Нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В работе дан обзор недавних исследований по нелинейным уравнениям Фоккера–Планка–Колмогорова эллиптического и параболического типа и приведен ряд новых результатов. Подробно обсуждаются проблемы существования и единственности решений, различные оценки решений, связи с линейными уравнениями, сходимость решений параболических уравнений к стационарным решениям. Библиография: 116 названий.

Об авторах

Владимир Игоревич Богачев

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Email: vibogach@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5249-2965
Scopus Author ID: 7005751293
ResearcherId: P-6316-2016
доктор физико-математических наук, профессор

Станислав Валерьевич Шапошников

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Email: shaposh.st@ru.net
ORCID iD: 0000-0002-3281-7061

Список литературы

  1. N. U. Ahmed, Xinhong Ding, “On invariant measures of nonlinear Markov processes”, J. Appl. Math. Stochastic Anal., 6:4 (1993), 385–406
  2. F. Anceschi, Yuzhe Zhu, “On a spatially inhomogeneous nonlinear Fokker–Planck equation: Cauchy problem and diffusion asymptotics”, Anal. PDE, 17:2 (2024), 379–420
  3. V. Barbu, “Generalized solutions to nonlinear Fokker–Planck equations”, J. Differential Equations, 261:4 (2016), 2446–2471
  4. V. Barbu, Semigroup approach to nonlinear diffusion equations, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2022, vii+212 pp.
  5. V. Barbu, “The Trotter product formula for nonlinear Fokker–Planck flows”, J. Differential Equations, 345 (2023), 314–333
  6. V. Barbu, M. Röckner, “Nonlinear Fokker–Planck equations driven by Gaussian linear multiplicative noise”, J. Differential Equations, 265:10 (2018), 4993–5030
  7. V. Barbu, M. Röckner, “Probabilistic representation for solutions to nonlinear Fokker–Planck equations”, SIAM J. Math. Anal., 50:4 (2018), 4246–4260
  8. V. Barbu, M. Röckner, “Solutions for nonlinear Fokker–Planck equations with measures as initial data and McKean–Vlasov equations”, J. Funct. Anal., 280:7 (2021), 108926, 35 pp.
  9. V. Barbu, M. Röckner, “Uniqueness for nonlinear Fokker–Planck equations and weak uniqueness for McKean–Vlasov SDEs”, Stoch. Partial Differ. Equ. Anal. Comput., 9:3 (2021), 702–713
  10. V. Barbu, M. Röckner, “The invariance principle for nonlinear Fokker–Planck equations”, J. Differential Equations, 315 (2022), 200–221
  11. V. Barbu, M. Röckner, “Uniqueness for nonlinear Fokker–Planck equations and for McKean–Vlasov SDEs: the degenerate case”, J. Funct. Anal., 285:4 (2023), 109980, 37 pp.
  12. V. Barbu, M. Röckner, “The evolution to equilibrium of solutions to nonlinear Fokker–Planck equation”, Indiana Univ. Math. J., 72:1 (2023), 89–131
  13. Я. И. Белопольская, “Системы нелинейных обратных и прямых уравнений Колмогорова, обобщенные решения”, Теория вероятн. и ее примен., 66:1 (2021), 20–54
  14. A. L. Bertozzi, J. A. Carrillo, T. Laurent, “Blow-up in multidimensional aggregation equations with mildly singular interaction kernels”, Nonlinearity, 22:3 (2009), 683–710
  15. V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
  16. В. И. Богачев, “Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований”, УМН, 77:5(467) (2022), 3–52
  17. V. I. Bogachev, G. Da Prato, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Nonlinear evolution equations for measures on infinite dimensional spaces”, Stochastic partial differential equations and applications, Quad. Mat., 25, Dept. Math., Seconda Univ. Napoli, Caserta, 2010, 51–64
  18. V. I. Bogachev, A. I. Kirillov, S. V. Shaposhnikov, “The Kantorovich and variation distances between invariant measures of diffusions and nonlinear stationary Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, Math. Notes, 96:5 (2014), 855–863
  19. В. И. Богачев, А. И. Кириллов, С. В. Шапошников, “Расстояния между стационарными распределениями диффузий и разрешимость нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова”, Теория вероятн. и ее примен., 62:1 (2017), 16–43
  20. В. И. Богачев, А. В. Колесников, С. В. Шапошников, Задачи Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2023, 664 с.
  21. В. И. Богачев, Т. И. Красовицкий, С. В. Шапошников, “О единственности вероятностных решений уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Матем. сб., 212:6 (2021), 3–42
  22. В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, “Эллиптические и параболические уравнения для мер”, УМН, 64:6(390) (2009), 5–116
  23. В. И. Богачeв, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, Уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2013, 592 с.
  24. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Нелинейные эволюционные и транспортные уравнения для мер”, Докл. РАН, 429:1 (2009), 7–11
  25. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Distances between transition probabilities of diffusions and applications to nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Funct. Anal., 271:5 (2016), 1262–1300
  26. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “The Poisson equation and estimates for distances between stationary distributions of diffusions”, J. Math. Sci. (N.Y.), 232:3 (2018), 254–282
  27. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Сходимость к стационарным мерам в нелинейных уравнениях Фоккера–Планка–Колмогорова”, Докл. РАН, 482:4 (2018), 369–374
  28. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Convergence in variation of solutions of nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations to stationary measures”, J. Funct. Anal., 276:12 (2019), 3681–3713
  29. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On convergence to stationary distributions for solutions of nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Math. Sci. (N. Y.), 242:1 (2019), 69–84
  30. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On the Ambrosio–Figalli–Trevisan superposition principle for probability solutions to Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Dynam. Differential Equations, 33:2 (2021), 715–739
  31. В. И. Богачев, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, “Задачи Колмогорова об уравнениях для стационарных и переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023), 420–455
  32. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Zvonkin's transform and the regularity of solutions to double divergence form elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 48:1 (2023), 119–149
  33. В. И. Богачев, Д. И. Салахов, С. В. Шапошников, “Уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова с нелинейными членами локального и нелокального вида”, Алгебра и анализ, 35:5 (2023), 11–38
  34. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, Топологические векторные пространства и их приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2012, 584 с.
  35. F. Bolley, I. Gentil, A. Guillin, “Convergence to equilibrium in Wasserstein distance for Fokker–Planck equations”, J. Funct. Anal., 263:8 (2012), 2430–2457
  36. F. Bolley, I. Gentil, A. Guillin, “Uniform convergence to equilibrium for granular media”, Arch. Ration. Mech. Anal., 208:2 (2013), 429–445
  37. F. Bouchut, “Existence and uniqueness of a global smooth solution for the Vlasov–Poisson–Fokker–Planck system in three dimensions”, J. Funct. Anal., 111:1 (1993), 239–258
  38. О. А. Бутковский, “Об эргодических свойствах нелинейных марковских цепей и стохастических уравнений Маккина–Власова”, Теория вероятн. и ее примен., 58:4 (2013), 782–794
  39. J. A. Cañizo, J. A. Carrillo, P. Laurençot, J. Rosado, “The Fokker–Planck equation for bosons in 2D: well-posedness and asymptotic behavior”, Nonlinear Anal., 137 (2016), 291–305
  40. P. Cardaliaguet, F. Delarue, J.-M. Lasry, P.-L. Lions, The master equation and the convergence problem in mean field games, Ann. of Math. Stud., 201, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2019, x+212 pp.
  41. R. Carmona, F. Delarue, Probabilistic theory of mean field games with applications, v. I, Probab. Theory Stoch. Model., 83, Mean field FBSDEs, control, and games, Springer, Cham, 2018, xxv+713 pp.
  42. J. A. Carrillo, A. Clini, S. Solem, “The mean field limit of stochastic differential equation systems modeling grid cells”, SIAM J. Math. Anal., 55:4 (2023), 3602–3634
  43. J. A. Carrillo, M. DiFrancesco, A. Figalli, T. Laurent, D. Slepčev, “Global-in-time weak measure solutions and finite-time aggregation for non-local interaction equations”, Duke Math. J., 156:2 (2011), 229–271
  44. J. A. Carrillo, R. Duan, A. Moussa, “Global classical solutions close to equilibrium to the Vlasov–Fokker–Planck–Euler system”, Kinet. Relat. Models, 4:1 (2011), 227–258
  45. J. A. Carrillo, D. Gomez-Castro, J. L. Vazquez, “Infinite-time concentration in aggregation–diffusion equations with a given potential”, J. Math. Pures Appl. (9), 157 (2022), 346–398
  46. J. A. Carrillo, K. Hopf, J. L. Rodrigo, “On the singularity formation and relaxation to equilibrium in 1D Fokker–Planck model with superlinear drift”, Adv. Math., 360 (2020), 106883, 66 pp.
  47. J. A. Carrillo, P. Laurençot, J. Rosado, “Fermi–Dirac–Fokker–Planck equation: well-posedness & long-time asymptotics”, J. Differential Equations, 247:8 (2009), 2209–2234
  48. J. A. Carrillo, S. Lisini, G. Savare, D. Slepčev, “Nonlinear mobility continuity equations and generalized displacement convexity”, J. Funct. Anal., 258:4 (2010), 1273–1309
  49. J. A. Carrillo, J. Rosado, F. Salvarani, “1D nonlinear Fokker–Planck equations for fermions and bosons”, Appl. Math. Lett., 21:2 (2008), 148–154
  50. P.-E. Chaudru de Raynal, N. Frikha, “Well-posedness for some non-linear SDEs and related PDE on the Wasserstein space”, J. Math. Pures Appl. (9), 159 (2022), 1–167
  51. M. Coghi, B. Gess, “Stochastic nonlinear Fokker–Planck equations”, Nonlinear Anal., 187 (2019), 259–278
  52. M. Colombo, G. Crippa, M. Graffe, L. V. Spinolo, “Recent results on the singular local limit for nonlocal conservation laws”, Hyperbolic problems: theory, numerics, applications, AIMS Ser. Appl. Math., 10, Am. Inst. Math. Sci. (AIMS), Springfield, MO, 2020, 369–376
  53. M. Dieckmann, “A restricted superposition principle for (non-)linear Fokker–Planck–Kolmogorov equations on Hilbert spaces”, J. Evol. Equ., 22:2 (2022), 55, 28 pp.
  54. Р. Л. Добрушин, “Уравнения Власова”, Функц. анализ и его прил., 13:2 (1979), 48–58
  55. Hongjie Dong, L. Escauriaza, Seick Kim, “On $C^1$, $C^2$, and weak type-$(1,1)$ estimates for linear elliptic operators. II”, Math. Ann., 370:1-2 (2018), 447–489
  56. Hongjie Dong, L. Escauriaza, Seick Kim, “On $C^{1/2,1}$, $C^{1,2}$, and $C^{0,0}$ estimates for linear parabolic operators”, J. Evol. Equ., 21:4 (2021), 4641–4702
  57. Hongjie Dong, Seick Kim, “On $C^1$, $C^2$, and weak type-$(1, 1)$ estimates for linear elliptic operators”, Comm. Partial Differential Equations, 42:3 (2017), 417–435
  58. A. Eberle, “Reflection couplings and contraction rates for diffusions”, Probab. Theory Related Fields, 166:3-4 (2016), 851–886
  59. A. Eberle, A. Guillin, R. Zimmer, “Quantitative Harris-type theorems for diffusions and McKean–Vlasov processes”, Trans. Amer. Math. Soc., 371:10 (2019), 7135–7173
  60. M. Fathi, M. Mikulincer, “Stability estimates for invariant measures of diffusion processes, with applications to stability of moment measures and Stein kernels”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 23:3 (2022), 1417–1445
  61. F. Flandoli, M. Leocata, C. Ricci, “The Navier–Stokes–Vlasov–Fokker–Planck system as a scaling limit of particles in a fluid”, J. Math. Fluid Mech., 23:2 (2021), 40, 39 pp.
  62. T. D. Frank, Nonlinear Fokker–Planck equations. Fundamentals and applications, Springer Ser. Synergetics, Springer-Verlag, Berlin, 2005, xii+404 pp.
  63. T. D. Frank, “Linear and nonlinear Fokker–Planck equations”, Synergetics, Encycl. Complex. Syst. Sci., Springer, New York, 2020, 149–182
  64. T. Funaki, “A certain class of diffusion processes associated with nonlinear parabolic equations”, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 67:3 (1984), 331–348
  65. G. Furioli, A. Pulvirenti, E. Terraneo, G. Toscani, “Fokker–Planck equations in the modeling of socio-economic phenomena”, Math. Models Methods Appl. Sci., 27:1 (2017), 115–158
  66. S. Grube, “Strong solutions to McKean–Vlasov SDEs with coefficients of Nemytskii type: the time-dependent case”, J. Evol. Equ., 24:2 (2024), 37, 14 pp.
  67. A. Guillin, P. Le Bris, P. Monmarche, “Convergence rates for the Vlasov–Fokker–Planck equation and uniform in time propagation of chaos in non convex cases”, Electron. J. Probab., 27 (2022), 124, 44 pp.
  68. W. R. P. Hammersley, D. Šiška, Ł. Szpruch, “McKean–Vlasov SDEs under measure dependent Lyapunov conditions”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 57:2 (2021), 1032–1057
  69. K. Hopf, “Singularities in $L^1$-supercritical Fokker–Planck equations: a qualitative analysis”, Ann. Inst. H. Poincare C Anal. Non Lineaire, 41:2 (2024), 357–403
  70. Xing Huang, Panpan Ren, Feng-Yu Wang, “Distribution dependent stochastic differential equations”, Front. Math. China, 16:2 (2021), 257–301
  71. Xing Huang, M. Röckner, Feng-Yu Wang, “Nonlinear Fokker–Planck equations for probability measures on path space and path-distribution dependent SDEs”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 39:6 (2019), 3017–3035
  72. Xing Huang, Feng-Yu Wang, “Singular McKean–Vlasov (reflecting) SDEs with distribution dependent noise”, J. Math. Anal. Appl., 514:1 (2022), 126301, 21 pp.
  73. Sukjung Hwang, Seick Kim, “Green's function for second order elliptic equations in non-divergence form”, Potential Anal., 52:1 (2020), 27–39
  74. E. Issoglio, F. Russo, “McKean SDEs with singular coefficients”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 59:3 (2023), 1530–1548
  75. Min Ji, Zhongwei Shen, Yingfei Yi, “Convergence to equilibrium in Fokker–Planck equations”, J. Dynam. Differential Equations, 31:3 (2019), 1591–1615
  76. A. Jüngel, Entropy methods for diffusive partial differential equations, SpringerBriefs Math., Springer, Cham, 2016, viii+139 pp.
  77. M. Kac, “Foundations of kinetic theory”, Proceedings of the third Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, 1954–1955, v. 3, Univ. California Press, Berkeley–Los Angeles, CA, 1956, 171–197
  78. E. F. Keller, L. A. Segel, “Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability”, J. Theoret. Biol., 26:3 (1970), 399–415
  79. A. Kiselev, F. Nazarov, L. Ryzhik, Yao Yao, “Chemotaxis and reactions in biology”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 25:7 (2023), 2641–2696
  80. V. Kolokoltsov, Differential equations on measures and functional spaces, Birkhäuser Adv. Texts Basler Lehrbücher, Birkhäuser/Springer, Cham, 2019, xvi+525 pp.
  81. S. Kondratyev, D. Vorotnikov, “Nonlinear Fokker–Planck equations with reaction as gradient flows of the free energy”, J. Funct. Anal., 278:2 (2020), 108310, 40 pp.
  82. А. А. Коньков, “О стабилизации решений нелинейного уравнения Фоккера–Планка”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 29, Изд-во Моск. ун-та, М., 2013, 333–345
  83. В. В. Козлов, “Обобщенное кинетическое уравнение Власова”, УМН, 63:4(382) (2008), 93–130
  84. В. В. Козлов, “Кинетическое уравнение Власова, динамика сплошных сред и турбулентность”, Нелинейная динам., 6:3 (2010), 489–512
  85. Hailiang Li, G. Toscani, “Long-time asymptotics of kinetic models of granular flows”, Arch. Ration. Mech. Anal., 172:3 (2004), 407–428
  86. Jie Liao, Qianrong Wang, Xiongfeng Yang, “Global existence and decay rates of the solutions near Maxwellian for non-linear Fokker–Planck equations”, J. Stat. Phys., 173:1 (2018), 222–241
  87. S. Lisini, A. Marigonda, “On a class of modified Wasserstein distances induced by concave mobility functions defined on bounded intervals”, Manuscripta Math., 133:1-2 (2010), 197–224
  88. O. A. Manita, “Nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations in Hilbert spaces”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 437, ПОМИ, СПб., 2015, 184–206
  89. O. A. Manita, “Estimates for transportation costs along solutions to Fokker–Planck–Kolmogorov equations with dissipative drifts”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 28:3 (2017), 601–618
  90. O. A. Manita, M. S. Romanov, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness of solutions to nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, Nonlinear Anal., 128 (2015), 199–226
  91. O. A. Manita, M. S. Romanov, S. V. Shaposhnikov, “Estimates of distances between solutions of Fokker–Planck–Kolmogorov equations with partially degenerate diffusion matrices”, Theory Stoch. Process., 23:2 (2018), 41–54
  92. О. А. Манита, С. В. Шапошников, “Нелинейные параболические уравнения для мер”, Алгебра и анализ, 25:1 (2013), 64–93
  93. H. P. McKean, Jr., “A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 56:6 (1966), 1907–1911
  94. H. P. McKean, Jr., “Propagation of chaos for a class of non-linear parabolic equations”, Stochastic differential equations, Lecture Series in Differential Equations, Session 7, Air Force Office of Scientific Research, Office of Aerospace Research, United States Air Force, Arlington, VA, 1967, 41–57
  95. S. Mehri, W. Stannat, “Weak solutions to Vlasov–McKean equations under Lyapunov-type conditions”, Stoch. Dyn., 19:6 (2019), 1950042, 23 pp.
  96. Y. Mishura, A. Veretennikov, “Existence and uniqueness theorems for solutions of McKean–Vlasov stochastic equations”, Theory Probab. Math. Statist., 103 (2020), 59–101
  97. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2001, 3–383
  98. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Лиувиллевы теоремы для некоторых классов нелинейных нелокальных задач”, Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 248, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 164–184
  99. A. Mogilner, L. Edelstein-Keshet, “A non-local model for a swarm”, J. Math. Biol., 38:6 (1999), 534–570
  100. A. Okubo, S. A. Levin, Diffusion and ecological problems: modern perspectives, Interdiscip. Appl. Math., 14, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 2001, xx+467 pp.
  101. C. Olivera, A. Richard, M. Tomaševic, “Quantitative particle approximation of nonlinear Fokker–Planck equations with singular kernel”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 24:2 (2023), 691–749
  102. R. Precup, P. Rubbioni, “Stationary solutions of Fokker–Planck equations with nonlinear reaction terms in bounded domains”, Potential Anal., 57:2 (2022), 181–199
  103. M. Rehmeier, “Flow selections for (nonlinear) Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Differential Equations, 328 (2022), 105–132
  104. M. Rehmeier, “Linearization and a superposition principle for deterministic and stochastic nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 24:3 (2023), 1705–1739
  105. Panpan Ren, M. Röckner, Feng-Yu Wang, “Linearization of nonlinear Fokker–Planck equations and applications”, J. Differential Equations, 322 (2022), 1–37
  106. Zhenjie Ren, Xiaolu Tan, N. Touzi, Junjian Yang, “Entropic optimal planning for path-dependent mean field games”, SIAM J. Control Optim., 61:3 (2023), 1415–1437
  107. K. Schuh, “Global contractivity for Langevin dynamics with distribution-dependent forces and uniform in time propagation of chaos”, Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat., 60:2 (2024), 753–789
  108. S. V. Shaposhnikov, “Nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations for measures”, Stochastic partial differential equations and related fields, Springer Proc. Math. Stat., 229, Springer, Cham, 2018, 367–379
  109. Zheng Sun, J. A. Carrillo, Chi-Wang Shu, “A discontinuous Galerkin method for nonlinear parabolic equations and gradient flow problems with interaction potentials”, J. Comput. Phys., 352:4 (2018), 76–104
  110. Л. Г. Тоноян, “Нелинейные эллиптические уравнения для мер”, Докл. РАН, 439:2 (2011), 174–177
  111. G. Toscani, “Finite time blow up in Kaniadakis–Quarati model of Bose–Einstein particles”, Comm. Partial Differential Equations, 37:1 (2012), 77–87
  112. A. Tosin, M. Zanella, “Kinetic-controlled hydrodynamics for traffic models with driver-assist vehicles”, Multiscale Model. Simul., 17:2 (2019), 716–749
  113. Alvin Tse, “Higher order regularity of nonlinear Fokker–Planck PDEs with respect to the measure component”, J. Math. Pures Appl. (9), 150 (2021), 134–180
  114. V. Vedenyapin, A. Sinitsyn, E. Dulov, Kinetic Boltzmann, Vlasov and related equations, Elsevier, Inc., Amsterdam, 2011, xvi+304 pp.
  115. A. Yu. Veretennikov, “On ergodic measures for McKean–Vlasov stochastic equations”, Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods 2004, Springer-Verlag, Berlin, 2006, 471–486
  116. Feng-Yu Wang, “Distribution dependent reflecting stochastic differential equations”, Sci. China Math., 66:11 (2023), 2411–2456

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Богачев В.И., Шапошников С.В., 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».