Сходимость некоторых разностных схем метода опорных операторов для повторных ротационных операций

Full Text

1. Введение

Повторные ротационные операции тензорного анализа используются для моделирования широкого класса практических задач (таких как физика плазмы, астрофизика, лазерный термоядерный синтез и др.) [1–6]. Метод опорных операторов (МОО) (см., например, [7–9]) при построении разностных схем используется для согласованной в смысле ряда интегральных тождеств аппроксимации сопряженных операций векторного анализа (таких как градиент, дивергенция, ротор и их комбинации и др.), необходимых для проведения широкомасштабного вычислительного эксперимента. Данный метод позволил построить разностные схемы на нерегулярных разностных сетках для некоторых уравнений из этого класса, включая нелинейные, с выполнением принципа полной консервативности [10]. В настоящей работе на классических решениях модельной магнитостатической задачи приводится доказательство сходимости разностных схем МОО для повторных ротационных операций векторного анализа с нулевым собственным значением спектральной задачи. Все эти уравнения линейны, причем с постоянными коэффициентами. Данный выбор объясняется стремлением выделить проблемы, связанные исключительно с нерегулярностью разностной сетки, и показать подходы к их численному моделированию. Сходимость доказывается на геометрическом уровне. Предполагается, что решение исходной задачи обладает достаточной необходимой гладкостью.

Рассматриваемые разностные схемы на нерегулярных сетках не аппроксимируют уравнений в локальном смысле, следовательно, доказательство сходимости возможно только после анализа структуры погрешности аппроксимации. Исследование данного вопроса приводит к расщеплению пространства векторных сеточных функций в ортогональную прямую сумму подпространств — как потенциальных, так и вихревых. Применительно к разностной схеме МОО для магнитостатической задачи разностный ротор ошибки вычисления циркуляций отсутствует (т.е. равен нулю). Поэтому данная ошибка является градиентом некоторой сеточной функции (gradx). Норма циркуляционной ошибки gradx определяется энергией метрического оператора разностной сетки G [11]. Действие данного оператора на площади граней ячеек $S$ разностной сетки согласовано с размерами этих ячеек (т.е. расположением центров тяжести ячеек, граней и ребер). Разложение пространства векторных функций в ортогональную прямую сумму подпространств потенциальных и вихревых полей вводится таким образом, чтобы ошибка вычисления циркуляций являлась потенциальной функцией.

В работе на достаточно гладких решениях дифференциальной задачи с первым порядком точности доказана сходимость разностных схем МОО для повторных ротационных операций с нулевым собственным значением спектральной задачи. На разностную тетраэдрическую сетку не накладывается никаких ограничений, кроме ее невырожденности.

В данной работе приведены результаты численного расчета динамики электромагнитных полей для трехмерной задачи магнитной гидродинамики в двухтемпературном приближении с учетом излучения реального уравнения вещества, замагниченности коэффициентов теплопроводности и электропроводности. Скорость и электромагнитные поля имеют полную конфигурацию. Развитие динамики магнитных полей разворачивается при их ротационной диффузии.

2. Метрические разностные сетки метода опорных операторов

Сетки данного типа [7, 11] состоят из ячеек (W), которые образуются узлами (w) и гранями (s) (см. фиг. 1a). Узлам $\omega \left(\Omega \right)$ соответствуют базисы $\phi \left(\Omega \right)$ в ячейке W, состоящие из единичных нормалей $e\left(\sigma \right)$ к граням s, которые образуют базис. Метрическая калибровка разностной сетки состоит в выборе объемов базисов $V_{\phi }>0$ при следующей нормировке ${\sum }_{\phi \left(\Omega \right)}{V}_{\phi }=V_{\Omega }$. Компоненты напряженности магнитного поля относятся к сетке $\left(\sigma \right).\left(\phi \right)$, которая состоит из граней $\sigma$ с нормалями к ним $e\left(\sigma \right)$.

 

Фиг. 1. Ячейки разностной сетки: а) тетраэдрическая ячейка; б) к расчету поверхностной аппроксимации вектора Пойнтинга; в) расчет циркуляции магнитного поля на элементе контура граничной грани С_∂sС_∂l, S_s(l) = –1, S_∂s = –1, ячейка ∂W находится под гранью ∂s.

 

Введем сеточное скалярное произведение ${(u_1,u_2)}_{\sigma }=\sum _{\sigma }{V}_{\sigma }{u}_1\left(\sigma \right)u_2\left(\sigma \right)$ с весом $V_{\sigma }={\sum }_{\phi \left(\sigma \right)}{V}_{\phi }>0$. Скалярное произведение $\underset{O}{\int }(u,g)dV$ в области О аппроксимируется на сетке $\left(\sigma \right).\left(\phi \right)$ ковариантным представлением скалярного сеточного произведения

${\left(\overline{u},g\text{'}\right)}_{\sigma }={\sum }_{\phi }{V}_{\phi }{\sum }_{\sigma \left(\phi \right),\tilde{\sigma }\left(\phi \right)}Gr{\text{'}}_{\phi }^{}(\sigma ,\tilde{\sigma })u\text{'}\left(\tilde{\sigma }\right)g\text{'}\left(\sigma \right).$

Здесь $\overline{u}\left(\sigma \right)=1/V_{\sigma }{\sum }_{\phi \left(\sigma \right)}{V}_{\phi }{\sum }_{\tilde{\sigma }\left(\phi \right)}Gr{\text{'}}_{\phi }^{}(\sigma ,\tilde{\sigma })u\text{'}\left(\tilde{\sigma }\right)$ (в операторной форме $\overline{u}=Gu\text{'}$). Следовательно, на сетке $\left(\sigma \right).\left(\phi \right)$ введен самосопряженный положительно-определенный метрический оператор $G:\left(\sigma \right)\to \left(\sigma \right),G=G^{*}>0$, который задается семейством базисных матриц Грама $Gr{\text{'}}_{\phi }^{}(\sigma ,\tilde{\sigma })=\left(e{\text{'}}_{\phi }^{}\right(\sigma ),e{\text{'}}_{\phi }^{}(\tilde{\sigma }\left)\right)$. В этих матрицах ${e^{\text{'}}}_{\phi }^{}\left(\sigma \right)$ — взаимные (контравариантные) в локальных базисах φ векторы по отношению к исходным (ковариантным) нормалям $e\left(\sigma \right)$ к граням σ. Данный оператор переводит сеточный аналог ковариантного представления $u\text{'}\left(\sigma \right)$, называемый сопряженным представлениям векторного поля u, в сеточное контравариантное представление $\overline{u}\left(\sigma \right)$. Базисы j создаются системой ковариантных ортов e. Базисный объем задается формулой $V_{\phi }=\frac{1}{6}\left|e_1\times e_2\right|$ (см. [7]) для треугольных (двумерный случай) ячеек W $e_1$ и $e_2$ — стороны треугольника, образующие базис j). Аналогично для четырехугольной ячейки W базисный объем задается формулой $V_{\phi }=\frac{1}{6}\left|e_1\times e_2\right|$ В случае трехмерных призм эти значения $V_{\phi }$ умножаются на половины толщин призматических ячеек W, содержащих соответствующие трехмерные базисы φ. Для тетраэдрических разностных ячеек W выбирается $V_{\phi }=\frac{1}{4}{V}_{\Omega }$, где $\phi \in \Omega$. Для гексаэдрических ячеек W, близких к объемным параллелепипедам, $V_{\phi }=\frac{1}{8}{V}_{\Omega }$, где $\phi \in \Omega$.

Все результаты разд. 2 обобщаются на случай неединичных нормалей $e\left(\sigma \right)$ к граням s.

Разностную дивергенцию определим по следующей формуле:

$DIVg=\frac{1}{V_{\Omega }}\sum _{\sigma \left(\Omega \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)g^{\text{'}}\left(\sigma \right)S\left(\sigma \right).$ (2.1)

Здесь $S\left(\sigma \right)$ — удельная площадь грани, т.е. площадь грани $\sigma$, деленная на длину орта $e\left(\sigma \right),$ равную $\sqrt{\left(e\right(\sigma ),e(\sigma \left)\right)};$ $s_{\sigma }\left(\Omega \right)$ — знаковая функция, которая равна единице, если нормаль $e\left(\sigma \right)$ для ячейки W внешняя, и минус единице — если нормаль $e\left(\sigma \right)$ внутренняя.

Введем скалярное произведение в ячейках следующим образом:

${(F_1,F_2)}_{\Omega }=\sum _{\Omega }{V}_{\Omega }{F}_{1\Omega }{F}_{2\Omega }$.

Смоделируем интегральное соотношение

$\underset{O}{\int }gradFudV+\underset{O}{\int }FdivudV=\underset{\Sigma }{\int }FudS$

для области О, ограниченной поверхностью S.

Определим оператор $GRAD:\left(\Omega \right)\to \left(\sigma \right)$

${(\overline{GRADF},u\text{'})}_{\sigma }+{(F,DIVu)}_{\Omega }=\sum _{\partial \sigma }{s}_{\partial \sigma }{F}_{\partial \sigma }u\text{'}(\partial \sigma )S(\partial \sigma )$ .(2.2)

Для граничной грани $\partial \sigma$: $S(\partial \sigma )$ — ее удельная площадь; $s_{\partial \sigma }$ — единица, если нормаль $e(\partial \sigma )$ — внешняя к области О; $F_{\partial \sigma }$ — сеточная функция F на граничной грани $\partial \sigma$. Заметим, что F и $\overline{u}=Gu\text{'}$ – любые сеточные функции. Поэтому на грани s имеем

$\overline{GRADF}=\frac{\Delta F}{h^{\text{'}}}$, $h^{\text{'}}=\frac{V_{\sigma }}{S\left(\sigma \right)}$,

где

$\Delta F=-\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)F_{\Omega }+s_{\partial \sigma }{F}_{\partial \Omega }$.

Последнее слагаемое в приращении $\Delta F$ через грань s существует только при условии, что эта грань является граничной.

3. Дискретная магнитогидродинамическая эволюция магнитной энергии

3.1. Разностные сетки метода опорных операторов для моделирования электромагнитных процессов

Любому ориентированному ребру λ с ортом $e_{\tau }\left(\lambda \right)$ ставится в соответствие его удельная длина $h_{\tau }\left(\lambda \right)>0$ (длина ребра λ, деленная на длину орта $e_{\tau }\left(\lambda \right)$). Каждому поверхностному базису $\partial \phi$ ставится в соответствие его часть площади грани $S_{\partial \phi }$: с нормировкой $S_{\partial \sigma }={\sum }_{\partial \phi (\partial \sigma )}{S}_{\partial \phi }$. На граничных ребрах $\partial \lambda$ определим также величины $S_{\partial \lambda }={\sum }_{\partial \phi (\partial \lambda )}{S}_{\partial \phi }$ и $h_{\Sigma }^{\text{'}}(\partial \lambda )=S_{\partial \lambda }/h_{\tau }(\partial \lambda )$. Рассмотрим сетку (l).(j), которая состоит из ребер λ с направленными вдоль них векторами $e_{\tau }\left(\lambda \right)$, упорядоченными в систему локальных базисов (j). К данной разностной сетке с метрическим оператором $G_{\tau }$ отнесем компоненты напряженности электрического поля w. Для сетки (l).(j) вводится скалярное произведение: ${(w_1,w_2)}_{\lambda }={\sum }_{\lambda }{V}_{\lambda }{w}_1\left(\lambda \right)w_2\left(\lambda \right)$ с весом $V_{\lambda }={\sum }_{\phi \left(\lambda \right)}{V}_{\phi }>0$ (приреберный объем). Скалярное произведение ${\int }_O(w,b)dV$ в области О аппроксимируется следующим образом:

${\left(\overline{w},b\text{'}\right)}_{\lambda }=\sum _{\phi }{V}_{\phi }{\sum }_{\tilde{\lambda }\left(\phi \right),\lambda \left(\phi \right)}G{r}_{\tau \phi }^{\text{'}}(\lambda ,\tilde{\lambda })w\text{'}\left(\tilde{\lambda }\right)b\text{'}\left(\lambda \right).$

Здесь $\overline{w}\left(\lambda \right)=1/V_{\lambda }{\sum }_{\phi \left(\lambda \right)}{V}_{\phi }{\sum }_{\tilde{\lambda }\left(\phi \right)}G{r}_{\tau \phi }^{\text{'}}(\lambda ,\tilde{\lambda })w\text{'}\left(\tilde{\lambda }\right)$ (в операторной форме $\overline{w}=G_{\tau }w\text{'}).$ Следовательно, на сетке (λ).(φ) вводится самосопряженный положительно-определенный метрический сеточный оператор $G_{\tau }:\left(\lambda \right)\to \left(\lambda \right),G_{\tau }={G_{\tau }}^{*}>\mathrm{0,}$ задается семейством базисных матриц Грама $Gr{\text{'}}_{\tau \phi }^{}(\lambda ,\tilde{\lambda })=\left(e{\text{'}}_{\tau \phi }^{}\right(\lambda ),e{\text{'}}_{\tau \phi }^{}(\tilde{\lambda }\left)\right).$ В данных матрицах ${e^{\text{'}}}_{\tau \phi }^{}\left(\lambda \right)$ — контравариантные в локальных базисах φ орты по отношению к ковариантным векторам $e_{\tau }\left(\lambda \right)$, направленным вдоль ребер λ. Индексом τ помечаются величины, которые отнесены к сетке (λ).(j).

Определим разностный оператор, моделирующий ротор, который действует на компоненты напряженности электрического поля w, как $ROD:\left(\lambda \right)\to \left(\sigma \right)$ по формуле (см. фиг. 2a), аппроксимирующей теорему Стокса:

$(RODw{)}^{\text{'}}=1/S\left(\sigma \right){\sum }_{\lambda \left(\sigma \right)}{s}_{\lambda }\left(\sigma \right)w\text{'}\left(\lambda \right)h_{\tau }(\lambda ).$(3.1)

 

Фиг. 2. Согласование граней и ребер сетки.

 

Здесь $S\left(\sigma \right)$ — удельная площадь грани s, знаковые функции $s_{\lambda }\left(\sigma \right)=\pm 1$ и $s_{\sigma }\left(\lambda \right)=\pm 1$ ( $s_{\lambda }\left(\sigma \right)=s_{\sigma }\left(\lambda \right)$) определены, как указано на фиг. 2. Определим граничную знаковую функцию $s_{\partial \lambda (\partial \phi )}=+1$, при условии что вращение в направлении от орта $e_{\tau }(\partial \lambda )$ к его дополняющему (в базисе $\partial \phi (\partial \sigma )$) дает направление внешней нормали к области О. Если же вращение в направлении от орта $e_{\tau }(\partial \lambda )$ к его дополняющему в этом поверхностном базисе дает направление внутренней нормали к этой области, то $s_{\partial \lambda (\partial \phi )}=-1$.

Вместе с сеточными компонентами магнитного поля $u\text{'}\left(\sigma \right)$ и $\overline{u}\left(\sigma \right)$ на гранях разностной сетки $\left(\sigma \right).\left(\phi \right)$ в области О определим поверхностное тангенциальное магнитное поле $u_{\tau }$ c компонентами $u{\text{'}}_{\tau }(\partial \lambda )$, которое задано на граничных ребрах $\partial \lambda$.

Для области О с поверхностью S используем следующее интегральное соотношение:

${\int }_{O}wrotudV-{\int }_{O}urotwdV={\int }_{\Sigma }[u_{\tau }\times w]ds$ (3.2)

и определим оператор, моделирующий ротор, который действует на компоненты напряженности магнитного поля u, как $ROG:\left(\right(\sigma )\cup (\partial \lambda \left)\right)\to \left(\lambda \right)$ из разностного аналога этого соотношения

${\left(w\text{'},\overline{ROGu}\right)}_{\lambda }-{\left(\overline{u},\left(RODw\right)\text{'}\right)}_{\sigma }={\sum }_{\partial \lambda }w\text{'}(\partial \lambda )h_{\tau }(\partial \lambda ){\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda ).$ (3.3)

Элемент поверхностной магнитной циркуляции, поперечной к ребру $\partial \lambda$ (между центрами тяжести поверхностных треугольных граней $\partial \sigma$ через середину их смежного ребра $\partial \lambda$), определим из аппроксимации произведения векторов $[u_{\tau }\times w]ds$:

${\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )={\left.-1/h_{\tau }(\partial \lambda )\sum _{\partial \phi (\partial \lambda )}\frac{s_{\partial \lambda (\partial \phi )}\cdot S_{\partial \phi }}{\sqrt{\det \left|\right|G{r}_{\tau \partial \phi }\left|\right|}}{u}_{\tau }^{\text{'}}(\partial \tilde{\lambda })\right|}_{\partial \tilde{\lambda }(\partial \phi )\ne \partial \lambda }.$ (3.4)

Определитель матрицы Грама $G{r}_{\tau \partial \phi }$ в поверхностном базисе $\partial \phi$, который состоит из ортов $e_{\tau }(\partial \lambda )$ и $e_{\tau }(\partial \tilde{\lambda })$, определяется следующим образом:

$\det ||G{r}_{\tau \partial \phi }||=\left(e_{\tau }\right(\partial \lambda ),e_{\tau }(\partial \lambda \left)\right)\cdot \left(e_{\tau }\right(\partial \tilde{\lambda }),e_{\tau }(\partial \tilde{\lambda }\left)\right)\cdot {\left.{\sin }^2\widehat{e_{\tau }(\partial \lambda )e_{\tau }(\partial \tilde{\lambda })}\right|}_{\partial \lambda (\partial \phi )\ne \partial \tilde{\lambda }(\partial \phi )}.$ (3.5)

Здесь используется

$\left|\left[e{\text{'}}_{\tau \phi }^{}\left(\lambda \right)\times e{\text{'}}_{\tau \phi }^{}\left(\tilde{\lambda }\right)\right]\right|=\sin (\pi -\phi )/\left\{\left|e_{\tau }\left(\lambda \right)\right|\cdot \left|e_{\tau }\left(\tilde{\lambda }\right)\right|{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-\phi \right)\right\}=1/\sqrt{\det ||G{r}_{\tau \partial \phi }||}$

при $\phi =\widehat{e_{\tau }(\partial \lambda )e_{\tau }(\partial \tilde{\lambda })}$.

Искомый оператор ROG, который сопряжен базовому оператору ROD, определяется из приведенного выше разностного аналога интегрального соотношения следующим образом:

$\begin{array}{c}\overline{ROGu}=1/S{\text{'}}_{\tau }^{}\times \left[{\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)\overline{u}\left(\sigma \right)h\text{'}\left(\sigma \right)+{\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )\right],\\ S{\text{'}}_{\tau }^{}=V_{\lambda }/h_{\tau }.\end{array}$ (3.6)

На граничных ребрах $\partial \lambda =\left\{{\partial }_1\lambda \right|{\partial }_0\lambda \}$ зададим поверхностную магнитную циркуляцию ${\left(udL\right)}_{\Sigma }\left({\partial }_1\lambda \right)$, замыкающую контур вокруг ребра ${\partial }_1\lambda$ в операторе ROG, — первая краевая задача, или поверхностную электрическую циркуляцию $w\text{'}\left({\partial }_0\lambda \right)\cdot h_{\tau }\left({\partial }_0\lambda \right)$ вдоль ребра ${\partial }_0\lambda$, замыкающую соответствующий граничный контур в операторе ROD. Оператор $RODROG:\left(\sigma \right)\to \left(\sigma \right),$ такой, что $RODROG=\left(RODROG\right)*\ge \mathrm{0,}$ является самосопряженным и неотрицательным (см. (3.3)). Самосопряженным и неотрицательным оказывается и оператор $ROGROD:\left(\lambda \right)\to \left(\lambda \right).$ Очевидны свойства операторов $DIVRODw=0$ в ячейках разностной сетки Ω, аппроксимирующих континуальные операции векторного анализа $divrotw=0.$

3.2. Обоснование аппроксимаций интегрально-согласованных операций rot

Исследуем аппроксимацию формулы (3.6) для оператора $\overline{ROGu},$ которая получена из интегрального тождества (3.3).

На тетраэдрических сетках определяется вид магнитного циркуляционного контура вокруг ребра l и его замкнутость. Рассмотрим контур магнитной циркуляции вокруг ребра λ с примыкающими к нему тетраэдрами. Центры ячеек, граней и ребер обозначим как

$c_{\Omega }=\frac{1}{4}\sum _{\omega \left(\Omega \right)}{r}_{\omega },c_{\sigma }=\frac{1}{3}\sum _{\omega \left(\sigma \right)}{r}_{\omega }$ и $c_{\lambda }=\frac{1}{2}\sum _{\omega \left(\lambda \right)}{r}_{\omega }.$

Здесь $r_{\omega }$ — радиус-векторы узлов сетки соответствующих вершин тетраэдра. Выбрав начало координат в вершине О (см. фиг. 1a), имеем

$O{C}_{\Omega }=\frac{1}{4}(ÎA+ÎB+ÎD)$, $O{C}_{\sigma }=\frac{1}{3}(ÎA+ÎB+ÎD)$,

$O{C}_{\lambda }=\frac{1}{2}(OA+OD),$ $C_{\Omega }{C}_{\sigma }=O{C}_{\sigma }-O{C}_{\Omega }.$

Кроме того

$\begin{array}{c}S{\text{'}}_{\tau }^{}\overline{ROGu}-{\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)\overline{u}\left(\sigma \right)h\text{'}\left(\sigma \right)={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)(Gu\text{'})\left(\sigma \right)h\text{'}\left(\sigma \right)=\\ ={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)\frac{1}{V_{\sigma }}{\sum }_{\phi \left(\sigma \right)}{V}_{\phi }{\sum }_{\tilde{\sigma }\left(\phi \right)}Gr{\text{'}}_{\phi }^{}(\sigma ,\tilde{\sigma })u\text{'}\left(\tilde{\sigma }\right)\frac{V_{\sigma }}{S\left(\sigma \right)}={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}\frac{s_{\sigma }\left(\lambda \right)}{S\left(\sigma \right)}{\sum }_{\Omega \left(\sigma \right)}{\sum }_{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }{V}_{\phi }e{\text{'}}_{\phi }^{}\left(\sigma \right)\cdot u_{\phi }=\\ ={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right){\sum }_{\Omega \left(\sigma \right)}\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}{h}_{\Omega \perp \sigma }{\sum }_{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }e{\text{'}}_{1\phi }^{}\left(\sigma \right)\cdot u_{\phi }.\end{array}$

Здесь $u_{\phi }={\sum }_{\tilde{\sigma }\left(\phi \right)}u\text{'}\left(\tilde{\sigma }\right)e_{\phi }^{\text{'}}\left(\tilde{\sigma }\right)$; $h_{\Omega \perp \sigma }$ — высота в тетраэдрической ячейке W, опущенная на грань s. Под $e_{1\phi }^{\text{'}}\left(\sigma \right)$ понимается контравариантный в локальном базисе $\phi$ вектор по отношению к ковариантной единичной нормали к грани $e_1\left(\sigma \right)$. Кроме того, имеет место следующее тождество:

$\frac{1}{12}{h}_{\Omega \perp \sigma }{\sum }_{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }{e}_{1\phi }^{\text{'}}\left(\sigma \right)=s_{\sigma }\left(\Omega \right)C_{\Omega }{C}_{\sigma }$.

Поэтому, введя аппроксимацию циркуляции магнитного поля на элементе контура, соединяющего центры тяжести ячейки W и грани s,

$s_{\sigma }\left(\Omega \right){\left(\underset{C_{\Omega }}{\overset{C_{\sigma }}{\int }}udL\right)}_{△}=\frac{1}{12}{h}_{\Omega \perp \sigma }{\sum }_{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }{e}_{1\phi }^{\text{'}}\left(\sigma \right)u{}_{\phi }$,

получим

$S{\text{'}}_{\tau }^{}\overline{ROGu}-{\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right){\sum }_{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)\cdot {\left(\underset{C_{\Omega }}{\overset{C_{\sigma }}{\int }}udL\right)}_{△}.$

Рассмотрим согласованную с вектором Пойнтинга аппроксимацию циркуляции магнитного поля на элементе контура поверхностной грани $\partial \sigma$, который соединяет центры тяжести этой грани и середины ребра $\partial \lambda (\partial \sigma )$. Будет иметь место тождество

$s_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }{C}_{\partial \sigma }{C}_{\partial \lambda }={\left.-1/h_{\tau }(\partial \lambda )\sum _{\partial \phi (\partial \lambda )\in \partial \sigma }\frac{s_{\partial \lambda (\partial \phi )}\cdot S_{\partial \phi }}{\sqrt{\det \left|\right|G{r}_{\tau \partial \phi }\left|\right|}}{e}_{\tau }(\partial \tilde{\lambda })\right|}_{\partial \tilde{\lambda }(\partial \phi )\ne \partial \lambda }.$

Вектор $C_{\partial \sigma }{С}_{\partial \lambda }$ отложен от центра тяжести ${С}_{\partial \sigma }$ треугольной граничной грани $\partial \sigma$ к середине ${С}_{\partial \lambda }$ граничного ребра $\partial \lambda (\partial \sigma )$; $\partial \phi$ — поверхностные базисы внутри грани $\partial \sigma$; $S_{\partial \phi }=\frac{1}{3}{S}_{\partial \sigma \supset \partial \phi }$; $S_{\partial \sigma \supset \partial \phi }$ — площадь треугольной грани $\partial \sigma$, содержащей поверхностный базис $\partial \phi$. Аналогично $s_{\sigma }\left(\Omega \right)$ введена граничная знаковая функция $s_{\partial \sigma }$, равная единице, когда нормаль $e(\partial \sigma )$ — внешняя к аппроксимации области О, и минус единице, если нормаль $e(\partial \sigma )$ — внутренняя к аппроксимации данной области.

Введя аппроксимации циркуляции магнитного поля на элементе контура $C_{\partial \sigma }{С}_{\partial \lambda }$ следующим образом:

$s_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }{\left(\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}udL\right)}_{△}={\left.\frac{-1}{h_{\tau }(\partial \lambda )}\sum _{\partial \phi (\partial \lambda )\in \partial \sigma }\frac{s_{\partial \lambda (\partial \phi )}\cdot S_{\partial \phi }}{\sqrt{\det \left|\right|G{r}_{\tau \partial \phi }\left|\right|}}u{\text{'}}_{\tau }^{}(\partial \tilde{\lambda })\right|}_{\partial \tilde{\lambda }(\partial \phi )\ne \partial \lambda }$,

получим

$S{\text{'}}_{\tau }^{}\overline{ROGu}={\sum }_{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right){\sum }_{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right){\left(\underset{C_{\Omega }}{\overset{C_{\sigma }}{\int }}udL\right)}_{△}+{\sum }_{\partial \sigma (\partial \lambda )}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }{\left(\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}udL\right)}_{△}.$(3.7)

Таким образом, аппроксимация операции $S{\text{'}}_{\tau }^{}\overline{ROGu}\left(\lambda \right)$ состоит из циркуляций магнитного поля на замкнутом контуре вокруг ребра l, соединяющем центры тяжести ячеек и граней, или, когда грань $\partial \sigma$ оказывается граничной, то соединяющем центр тяжести такой грани с серединой ребра $\partial \lambda (\partial \sigma )$; $\overline{ROGu}\equiv 0$ при $u=const$ в силу замкнутости рассмотренного выше контура вокруг ребра l.

4. Сходимость разностных схем метода опорных операторов

4.1. Постановка задачи

Рассмотрим на достаточно гладких решениях аппроксимацию разностными схемами метода опорных операторов следующую задачу:

$rotH=f\left(r\right),$(4.1)

$H=rotE$ (4.2)

с соленоидальным магнитным полем, для которого существует некоторое поле E и выполнено (4.2) (см. [12]). Предполагаем также явно заданными некоторое распределение плотностей токов f(r) и граничные тангенциальные компоненты магнитного поля ${\left.H_{\tau }\right|}_{\Sigma }$. “Электрическое” поле E определяется с точностью до константы, при этом однородная спектральная задача обладает нулевым собственным значением.

Для соленоидальности функции f необходимо и достаточно [12] существование функции F, такой что $f=rotF.$ Рассмотрим для системы уравнений (4.1), (4.2) краевую задачу с заданными на границе S области О тангенциальными компонентами магнитного поля

${\left.H_{\tau }\right|}_{\Sigma }={\left.F_{\tau }\right|}_{\Sigma }$. (4.3)

Для любого замкнутого контура G, ограничивающего поверхности ${\Sigma }_{\Gamma }$, выполняется

$\underset{\Gamma }{\oint }HdL=\underset{{\Sigma }_{\Gamma }}{\int }fdS$.

Разностная схема метода опорных операторов имеет вид

$V_{\lambda }\overline{ROGu}=f_{\lambda },$(4.4)

$u\text{'}=\left(RODw\right)\text{'}.$ (4.5)

При исследовании сходимости разностной схемы (4.4), (4.5) удельные длины ребер $h_{\tau }\left(\lambda \right)$ и площадей граней $S\left(\sigma \right)$ считаем единичными.

Электрический поток $f_{\lambda }$ через площадку $S_{\lambda }=\underset{\left(\Omega \right(\lambda ),\sigma (\lambda )\in \Omega )}{\cup }{S}_{\Omega \sigma \lambda }$, которую пронизывает вектор $e_{\tau }\left(\lambda \right)$, представим в следующем виде:

$f_{\lambda }=\sum _{\Omega \left(\lambda \right)}\sum _{\sigma \left(\lambda \right)\in \Omega }\underset{S_{\Omega \sigma \lambda }}{\int }f\left(r\right)dS=\sum _{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)\left(\underset{C_{\Omega }}{\overset{C_{\sigma }}{\int }}FdL\right)+\sum _{\partial \sigma (\partial \lambda )}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }\left(\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}FdL\right).$ (4.6)

Здесь $S_{\Omega \sigma \lambda }$ — вектор площади треугольника, соединяющего центры тяжести ячейки $C_{\Omega }$, грани $C_{\sigma }$ и ребра ${С}_{\lambda }$, который ориентирован в сторону вектора $e_{\tau }\left(\lambda \right)$ (фиг. 1a). Равенство (4.6) получено с использованием теоремы Стокса для объединенного контура из треугольников $S_{\lambda }$ вокруг ребра l.

В силу рассуждений п. 3.2 считаем, что

$f_{\lambda }=V_{\lambda }\overline{ROGF}$, (4.7)

полагая

$\overline{F}\left(\sigma \right)h\text{'}\left(\sigma \right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)\left(\underset{C_{\Omega }}{\overset{C_{\sigma }}{\int }}FdL\right),$(4.8)

${\left(FdL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )=\sum _{\partial \sigma (\partial \lambda )}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }\left(\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}FdL\right).$ (4.9)

В силу (4.3) при исследовании сходимости разностной схемы (4.4), (4.5) считаем

${\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )=\sum _{\partial \sigma (\partial \lambda )}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }\left(\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}HdL\right),$ (4.10)

$\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}HdL=\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}FdL$ .(4.11)

4.2. Разрешимость разностной задачи метода опорных операторов

Исследуем условия разрешимости задачи (4.4), (4.5), (4.11). Определим операцию внутренней ротации $RNG:\left(\sigma \right)\to \left(\lambda \right)$ как

${S^{\text{'}}}_{\tau }\overline{RNGu}=\sum _{\sigma \left(\lambda \right)}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)\overline{u}\left(\sigma \right)h^{\text{'}}\left(\sigma \right)={S^{\text{'}}}_{\tau }\overline{ROGu}-{\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda ),$${S^{\text{'}}}_{\tau }\left(\lambda \right)=V{}_{\lambda }/h_{\tau }\left(\lambda \right)$ .

Из (3.3) следует

${(w\text{'},\overline{RNGu})}_{\lambda }={(\overline{u},(RODw{)}^{\text{'}})}_{\sigma }.$

Однородная система уравнений, которая соответствует задаче (4.4), (4.5), (4.11), имеет следующий вид:

$V_{\lambda }\overline{RNGu}=0$, $u\text{'}=(RODw{)}^{\text{'}}.$ (4.12)

${(w\text{'},\overline{RNGu})}_{\lambda }={(\overline{u},(RODw{)}^{\text{'}})}_{\sigma }={\left(G\right(RODw{)}^{\text{'}},\left(RODw{)}^{\text{'}}\right)}_{\sigma }\ge 0.$

Таким образом, оператор однородной системы $RNGROD:\left(\lambda \right)\to \left(\lambda \right)$ самосопряжен и неотрицателен. Решение сопряженной однородной системы обладает свойством $(RODw{)}^{\text{'}}=0.$ Условие ортогональности с правой частью в (4.4) имеет следующий вид:

$\sum _{\lambda }w\text{'}\left(\lambda \right)[f_{\lambda }-{\left(udL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda \left)\right]=\mathrm{0,}$

или ${(w\text{'},\overline{RGNF})}_{\lambda }={(\overline{F},(RODw{)}^{\text{'}})}_{\sigma }=0.$

Поскольку $(RODw{)}^{\text{'}}=0$, то для любого F (в соленоидальном представлении $f=rotF$) выполнено условие ортогональности решения однородной сопряженной системы уравнений (4.12) и правой части (4.4) при условии (4.11). Данное условие и есть разрешимость задачи (4.4), (4.5), (4.11) по матричной теореме Фредгольма (см. [13]).

4.3. Точность разностной схемы метода опорных операторов

Рассмотрим вопрос о точности разностной схемы (4.4), (4.5), (4.11).

Проинтегрировав (4.1) по площадке $S_{\lambda }$ вокруг ребра l, получим

$V_{\lambda }\overline{ROGH}=f_{\lambda },$

где

$\overline{H}\left(\sigma \right)h^{\text{'}}\left(\sigma \right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)\left(\underset{C_{\Omega }}{\overset{C_{\sigma }}{\int }}HdL\right),$ (4.13)

${\left(HdL\right)}_{\Sigma }(\partial \lambda )=\sum _{\partial \sigma (\partial \lambda )}{s}_{\sigma }\left(\lambda \right)s_{\partial \sigma }\left(\underset{C_{\partial \sigma }}{\overset{C_{\partial \lambda }}{\int }}HdL\right),$

и, вычитая из этого уравнения (4.4), имеем

$V_{\lambda }\overline{RGN(H-u)}=0.$ (4.14)

Из (4.14) следует, что в ячейке W существует такая сеточная функция ${\xi }_{\Omega }$, что

$\overline{H}-\overline{u}=\overline{GRAD\xi }=\frac{\Delta \xi }{h^{\text{'}}},$ $G{H}^{\text{'}}=\overline{H}.$

и она является постоянной на граничных гранях $\partial \sigma$, т.е. ${\xi }_{\partial \sigma }=const.$ Эту константу можно считать равной нулю. Имеем уравнение, которому удовлетворяет функция $\xi$:

$G^{-1}\overline{GRAD\xi }=H^{\text{'}}-u\text{'},$

Просуммировав данное равенство по граням ячейки W, и учитывая, что $DIVu=\mathrm{0,}$ имеем

$DIVGRAD\xi =DIVH,$

в силу (2.2) с учетом ${\xi }_{\partial \sigma }=0$ получим

${\left(G\right(GRAD\xi {)}^{\text{'}},\left(GRAD\xi {)}^{\text{'}}\right)}_{\sigma }={\left(G\right(GRAD\xi {)}^{\text{'}},H^{\text{'}})}_{\sigma }\ge 0.$

Из (2.2) при ${\xi }_{\partial \sigma }=0$ для любой разностной соленоидальной функции $\overline{RODE}$ в силу ее ортогональности к $\overline{GRAD\xi }$ имеем

${||GRAD\xi ||}_{\sigma }^2={\left(G\right(GRAD\xi {)}^{\text{'}},H^{\text{'}}-\left(RODE{)}^{\text{'}}\right)}_{\sigma }\le {||GRAD\xi ||}_{\sigma }\cdot {||H-RODE||}_{\sigma }.$

Применительно к (3.1), определяющему $(RODE{)}^{\text{'}}$, получим

Из (4.14) следует, что в ячейке W существует такая сеточная функция ${\xi }_{\Omega }$, что

$\overline{H}-\overline{u}=\overline{GRAD\xi }=\frac{\Delta \xi }{h^{\text{'}}},$

и она является постоянной на граничных гранях $\partial \sigma$, т.е. ${\xi }_{\partial \sigma }=const.$. Эту константу можно считать равной нулю. Имеем уравнение, которому удовлетворяет функция $\xi$:

$G^{-1}\overline{GRAD\xi }=H^{\text{'}}-u\text{'},$ $G{H}^{\text{'}}=\overline{H}.$

Просуммировав данное равенство по граням ячейки W, и учитывая, что $DIVu=\mathrm{0,}$, имеем

$DIVGRAD\xi =DIVH,$

в силу (2.2) с учетом ${\xi }_{\partial \sigma }=0$ получим

${\left(G\right(GRAD\xi {)}^{\text{'}},\left(GRAD\xi {)}^{\text{'}}\right)}_{\sigma }={\left(G\right(GRAD\xi {)}^{\text{'}},H^{\text{'}})}_{\sigma }\ge 0.$

Из (2.2) при ${\xi }_{\partial \sigma }=0$ для любой разностной соленоидальной функции $\overline{RODE}$ в силу ее ортогональности к $\overline{GRAD\xi }$ имеем

${||GRAD\xi ||}_{\sigma }^2={\left(G\right(GRAD\xi {)}^{\text{'}},H^{\text{'}}-\left(RODE{)}^{\text{'}}\right)}_{\sigma }\le {||GRAD\xi ||}_{\sigma }\cdot {||H-RODE||}_{\sigma }.$

Применительно к (3.1), определяющему $(RODE{)}^{\text{'}}$, получим

$E^{\text{'}}\left(\lambda \right)h_{\tau }\left(\lambda \right)=\underset{\lambda }{\int }EdL,$ (4.15)

и интегралы от точного решения E берутся вдоль ориентированных по $e_{\tau }\left(\lambda \right)$ ребер l. Под нормами сеточных векторов на гранях s понимаются ${||X||}_{\sigma }=\sqrt{{(G{X}^{\text{'}},X^{\text{'}})}_{\sigma }}$ и ${||X||}_{*}=\sqrt{{(X,X)}_{*}}$, ${(X,Y)}_{*}=\sum _{\sigma }X\left(\sigma \right)\cdot Y\left(\sigma \right)$.

Границы спектра самосопряженного положительно-определенного оператора $V_{\sigma }G:\left(\sigma \right)\to \left(\sigma \right),$ состоящего из матриц Грама $G{r^{\text{'}}}_{\phi }(\sigma ,\tilde{\sigma })$ во взаимных базисах, при условии невырожденности разностной сетки оцениваются следующим образом:

$0<\frac{{\gamma }_1}{h}{(X,X)}_{*}\le {(V_{\sigma }GX,X)}_{*}\le \frac{{\gamma }_2}{h}{(X,X)}_{*}.$

Аналогичная оценка для обратного оператора принимает вид

$0<\frac{h}{{\gamma }_2}{(X,X)}_{*}\le {({\left(V_{\sigma }G\right)}^{-1}X,X)}_{*}\le \frac{h}{{\gamma }_1}{(X,X)}_{*}.$

Здесь ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ являются ограниченными, не стремящимися к нулю величинами, которые не зависят от шага разностной сетки.

Сетку считают невырожденной в следующих случаях.

1. Существует параметр h, характеризующий подробность разбиения расчетной области О и имеющий смысл линейных размеров элементов разностной сетки.
2. Неудельные размеры элементов разностной сетки равномерно оцениваются для всего семейства разностных сеток:

$a_1{h}^3\le V_{\Omega }\le a_2{h}^3$, $b_1{h}^2\le S\left(\sigma \right)\le b_2{h}^2$, $c_{1}h\le h_{\tau }\left(\lambda \right)\le c_{2}h$.

3. Отношение неудельных площадей граней $S\left(\sigma \right)$ и длин ребер $h_{\tau }\left(\lambda \right)$, входящих в один базис j, равномерно по h не стремится к нулю и ограничено сверху числом А.
4. Среди двухгранных и плоских углов ячеек W нет слишком острых и слишком тупых, все они равномерно по h заключены в пределах от Q до $\pi -\Theta$ с не стремящимся к нулю углом Q.

Имеем

${||GRAD\xi ||}_{\sigma }^2\le {||H-RODE||}_{\sigma }^2={\left(\right(H^{\text{'}}-\left(RODE{)}^{\text{'}}\right),\left(V_{\sigma }G\right)(H^{\text{'}}-(RODE{)}^{\text{'}}\left)\right)}_{*}\le \frac{h}{{\gamma }_1}{||\left(V_{\sigma }G\right)(H^{\text{'}}-(RODE{)}^{\text{'}})||}_{*}^2.$

На грани s получим

$\left[\left(V_{\sigma }G\right)H^{\text{'}}\right]\left(\sigma \right)=\overline{H}\left(\sigma \right)h^{\text{'}}\left(\sigma \right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)[H_{Ñ\sigma }\cdot C_{\Omega }{C}_{\sigma }+O(h^2\left)\right].$

Здесь $H_{С\sigma }$ — магнитное поле решения задачи (4.1), (4.2), (4.11) в центре тяжести $C_{\sigma }$ грани s (фиг. 1а).

Согласно (3.1) и (4.15), на грани s имеем

$\left(RODE{)}^{\text{'}}\right(\tilde{\sigma })=\frac{1}{S\left(\tilde{\sigma }\right)}\sum _{\lambda \left(\tilde{\sigma }\right)}{s}_{\lambda }\left(\tilde{\sigma }\right)\underset{\lambda }{\int }EdL=\frac{1}{S\left(\tilde{\sigma }\right)}\underset{\tilde{\sigma }}{\int }rotEdS=\frac{1}{S\left(\tilde{\sigma }\right)}\underset{\tilde{\sigma }}{\int }HdS=[H_{�\sigma }+O(h\left)\right]e\left(\tilde{\sigma }\right).$

Этот интеграл берется по ориентированной площади грани $S\left(\tilde{\sigma }\right)e\left(\tilde{\sigma }\right)$ из шаблона оператора ${\text{V}}_{\sigma }\text{G}$ на грани s; $S\left(\tilde{\sigma }\right)$ — удельная площадь грани $\tilde{\sigma }$.

На грани s получим

$\left[\left(V_{\sigma }G\right)e\right]\left(\sigma \right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}\sum _{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }\sum _{\tilde{\sigma }\left(\phi \right)}{V}_{\phi }G{r^{\text{'}}}_{\phi }(\sigma ,\tilde{\sigma })e\left(\tilde{\sigma }\right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}\sum _{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }{V}_{\phi }{e_{\phi }}^{\text{'}}\left(\sigma \right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)\cdot C_{\Omega }{C}_{\sigma }.$

Поэтому имеем

$\left[\left(V_{\sigma }G\right)(RODE{)}^{\text{'}}\right]\left(\sigma \right)=\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}\sum _{\phi \left(\sigma \right)\in \Omega }\sum _{\tilde{\sigma }\left(\phi \right)}{V}_{\phi }G{r^{\text{'}}}_{\phi }(\sigma ,\tilde{\sigma })[H_{\sigma }+O(h\left)\right]e\left(\tilde{\sigma }\right)=H_{\sigma }\sum _{\Omega \left(\sigma \right)}{s}_{\sigma }\left(\Omega \right)C_{\Omega }{C}_{\sigma }+O\left(h^2\right).$

Тогда

$\left[\right(V_{\sigma }G\left)\right(H^{\text{'}}-\left(RODE{)}^{\text{'}}\right]\left(\sigma \right)=O\left(h^2\right)$

или

${||H-u||}_{\sigma }^2\le \frac{h}{{\gamma }_1}\sum _{\sigma }O\left(h^4\right)=O\left(h^2\right),$

поскольку слагаемых в суммировании $\sum _{\sigma }$ содержится $O\left(h^{-3}\right)$.

Окончательная оценка имеет следующий вид:

${||H-u||}_{\sigma }=O\left(h\right).$

Данная оценка показывает сходимость задачи (4.4), (4.5), (4.11) к континуальной задаче (4.1), (4.2) с граничным условием ${\left.H_{\tau }\right|}_{\Sigma }$ с первым порядком точности на гладких решениях. При наличии сеточной пространственной симметрии порядок точности может быть повышен до второго. Примером такой сетки могут быть ячеечные параллелепипеды, центры которых соединены с центрами граней так, что при каждой из них образуется по четыре тетраэдра внутри параллелепипедной ячейки. При этом центры прямоугольной грани параллелепипеда соединяются с ее вершинами ребрами.

5. Численный расчет

В данном разделе рассмотрим динамику электромагнитных полей, которая развивается на фоне ротационной диффузии вектора магнитного поля. Для данной задачи использовалась разностная схема на регулярной разностной сетке, подробно описанная в [7, 10, 14].

Исследуется сжатие вольфрамовой плазмы магнитными полями, заданными на границе области. В начальный момент времени неподвижная плазма с плотностью $\rho ={\rho }_0$ занимает цилиндр $\sqrt{{(x-0.5)}^2+{(y-0.5)}^2}\le 0.25$ см с осью $0\le z\le 1$ см. Данный цилиндр вписан в куб с размерами $0\le x\le 1$ см, $0\le y\le 1$ см, $0\le z\le 1$ см, внутри которого находится плазма с плотностью вне цилиндра $\rho =0.4{\rho }_0$, где ${\rho }_0=\frac{2\cdot {10}^{-2}}{\pi }$ ${\text{г/см}}^{\text{3}}$. Во всей расчетной области начальная температура $T_e=T_i=0.8$ эВ.

Профиль начальной плотности $(t=0)$ при $z=0.5$ изображен на фиг. 3.

 

Фиг. 3. Начальное распределение плотности, z = 0.5.

 

В работе исследуются компоненты вектора магнитного поля $B_x,B_y,B_z$, которые в начальный момент времени равны нулю: $B_x=\mathrm{0,}{B}_y=\mathrm{0,}{B}_z=0$.

На внешней границе значения компонент вектора магнитного поля определены следующим образом:

$B_{xãð}=B_{x0}\cdot \sin \left(\frac{\pi t}{0.18}\right)$, $B_{yãð}=B_{y0}\cdot \sin \left(\frac{\pi t}{0.18}\right)$, $B_{zãð}=B_{z0}\cdot \sin \left(\frac{\pi t}{0.18}\right)$,

где B_x0 = 2 МГс, B_y0 = 1.5 МГс, B_z0 = 1 МГс. Формулы справедливы при времени расчета $t\le 0.18мкс$. При $t>0.18мкс$ все граничные поля равны нулю.

Уравнения состояния электронного и ионного газа, а также коэффициенты электронной и ионной теплопроводности, электропроводности и др. необходимые коэффициенты приводятся в работе [15].

Методика расчета была представлена в работе [16], теоретическое обоснование которой приведено в разд. 1–4 данной работы.

На фиг. 4–7 представлены результаты расчетов плотности и магнитных полей в момент времени 0.05 мкс. На фиг. 4 изображено распределение плотности, на котором можно увидеть, что под воздействием магнитных полей происходит сжатие плотности к центру расчетной области.

На фиг. 5–7 представлены компоненты магнитной индукции $B_x,B_y,B_z.$ Асимметрия, которую можно увидеть на данных рисунках, возникла в результате определения различных значений констант $B_{x0},B_{y0},B_{z0}.$ Как и следует из уравнений Максвелла, на фиг. 5 распределение компоненты магнитной индукции B_y носит выраженный профильный характер, в то время как на фиг. 6 магнитная индукция B_y распределена латеральным образом.

 

Фиг. 4. Распределение плотности на момент времени 0.05 мкс, z = 0.5.

 

Фиг. 5. Распределение компоненты магнитной индукции B_x на момент времени 0.05 мкс, z = 0.5.

 

Фиг. 6. Распределение компоненты магнитной индукции B_y на момент времени 0.05 мкс, z = 0.5.

 

Фиг. 7. Распределение компоненты магнитной индукции B_z на момент времени 0.05 мкс, z = 0.5.

 

6. Заключение

В настоящей работе на классических решениях модельной магнитостатической задачи с первым порядком точности доказана сходимость разностных схем метода опорных операторов для повторных ротационных операций векторного анализа с нулевым собственным значением спектральной задачи. Сходимость доказана в сеточно-зависимых нормах, которые связаны с энергией метрического разностного оператора нерегулярной тетраэдрической сетки. Единственным ограничением, которое накладывается на тетраэдрическую разностную сетку, является ее невырожденность. В данной работе также приведено численное моделирование динамики электромагнитных полей для трехмерной задачи магнитной гидродинамики в двухтемпературном приближении, которая развивается на фоне ротационной диффузии магнитных полей. Для данной задачи скорость движения вещества и электромагнитные поля имеют полную конфигурацию: $U=(u,w,v),B=(B_x,B_y,B_z),E=(E_x,E_y,E_z)$.

About the authors

Ю. А. Повещенко

ИПМ РАН

Author for correspondence.
Email: hecon@mail.ru
Russian Federation, 125047 Москва, Миусская пл., 4

А. Ю. Круковский

ИПМ РАН

Email: hecon@mail.ru
Russian Federation, 125047 Москва, Миусская пл., 4

В. О. Подрыга

ИПМ РАН

Email: PVictoria@list.ru
Russian Federation, 125047 Москва, Миусская пл., 4

П. И. Рагимли

ИПМ РАН

Email: hecon@mail.ru
Russian Federation, 125047 Москва, Миусская пл., 4

References

Supplementary files