Estimating the Domain of Absolute Stability of a Numerical Scheme Based on the Method of Solution Continuation with Respect to a Parameter for Solving Stiff Initial Value Problems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The modeling of physical and technological processes often involves solving stiff initial value problems. In most cases, their exact solution is difficult to find, while numerical schemes sometimes fail to produce a sufficiently accurate solution in acceptable computation time. Moreover, for some classes of problems, numerical solution schemes are unsuitable because of their insufficient stability. This paper deals with numerical methods based on solution continuation with respect to arguments of various types that make it possible to enhance the stability of explicit numerical schemes. Most frequently, the used best argument is hardly applicable to problems in which the integral curves grow at a superpower or nearly exponential rate. Previously, the authors proposed a modification of the best argument that alleviates these disadvantages. In the present paper, we estimate the domain of absolute stability of the explicit Euler scheme as applied to problems transformed to a modified best argument of special form and refine the proof of a similar estimate for initial value problems transformed to the best argument. A test initial value problem is used to verify the resulting theoretical estimates and to analyze the application of the modified best argument of solution continuation.

About the authors

E. B. Kuznetsov

Moscow State Aviation Institute

Email: kuznetsov@mai.ru
125993, Moscow, Russia

S. S. Leonov

Moscow State Aviation Institute; RUDN University

Email: powerandglory@yandex.ru
125993, Moscow, Russia; 117198, Moscow, Russia

E. D. Tsapko

Moscow State Aviation Institute

Author for correspondence.
Email: zapkokaty@gmail.com
125993, Moscow, Russia

References

  1. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи: теория и приложения. М.: Мир, 1988. 247 с.
  2. Прандтль Л. Теория несущего крыла. Ч. 1. Движение жидкости с очень малым трением. М.; Л.: ГНТИ, 1931. С. 5–11.
  3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31 (73). № 3. С. 575–586.
  4. Васильева А.Б. О дифференцировании решений систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Матем. сб. 1951. Т. 28 (70). № 1. С. 131–146.
  5. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) // Автомат. и телемех. 1997. № 7. С. 4–32.
  6. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. № 9. С. 1427–1447.
  7. Бутузов В.Ф. О контрастных структурах с многозонным внутренним слоем // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24. № 3. С. 288–308.
  8. Curtiss C.F., Hirschfelder J.O. Integration of stiff equations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1952. V. 38. P. 235–243.
  9. Bjurel G., Dahlquist G., Lindberg B., Linde S., Oden L. Survey of stiff ordinary differential equations // Royal Institute of Technology, Stockholm, Depart. Informat. Proces., Comput. Sci. Rep. NA 70.11. 1970.
  10. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
  11. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге–Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988.
  12. Gear C.W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Prentice-Hall, Upper Saddle River, 1971.
  13. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Проблема нелинейности при численном решении сверхжестких задач Коши // Матем. моделирование. 2016. Т. 28. № 4. С. 16–32. (Перевод: Belov A.A., Kalitkin N.N. Nonlinearity problem in the numerical solution of super stiff Cauchy problems // Math. Model. Comput. Simulat. 2013. V. 8. Iss. 6. P. 638–650).
  14. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П. Вычисления с использованием обратных схем Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2013. Т. 25. № 10. С. 79–96 (Перевод: Kalitkin N.N., Poshivaylo I.P. Computations with inverse Runge–Kutta schemes // Math. Model. Comput. Simulat. 2013. V. 6. Iss. 3. P. 272–285).
  15. Куликов Г.Ю. Вложенные симметричные неявные гнездовые методы Рунге–Кутты типов Гаусса и Лобатто для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтоновых систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 6. С. 986–1007 (Перевод: Kulikov G.Yu. Embedded symmetric nested implicit Runge–Kutta methods of Gauss and Lobatto types for solving stiff ordinary differential equations and Hamiltonian systems // Comput. Math. Math. Phys. 2015. V. 55. Iss. 6. P. 983–1003).
  16. Kulikov G.Yu., Weiner R. A singly diagonally implicit two-step peer triple with global error control for stiff ordinary differential equations // SIAM J. Sci. Comput. 2015. V. 37. No. 3. P. A1593–A1613.
  17. Kulikov G.Yu., Shindin S.K. Adaptive nested implicit Runge–Kutta formulas of Gauss type // Appl. Numeric. Math. 2009. V. 59. № 3–4. P. 707–722.
  18. Куликов Г.Ю. Об устойчивости симметричных формул Рунге–Кутты // Докл. АН. 2003. Т. 389. № 2. С. 164–168 (Перевод: Kulikov G.Yu. On the stability of symmetric Runge–Kutta formulas // Doklady. Mathematics. 2003. V. 67. Iss. 2. P. 184–188).
  19. Kulikov G.Yu. Symmetric Runge–Kutta methods and their stability // Russian J. Numer. Anal. Math. Model. 2003. V. 18. Iss. 1. P. 13–41.
  20. Куликов Г.Ю. Неявные гнездовые методы Рунге–Кутты типа Гаусса и Лобатто с локальным и глобальным контролем точности для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 7. С. 1170–1192 (Перевод: Kulikov G.Yu. Nested implicit Runge–Kutta pairs of Gauss and Lobatto types with local and global error controls for stiff ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2020. V. 60. Iss. 7. P. 1134–1154).
  21. Скворцов Л.М. О неявных методах Рунге–Кутты, полученных в результате обращения явных методов // Матем. моделирование. 2017. Т. 29. № 1. С. 3–19 (Перевод: Skvortsov L.M. On implicit Runge–Kutta methods received as a result of inversion of explicit methods // Math. Model. Comput. Simulat. 2017 V. 9. Iss. 4. P. 498–510).
  22. Скворцов Л.М., Козлов О.С. Эффективная реализация диагонально-неявных методов Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2014. Т. 26. № 1. С. 96–108 (Перевод: Skvortsov L.M., Kozlov O.S. Efficient implementation of diagonally implicit Runge–Kutta methods // Math. Model. Comput. Simulat. 2014 V. 6. Iss. 4. P. 415–424).
  23. Скворцов Л.М. Однократно неявные диагонально расширенные методы Рунге–Кутты четвертого порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 5. С. 755–765 (Перевод: Skvortsov L.M. Singly implicit diagonally extended Runge–Kutta methods of fourth order // Comput. Math. Math. Phys. 2014. V. 54. Iss. 5. P. 775–784).
  24. Скворцов Л.М. Эффективная реализация неявных методов Рунге–Кутты второго порядка // Матем. моделирование. 2013. Т. 25. № 5. С. 15–28 (Перевод: Skvortsov L.M. Efficient implementation of second order implicit Runge–Kutta methods // Math. Model. Comput. Simulat. 2013. V. 5. Iss. 6. P. 565–574).
  25. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сибирское предприятие РАН, 1997.
  26. Новиков Е.А., Шорников Ю.В. Моделирование жестких гибридных систем. СПб: Изд-во “Лань”, 2019.
  27. Novikov E.A., Rybkov M.V. Application of explicit methods with extended stability regions for solving stiff problems // J. Siberian Federal University. Math. Phys. 2016. V. 9. No. 2. P. 209–219.
  28. Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования жестких задач с помощью явных и неявных методов // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. “Математика. Механика. Информатика”. 2012. Т. 12. № 4. С. 19–27.
  29. Новиков А.Е., Новиков Е.А. Численное решение жестких задач с небольшой точностью // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 1. С. 46–56 (Перевод: Novikov A.E., Novikov E.A. Numerical integration of stiff systems with low accuracy // Math. Model. Comput. Simulat. 2010. V. 2. Iss. 4. P. 443–452).
  30. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы Рунге–Кутты для жестких и колебательных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 8. С. 1434–1448 (Перевод: Skvortsov L.M. Explicit adaptive Runge–Kutta methods for stiff and oscillation problems // Comput. Math. Math. Phys. 2011. V. 51. Iss. 8. P. 1339–1352).
  31. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2011. Т. 23. № 7. С. 73–87 (Перевод: Skvortsov L.M. Explicit adaptive Runge–Kutta methods // Math. Model. Comput. Simulat. 2011. V. 4. Iss. 1. P. 82–91).
  32. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычисл. процессы и системы. Вып. 8. М: Наука, 1991.
  33. Лебедев В.И. Явные разностные схемы для решения жестких задач с комплексным или разделимым спектром // Ж. вычисл. матем и матем. физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1801–1812.
  34. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 224 с. (Shalashilin V.I., Kuznetsov E.B. Parametric continuation and optimal parametrization in applied mathematics and mechanics. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht, Boston, London, 2003. 236 p.)
  35. Kulikov G.Yu. On quasi-consistent integration by Nordsieck methods // J. Comput. Appl. Math. 2009. V. 225. Iss. 1. P. 268–287.
  36. Kulikov G.Yu., Weiner R. Doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with built-in global error estimation // J. Comput. Appl. Math. 2010. V. 233. Iss. 9. P. 2351–2364.
  37. Kuznetsov E.B., Leonov S.S., Tsapko E.D. A new numerical approach for solving initial value problems with exponential growth integral curves // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2020. V. 927.
  38. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 12. С. 1792–1805.
  39. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. 1963. № 3. P. 27–43.
  40. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
  41. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Особенности расчета контрастных структур в задачах Коши // Матем. моделирование. 2016. Т. 28. № 10. С. 97–109.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2.

Download (34KB)
Indexing metadata
3.

Download (77KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2023 Е.Б. Кузнецов, С.С. Леонов, Е.Д. Цапко

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies