One-sided discretization inequalities and recovery from samples

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Recently, in a number of papers it was understood that results on sampling discretization and on the universal sampling discretization can be successfully used in the problem of sampling recovery. Moreover, it turns out that it is sufficient to only have a one-sided discretization inequality for some of those applications. This motivates us to write the present paper as a survey paper, which includes new results, with the focus on the one-sided discretization inequalities and their applications in the sampling recovery. In this sense the paper complements the two existing survey papers on sampling discretization.

About the authors

Irina Viktorovna Limonova

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: limonova_irina@rambler.ru
Scopus Author ID: 6504297131
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Yuri Viatcheslavovich Malykhin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University

Email: malykhin-yuri@yandex.ru
Scopus Author ID: 15725487800
ResearcherId: Q-4409-2016
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Vladimir Nikolaevich Temlyakov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics; University of South Carolina Upstate

Email: temlyak@math.sc.edu
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. F. Bartel, M. Schäfer, T. Ullrich, “Constructive subsampling of finite frames with applications in optimal function recovery”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 65 (2023), 209–248
  2. J. Bourgain, M. Lewko, “Sidonicity and variants of Kaczmarz's problem”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 67:3 (2017), 1321–1352
  3. M. Dolbeault, A. Cohen, “Optimal pointwise sampling for $L^2$ approximation”, J. Complexity, 68 (2022), 101602, 12 pp.
  4. A. Cohen, G. Migliorati, “Optimal weighted least-squares methods”, SMAI J. Comput. Math., 3 (2017), 181–203
  5. F. Dai, E. Kosov, V. Temlyakov, “Some improved bounds in sampling discretization of integral norms”, J. Funct. Anal., 285:4 (2023), 109951, 40 pp.
  6. F. Dai, A. Prymak, A. Shadrin, V. Temlyakov, S. Tikhonov, “Entropy numbers and Marcinkiewicz-type discretization”, J. Funct. Anal., 281:6 (2021), 109090, 25 pp.
  7. Ф. Дай, А. Примак, В. Н. Темляков, С. Ю. Тихонов, “Дискретизация интегральной нормы и близкие задачи”, УМН, 74:4(448) (2019), 3–58
  8. Ф. Дай, В. Н. Темляков, “Дискретизация интегральных норм по значениям в точках и ее приложение”, Труды МИАН, 319, Теория приближений, функциональный анализ и приложения (2022), 106–119
  9. F. Dai, V. Temlyakov, Universal discretization and sparse sampling recovery, 2023, 40 pp.
  10. F. Dai, V. Temlyakov, Lebesgue-type inequalities in sparse sampling recovery, 2023, 25 pp.
  11. F. Dai, V. Temlyakov, “Random points are good for universal discretization”, J. Math. Anal. Appl., 529:1 (2024), 127570, 28 pp.
  12. Динь Зунг, “О восстановлении и одностороннем приближении периодических функций многих переменных”, Докл. АН СССР, 313:4 (1990), 787–790
  13. Dinh Dũng, V. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math. CRM Barcelona, Birkhäuser/Springer, Cham, 2018, xi+218 pp.
  14. M. Dolbeault, D. Krieg, M. Ullrich, “A sharp upper bound for sampling numbers in $L_2$”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 63 (2023), 113–134
  15. D. Freeman, D. Ghoreishi, “Discretizing $L_p$ norms and frame theory”, J. Math. Anal. Appl., 519:2 (2023), 126846, 17 pp.
  16. Е. Д. Глускин, “Экстремальные свойства ортогональных параллелепипедов и их приложения к геометрии банаховых пространств”, Матем. сб., 136(178):1(5) (1988), 85–96
  17. T. Jahn, T. Ullrich, F. Voigtlaender, “Sampling numbers of smoothness classes via $ell^1$-minimization”, J. Complexity, 79 (2023), 101786, 35 pp.
  18. L. Kämmerer, T. Ullrich, T. Volkmer, “Worst-case recovery guarantees for least squares approximation using random samples”, Constr. Approx., 54:2 (2021), 295–352
  19. B. Kashin, S. Konyagin, V. Temlyakov, “Sampling discretization of the uniform norm”, Constr. Approx., 57:2 (2023), 663–694
  20. B. Kashin, E. Kosov, I. Limonova, V. Temlyakov, “Sampling discretization and related problems”, J. Complexity, 71 (2022), 101653, 55 pp.
  21. B. S. Kashin, V. N. Temlyakov, “The volume estimates and their applications”, East J. Approx., 9:4 (2003), 469–485
  22. J. Kiefer, J. Wolfowitz, “The equivalence of two extremum problems”, Canadian J. Math., 12 (1960), 363–366
  23. E. Kosov, V. Temlyakov, “Sampling discretization of the uniform norm and applications”, J. Math. Anal. Appl., 538:2 (2024), 128431, 25 pp.
  24. E. D. Kosov, V. N. Temlyakov, Bounds for the sampling discretization error and their applications to universal sampling discretization, 2024 (v1 – 2023), 36 pp.
  25. D. Krieg, K. Pozharska, M. Ullrich, T. Ullrich, Sampling recovery in $L_2$ and other norms, 2023, 32 pp.
  26. D. Krieg, K. Pozharska, M. Ullrich, T. Ullrich, Sampling projections in the uniform norm, 2024, 18 pp.
  27. D. Krieg, M. Ullrich, “Function values are enough for $L_2$-approximation”, Found. Comput. Math., 21:4 (2021), 1141–1151
  28. D. Krieg, M. Ullrich, “Function values are enough for $L_2$-approximation: Part II”, J. Complexity, 66 (2021), 101569, 14 pp.
  29. И. В. Лимонова, “О точной дискретизации $L_2$-нормы с отрицательным весом”, Матем. заметки, 110:3 (2021), 465–470
  30. I. Limonova, V. Temlyakov, “On sampling discretization in $L_2$”, J. Math. Anal. Appl., 515:2 (2022), 126457, 14 pp.
  31. D. S. Lubinsky, “Marcinkiewicz–Zygmund inequalities: methods and results”, Recent progress in inequalities, Math. Appl., 430, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, 213–240
  32. А. А. Лунин, “Об операторных нормах подматриц”, Матем. заметки, 45:3 (1989), 94–100
  33. A. W. Marcus, D. A. Spielman, N. Srivastava, “Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem”, Ann. of Math. (2), 182:1 (2015), 327–350
  34. N. Nagel, M. Schäfer, T. Ullrich, “A new upper bound for sampling numbers”, Found. Comput. Math., 22:2 (2022), 445–468
  35. E. Novak, Deterministic and stochastic error bounds in numerical analysis, Lecture Notes in Math., 1349, Springer-Verlag, Berlin, 1988, vi+113 pp.
  36. E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of multivariate problems, v. I, EMS Tracts Math., 6, Linear information, Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2008, xii+384 pp.
  37. E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of multivariate problems, v. II, EMS Tracts Math., 12, Standard information for functionals, Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2010, xviii+657 pp.
  38. E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of multivariate problems, v. III, EMS Tracts Math., 18, Standard information for operators, Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2012, xviii+586 pp.
  39. G. Pisier, “On uniformly bounded orthonormal Sidon systems”, Math. Res. Lett., 24:3 (2017), 893–932
  40. K. Pozharska, T. Ullrich, “A note on sampling recovery of multivariate functions in the uniform norm”, SIAM J. Numer. Anal., 60:3 (2022), 1363–1384
  41. V. N. Temlyakov, “On approximate recovery of functions with bounded mixed derivative”, J. Complexity, 9:1 (1993), 41–59
  42. V. N. Temlyakov, “The Marcinkiewicz-type discretization theorems for the hyperbolic cross polynomials”, Jaen J. Approx., 9:1 (2017), 37–63
  43. V. N. Temlyakov, “The Marcinkiewicz-type discretization theorems”, Constr. Approx., 48:2 (2018), 337–369
  44. V. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math., 32, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2018, xvi+534 pp.
  45. V. Temlyakov, “On optimal recovery in $L_2$”, J. Complexity, 65 (2021), 101545, 11 pp.
  46. В. Н. Темляков, “Об универсальном восстановлении функций по значениям в точках в равномерной норме”, Труды МИАН, 323, Теория функций многих действительных переменных и ее приложения (2023), 213–223
  47. V. Temlyakov, Sparse sampling recovery in integral norms on some function classes, 2024, 25 pp.
  48. V. Temlyakov, T. Ullrich, “Bounds on Kolmogorov widths and sampling recovery for classes with small mixed smoothness”, J. Complexity, 67 (2021), 101575, 19 pp.
  49. J. F. Traub, G. W. Wasilkowski, H. Wozniakowski, Information-based complexity, Comput. Sci. Sci. Comput., Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xiv+523 pp.
  50. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, Мир, М., 1965, 615 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Лимонова И.V., Малыхин Ю.V., Темляков В.N.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».