Boltzmann-type kinetic equations and discrete models

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The known non-linear kinetic equations (in particular, the wave kinetic equation and the quantum Nordheim–Uehling–Uhlenbeck equations) are considered as a natural generalization of the classical spatially homogeneous Boltzmann equation. To this goal we introduce the general Boltzmann-type kinetic equation that depends on a function of four real variables $F(x,y;v,w)$. The function $F$ is assumed to satisfy certain commutation relations. The general properties of this equation are studied. It is shown that the kinetic equations mentioned above correspond to different forms of the function (polynomial) $F$. Then the problem of discretization of the general Boltzmann-type kinetic equation is considered on the basis of ideas which are similar to those used for the construction of discrete models of the Boltzmann equation. The main attention is paid to discrete models of the wave kinetic equation. It is shown that such models have a monotone functional similar to the Boltzmann $H$-function. The existence and uniqueness theorem for global in time solution of the Cauchy problem for these models is proved. Moreover, it is proved that the solution converges to the equilibrium solution when time goes to infinity. The properties of the equilibrium solution and the connection with solutions of the wave kinetic equation are discussed. The problem of the approximation of the Boltzmann-type equation by its discrete models is also discussed. The paper contains a concise introduction to the Boltzmann equation and its main properties. In principle, it allows one to read the paper without any preliminary knowledge in kinetic theory. Bibliography: 61 titles.

About the authors

Aleksandr Vasil'evich Bobylev

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences; Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba

ORCID iD: 0000-0001-9348-0864
Candidate of physico-mathematical sciences

References

  1. R. Alexandre, Y. Morimoto, S. Ukai, Chao-Jiang Xu, Tong Yang, “Smoothing effect of weak solutions for the spatially homogeneous Boltzmann equation without angular cutoff”, Kyoto J. Math., 52:3 (2012), 433–463
  2. L. Arkeryd, “On the Boltzmann equation. I. Existence”, Arch. Ration. Mech. Anal., 45 (1972), 1–16
  3. L. Arkeryd, “$L^infty$ estimates for the space-homogeneous Boltzmann equation”, J. Stat. Phys., 31:2 (1983), 347–361
  4. L. Arkeryd, “A quantum Boltzmann equation for Haldane statistics and hard forces; the space-homogeneous initial value problem”, Comm. Math. Phys., 298:2 (2010), 573–583
  5. L. Arkeryd, “On low temperature kinetic theory: spin diffusion, Bose–Einstein condensates, anyons”, J. Stat. Phys., 150:6 (2013), 1063–1079
  6. L. Arkeryd, A. Nouri, “Bose condensates in interaction with excitations: a kinetic model”, Comm. Math. Phys., 310:3 (2012), 765–788
  7. L. Arkeryd, A. Nouri, “A Milne problem from a Bose condensate with excitations”, Kinet. Relat. Models, 6:4 (2013), 671–686
  8. А. А. Арсеньев, “Задача Коши для линеаризованного уравнения Больцмана”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 5:5 (1965), 864–882
  9. R. Balescu, Statistical mechanics of charged particles, Monographs in Statistical Physics and Thermodynamics, 4, Intersci. Publ. John Wiley & Sons, Ltd., London–New York–Sydney, 1963, xii+477 pp.
  10. A. V. Bobylev, Kinetic equations, v. 1, De Gruyter Ser. Appl. Numer. Math., 5/1, Boltzmann equation, Maxwell models, and hydrodynamics beyond Navier–Stokes, De Gruyter, Berlin, 2020, xiii+244 pp.
  11. A. V. Bobylev, C. Cercignani, “Discrete velocity models without nonphysical invariants”, J. Stat. Phys., 97:3-4 (1999), 677–686
  12. А. В. Бобылев, С. Б. Куксин, “Уравнение Больцмана и волновые кинетические уравнения”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2023, 031, 20 с.
  13. A. V. Bobylev, A. Palczewski, J. Schneider, “On approximation of the Boltzmann equation by discrete velocity models”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 320:5 (1995), 639–644
  14. A. V. Bobylev, M. C. Vinerean, “Construction of discrete kinetic models with given invariants”, J. Stat. Phys., 132:1 (2008), 153–170
  15. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиздат, М.–Л., 1946, 120 с.
  16. L. Boltzmann, “Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekulen”, Wien. Ber., 66 (1872), 275–370
  17. J. E. Broadwell, “Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method”, J. Fluid Mech., 19:3 (1964), 401–414
  18. H. Cabannes, The discrete Boltzmann equation (theory and applications), Lecture notes given at the University of California, Univ. of California, Berkeley, 1980, viii+55 pp.
  19. Т. Карлеман, Математические задачи кинетической теории газов, ИЛ, М., 1960, 120 с.
  20. C. Cercignani, The Boltzmann equation and its applications, Appl. Math. Sci., 67, Springer-Verlag, New-York, 1988, xii+455 pp.
  21. C. Cercignani, R. Illner, M. Pulvirenti, The mathematical theory of dilute gases, Appl. Math. Sci., 106, Springer-Verlag, New York, 1994, viii+347 pp.
  22. S. Chapman, “On the law of distribution of molecular velocities, and on the theory of viscosity and thermal conduction, in a non-uniform simple monatomic gas”, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 216:538-548 (1916), 279–348
  23. R. J. DiPerna, P. L. Lions, “On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability”, Ann. of Math. (2), 130:2 (1989), 312–366
  24. W. Duke, “Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms”, Invent. Math., 92:1 (1988), 73–90
  25. A. Dymov, S. Kuksin, “Formal expansions in stochastic model for wave turbulence 1: kinetic limit”, Comm. Math. Phys., 382:2 (2021), 951–1014
  26. R. S. Ellis, M. A. Pinsky, “The first and second fluid approximations to the linearized Boltzmann equation”, J. Math. Pures Appl. (9), 54 (1975), 125–156
  27. D. Enskog, Kinetische Theorie der Vorgänge in mässig verdünnten Gasen, Almqvist & Wiksells, Uppsala, 1917, vi+160 pp.
  28. M. Escobedo, J. J. L. Velazquez, On the theory of weak turbulence for the nonlinear Schrödinger equation, Mem. Amer. Math. Soc., 238, no. 1124, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, v+107 pp.
  29. L. Fainsilberg, P. Kurlberg, B. Wennberg, “Lattice points on circles and discrete velocity models for the Boltzmann equation”, SIAM J. Math. Anal., 37:6 (2006), 1903–1922
  30. А. А. Галеев, В. И. Карпман, “Турбулентная теория слабонеравновесной разреженной плазмы и структура ударных волн”, ЖЭТФ, 44:2 (1963), 592–602
  31. R. Gatignol, Theorie cinetique des gaz à repartition discrète de vitesses, Lecture Notes in Phys., 36, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1975, ii+219 pp.
  32. D. Goldstein, B. Sturtevant, J. E. Broadwell, “Investigations of the motion of discrete-velocity gases”, Rared gas dynamics: theoretical and computational techniques, Progr. Astronaut. Aeronaut., 118, AIAA, Washington, DC, 1989, 100–117
  33. Е. П. Голубева, О. М. Фоменко, “Асимптотическое распределение целых точек на трехмерной сфере”, Аналитическая теория чисел и теория функций. 8, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 160, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1987, 54–71
  34. H. Grad, “Principles of the kinetic theory of gases”, Thermodynamik der Gase, Handbuch Phys., 12, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1958, 205–294
  35. E. Grosswald, Representations of integers as sums of squares, Springer-Verlag, New York, 1985, xi+251 pp.
  36. D. Hilbert, “Begründung der kinetischen Gastheorie”, Math. Anal., 72:4 (1912), 562–577
  37. R. Illner, T. Platkowski, “Discrete velocity models of the Boltzmann equation: a survey on the mathematical aspects of the theory”, SIAM Rev., 30:2 (1988), 213–255
  38. H. Iwaniec, “Fourier coefficients of modular forms of half-integral weight”, Invent. Math., 87:2 (1987), 385–401
  39. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, М., 1965, 407 с.
  40. Л. Ландау, “Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия”, ЖЭТФ, 7:2 (1937), 203–209
  41. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 1, Механика, 3-е изд., Наука, М., 1973, 208 с.
  42. O. E. Lanford, III, “Time evolution of large classical systems”, Dynamical systems, theory and applications (Rencontres, Battelle Res. Inst., Seattle, WA, 1974), Lecture Notes in Phys., 38, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1975, 1–111
  43. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Теоретическая физика, т. 10, Физическая кинетика, Наука, М., 1979, 528 с.
  44. Ю. В. Линник, Эргодические свойства алгебраических полей, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1967, 208 с.
  45. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, Харьк. матем. о-во, Харьков, 1892, 250 с.
  46. Н. Б. Маслова, А. Н. Фирсов, “Решение задачи Коши для уравнения Больцмана. I”, Вестн. Ленингр. ун-та, 1975, № 19, 83–88
  47. J. C. Maxwell, “On the dynamical theory of gases”, Philos. Trans. Roy. Soc. London, 157 (1867), 49–88
  48. D. Morgenstern, “General existence and uniqueness proof for spatially homogeneous solutions of the Maxwell–Boltzmann equation in the case of Maxwellian molecules”, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 40:8 (1954), 719–721
  49. L. W. Nordheim, “On the kinetic method in the new statistics and application in the electron theory of conductivity”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 119:783 (1928), 689–698
  50. A. Palczewski, J. Schneider, A. V. Bobylev, “A consistency result for a discrete-velocity model of the Boltzmann equation”, SIAM J. Numer. Anal., 34:5 (1997), 1865–1883
  51. V. A. Panferov, A. G. Heintz, “A new consistent discrete-velocity model for the Boltzmann equation”, Math. Methods Appl. Sci., 25:7 (2002), 571–593
  52. P. Sarnak, Some applications of modular forms, Cambridge Tracts in Math., 99, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, x+111 pp.
  53. А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников, Дифференциальные уравнения, Курс высшей математики и математической физики, 7, Наука, М., 1980, 232 с.
  54. E. A. Uehling, G. E. Uhlenbeck, “Transport phenomena in Einstein–Bose and Fermi–Dirac gases. I”, Phys. Rev. (2), 43:7 (1933), 552–561
  55. S. Ukai, “On the existence of global solutions of mixed problem for non-linear Boltzmann equation”, Proc. Japan Acad., 50:3 (1974), 179–184
  56. V. V. Vedenyapin, “Velocity inductive construction for mixtures”, Transport Theory Statist. Phys., 28:7 (1999), 727–742
  57. В. В. Веденяпин, Ю. Н. Орлов, “О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана”, ТМФ, 121:2 (1999), 307–315
  58. C. Villani, “A review of mathematical topics in collisional kinetic theory”, Handbook of mathematical fluid dynamics, v. 1, Noth-Holland, Amsterdam, 2002, 71–305
  59. А. А. Власов, “О вибрационных свойствах электронного газа”, ЖЭТФ, 8:3 (1938), 291–318
  60. В. Е. Захаров, “Решаемая модель слабой турбулентности”, ПМТФ, 1965, № 1, 14–20
  61. E. Zermelo, “Ueber einen Satz der Dynamik und die mechanische Wärmetheorie”, Ann. Phys., 293:3 (1896), 485–494

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Бобылев А.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».