Задача мультипликативного управления для нелинейной модели реакции–диффузии

Full Text

1. Введение. Постановка краевой задачи

Поиск эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах остается важной прикладной задачей на протяжении многих лет. Значимый вклад в эти исследования вносит качественный анализ решений краевых и экстремальных задач для моделей тепломассопереноса. В первую очередь отметим работы [1–7], посвященные исследованию краевых и экстремальных задач для моделей тепломассопереноса в приближении Буссинеска. Статьи [8–14] по исследованию моделей реакции–диффузии–конвекции с зависимыми от решения младшими коэффициентами занимают промежуточное место между работами в рамках приближения Буссинеска и его обобщением. Здесь же отметим статьи [15–19], в которых исследованы близкие модели сложного теплообмена.

В работах [20–27] исследованы краевые и экстремальные задачи для моделей тепломассопереноса, обобщающих приближение Буссинеска. Можно надеяться, что в рамках моделей с наименьшим числом упрощающих предположений могут быть реализованы более реалистичные механизмы управления. Также отметим статьи [28–31] по исследованию усложненных моделей гидродинамики, учитывающих в т.ч. реологию.

В настоящей статье исследуется задача мультипликативного управления для уравнения реакции–диффузии, в котором коэффициент реакции нелинейно зависит от концентрации вещества, а также от пространственных переменных. Роль мультипликативных управлений играют зависящие от пространственных переменных коэффициенты реакции и массобмена в уравнении и граничном условии модели. Основной акцент делается на качественном анализе свойств решений рассматриваемой экстремальной задачи, обладающей повышенной нелинейностью. При этом отсутствие конвекции не упрощает исследование данной задачи, но позволяет установить его новые свойства.

В ограниченной области $\Omega \subset {ℝ}^3$ с границей G, состоящей из двух частей G_D и G_N, рассматривается следующая краевая задача:

$-div\left(\lambda \right(x)\nabla \phi )+k(\phi ,x)\phi =fв\Omega ,$(1)

$\phi =\psi на{\Gamma }_D,\lambda \left(x\right)(\partial \phi /\partial n+\alpha (x\left)\phi \right)=\chi на{\Gamma }_N.$(2)

Здесь j — концентрация загрязняющего вещества, $\lambda =\lambda \left(x\right)>0$ — коэффициент диффузии, f — объемная плотность внешних источников, $k=k(\phi ,x)$ — коэффициент реакции, где  $x\in \Omega ,$ $\alpha =\alpha (x$ — коэффициент массобмена. Ниже на задачу (1), (2) при заданных функциях $f,\lambda ,k,\alpha ,\chi$ и $\psi$ будем ссылаться как на задачу 1.

Глобальная разрешимость и единственность решения задачи 1 вытекает из результатов [9] для монотонной нелинейности k(j, x)j. Также отметим работу [14], в которой доказана глобальная разрешимость близкой краевой задачи с двумя нелинейностями: k(j, x)j в уравнении и a(j, x)j в граничном условии. Поскольку мы используем операторную конструкцию k, обобщающую зависимость четвертой степени от концентрации j, то это ближе к [9]. В настоящей работе для задачи 1 доказывается разрешимость задачи управления с мультипликативными управлениями l и a и распределенным управление f. При этом требования на гладкость управления l снижены, например, по сравнению с [26] и близкими работами.

При $k\left(\phi \right)=\ae {\phi }^4,$ где $\ae$ — размерный параметр, для задачи управления выводятся системы оптимальности. На основе анализа данных систем для двухпараметрической задачи управления, не использующей регуляризацию, установлено, что управления a и f удовлетворяют свойству релейности, иначе, для них справедлив принцип bang–bang. При работе с управлением a используется принцип максимума для концентрации j, установленный в [13]. Для управления f, применяя подход [19], основанный на результатах [32], устанавливается строгое свойство релейности (см. подробнее в [14; 19]). Отметим, что для модели (1), (2) данный подход применим из-за отсутствия конвекции.

В заключительном разделе с использованием системы оптимальности для двухпараметрической задачи мультипликативного управления выводятся оценки локальной устойчивости оптимальных решений относительно малых возмущений как функционалов качества, так и заданной функциий y.

2. Разрешимость краевой задачи

При анализе краевой задачи и задач управления будем использовать функциональные пространства Соболева H ^S(D), $s\in ℝ.$ Здесь D обозначает область W, либо некоторую подобласть $Q\subset \Omega ,$ либо часть G_D границы G. Через $\parallel \cdot {\parallel }_{s,Q},|\cdot {|}_{s,Q}$ и ${(\cdot ,\cdot )}_{s,Q}$ будем обозначать норму, полунорму и скалярное произведение в H ^S(D). Нормы и скалярные произведения в L²(Q), L²(W) либо в L²(G_N) будем обозначать соответственно через $\parallel \cdot {\parallel }_Q$ и  ${(\cdot ,\cdot )}_Q,$ $\parallel \cdot {\parallel }_{\Omega }$ и $(\cdot ,\cdot )$ либо $\parallel \cdot {\parallel }_{{\Gamma }_N}$ и ${(\cdot ,\cdot )}_{{\Gamma }_N}.$

Введем пространство тестовых функций для концентрации вещества

$\mathcal{T}=\{\phi \in H^1(\Omega ):\phi {|}_{{\Gamma }_D}=0\}$

$L_{+}^p\left(D\right)=\{k\in L^p(D):k\ge 0\},p\ge 3/\mathrm{2,}$ и функциональные множества

$H_{{\lambda }_0}^s\left(\Omega \right)=\{h\in L^{\infty }(\Omega )\cap H^s(\Omega )\cap L_{+}^{\infty }({\Gamma }_N):h\ge {\lambda }_0>0в\Omega \},s>1/\mathrm{2,}$

${\mathcal{H}}_{{\lambda }_0}^r\left(\Omega \right)=\{h\in H^r(\Omega ):h\ge {\lambda }_0>0в\Omega \},r>3/2.$

Предположим, что выполняются следующие условия:

(i) W — ограниченная область в ${ℝ}^3$ с границей $\Gamma \in C^{\mathrm{0,1}},$ состоящей из замыканий двух непересекающихся открытых участков G_D и G_N $\left(\Gamma ={\overline{\Gamma }}_D\cup {\overline{\Gamma }}_N,{\Gamma }_D\cap {\Gamma }_N=\varnothing \right),$ при этом поверхностная мера meas G_D > 0 и граница G_D участка G_D состоит из конечного числа липшицевых кривых или является n-угольником;

(ii) $\lambda \in {\mathcal{H}}_{{\lambda }_0}^s\left(\Omega \right)$, $s>1/2$, $\psi \in H^{1/2}\left({\Gamma }_D\right)$, $\alpha \in L_{+}^2\left({\Gamma }_N\right)$, $\chi \in L^2\left({\Gamma }_N\right)$;

(iii) для любой функции $v\in H^1\left(\Omega \right)$ справедливо вложение $k(v,\cdot )\in L_{+}^p\left(\Omega \right)$ для некоторого $p\ge 3/\mathrm{2,}$ не зависящего от v, и на любом шаре $B_r=\{v\in H^1(\Omega ):\parallel v{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\le r\}$ радиуса r выполняется неравенство

$\parallel k(v_1,\cdot )-k(v_2,\cdot ){\parallel }_{L^p\left(\Omega \right)}\le L\parallel v_1-v_2{\parallel }_{L^6\left(\Omega \right)}\forall v_1,v_2\in B_r,$

где константа L зависит от r, но не зависит от $v_1,v_2\in B_r;$

(iv) нелинейность $k(\phi ,\cdot )\phi$ является монотонной в следующем смысле:

$\left(k\right({\phi }_1,\cdot ){\phi }_1-k({\phi }_2,\cdot ){\phi }_2,{\phi }_1-{\phi }_2)\ge 0$ для всех ${\phi }_1,{\phi }_2\in H^1\left(\Omega \right)$;

(v) функция $k(\phi ,\cdot )$ ограничена в том смысле, что существуют положительные константы A₁, B₁, зависящие от k, такие, что

$\parallel k(\phi ,\cdot ){\parallel }_{L^p\left(\Omega \right)}\le A_1\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }^r+B_1$ для всех $\phi \in H^1\left(\Omega \right)$ при $p\ge 3/2$, $r\ge 0$.

Отметим, что условия (iii)–(v) описывают оператор, действующий из $H^1\left(\Omega \right)$ в $L^p\left(\Omega \right),$ $p\ge 3/\mathrm{2,}$ позволяющий учитывать достаточно произвольную зависимость коэффициента реакции, как от концентрации j, так и от пространственных переменных. Например,

$k={\phi }^4в подобластиQ\subset \Omega иk=k_0\left(x\right)\in L_{+}^{3/2}(\Omega \backslash \overline{Q})в\Omega \backslash \overline{Q}.$

Напомним также, что в силу теоремы вложения Соболева пространство $H^1\left(\Omega \right)$ вкладывается в пространство $L^s\left(\Omega \right)$ непрерывно при $s\le 6$ и компактно при $s<\mathrm{6,}$ и с некоторой константой $C_s$, зависящей от $s$ и W, справедлива оценка

$\parallel \phi {\parallel }_{L^s\left(\Omega \right)}\le C_s\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\forall \phi \in H^1\left(\Omega \right).$ (3)

Пространство $H^{1/2}\left({\Gamma }_N\right)$ вкладывается в пространство $L^q\left({\Gamma }_N\right)$ непрерывно при $q\le 4$ и компактно при $q<4.$ В силу непрерывности оператора следа $\gamma :H^1\left(\Omega \right)\to H^{1/2}\left(\Gamma \right)$ (и его сужения $\gamma {|}_{{\Gamma }_N}$ на ${\Gamma }_N\subset \Gamma )$ с константой ${\tilde{C}}_q,$ зависящей от q и G_N, справедлива оценка

$\parallel \phi {\parallel }_{L^q\left({\Gamma }_N\right)}\le {\tilde{C}}_q\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\forall \phi \in H^1\left(\Omega \right).$ (4)

Справедлива следующая техническая лемма (см. [33]).

Лемма 2.1. При выполнении условий (i), (ii) $k_0\in L_{+}^p\left(\Omega \right),p\ge 3/2$, $\lambda \in H_{{\lambda }_0}^s\left(\Omega \right)$, $s>3/2$, $\chi \in L^2\left({\Gamma }_N\right)$ и $\alpha \in L_{+}^2\left({\Gamma }_N\right)$ существуют положительные константы $C_1,{\delta }_0,{\delta }_1$, ${\gamma }_p$, ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$, зависящие от $\Omega$  или от $\Omega$  и $p$, такие, что имеют место следующие соотношения:

$\left|\right(\lambda \nabla h,\nabla \eta \left)\right|\le C_1\parallel \lambda {\parallel }_{s,\Omega }\parallel h{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\parallel \eta {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega },\left|\right(k_{0}h,\eta \left)\right|\le {\gamma }_p\parallel k_0{\parallel }_{L^p\left(\Omega \right)}\parallel h{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\parallel \eta {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega },$(5)

$\left|{(\chi ,\phi )}_{{\Gamma }_N}\right|\le {\gamma }_1\parallel \chi {\parallel }_{{\Gamma }_N}\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega },\left|{(\lambda \alpha \phi ,\eta )}_{{\Gamma }_N}\right|\le {\gamma }_2\parallel \lambda {\parallel }_{s,\Omega }\parallel \alpha {\parallel }_{{\Gamma }_N}\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\parallel \eta {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\forall \phi ,\eta \in H^1\left(\Omega \right),$ (6)

$(\lambda \nabla h,\nabla h)\ge {\lambda }_{*}\parallel h{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }^2\forall h\in \mathcal{T},{\lambda }_{*}\equiv {\delta }_1{\lambda }_0.$(7)

Из второй оценки в (5) вытекает следующее неравенство для функции $k(\phi ,\cdot ),$ удовлетворяющей условию (iv):

$\left|\right(\left(k\right({\phi }_1,\cdot )-k({\phi }_2,\cdot \left)\right)\phi ,\eta \left)\right|\le {\gamma }_{p}L\parallel {\phi }_1-{\phi }_2{\parallel }_{L^6\left(\Omega \right)}\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\parallel \eta {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\forall \phi ,{\phi }_1,{\phi }_2,\eta \in H^1\left(\Omega \right).$ (8)

Умножим уравнение (1) на $h\in \mathcal{T}$ и проинтегрируем по W, применяя формулу Грина. Учитывая (2), получим

$(\lambda \nabla \phi ,\nabla h)+\left(k\right(\phi ,\cdot )\phi ,h)+{(\lambda \alpha \phi ,h)}_{{\Gamma }_N}=(f,h)+{(\chi ,h)}_{{\Gamma }_N}\forall h\in \mathcal{T},\phi {|}_{{\Gamma }_D}=\psi .$ (9)

Определение 2.1. Функцию $\phi \in H^1\left(\Omega \right)$, удовлетворяющую (9), назовем слабым решением задачи 1.

Для доказательства разрешимости задачи 1 используется следующая лемма (см. [33]).

Лемма 2.2. Пусть выполняются условия (i). Тогда для любой функции $\psi \in H^{1/2}\left({\Gamma }_D\right)$  существует функция ${\phi }_0\in H^1\left(\Omega \right),$  такая, что ${\phi }_0=\psi$  на ${\Gamma }_D,$ и с некоторой константой $C_{\Gamma },$   зависящей от $\Omega$  и ${\Gamma }_D,$  справедлива оценка $\parallel {\phi }_0{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\le C_{\Gamma }\parallel \psi {\parallel }_{1/\mathrm{2,}{\Gamma }_D}$.

Из результатов [9], [14] вытекает следующая теорема.

Теорема 2.1. При выполнении условий (i)–(v) существует единственное слабое решение $\phi \in H^1\left(\Omega \right)$  задачи $1$ , для которого справедлива оценка

$\parallel \phi {\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\le M_{\phi }\equiv C_{*}M+C_{\Gamma }\parallel \psi {\parallel }_{1/\mathrm{2,}{\Gamma }_D},$ (10)

где $C_{\Gamma }$ — константа из леммы 1.2, и

$\begin{array}{c}M\equiv \parallel f{\parallel }_{\Omega }+{\gamma }_1\parallel \chi {\parallel }_{{\Gamma }_N}+C_{\Gamma }\parallel \lambda {\parallel }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\parallel \psi {\parallel }_{1/\mathrm{2,}{\Gamma }_D}+\\ +C_{\Gamma }\left({\gamma }_p\left(A_1{C}_{\Gamma }^r\parallel \psi {\parallel }_{1/\mathrm{2,}{\Gamma }_D}^r+B_1\right)+{\tilde{C}}_4^2\parallel \lambda {\parallel }_{L^{\infty }\left({\Gamma }_N\right)}\parallel \alpha {\parallel }_{{\Gamma }_N}\right)\parallel \psi {\parallel }_{1/\mathrm{2,}{\Gamma }_D}.\end{array}$ (11)

Пусть в дополнение к (i)–(v) выполняется следующее условие:

(vi) ${\psi }_{\min }\le \psi \le {\psi }_{\max }$ п.в. на ${\Gamma }_D$, $f_{\min }\le f\le f_{\max }$ и ${\lambda }_{\min }\le \lambda \le {\lambda }_{\max }$ п.в. в W, ${\alpha }_{\min }\le \alpha \le {\alpha }_{\max }$ и ${\chi }_{\min }\le \chi \le {\chi }_{\max }$ п.в. на ${\Gamma }_N$.

Здесь ${\psi }_{\min }$, ${\psi }_{\max }$, $f_{\min }$, $f_{\max }$, ${\chi }_{\min }$, ${\chi }_{\max }$ — неотрицательные числа, а ${\alpha }_{\min }$, ${\alpha }_{\max }$ и ${\lambda }_{\min }$, ${\lambda }_{\max }$ — положительные числа.

Кроме того, будем считать, что коэффициент реакции k удовлетворяет условию

(vii) $k=k_1\left(\phi \right)$, где $k_1(\cdot ):ℝ\to ℝ$ — непрерывная неотрицательная функция, при этом функциональные уравнения относительно $M_1$ и $m_1$:

$k_1\left(M_1\right)M_1=f_{\max }иk_1\left(m_1\right)m_1=f_{\min },$(12)

имеют хотя бы по одному решению.

Положим

$M=\max \{{\psi }_{\max },{\chi }_{\max }/{\lambda }_{\min }{\alpha }_{\min },M_1\},m=\min \{{\psi }_{\min },{\chi }_{\min }/{\lambda }_{\max }{\alpha }_{\max },m_1\}.$(13)

Справедлива следующая теорема (см. [13]).

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (i)–(vii). Тогда для решения $\phi \in H^1\left(\Omega \right)$  задачи 1 выполняется следующий принцип максимума и минимума:

$m\le \phi \le Mп.в.в\Omega .$(14)

Здесь константы m и M определены в (13), где M₁ — минимальный корень первого уравнения в (12) и ,m₁ — максимальный корень второго уравнения в (12).

Замечание 2.1. Для степенных коэффициентов реакции $k_1\left(\phi \right)={\phi }^2$, $k_2\left(\phi \right)={\phi }^2\left|\phi \right|$ и $k_3\left(\phi \right)={\phi }^4$ из работ [9–11 и 15; 16], образующих монотонные нелинейности $k_i\left(\phi \right)\phi$, $i=\mathrm{1,2,3}$, параметры m₁ и M₁ легко вычисляются.

3. Задача мультипликативного управления

В этом разделе исследуется задача управления для системы (1), (2) с двумя мультипликативными управлениями l, a и распределенным управлением f.

Предположим, что l, a и f могут изменяться в подмножествах K₁, K₂ $K_1,K_2$и K₃ соответственно, которые удовлетворяют следующему условию:

(j) $K_1\subset H_{{\lambda }_0}^s\left(\Omega \right)$, $s\ge 7/6$, $K_2\subset L_{+}^2\left({\Gamma }_N\right)$ и $K_3\subset L^2\left(\Omega \right)$ — непустые выпуклые замкнутые множества.

Пусть в дополнение к (iii)–(v) коэффициент реакции $k(\phi ,\cdot )$ удовлетворяет условию

(viii) для любых $w_1,w_2\in B_r=\{w\in H^1(\Omega ):\parallel w{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\le r\}$ справедлива оценка

$\parallel k(w_1,\cdot )-k(w_2,\cdot ){\parallel }_{L^{6/5}\left(\Omega \right)}\le L_1\parallel w_1-w_2{\parallel }_{L^5\left(\Omega \right)}^r,r>\mathrm{0,}$

где L₁ — константа, зависящая от r, но не зависящая от $w_1,w_2$.

Несложно проверить, что $k\left(\phi \right)={\phi }^4$ удовлетворяет условию (viii) так же, как и условиям (iii)–(v).

Введем функциональное пространство $Y={\mathcal{T}}^{*}\times H^{1/2}\left({\Gamma }_D\right)$, положим $u=(\lambda ,\alpha ,f)$, $K=K_1\times K_2\times K_3$ и введем оператор $F=(F_1,F_2):H^1\left(\Omega \right)\times K\to Y$ по формулам

$⟨F_1(\phi ,u),h⟩=(\lambda \nabla \phi ,\nabla h)+\left(k\right(\phi ,\cdot )\phi ,h)+{(\lambda \alpha \phi ,h)}_{{\Gamma }_N}-(f,h)-{(\chi ,h)}_{{\Gamma }_N}\forall h\in \mathcal{T},$

$F_2\left(\phi \right)=\phi {|}_{{\Gamma }_D}-\psi \in H^{1/2}\left({\Gamma }_D\right),$

и перепишем слабую формулировку (9) задачи 1 в виде операторного уравнения $F(\phi ,u)=0$.

Пусть $I:H^1\left(\Omega \right)\to ℝ$ — слабополунепрерывный снизу функционал. Рассмотрим следующую задачу мультипликативного управления:

$\begin{array}{c}J(\phi ,u)\equiv \frac{{\mu }_0}{2}I\left(\phi \right)+\frac{{\mu }_1}{2}\parallel \lambda {\parallel }_{s,\Omega }^2+\frac{{\mu }_2}{2}\parallel \alpha {\parallel }_{{\Gamma }_N}^2+\frac{{\mu }_3}{2}\parallel f{\parallel }_{\Omega }^2\to \inf ,\\ F(\phi ,u)=\mathrm{0,}(\phi ,u)\in H^1\left(\Omega \right)\times K,s\ge 7/6.\end{array}$ (15)

Через

$Z_{ad}=\left\{\right(\phi ,u)\in H^1(\Omega )\times K:F(\phi ,u)=\mathrm{0,}J(\phi ,u)<\infty \}$

обозначим множество допустимых пар для задачи (15).

Пусть в дополнение к (j) выполняются условия:

(jj) множество K₁ ограничено в $L^{\infty }\left(\Omega \right)$ и $L^{\infty }\left({\Gamma }_N\right)$;

(jjj) ${\mu }_0>0$, ${\mu }_i\ge 0$, $i=\mathrm{1,2,3}$, и множество K₁ ограничено по норме $H^s\left(\Omega \right),$$s\ge 7/6$, а множества K₂ и K₃ ограничены в своих нормах или ${\mu }_i>0$, $i=\mathrm{0,1,2,3}$, и функционал I ограничен снизу.

Будем использовать следующие функционалы качества (см. [33]):

$I_1\left(\phi \right)=\parallel \phi -{\phi }^d{\parallel }_Q^2={\int }_Q|\phi -{\phi }^d{|}^{2}dx,I_2(\phi )=\parallel \phi -{\phi }^d{\parallel }_{\mathrm{1,}Q}^2.$ (16)

Здесь функция ${\phi }^d\in L^2\left(Q\right)$ имеет смысл концентрации вещества, измеренной в некоторой подобласти $Q\subset \Omega$.

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (i)–(v) и (j)–(jjj). Пусть $I:X\to ℝ$  — слабополунепрерывный снизу функционал и $Z_{ad}\cancel{=}0$ . Тогда существует хотя бы одно решение $(x,u)\in X\times K$  задачи управления (15).

Доказательство. Пусть $({\phi }_m,u_m)=({\phi }_m,{\lambda }_m,{\alpha }_m,f_m)\in Z_{ad}$ — минимизирующая последовательность, для которой справедливо равенство

$\underset{m\to \infty }{}J({\phi }_m,u_m)=\underset{(\phi ,u)\in Z_{ad}}{}J(\phi ,u)\equiv J^{*}.$

Из условий (jj), (jjj) и теоремы 2.1 следует, что выполняются оценки

$\begin{array}{c}\parallel {\lambda }_m{\parallel }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+\parallel {\lambda }_m{\parallel }_{L^{\infty }\left({\Gamma }_N\right)}+\parallel {\lambda }_m{\parallel }_{s,\Omega }\le c_1,s\ge 7/\mathrm{6,}\\ \parallel {\alpha }_m{\parallel }_{{\Gamma }_N}\le c_2,\parallel f_m{\parallel }_{\Omega }\le c_3,\parallel {\phi }_m{\parallel }_{\mathrm{1,}\Omega }\le c_4,\end{array}$ (17)

где константы c₁, c₂, c₃ и v₄ не зависят от m.

Из оценки (17) и условия (j) вытекает существование слабых пределов ${\lambda }^{*}\in K_1$, ${\alpha }^{*}\in K_2$, $f^{*}\in K_3$ и ${\phi }^{*}\in H^1\left(\Omega \right)$ некоторых подпоследовательностей последовательностей соответственно $$$\left\{{\lambda }_m\right\}$, $\left\{{\alpha }_m\right\}$, $\left\{f_m\right\}$ и $\left\{{\phi }_m\right\}$. С учетом этого при $m\to \infty$ имеем

${\phi }_m\to {\phi }^{*}слабо вH^1\left(\Omega \right)и сильно вL^s\left(\Omega \right),s<\mathrm{6,}$

${\phi }_m{|}_{{\Gamma }_N}\to {\phi }^{*}{|}_{{\Gamma }_N}слабо вH^{1/2}\left({\Gamma }_N\right)и сильно вL^q\left({\Gamma }_N\right),q<\mathrm{4,}$

$f_m\to f^{*}слабо вL^2\left(\Omega \right),{\alpha }_m\to {\alpha }^{*}слабо вL^2\left({\Gamma }_N\right),$

${\lambda }_m\to {\lambda }^{*}слабо вH^r\left(\Omega \right)и сильно вL^6\left(\Omega \right),r\ge 7/\mathrm{6,}$

${\lambda }_m{|}_{{\Gamma }_N}\to {\lambda }^{*}{|}_{{\Gamma }_N}слабо вH^{r-1/2}\left({\Gamma }_N\right)и сильно вL^4\left({\Gamma }_N\right).$(18)

Ясно, что $F_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Покажем, что $F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, т.е. что

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\nabla {\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\chi \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (19)

При этом пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m\mathrm{,}{u}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет равенству

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\chi \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (20)

Перейдем в (20) к пределу при $m\to \infty$. Из (18) следует, что все линейные слагаемые в (20) переходят в соответствующие слагаемые в (19). Поэтому перейдем к нелинейным слагаемым, начиная с $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Рассуждая как в [9], получаем, что

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_m-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\to 0\text{ïðè}m\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$

Рассмотрим далее нелинейные слагаемые, содержащие мультипликативные управления. Для $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливо равенство

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\nabla {\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nabla \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (21)

Поскольку ${\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\nabla h\in L^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3$, то в силу (18) получаем, что

 $\nabla {\phi }_m-{\phi }^{}{\lambda }^{}\nabla h\to 0\text{\hspace{0.33em}при\hspace{0.33em}}m\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (22)

Используя последовательность $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, сходящуюся к h в H–1 (Ω), для первого слагаемого в (21) получаем равенство

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h-h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (23)

В силу равномерной ограниченности величин $\parallel {\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\parallel \nabla {\phi }_m{\parallel }_{\Omega }$ по m существует такой номер $N\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что для второго слагаемого в (23) справедливо неравенство

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h-h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le$

 $\le \parallel {\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel \nabla {\phi }_m{\parallel }_{\Omega }\parallel \nabla \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h-h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{\Omega }\le \epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2,}n\ge N\mathrm{,}m\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (24)

Из равномерной ограниченности величин $\parallel \nabla h_n{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ по n и $\parallel \nabla {\phi }_m{\parallel }_{\Omega }$ по m и из (18) следует существование такого номера $M\mathrm{<mo>=</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что для первого слагаемого в (23) справедливо неравенство

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le$

 $\le \parallel {\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{\Omega }\parallel \nabla {\phi }_m{\parallel }_{\Omega }\parallel \nabla h_n{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2,}m\ge M\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (25)

Тогда из (23)–(25) вытекает, что

 ${\lambda }_m-{\lambda }^{}\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\to 0\text{\hspace{0.33em}при\hspace{0.33em}}m\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (26)

В таком случае $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\nabla {\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $m\to \infty$ для всех $h\in \mathcal{T}.$ Отсюда с учетом (22) заключаем, что

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m\nabla {\phi }_m\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\nabla {\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{ïðè}m\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (27)

Для нелинейного слагаемого ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}$ справедливо равенство

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>=</mo>}$

 $\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_m-{\alpha }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{.}$ (28)

Поскольку ${\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}h\in L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то для третьего слагаемого в правой части (28) имеем

 ${{\alpha }_m-{\alpha }^{}\mathrm{,}{\lambda }^{}{\phi }^{}h}_{{\Gamma }_N}\to 0приm\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (29)

Используя $\mathrm{<mo>\{</mo>}{h}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$, для второго слагаемого получаем

 ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{h}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}h-h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\forall m\mathrm{,}n\in N\mathrm{.}$ (30)

В силу равномерной ограниченности по m величин $\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{{\Gamma }_N}$ и $\parallel {\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, существует такое число $N\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с которым для второго слагаемого в (30) выполняется неравенство

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}h-h_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>|</mo>}\le$

 $\le \parallel {\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{{\Gamma }_N}\parallel {\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel h_n-h{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2,}n\ge N\mathrm{,}m\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (31)

В силу равномерной ограниченности по m и n соответственно величин $\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\parallel h_n{\parallel }_{L^6({\Gamma }_N)},$ существует число $M\mathrm{<mo>=</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с которым первое слагаемое в (30) удовлетворяет неравенству

 $\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{h}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>|</mo>}\le \parallel {\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{{\Gamma }_N}\parallel {\phi }_m-{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel h_n{\parallel }_{L^6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2,}m\ge M\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (32)

Тогда из (31) и (32) вытекает, что

 ${\lambda }^{}{\alpha }_m{\phi }_m-{\phi }^{}h{}_{{\Gamma }_N}\to 0\text{\hspace{0.33em}при\hspace{0.33em}}m\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (33)

Аналогично для первого слагаемого в (28) справедливо равенство

 ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}{h}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h-h_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{.}$ (34)

В силу равномерной ограниченности по m и n соответственно величин $\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\parallel h_n{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, существует число $M\mathrm{<mo>=</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с которым первое слагаемое в (34) удовлетворяет неравенству

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}{h}_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>|</mo>}\le$

 $\le \parallel {\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{{\Gamma }_N}\parallel {\phi }_m{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel h_n{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2,}m\ge M\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (35)

В силу равномерной ограниченности по $m$ и $n$ соответственно величин

$\parallel {\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\parallel {\phi }_m{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, существует число $N\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с которым первое слагаемое в (34) удовлетворяет неравенству

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>|</mo>}\le$

 $\le \parallel {\lambda }_m-{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_{L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel {\alpha }_m{\parallel }_{{\Gamma }_N}\parallel {\phi }_m{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\parallel h-h_n{\parallel }_{L^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2,}m\ge N\mathrm{,}m\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (36)

Из (35) и (36) вытекает, что

 $\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_m{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>|</mo>}\to 0\text{ïðè}m\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$ (37)

В таком случае из (29), (33) и (37) заключаем, что

${\lambda }_m{\alpha }_m{\phi }_m\mathrm{,}h{}_{{\Gamma }_N}-{{\lambda }^{}{\alpha }^{}{\phi }^{}\mathrm{,}h}_{{\Gamma }_N}\to 0приm\to \infty \forall h\in \mathcal{T}\mathrm{.}$

Поскольку функционал J слабополунепрерывен снизу на $H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times K$, тогда из (17) следует, что $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{J}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$. Теорема доказана.

Замечание 3.1. Отметим, что требования на гладкость λ уменьшены по сравнению с [26], но остаются высокими, поскольку управления λ и α мультипликативно входят в граничное условие на ${\Gamma }_N$. Для сравнения при условии Дирихле можно ограничиться тем, что $\lambda \in H^s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap L^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $s\mathrm{<mo>></mo>1<mo>/</mo>2}$ (см. [34]).

Замечание 3.2. Ясно, что все функционалы качества из (16) удовлетворяют условиям теоремы 3.1.

4. Система оптимальности и принцип bang–bang

В этом разделе и далее будем считать, что $k\mathrm{<mo>=</mo>}\ae {\phi }^4$, где $\ae$ — размерный параметр. Через $Y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{T}\times H^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ обозначим двойственное пространство к пространству Y, введенному в разд. 3.

Легко показать, что производная Фреше оператора $F\mathrm{<mo>:</mo>}{H}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times K\to Y$ по $\phi$ в каждой точке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\phi }\mathrm{,}\hat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\phi }\mathrm{,}\hat{\lambda }\mathrm{,}\hat{\alpha }\mathrm{,}\hat{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является линейным непрерывным оператором ${F^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\phi }\mathrm{,}\hat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}X\to Y,$ отображающим каждый элемент $\tau \in X$ в элемент ${F^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\phi }\mathrm{,}\hat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tau \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\hat{y}}_1\mathrm{,}{\hat{y}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Y.$

Здесь элементы ${\hat{y}}_1\in {\mathcal{T}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}},$ ${\hat{y}}_2\in H^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются следующими соотношениями:

 $⟨{\hat{y}}_1\mathrm{,}\tau ⟩\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\lambda }\nabla \tau \mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+5\ae \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\hat{\phi }}^4\tau \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\lambda }\hat{\alpha }\tau \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\forall h\in \mathcal{T}\mathrm{,}{\hat{y}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_D}.$ (38)

Через ${F^{\prime }}_{\phi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\phi }\mathrm{,}\hat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{Y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\to H^1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ обозначим оператор, сопряженный с оператором ${F^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\hat{\phi }\mathrm{,}\hat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В соответствии с общей теорией гладковыпуклых экстремальных задач (см. [35]) введем элемент $y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}T\times H^{-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, на который будем ссылаться как на сопряженное состояние, и определим Лагранжиан $\mathcal{L}\mathrm{<mo>:</mo>}{H}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times K\times Y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\to ℝ$ по формуле

$\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,}u\mathrm{,}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{⟨y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{Y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\times Y}\equiv J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

 $+{⟨F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\theta ⟩}_{{\mathcal{T}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\times \mathcal{T}}+{⟨\zeta \mathrm{,}{F}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{\mathrm{1<mo>/</mo>2,}{\Gamma }_D}\mathrm{.}$ (39)

Из лемм 2.1, 2.2 и теоремы Лакса–Мильграма вытекает, что для любой пары $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_0\mathrm{,}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in T^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\times H^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует единственное решение $\tau \in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ линейной задачи

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\lambda }\nabla \tau \mathrm{,}\nabla h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+5\ae \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\phi }}^4\tau \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\lambda }\widehat{\alpha }\tau \mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\mathrm{<mo>=</mo>}{⟨f_0\mathrm{,}h⟩}_{{\mathcal{T}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\times \mathcal{T}}\forall h\in \mathcal{T}\mathrm{,}\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }_D}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{.}$ (40)

Тогда оператор ${F^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}X\to Y$ — изоморфизм, а из гл. 6 [33] вытекает следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (i), (ii) и (j)–(jjj), при этом $k\mathrm{<mo>=</mo>}\ae {\phi }^4$ и элемент $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times K$ является локальным минимумом задачи (15). Предположим также, что функционал качества $I\mathrm{<mo>:</mo>}{H}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to ℝ$ непрерывно дифференцируем по Фреше по состоянию $\phi$ в точке $\widehat{\phi }$. Тогда

1) существует ненулевой множитель Лагранжа $y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Y^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ такой, что имеет место уравнение Эйлера–Лагранжа ${F^{\prime }}_{\phi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}-{J^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}âH^1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ в ${F^{\prime }}_{\phi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}-{J^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}âH^1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, эквивалентное соотношению

 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\lambda }\nabla \tau \mathrm{,}\nabla \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+5\ae \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\phi }}^4\tau \mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\lambda }\widehat{\alpha }\tau \mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}+{⟨\zeta \mathrm{,}\tau ⟩}_{\mathrm{1<mo>/</mo>2,}{\Gamma }_D}\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_0\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟨{I^{\prime }}_{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau ⟩\forall \tau \in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (41)

2) выполняется принцип минимума $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\widehat{u}\mathrm{,}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}u\mathrm{,}{y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $\forall u\in K$, эквивалентный неравенствам

 ${\mu }_1{(\widehat{\lambda },\lambda -\widehat{\lambda })}_{s,\Omega }+((\lambda -\widehat{\lambda })\nabla \widehat{\phi },\nabla \theta )+{((\lambda -\widehat{\lambda })\widehat{\alpha }\widehat{\phi },\theta )}_{{\Gamma }_N}\ge 0\forall \lambda \in K_1,$ (42)

 ${\mu }_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\alpha }\mathrm{,}\alpha -\widehat{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\lambda }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\widehat{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\ge 0\forall \alpha \in K_2\mathrm{,}$ (43)

 ${\mu }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{f}\mathrm{,}f-\widehat{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f-\widehat{f}\mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0\forall f\in K_3\mathrm{.}$ (44)

Уравнение Эйлера–Лагранжа (41), неравенства (42)–(44) и слабая формулировка (9) задачи 1 представляют собой систему оптимальности для задачи управления (15).

С использованием системы оптимальности, в большей степени принципа минимума, установим свойство релейности управлений α и f для задачи управления, отвечающей функционалу качества $I_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (16) и в случае, когда $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\ae {\phi }^4$, $\lambda \equiv \text{const}\mathrm{<mo>></mo>0}$:

 $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\mu }_0\parallel \phi -{\phi }^d{\parallel }_Q^2\to \inf \mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times K_2\times K_3\mathrm{.}$ (45)

Пусть выполняется условие

(j $\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}$ ) ${\alpha }_{\min }\le \alpha \le {\alpha }_{\max }$ п.в. на ${\Gamma }_N$ для всех $\alpha \in K_2$ и $f_{\min }\le f\le f_{\max }$ п.в. в Ω для всех $f\in K_3$.

Здесь ${\alpha }_{\min },{\alpha }_{\max },f_{\min },f_{\max }$ — положительные числа.

Для задачи (45) неравенства (43), (44) принимают следующий вид:

 ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\widehat{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Gamma }_N}\ge 0\forall \alpha \in K_2\mathrm{,}$ (46)

 $-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f-\widehat{f}\mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0\forall f\in K_3\mathrm{.}$ (47)

Из (46), (47) несложно получить (например, методом от противного) неравенства

$\alpha -\widehat{\alpha }\widehat{\phi }\theta \ge 0п\text{.}в\text{.}на{\Gamma }_N\forall \alpha \in K_2\mathrm{,}-f-\widehat{f}\theta \ge 0п\text{.}в\text{.}в\Omega \forall f\in K_3\mathrm{.}$

Если справедлив принцип максимума и минимума для концентрации $\phi$, то из него вытекает неравенство $\phi \ge m$ на ${\Gamma }_N$. С учетом этого из последних неравенств получаем следующий принцип минимума для экстремальной задачи (45):

 $\alpha -\widehat{\alpha }\theta \ge 0п\text{.}в\text{. }на{\Gamma }_N\forall \alpha \in K_2\mathrm{,}$ (48)

 $-f-\widehat{f}\theta \ge 0п\text{.}в\text{.}в\Omega \forall f\in K_3\mathrm{.}$ (49)

Из неравенств (48), (49) вытекает, что оптимальные управления $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (45) могут принимать, в зависимости от знака множителя Лагранжа $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, только максимальные и минимальные значения ${\alpha }_{\max }$, ${\alpha }_{\min }$ и $f_{\max }$, $f_{\min }$ соответственно.

В таком случае говорят, что оптимальные управления α и f удовлетворяют свойству релейности, иначе, для этих управлений справедлив принцип bang–bang. Другими словами, подобное поведение оптимального управления интерпретируют как переключение между двумя состояниями или скачки из одного состояния в другое.

Если не удается исключить ситуацию, когда $\theta \mathrm{<mo>=</mo>0}$ на некоторых подмножествах $D_0\subset \Omega$ и ${\Gamma }_N^0\subset {\Gamma }_N$ положительной меры, которая приводит к неопределенности, в рамках которой управления $f$ и $\alpha$ на указанных подмножествах могут как перескочить из одного граничного значения в другое, так и не совершать такой скачок (см. (48), (49)), тогда свойство релейности называют нестрогим.