0(θ) из (2.19). Поэтому форма ${\omega }_{1}dx+{\omega }_{2}dy$ точна и в обозначениях (2.25) совпадает с dω. Следовательно,

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta -z_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta -z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}{d}_2\zeta \mathrm{,}$

так что функция u совпадает с Tf и служит решением уравнения Lu = f во всей области D.

Таким образом,

$\frac{\partial \left(Tf\right)}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{1}f\mathrm{,}\frac{\partial \left(Tf\right)}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_{2}f$

с операторами

$\left(T_{j}f\right)\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_D}{\omega }_j\left(\zeta -z\right)f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}z\in D\mathrm{.}$

К операторам Tj можно применить теорему 3.5.2 из [18], согласно которой при $0<\mu <\nu$ они ограничены $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Поэтому оператор T ограничен $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ что завершает доказательство теоремы.

3. Фредгольмовость смешанно-контактной задачи

Обратимся к смешанно-контактной задаче для общего уравнения (1.1) в составной области $D\mathrm{<mo>=</mo>}{D}^1\cup \dots \cup D^n,$ решение которой в обозначениях (1.11) ищется в классе

 $C_L^{\mathrm{1,}\mu }\left(\widehat{D}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u\in C^{\mathrm{1,}\mu }\widehat{\left(D\right)}\cap C^2\left(D\right)\mathrm{,}Lu\in C^{\mu }\left(\widehat{D}\right)\right\}\mathrm{.}$ (3.1)

Соответственно, правая часть уравнения (1.1) и граничные данные задачи берутся в классах $f\in C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $g_1^0\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $g_1^{+}\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $h^0\in C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $h^{+}\in C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

С помощью теорем 2.2, 2.3 смешанно-контактную задачу редуцируем к эквивалентной системе интегральных уравнений, фредгольмовых в области и сингулярных на ее границе. При определенных условиях эта система принадлежит к так называемому нормальному типу, что приводит к фредгольмовости смешанно-контактной задачи. Отметим, что применительно к уравнению (1.11) этот подход (в рамках общей схемы для однородных эллиптических уравнений и систем произвольного порядка с постоянными и только старшими коэффициентами) был реализован в [23].

Теорема 3.1. Пусть в дополнение к (1.4) выполнены условия

 $\det d^0\ne 0\text{íà}{\Gamma }^0\mathrm{,}\det d^{+}\ne 0\text{íà}{\Gamma }^{+}\mathrm{,}$ (3.2)

где кусочно-постоянные матрицы $b\mathrm{,}c\in R^{l\times l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ фигурируют в (2.3), (2.4) и

$d^0\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{b}^{+}& {\overline{b}}^{-}\\ c^{+}& {\overline{c}}^{-}\end{array}\right)\mathrm{,}{d}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{c}{b}^{+}\text{íà}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{,}\\ c^{+}\text{íà}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{.}\end{array}\right.$

Тогда смешанно-контактная задача (1.7), (1.8) для уравнения (1.1) фредгольмова в классе (3.1) и ее индекс равен нулю.

Доказательство. Удобно сужения кусочно-постоянных функций на компоненту Ds снабжать верхним индексом s. В соответствии с этим теорему 2.3 можем распространить на оператор

 $\left(Tf\right)\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{D^s}}{\omega }^s\left(\zeta -z\right)f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}z\in D^s\mathrm{,}s\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{,}$ (3.3)

который ограничен $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$, $0<\mu <\nu ,$, и служит правым обратным к оператору L в (1.11), т.е. функция $u\mathrm{<mo>=</mo>}Tf$ удовлетворяет уравнению $Lu\mathrm{<mo>=</mo>}f$ в составной области D. В частности, относительно нормы

$\left|u\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{\left|u\right|}_{C^{\mathrm{1,}\mu }}+{\left|Lu\right|}_{C^{\mu }}$

пространство $C_L^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ банахово. Из этих же соображений общее решение $u\in C_L^{\mathrm{1,}\mu }$ уравнения $Lu\mathrm{<mo>=</mo>}\psi$ можно представить в виде

 $u\mathrm{<mo>=</mo>}T\psi +u^0$ (3.4)

с общим решением $u^0\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ однородного уравнения $L{u}^0\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Рассмотрим банахово пространство

 $C^{\mathrm{1,}\mu }\left(\partial \widehat{D}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{C}^{\mathrm{1,}\mu }\left(\partial D^1\right)\times \dots \times C^{\mathrm{1,}\mu }\left(\partial D^n\right)\mathrm{,}$ (3.5)

оно состоит из векторов $\phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\phi }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ компоненты ^$\phi$3 которых являются l-вектор-функциями на контурах $\partial D^s.$ В каждой области D^J операторы I^s и K^s определяются формулами (2.11) и (2.12) по отношению к J^s и контуру $\partial D^s.$ В свою очередь, аналогично (3.3) они определяют операторы I и K на векторах $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Таким образом, при $0<\mu <\nu$ оператор I ограничен $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ а K ограничен в $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Чтобы описать граничные значения ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }$ на ^Γ0 и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ на ^Γ+, c каждым простым контуром ${\Gamma }_j^0\mathrm{,}1\le j\le m^0,$ свяжем две компоненты $D_j^{+}$ и $D_J^{-}$ составной области D, которые граничат по этому контуру и лежат, соответственно, слева и справа от него. Аналогично пусть простая область $D_j^{+}$ граничит с компонентой ${\Gamma }_j^{+}$ контура ^Γ+. В этих обозначениях каждому элементу $\phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\phi }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пространства (3.5) поставим в соответствие тройку функций ${\phi }_{+}\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\phi }_{\pm }^0\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по правилу

 ${\phi }_{+}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_j^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }^s{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_j^{+}}\mathrm{,}\partial D^s\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j^{+}\mathrm{<mo>;</mo>}{\phi }_{\pm }^0{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_j^0}\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }^s{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_j^0}\mathrm{,}{D}^s\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j^{\pm }\mathrm{.}$ (3.6)

Очевидно, полученное отображение $\phi \to \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_{+}\mathrm{,}{\phi }_{+}^0\mathrm{,}{\phi }_{-}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ осуществляет изоморфизм банаховых пространств $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Напомним еще, что S означает классический сингулярный оператор, действующий вдоль связных компонент контуров $\partial D^s.$

Утверждается что для любого $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливы формулы

 $\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\phi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }^0}\mathrm{<mo>=</mo>}\pm {\phi }_{\pm }^0+S{\phi }_{\pm }^0+{\left(N_0\phi \right)}_{\pm }^0\mathrm{,}2{\left(I\phi \right)}^{+}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_{+}+S{\phi }_{+}+{\left(N_0\phi \right)}_{+}\mathrm{,}$ (3.7)

с некоторым оператором N0, компактным в пространстве $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Действительно, на основании формул Сохоцкого–Племеля (2.13) в принятых обозначениях можем записать

$2\left(I\phi \right){\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }\left(t_0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\pm {\phi }_{\pm }^0\left(t_0\right)+\frac{1}{\pi \text{i}}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j^0}}{\left(t-t_0\right)}_{J^s}d{t}_{J^s}{\phi }_{\pm }^0\left(t\right)+\dots \mathrm{,}{t}_0\in {\Gamma }_j^0\mathrm{,}{D}^s\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j^{\pm }\mathrm{,}$

$2{\left(I\phi \right)}^{+}\left(t_0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_{+}\left(t_0\right)+\frac{1}{\pi \text{i}}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j^{+}}}{\left(t-t_0\right)}_{J^s}d{t}_{J^s}{\phi }_{+}\left(t\right)+\dots \mathrm{,}{t}_0\in {\Gamma }_j^{+}\mathrm{,}{D}^s\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j^{+}\mathrm{,}$

где многоточие означает сумму соответствующих интегралов по связным компонентам контура $\partial D^s,$ отличным от ${\Gamma }_j^0$ в первом равенстве и ${\Gamma }_j^{+}$ во втором равенстве. Поскольку эти интегралы формируют очевидные компактные операторы, остается воспользоваться леммой 2.1.

Теорема 2.2, примененная к каждой компоненте D^s, позволяет сформулировать аналогичный результат по отношению ко всей составной области D. Заметим, что $m\mathrm{<mo>=</mo>}{m}^{+}+2m^0$ совпадает с $m^1+\dots m^n,$ где ms означает число компонент контура $\partial D^s.$ В соответствии с этим введем разбиение множества $\mathrm{<mo>\{</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo>\}</mo>}$ на подмножества Os из ms элементов, $1\le s\le n,$ и обозначим далее ${\Gamma }_k\mathrm{,}k\in O^s,$ связные компоненты контура $\partial D^s,$ причем внешнюю его компоненту ^Γs внешнюю компоненту этого контура, охватывающую все остальные, обозначим отдельно как ^Γs. В принятых обозначениях сумму ${\displaystyle \sum }{u}_k{\xi }_k$ в (2.15), отвечающую области Ds, запишем в виде ${\displaystyle {\sum }_{O^s}}{u}_k{\xi }_k,$ полагая $u_k\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Im}{b}^s$ для $k\in O^s\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }^s.$ При этом функции $u_k\mathrm{,}k\in O^s,$ продолжим нулем с D^s на D. Кроме того, положим

$p_k\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left(b^s{J}^s\right)\mathrm{,}{q}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Im}\left(b^s{J}^s\right)\mathrm{<mo>;</mo>}k\in O^s\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }^s\mathrm{,}$

и $p_k\mathrm{<mo>=</mo>1,}{q}_k\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для остальных значений k. Тогда согласно теореме 2.2, примененной к областям D^s, общее решение u0 уравнения Lu0 = 0 единственным образом представимо в том же виде (2.15):

 $u^0\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_1{\xi }_1+\dots +u_m{\xi }_m+\text{Re}\left(bI\phi \right)\mathrm{,}{\xi }_s\in {ℝ}^l\mathrm{,}$          (3.8)

где вещественная l-вектор-функция $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условиям

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_k}}\left[p_k\phi \left(t\right)+q_k{\xi }_k\right]d_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}1\le k\le m\mathrm{.}$ (3.9)

Совместно с (3.4) эти формулы можем рассматривать как представление общего элемента u класса (3.2) через тройку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{,}\phi \mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ составленную из $\psi \in C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\xi \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^m.$

Подстановка (3.4), (3.8) в уравнение (1.1) дает соотношение

 $\psi +L^{0}T\psi +L^0\left[\text{Re}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}bI\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{u}_s{\xi }_s\right]\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{.}$ (3.10)

Точно так же, подставляя это представление в краевые условия (1.7), получим

 ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}+\text{Re}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}bI\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{u}_s^{+}{\xi }_s\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1^{+}\text{íà}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{,}$    (3.11)

и аналогичное выражение

 $\frac{\partial {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\partial \nu }+\frac{\partial }{\partial \nu }\text{Re}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}bI\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}+{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}\frac{\partial u_s^{+}}{\partial \nu }{\xi }_s\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{+}\text{íà}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{.}$ (3.12)

Аналогичным образом перепишутся и контактные условия (1.8) на контуре ^Γ0:

 $\left[{\left(T\psi \right)}^{+}-{\left(T\psi \right)}^{-}\right]+\text{Re}\left[{\left(bI\phi \right)}^{+}-{\left(bI\phi \right)}^{-}\right]+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}\left(u_s^{+}-u_s^{-}\right){\xi }_s\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1^0\mathrm{,}$        (3.13)

 $\frac{\partial }{\partial \nu }\left[{\left(T\psi \right)}^{+}-{\left(T\psi \right)}^{-}\right]+\text{Re}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[{\left(bI\phi \right)}^{+}-{\left(bI\phi \right)}^{-}\right]+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}\frac{\partial }{\partial \nu }\left(u_s^{+}-u_s^{-}\right){\xi }_s\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^0.$     (3.14)

Согласно (2.7) имеем равенство

 $\frac{\partial }{\partial \nu }\text{Re}{\left(bI\phi \right)}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[\text{Re}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}cI\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\right]}^{\prime }\mathrm{,}$ (3.15)

причем функция $\text{Re}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}cI\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ однозначнао на контуре. Другими словами, левая часть этого равенства допускает непрерывно дифференцируемую однозначную первообразную на составном контуре. В частности, из (3.12) следует, что

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_{\mathrm{2,}j}^{+}}}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[{\left(T\psi \right)}^{+}+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{u}_s^{+}{\xi }_s\right]d_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_{\mathrm{2,}j}^{+}}}{h}^{+}\left(t\right)d_{1}t\mathrm{,}1\le j\le m_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{,}$ (3.16a)

где ${\Gamma }_{\mathrm{2,}j}^{+}$ означают связные компоненты контура ${\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}.$

Аналогичным образом из (3.14) следует, что

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j^0}}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[{\left(T\psi \right)}^{+}-{\left(T\psi \right)}^{-}+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}\left(u_s^{+}-u_s^{-}\right){\xi }_s\right]d_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j^0}}{h}^0\left(t\right)d_{1}t\mathrm{,}1\le j\le m^0\mathrm{.}$    (3.16б)

Эти равенства составляют дополнительные к (3.9) $m_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}+m^0$ условия ортогональности, которым должны удовлетворять ψ и ξ.

В общем случае не каждая функция $\phi$, заданная и непрерывная на контуре Γ, допускает непрерывно дифференцируемую первообразную. Для существования такой первообразной необходимо и достаточно, чтобы все интегралы от $\phi$ на связных компонентах ${\Gamma }_j\mathrm{,}1\le j\le m,$ контура Γ были равны нулю. Очевидно, этим свойством обладает функция

$\tilde{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}\phi -\frac{1}{s\left({\Gamma }_j\right)}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}\phi \left(t\right)d_{1}t\mathrm{,}{\Gamma }_j\mathrm{,}$ на $\tilde{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}\phi -\frac{1}{s\left({\Gamma }_j\right)}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}\phi \left(t\right)d_{1}t\mathrm{,}{\Gamma }_j\mathrm{,}$

где $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть длина контура _Γj. Обозначим ^$\phi$(–1) первообразную функции $\tilde{\phi },$ которая фиксируется условием

${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}{\phi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(t\right)d_{1}t\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

В результате получаем линейное отображение $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ для которого $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{]}^{\prime }$ отличается от $\phi$ кусочно-постоянным слагаемым.

Важно заметить, что если функция $\phi$ непрерывно дифференцируема на Γ и ее производная представима в виде суммы некоторого конечного числа функций ${\psi }_s\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то $\phi \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_s}{\psi }_s^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\eta$ с некоторым кусочно-постоянным слагаемым η. В соответствии с этим равенство (3.12) перепишется в следующем эквивалентном виде:

 $T_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\psi +\text{Re}{\left(cI\phi \right)}^{+}+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}s}^{+}{\xi }_s\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_2^{+}+{\eta }_jíà{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}j}^{+}\mathrm{,}1\le j\le m_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{,}$     (3.17)

где для краткости положено

$T_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\psi \mathrm{<mo>=</mo>}{\left[\frac{\partial {\left(T\psi \right)}^{+}}{\partial \nu }\right]}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}s}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{\partial u_s^{+}}{\partial \nu }\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{g}_2^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{\partial h^{+}}{\partial \nu }\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Аналогично перепишется и соотношение (3.14) в виде

 $T^0\psi +\text{Re}\left[{\left(cI\phi \right)}^{+}-{\left(cI\phi \right)}^{-}\right]+{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{u}_s^0{\xi }_s\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_2^0+{\eta }_j^0\text{íà}{\Gamma }_j^0\mathrm{,}1\le j\le m^0\mathrm{,}$ (3.18)

где для краткости положено

$T^0\psi \mathrm{<mo>=</mo>}{\left[\frac{\partial }{\partial \nu }\left({\left(T\psi \right)}^{+}-{\left(T\psi \right)}^{-}\right)\right]}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{u}_s^0\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[\frac{\partial }{\partial \nu }\left(u_s^{+}-u_s^{-}\right)\right]}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{g}_2^0\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{\partial h^0}{\partial \nu }\right)}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Заметим, что оператор $T_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}$ ограничен $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ а T0 ограничен $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Соответственно, функции $u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}s}^{+}\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u_s^0\in C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Таким образом, рассматриваемая задача редуцирована к эквивалентной системе уравнений (3.10), (3.11), (3.13) и (3.17), (3.18) относительно набора

 $\begin{array}{c}\left(\psi \mathrm{,}\phi \right)\in X_1\times X_2\mathrm{<mo>=</mo>}{C}^{\mathrm{1,}\mu }\left({\Gamma }^{+}\right)\times {\left[C^{\mathrm{1,}\mu }\left({\Gamma }^0\right)\right]}^2\mathrm{,}\\ \left(\xi \mathrm{,}\eta \right)\in Y_1\times Y_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({ℝ}^l\right)}^m\times {\left({ℝ}^l\right)}^{m_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{,}\end{array}$ (3.19)

где для краткости $m_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}+m^0.$ При этом должны выполняться дополнительные условия (3.9), (3.16).

Запишем указанную систему в кратком операторном виде

 $N_{11}\psi +N_{12}\phi +P_{11}\xi \mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{,}{N}_{21}\psi +N_{22}\phi +P_{21}\xi +P_{22}\eta \mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{,}$ (3.20)

где $g\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}^{+}\mathrm{,}{g}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $g^0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ В силу (7.7) оператор N₂₂, рассматриваемый в пространстве X₂, представим в виде

 $N_{22}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{diag}\left(M^{+}\mathrm{,}{M}^0\right)+N_0\mathrm{,}$ (3.21)

где оператор N0 компактен, а операторы M+ и M0 действуют по правилу

$2M^{+}{\phi }_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left[d^{+}\left(\left(1+S\right){\phi }_{+}\right)\right]\mathrm{,}{\phi }_{+}\in X_1\mathrm{,}$

$\begin{array}{c}2{\left(M^0{\phi }^0\right)}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left[b^{+}\left(\left(1+S\right){\phi }_{+}^0\right)+b^{-}\left(\left(1-S\right){\phi }_{-}^0\right)\right]\mathrm{,}\\ 2{\left(M^0{\phi }^0\right)}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left[c^{+}\left(\left(1+S\right){\phi }_{+}^0\right)+c^{-}\left(\left(1-S\right){\phi }_{-}^0\right)\right]\mathrm{,}\end{array}$

где ${\phi }^0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_{+}^0\mathrm{,}{\phi }_{-}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in X_2.$ Поскольку функция ${\phi }_{-}^0$ вещественна, имеем очевидное соотношение

$\text{Re}\left[b^{-}\left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_{-}^0\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left[\overline{b^{-}}\left(\left(1-\overline{S}\right){\phi }_{-}^0\right)\right]$

и аналогичное соотношение справедливо по отношению к матрице c. На основании леммы 2.1 отсюда

$2M^0{\phi }^0\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}{d}^0\left({\phi }^0+S{\phi }^0\right)+2K^0{\phi }^0\mathrm{,}$

где оператор K⁰ компактен в пространстве ${\left[C^{\mathrm{1,}\mu }\left({\Gamma }^{+}\right)\right]}^2.$ В силу (3.2) к операторам M⁺ и M⁰ можем применить результаты классической теории [19] сингулярных интегральных уравнений, согласно которой эти операторы фредгольмовы и их индексы равны нулю. Поэтому с учетом (3.21) оператор N₂₂ обладает этим же свойством.

Явные выражения операторов N11, N12 и N21 не приводим, отметим только, что $N_{11}\sim \mathrm{1,}$ $N_{12}\sim \mathrm{0,}$ где запись $N_1\sim N_2$ означает, что оператор $N_1-N_2$ компактен. Таким образом,

$N~\left(\begin{array}{cc}1& N_{12}\\ 0& N_{22}\end{array}\right),$

так что на основании общих свойств фредгольмовых операторов [24] отсюда заключаем, что оператор N фредгольмов и его индекс равен нулю.

Что касается конечномерных операторов Pij, то в обозначениях (3.19) они действуют $P_{ij}\mathrm{<mo>:</mo>}{Y}_j\to X_i.$ Точно так же дополнительные условия (3.9), (3.16) можно записать в операторном виде

 $Q_{11}\phi +Q_{12}\xi \mathrm{<mo>=</mo>0,}{Q}_{21}\psi +Q_{22}\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{\eta },$ (3.22)

где $Q_{11}\mathrm{<mo>:</mo>}{X}_2\to Y_1\mathrm{,}{Q}_{12}\mathrm{<mo>:</mo>}{Y}_1\to Y_1,$ $Q_{21}\mathrm{<mo>:</mo>}{X}_1\to Y_2\mathrm{,}{Q}_{22}\mathrm{<mo>:</mo>}{Y}_1\to Y_2$ и $\tilde{\eta }\in Y_2$ представляет собой значение некоторого линейного функционала от $h\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{+}\mathrm{,}{h}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Поэтому совместно (3.20) и (3.22) представляют собой конечномерное расширение оператора N, действующего в $X\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_1\times X_2,$ до оператора N в пространстве $X\times Y,$ $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1\times Y_2.$ Поэтому операторы N и $\tilde{N}$ фредгольмово эквивалентны и их индексы совпадают, что завершает доказательство теоремы 3.1.

Для некоторых усиленно эллиптических систем, т.е. эллиптических систем (1.11), удовлетворяющих (1.21), требование (3.2) теоремы всегда выполнено.

Лемма 3.1. Пусть система (1.11) усиленно-эллиптична и удовлетворяет условию (1.25).

Тогда условие (3.2) теоремы 3.1 выполнено.

Доказательство достаточно провести для каждой компоненты контура ^Γ0, не ограничивая общности можно считать, что $b^{\pm }\mathrm{,}{c}^{\pm }\in {ℝ}^{l\times l}.$ Предположим противное, т.е. $\det d\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ Тогда найдется такой ненулевой вектор $\eta \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }^{+}\mathrm{,}\overline{{\eta }^{-}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℂ}^{2l},$ что

$b^{+}{\eta }^{+}-\overline{b^{-}{\eta }^{-}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}{c}^{+}{\eta }^{+}-\overline{c^{-}{\eta }^{-}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

В частности,

 $\text{Re}\left(b^{+}\frac{{\eta }^{+}}{t+i}-b^{-}\frac{{\eta }^{-}}{t-i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left(c^{+}\frac{{\eta }^{+}}{t+i}-c^{-}\frac{{\eta }^{-}}{t-i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}t\in ℝ\mathrm{.}$ (3.23)

Пусть D⁺ и D^– означают, соответственно, верхнюю и нижнюю полуплоскости, рассмотрим в $D^{\pm }$ эллиптическую систему (1.11) с коэффициентами $a_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{ij}^{\pm }.$ Связь между матрицами $b^{\pm }$ и $c^{\pm }$ осуществляется как в (1.16) и (1.24) по $a_{ij}^{\pm }$ и $J^{\pm }$ По отношению к аналитической в $D\mathrm{<mo>=</mo>}{D}^{+}\cup D^{-}$ аналитической вектор-функции

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}{\eta }^{+}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z+i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}& z\in D^{+}\mathrm{,}\\ {\eta }^{-}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}& z\in D^{-}\mathrm{,}\end{array}\right.$

равенство (3.23) переходит в

 $\text{Re}\left(b^{+}{\psi }^{+}-b^{-}{\psi }^{-}\right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_{ℝ}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}\left(c^{+}{\psi }^0-c^{-}{\psi }^{-}\right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_{ℝ}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (3.24)

Рассмотрим J^±-аналитические функции ${\varphi }^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в области D^±, связанные с ψ^± соотношением (2.2). В этом соотношении предполагается, что матрица J^± имеет единственное собственное значение $\nu ={\nu }^{\pm },\mathrm{Im}\nu >0.$ В общем случае блочно-диагональной матрицы J^± это соотношение нужно понимать поблочно. Очевидно, для $\text{Im}\nu \mathrm{<mo>></mo>0}$ преобразование $x+iy\to x+\nu y$ переводит полуплоскость D^± на себя и оставляет ее граничные точки $x\in ℝ$ неподвижными. При этом ${\varphi }^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Поэтому соотношение (3.7) справедливо и для ${\varphi }^{\pm }.$ Но тогда для функций $u\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Re}b\varphi ,$ удовлетворяющих системе (1.11) в области D^±, и сопряженной к ней функции $v=\mathrm{Re}c\varphi$ имеют место контактные соотношения

$\left(u^{+}-u^{-}\right){|}_{ℝ}=\left(v^{+}-v^{-}\right){|}_{ℝ}=0$

на прямой R.

Пользуясь формулой Грина, обычным образом выводим соотношение

${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^2}\left(a_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)\frac{\partial u}{\partial x_i}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{ℝ}}\left[u^{+}{\left(v^{+}\right)}^{\prime }-u^{-}{\left(v^{-}\right)}^{\prime }\right]ds\mathrm{,}$

интегралы в котором на основании (3.25) равны нулю. В силу (1.21) отсюда следует равенство нулю частных производных функции $u=\mathrm{Re}b\varphi .$ Но тогда J-аналитическая функция $\varphi$ должна быть постоянной, что противоречит ее определению.

Отметим, что существуют эллиптические системы, для которых все три условия (3.2) нарушены. Например, для системы Бицадзе (1.11), (1.15) роль b и c играют матрицы

$b=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \pm i& 0\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& \mp i\end{array}\right),$

каждая из которых вырожденна. С другой стороны, если области D± граничат по контуру ^Γ0, и в этих областях рассматриваются системы (1.15) с разными знаками, то  так что 4 × 4-матрица d0 в (3.2) имеет две одинаковые первые строки и, следовательно, также является вырожденной.

4. Случай неограниченной области

До сих пор составная область D была конечной, т.е. лежала внутри некоторого круга. Пусть эта область бесконечна, т.е. содержит внешность некоторого круга. В этом случае решение смешанно-контактной задачи будем искать в соответствующих весовых классах Гёльдера со степенным поведением на бесконечности.

Введем весовое пространство Гёльдера в неограниченной области D с аналогичным поведением на бесконечности. Именно, исходя из весовой функции ${\rho }_{\lambda }(z)={(1+|z|)}^{\lambda }$ произвольного порядка $\lambda \in ℝ,$ обозначим $C_{\lambda }^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пространство всех функций $\phi \in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ для которых конечна норма

$\left|\phi \right|=\underset{z\in D}{{\displaystyle \sup }}\left|\left({\rho }_{-\lambda }\phi \right)\left(z\right)\right|+\underset{z_1\ne z_2,z_j\in D}{{\displaystyle \sup }}\frac{\left|\left({\rho }_{\mu -\lambda }\phi \right)\left(z_1\right)-\left({\rho }_{\mu -\lambda }\phi \right)\left(z_2\right)\right|}{{\left|z_1-z_2\right|}^{\mu }}.$

Соответствующее пространство $C_{\lambda }^{\mathrm{1,}\mu }(\widehat{D}\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дифференцируемых определяется индуктивно по n и состоит из всех функций $\phi \in C^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ для которых

$\phi \in C_{\lambda }^{n-\mathrm{1,}\mu }\left(\widehat{D}\mathrm{,}\infty \right)\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial y}\in C_{\lambda -1}^{n-\mathrm{1,}\mu }\left(\widehat{D}\mathrm{,}\infty \right)\mathrm{.}$

Эти пространства банаховы и являются частным случаем более общих весовых пространств, подробно изученных в [18]. Полученное семейство $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{C}_{\lambda }^{n\mathrm{,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ монотонно убывает (в смысле вложения банаховых пространств) по параметру μ и возрастает по λ. При этом операция умножения как билинейное отображение ограничена $C_{{\lambda }_1}^{n\mathrm{,}\mu }\times C_{{\lambda }_2}^{n\mathrm{,}\mu }\to C_{{\lambda }_1+{\lambda }_2}^{n\mathrm{,}\mu }.$ При λ = 0 пространство $C_0^{n\mathrm{,}\mu }$ является банаховой алгеброй по умножению. Важно отметить, что при любом ε > 0 вложение

 $C_{\lambda -\epsilon }^{\mathrm{1,}\mu }\left(\widehat{D}\mathrm{,}\infty \right)\subseteq C_{\lambda }^{\mu }\left(\widehat{D}\mathrm{,}\infty \right)$ (4.1)

компактно.

Для бесконечной области D теоремы 2.1–2.3 сохраняют свою силу при некоторых изменениях. Аналог теоремы 2.3 формулируется следующим образом.

Теорема 4.1. Пусть область D бесконечна и ограничена контуром $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu }.$

Тогда при $0<\delta <1$ оператор

 $\left(Tf\right)\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}\left[\omega \left(\zeta -z\right)-\omega \left(\zeta \right)\right]f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}z\in D\mathrm{,}$ (4.2)

ограничен $C_{\delta -2}^{\mu }(\overline{D},\infty )\to C_{\delta }^{\mathrm{2,}\mu }(\overline{D},\infty ),$ $0<\mu <\nu ,$ и служит правым обратным к оператору L в (1.11), т.е. функция $u\mathrm{<mo>=</mo>}Tf$ удовлетворяет уравнению $Lu\mathrm{<mo>=</mo>}f$ в области D.

Доказательство требуется только для первого утверждения. Из выражения (2.25) функции ω видно, что при фиксированном z разность $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta -z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}\zeta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}$ на бесконечности, так что для $f\in C_{\delta -2}^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ интеграл (4.2) имеет смысл. При этом частные производные даются формулами

 $\frac{\partial \left(Tf\right)}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}{\omega }_1\left(\zeta -z\right)f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_D}{\omega }_2\left(\zeta -z\right)f\left(\zeta \right)d_2\zeta \mathrm{,}$ (4.3)

с нечетными однородными степени –1 ядрами

${\omega }_1\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{\partial \omega }{\partial x}\mathrm{,}{\omega }_2\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{\partial \omega }{\partial y}\mathrm{.}$

На основании теоремы 3.11.2 из [18] операторы Tj ограничены $C_{\delta -2}^{\mu }(\overline{D},\infty )\to C_{\delta -1}^{\mu }(\overline{D},\infty )$. Совместно с теоремой 2.10.1 из [18] отсюда заключаем, что оператор T ограничен $C_{\delta -2}^{\mu }(\overline{D},\infty )\to C_{\delta }^{\mu }(\overline{D},\infty ).$ В рассматриваемом случае эта теорема применима, поскольку для $F=\left\{\infty \right\}$ условие конуса в граничной точке $\tau =\infty$ очевидным образом выполнено.

Из теоремы следует, что любая функция $u\in C_{\delta }^{\mathrm{1,}\mu }(\overline{D},\infty )$ единственным образом представима в виде (3.4), где $\psi \in C_{\delta -2}^{\mu }(\overline{D},\infty )$ и $u^0\in C_{\delta }^{\mathrm{1,}\mu }(\overline{D},\infty )$ является решением однородного уравнения Lu = 0. По отношению к этому классу аналогом теоремы 3.2 служит следующий результат.

Теорема 4.2. Пусть область D бесконечна и ограничена гладким контуром $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu }$, состоящим из m компонент ${\Gamma }_1,\dots ,{\Gamma }_m$, и $0<\delta <\mathrm{1,}0<\mu <\nu .$

Тогда существуют такие l × l-матрицы-функции $u_1,\dots ,u_m$ из класса $C_{\delta }^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ столбцы которых удовлетворяют уравнению Lu = 0, что любое решение u этого уравнения в данном классе единственным образом представимо в виде

$u=u_1{\xi }_1+\dots +u_m{\xi }_m+{\xi }_{m+1}+\mathrm{Re}(bI\phi ),{\xi }_j\in {ℝ}^l,$

где вещественная l-вектор-функция $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }(\Gamma )$ удовлетворяет условиям

 ${\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_j}}\phi (t)d_{1}t=\mathrm{0,}1\le j\le m.$ (4.4)

Доказательство основывается на соответствующем аналоге теоремы 3.1 для бесконечной области. Он состоит в том, что любое решение $u\in C_{\delta }^{\mathrm{1,}\mu }(\overline{D},\infty )$ уравнения Lu = 0 единственным образом представимо в виде

 $u=u_1{\xi }_1+\dots +u_m{\xi }_m+{\xi }_{m+1}+\mathrm{Re}\left(b\varphi \right),{\xi }_j\in {ℝ}^l,$ (4.5)

с некоторой J-аналитической функцией $\varphi \in C_{\delta }^{\mathrm{1,}\mu }(\overline{D}),$ которая в окрестности ∞ ведет себя как $O(|z{|}^{-1}).$ Доказательство этого факта осуществляется совершенно аналогично теореме 3.1 с той разницей, что ветвление многозначной сопряженной функции v к решению u системы (1.11) осуществляется вдоль всех компонент ${\Gamma }_1,\dots ,{\Gamma }_m.$ Остается принять во внимание, что согласно [20] функция $\varphi$ в (4.5) единственным образом представима в виде интеграла типа Коши I$\phi$ с вещественной плотностью $\phi \in C^{\mathrm{1,}\mu }(\Gamma ),$ удовлетворяющей условиям (4.4).

Обратимся к смешанно-контактной задаче в составной бесконечной области D. Теорема 4.1 показывает, что ее решение естественно искать в классе

 $C_{L,\delta }^{\mathrm{1,}\mu }\left(\overline{D},\infty \right)=\left\{u\in C_{\delta }^{\mathrm{1,}\mu }\left(\overline{D},\infty \right)\cap C^2\left(D\right),Lu\in C_{\delta -2}^{\mu }\left(\overline{D},\infty \right)\right\},0<\delta <\mathrm{1,}$ (4.6)

На основании теоремы 4.1 относительно соответствующей нормы это пространство банахово.

При этом условия (1.4) здесь заменяются на

$\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\nu };a_1,a_2\in C_{-1-\epsilon }^{\mu }\left(\widehat{D},\infty \right),a_0\in C_{-2-\epsilon }^{\mu }\left(\widehat{D},\infty \right),0<\mu <\nu <\mathrm{1,}$

с некоторым малым ε > 0.

Теорема 4.3. Пусть составная область D бесконечна и в дополнение к (4.7) выполнены условия (3.2).

Тогда смешанно-контактная задача (1.7), (1.8) для уравнения (1.1) фредгольмова в классе (4.6) и ее индекс равен l.

Доказательство с некоторыми незначительными изменениями осуществляется по той же схеме, что и теорема 3.1. Одна из связных компонент $D^1,\dots ,D^n$ составной области D (пусть для определенности Dⁿ) бесконечна, а остальные компоненты D^s конечны. Как и в случае конечной области, исходя из определения (4.2), теорема 4.1 распространяется на составную область. Применяя к конечным областям $D^1,\dots ,D^{n-1}$ теорему 3.2 и к бесконечной области Dⁿ теорему 4.2, общее решение $u^0\in C^{\mathrm{1,}\mu }(\widehat{D},\infty )$ уравнения (1.11) в составной области D представим в виде (3.8), (3.9), где m нужно заменить на m + 1.Как и при доказательстве теоремы 3.1 подстановка представления (3.4), (3.8) в уравнение (1.1) дает соотношение (3.10).

Следует отметить, что аналогично случаю конечной области фигурирующий в этом соотношении оператор L0T компактен в пространстве $C_{\delta -2}^{\mu }(\widehat{D},\infty ).$ В самом деле, его можно записать в виде

$L^{0}T\psi =a_1{T}_1+a_2{T}_2+a_{0}T,$

где интегральные операторы Tj определяются правой частью (4.3). Как отмечено при доказательстве теоремы 4.1, операторы Tj ограничены $C_{\delta -2}^{\mu }\to C_{\delta -1}^{\mu }.$ Поскольку вложения (4.1) компактны, эти операторы Tj компактны $C_{\delta -2}^{\mu }\to C_{\delta -1+\epsilon }^{\mu }$. С учетом (4.7) отсюда следует компактность операторов ajTj в пространстве $C_{\delta -2}^{\mu }.$ Случай оператора a0T рассматривается аналогично.

Дальнейшие рассуждения доказательства теоремы 3.1 проходят без изменений и редуцируют задачу к эквивалентной системе операторных уравнений (3.20), (3.22) с той разницей, что здесь ξ принадлежит пространству ${({ℝ}^l)}^{m+1},$ что дает значение l индекса этой системы.

Отметим в заключение случай, когда роль бесконечной области D играет дополнение к контуру Γ. В этом случае внешний контур ^Γ+ отсутствует и Γ совпадает с ^Γ0. Соответственно имеем чисто контактную задачу с краевыми условиями (1.8), так что в (3.2) остается только первое условие. Это условие всегда выполнено для эллиптической системы с постоянными старшими коэффициентами. Однако, как показывает пример в конце разд. 3, это условие может быть нарушено для систем с кусочно-постоянными коэффициентами.