Дискретизация интегральной нормы и близкие задачи

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В статье обсуждается задача о замене интегральной нормы по заданной вероятностной мере соответствующей интегральной нормой по дискретной мере. Указанная задача изучается для элементов конечномерных пространств. Также рассматривается дискретизация равномерной нормы для функций из заданного конечномерного подпространства непрерывных функций. Особое внимание уделено случаю многомерных тригонометрических полиномов со спектрами из конечных множеств заданной мощности. Мы приводим как новые результаты, так и обзор известных результатов. Библиография: 47 названий.

Об авторах

Фенг Дай

University of Alberta

Email: fdai@ualberta.ca

Андрей Примак

University of Manitoba, Department of Mathematics

Email: Andriy.Prymak@umanitoba.ca

Владимир Николаевич Темляков

Университет штата Южная Каролина; Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Email: temlyak@math.sc.edu
доктор физико-математических наук, профессор

Сергей Юрьевич Тихонов

Centre de Recerca Matemàtica; Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats; Universitat Autònoma de Barcelona

Email: stikhonov@crm.cat
кандидат физико-математических наук, без звания

Список литературы

  1. C. Aistleitner, A. Hinrichs, D. Rudolf, “On the size of the largest empty box amidst a point set”, Discrete Appl. Math., 230 (2017), 146–150
  2. R. Askey, Orthogonal polynomials and special functions, CBMS-NSF Regional Conf. Ser. in Appl. Math., 21, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1975, vii+110 pp.
  3. J. Batson, D. A. Spielman, N. Srivastava, “Twice-Ramanujan sparsifiers”, SIAM J. Comput., 41:6 (2012), 1704–1721
  4. J. Bourgain, J. Lindenstrauss, V. Milman, “Approximation of zonoids by zonotopes”, Acta Math., 162:1-2 (1989), 73–141
  5. A. Dumitrescu, M. Jiang, “On the largest empty axis-parallel box amidst $n$ points”, Algorithmica, 66:2 (2013), 225–248
  6. D. Dũng, V. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math. CRM Barcelona, Birkhäuser/Springer, Cham, 2018, xi+218 pp.
  7. E. Gine, J. Zinn, “Some limit theorems for empirical processes”, Ann. Probab., 12:4 (1984), 929–989
  8. Е. Д. Глускин, “Экстремальные свойства ортогональных параллелепипедов и их приложения к геометрии банаховых пространств”, Матем. сб., 136(178):1(5) (1988), 85–96
  9. Б. С. Кашин, “О некоторых свойствах пространства тригонометрических полиномов с равномерной нормой”, Приближение функций полиномами и сплайнами, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 145, Наука, М., 1980, 111–116
  10. Б. С. Кашин, “О методе Лунина нахождения больших подматриц с малой нормой”, Матем. сб., 206:7 (2015), 95–102
  11. Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, “Об одной норме и связанных с ней приложениях”, Матем. заметки, 64:4 (1998), 637–640
  12. Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, “Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих переменных”, Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа, АФЦ, М., 1999, 69–99
  13. B. S. Kashin, V. N. Temlyakov, “The volume estimates and their applications”, East J. Approx., 9:4 (2003), 469–485
  14. Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, “Замечания о дискретизации тригонометрических многочленов c заданным спектром”, УМН, 73:6(444) (2018), 197–198
  15. B. S. Kashin, V. N. Temlyakov, Some remarks on discretization of the uniform norm, manuscript, 2018
  16. S. V. Konyagin, V. N. Temlyakov, “The entropy in learning theory. Error estimates”, Constr. Approx., 25:1 (2007), 1–27
  17. В. И. Крылов, Приближенное вычисление интегралов, 2-е изд., Наука, М., 1967, 500 с.
  18. A. W. Marcus, D. A. Spielman, N. Srivastava, “Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem”, Ann. of Math. (2), 182:1 (2015), 327–350
  19. J. Matoušek, Geometric discrepancy. An illustrated guide, Algorithms Combin., 18, Springer-Verlag, Berlin, 1999, xii+288 pp.
  20. H. Niederreiter, C. Xing, “Low-discrepancy sequences and global function fields with many rational places”, Finite Fields Appl., 2:3 (1996), 241–273
  21. S. Nitzan, A. Olevskii, A. Ulanovskii, “Exponential frames on unbounded sets”, Proc. Amer. Math. Soc., 144:1 (2016), 109–118
  22. E. Nursultanov, S. Tikhonov, “A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials”, Constr. Approx., 38:1 (2013), 101–132
  23. M. Putinar, “A note on Tchakaloff's theorem”, Proc. Amer. Math. Soc., 125:8 (1997), 2409–2414
  24. Р. Т. Рокафеллар, Выпуклый анализ, Мир, М., 1973, 472 с.
  25. G. Rote, R. F. Tichy, “Quasi-Monte-Carlo methods and the dispersion of point sequences”, Math. Comput. Modelling, 23:8-9 (1996), 9–23
  26. M. Rudelson, “Almost orthogonal submatrices of an orthogonal matrix”, Izrael J. Math., 111 (1999), 143–155
  27. I. Z. Ruzsa, “Solving a linear equation in a set of integers. I”, Acta Arith., 65:3 (1993), 259–282
  28. I. Z. Ruzsa, “An infinite Sidon sequence”, J. Number Theory, 68:1 (1998), 63–71
  29. M. Talagrand, The generic chaining. Upper and lower bounds of stochastic processes, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2005, viii+222 pp.
  30. В. Н. Темляков, “Приближение функций с ограниченной смешанной производной”, Тр. МИАН СССР, 178, Наука, М., 1986, 3–113
  31. В. Н. Темляков, “О восстановлении периодических функций нескольких переменных по значениям в узлах теоретикочисловых сеток”, Anal. Math., 12:4 (1986), 287–305
  32. В. Н. Темляков, “О приближении элементами конечномерного подпространства функций из различных классов Соболева или Никольского”, Матем. заметки, 43:6 (1988), 770–785
  33. В. Н. Темляков, “Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью”, Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций (Душанбе, август 1986 г.), Тр. МИАН СССР, 189, Наука, М., 1989, 138–168
  34. В. Н. Темляков, “Билинейная аппроксимация и близкие вопросы”, Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 14, Тр. МИАН СССР, 194, Наука, М., 1992, 229–248
  35. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic functions, Comput. Math. Anal. Ser., Nova Sci. Publ., Commack, NY, 1993, x+419 pp.
  36. V. N. Temlyakov, “On approximate recovery of functions with bounded mixed derivative”, J. Complexity, 9:1 (1993), 41–59
  37. V. Temlyakov, Greedy approximation, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math., 20, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2011, xiv+418 pp.
  38. V. Temlyakov, “On the entropy numbers of the mixed smoothness function classes”, J. Approx. Theory, 217 (2017), 26–56
  39. V. N. Temlyakov, “The Marcinkiewicz-type discretization theorems for the hyperbolic cross polynomials”, Jaen J. Approx., 9:1 (2017), 37–63
  40. V. N. Temlyakov, “The Marcinkiewicz-type discretization theorems”, Constr. Approx., 48:2 (2018), 337–369
  41. V. N. Temlyakov, “Universal discretization”, J. Complexity, 47 (2018), 97–109
  42. V. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math., 32, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2018, xvi+534 pp.
  43. V. Temlyakov, S. Tikhonov, “Remez-type and Nikol'skii-type inequalities: general relations and the hyperbolic cross polynomials”, Constr. Approx., 46:3 (2017), 593–615
  44. J. A. Tropp, “User-friendly tail bounds for sums of random matrices”, Found. Comput. Math., 12:4 (2012), 389–434
  45. M. W. Wilson, “Uniform approximation of nonnegative continuous linear functionals”, J. Approx. Theory, 2:3 (1969), 241–248
  46. H. Wozniakowski, “A survey of information-based complexity”, J. Complexity, 1:1 (1985), 11–44
  47. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 1, 2, Мир, М., 1965, 615 с., 537 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Дай Ф., Примак А., Темляков В.Н., Тихонов С.Ю., 2019

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».