Operator-theoretic approach to averaging Schrödinger-type equations with periodic coefficients

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный оператор ${\mathcal A}_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора ${\mathcal A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от ${\mathbf x}/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-i{\mathcal A}_\varepsilon\tau}$ при малом $\varepsilon$ и $\tau \in \mathbb{R}$. Результаты применяются к усреднению решений задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера $i\partial_\tau{\mathbf u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau)= ({\mathcal A}_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon)({\mathbf x},\tau)$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon \to 0$ решение сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. При фиксированном $\tau$ получена аппроксимация решения ${\mathbf u}_\varepsilon( \cdot ,\tau)$ по норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$, а также аппроксимация решения по норме в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от параметра $\tau$. Библиография: 113 названий.

About the authors

Tatiana Aleksandrovna Suslina

Saint Petersburg State University

Email: suslina@list.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. A. Bensoussan, J.-L. Lions, G. Papanicolaou, Asymptotic analysis for periodic structures, Stud. Math. Appl., 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam–New York, 1978, xxiv+700 pp.
  2. Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов, Наука, М., 1984, 352 с.
  3. В. В. Жиков, С. М. Козлов, О. А. Олейник, Усреднение дифференциальных операторов, Физматлит, М., 1993, 464 с.
  4. Е. В. Севостьянова, “Асимптотическое разложение решения эллиптического уравнения второго порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами”, Матем. сб., 115(157):2(6) (1981), 204–222
  5. В. В. Жиков, “Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии”, Дифференц. уравнения, 25:1 (1989), 44–50
  6. C. Conca, R. Orive, M. Vanninathan, “Bloch approximation in homogenization and applications”, SIAM J. Math. Anal., 33:5 (2002), 1166–1198
  7. М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, “Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения”, Алгебра и анализ, 15:5 (2003), 1–108
  8. M. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, “Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного семейства с учетом корректора”, Алгебра и анализ, 17:5 (2005), 69–90
  9. М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, “Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора”, Алгебра и анализ, 17:6 (2005), 1–104
  10. M. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, “Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(mathbb{R}^d)$”, Алгебра и анализ, 18:6 (2006), 1–130
  11. Т. А. Суслина, “Об усреднении периодических параболических систем”, Функц. анализ и его прил., 38:4 (2004), 86–90
  12. T. A. Suslina, “Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem”, Nonlinear equations and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 220, Adv. Math. Sci., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 201–233
  13. Е. С. Василевская, “Усреднение параболической задачи Коши с периодическими коэффициентами при учете корректора”, Алгебра и анализ, 21:1 (2009), 3–60
  14. T. Suslina, “Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev space $H^1(mathbb{R}^d)$”, Math. Model. Nat. Phenom., 5:4 (2010), 390–447
  15. Е. С. Василевская, Т. А. Суслина, “Пороговые аппроксимации факторизованного самосопряженного операторного семейства с учетом первого и второго корректоров”, Алгебра и анализ, 23:2 (2011), 102–146
  16. Е. С. Василевская, Т. А. Суслина, “Усреднение параболических и эллиптических периодических операторов в $L_2(mathbb{R}^d)$ при учете первого и второго корректоров”, Алгебра и анализ, 24:2 (2012), 1–103
  17. Т. А. Суслина, “Усреднение в классе Соболева $H^1(mathbb{R}^d)$ для периодических эллиптических дифференциальных операторов второго порядка при включении членов первого порядка”, Алгебра и анализ, 22:1 (2010), 108–222
  18. Т. А. Суслина, “Усреднение эллиптических систем с периодическими коэффициентами: операторные оценки погрешности в $L_2(mathbb{R}^d)$ с учетом корректора”, Алгебра и анализ, 26:4 (2014), 195–263
  19. Ю. М. Мешкова, “Усреднение задачи Коши для параболических систем с периодическими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 25:6 (2013), 125–177
  20. Ю. М. Мешкова, “Усреднение периодических параболических систем по $L_2(mathbb{R}^d)$-норме при учете корректора”, Алгебра и анализ, 31:4 (2019), 137–197
  21. В. В. Жиков, “Об операторных оценках в теории усреднения”, Докл. РАН, 403:3 (2005), 305–308
  22. V. V. Zhikov, S. E. Pastukhova, “On operator estimates for some problems in homogenization theory”, Russ. J. Math. Phys., 12:4 (2005), 515–524
  23. V. V. Zhikov, S. E. Pastukhova, “Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic coefficients”, Russ. J. Math. Phys., 13:2 (2006), 224–237
  24. В. В. Жиков, С. Е. Пастухова, “Об операторных оценках в теории усреднения”, УМН, 71:3(429) (2016), 27–122
  25. M. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, “Операторные оценки погрешности при усреднении нестационарных периодических уравнений”, Алгебра и анализ, 20:6 (2008), 30–107
  26. Ю. М. Мешкова, “Об усреднении периодических гиперболических систем”, Матем. заметки, 105:6 (2019), 937–942
  27. Yu. M. Meshkova, “On operator error estimates for homogenization of hyperbolic systems with periodic coefficients”, J. Spectr. Theory, 11:2 (2021), 587–660
  28. Ю. М. Мешкова, Усреднение периодических гиперболических систем при учете корректора по $L_2(mathbb{R}^d)$-норме, рукопись, 2018, 60 с.
  29. T. Suslina, “Spectral approach to homogenization of nonstationary Schrödinger-type equations”, J. Math. Anal. Appl., 446:2 (2017), 1466–1523
  30. M. A. Dorodnyi, “Operator error estimates for homogenization of the nonstationary Schrödinger-type equations: sharpness of the results”, Appl. Anal., 101:16 (2022), 5582–5614
  31. M. A. Dorodnyi, T. A. Suslina, “Spectral approach to homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients”, J. Differential Equations, 264:12 (2018), 7463–7522
  32. М. А. Дородный, Т. А. Суслина, “Усреднение гиперболических уравнений с периодическими коэффициентами в ${mathbb R}^d$: точность результатов”, Алгебра и анализ, 32:4 (2020), 3–136
  33. М. А. Дородный, “Усреднение периодических уравнений типа Шрeдингера при включении членов младшего порядка”, Алгебра и анализ, 31:6 (2019), 122–196
  34. Yu. Meshkova, Variations on the theme of the Trotter–Kato theorem for homogenization of periodic hyperbolic systems, 2021 (v1 – 2019), 62 pp.
  35. Т. А. Суслина, “Усреднение стационарной периодической системы Максвелла”, Алгебра и анализ, 16:5 (2004), 162–244
  36. Т. А. Суслина, “Усреднение стационарной периодической системы Максвелла с учетом корректора”, Алгебра и анализ, 19:3 (2007), 183–235
  37. M. A. Dorodnyi, T. A. Suslina, “Homogenization of a non-stationary periodic Maxwell system in the case of constant permeability”, J. Differential Equations, 307 (2022), 348–388
  38. A. Piatnitski, V. Sloushch, T. Suslina, E. Zhizhina, “On operator estimates in homogenization of nonlocal operators of convolution type”, J. Differential Equations, 352 (2023), 153–188
  39. Yu. Kondratiev, S. Molchanov, E. Zhizhina, “On ground state of some non local Schrödinger operators”, Appl. Anal., 96:8 (2017), 1390–1400
  40. A. Piatnitski, E. Zhizhina, “Periodic homogenization of nonlocal operators with a convolution-type kernel”, SIAM J. Math. Anal., 49:1 (2017), 64–81
  41. Д. И. Борисов, Е. А. Жижина, А. Л. Пятницкий, “Спектр оператора свертки с потенциалом”, УМН, 77:3(465) (2022), 173–174
  42. Н. А. Вениаминов, “Усреднение периодических дифференциальных операторов высокого порядка”, Алгебра и анализ, 22:5 (2010), 69–103
  43. A. А. Кукушкин, Т. А. Суслина, “Усреднение эллиптических операторов высокого порядка с периодическими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 28:1 (2016), 89–149
  44. В. А. Слоущ, Т. А. Суслина, “Усреднение эллиптического оператора четвертого порядка с периодическими коэффициентами при учете корректоров”, Функц. анализ и его прил., 54:3 (2020), 94–99
  45. В. А. Слоущ, Т. А. Суслина, “Пороговые аппроксимации резольвенты полиномиального неотрицательного операторного пучка”, Алгебра и анализ, 33:2 (2021), 233–274
  46. В. А. Слоущ, Т. А. Суслина, “Операторные оценки при усреднении эллиптических операторов высокого порядка с периодическими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 35:2 (2023), 107–173
  47. A. А. Милослова, Т. А. Суслина, “Усреднение параболических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами”, Дифференциальные уравнения с частными производными, СМФН, 67, № 1, РУДН, М., 2021, 130–191
  48. T. A. Suslina, “Homogenization of the higher-order Schrödinger-type equations with periodic coefficients”, Partial differential equations, spectral theory, and mathematical physics, The Ari Laptev anniversary volume, EMS Ser. Congr. Rep., EMS Press, Berlin, 2021, 405–426
  49. T. A. Suslina, “Homogenization of the higher-order hyperbolic equations with periodic coefficients”, Lobachevskii J. Math., 42:14 (2021), 3518–3542
  50. С. Е. Пастухова, “Операторные оценки усреднения для эллиптических уравнений четвертого порядка”, Алгебра и анализ, 28:2 (2016), 204–226
  51. S. E. Pastukhova, “Estimates in homogenization of higher-order elliptic operators”, Appl. Anal., 95:7 (2016), 1449–1466
  52. С. Е. Пастухова, “$L^2$-аппроксимация резольвенты в усреднении эллиптических операторов высокого порядка”, Проблемы матем. анализа, 107 (2020), 113–132
  53. С. Е. Пастухова, “$L^2$-аппроксимации резольвенты в усреднении эллиптических операторов четвертого порядка”, Матем. сб., 212:1 (2021), 119–142
  54. С. Е. Пастухова, “Улучшенные $L^2$-аппроксимации резольвенты в усреднении операторов четвертого порядка”, Алгебра и анализ, 34:4 (2022), 74–106
  55. G. Griso, “Error estimate and unfolding for periodic homogenization”, Asymptot. Anal., 40:3-4 (2004), 269–286
  56. G. Griso, “Interior error estimate for periodic homogenization”, Anal. Appl. (Singap.), 4:1 (2006), 61–79
  57. C. E. Kenig, Fanghua Lin, Zhongwei Shen, “Convergence rates in $L^2$ for elliptic homogenization problems”, Arch. Ration. Mech. Anal., 203:3 (2012), 1009–1036
  58. М. А. Пахнин, Т. А. Суслина, “Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области”, Алгебра и анализ, 24:6 (2012), 139–177
  59. T. A. Suslina, “Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: $L_2$-operator error estimates”, Mathematika, 59:2 (2013), 463–476
  60. T. Suslina, “Homogenization of the Neumann problem for elliptic systems with periodic coefficients”, SIAM J. Math. Anal., 45:6 (2013), 3453–3493
  61. Т. А. Суслина, “Усреднение эллиптических операторов с периодическими коэффициентами в зависимости от спектрального параметра”, Алгебра и анализ, 27:4 (2015), 87–166
  62. Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina, Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: two-parametric error estimates, 2017, 45 pp.
  63. Ю. М. Мешкова, Т. А. Суслина, “Усреднение задачи Дирихле для эллиптических и параболических систем с периодическими коэффициентами”, Функц. анализ и его прил., 51:3 (2017), 87–93
  64. Qiang Xu, “Convergence rates for general elliptic homogenization problems in Lipschitz domains”, SIAM J. Math. Anal., 48:6 (2016), 3742–3788
  65. Zhongwei Shen, Jinping Zhuge, “Convergence rates in periodic homogenization of systems of elasticity”, Proc. Amer. Math. Soc., 145:3 (2017), 1187–1202
  66. Zhongwei Shen, Periodic homogenization of elliptic systems, Oper. Theory Adv. Appl., 269, Adv. Partial Differ. Equ. (Basel), Birkhäuser/Springer, Cham, 2018, ix+291 pp.
  67. Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina, “Homogenization of initial boundary value problems for parabolic systems with periodic coefficients”, Appl. Anal., 95:8 (2016), 1736–1775
  68. Ю. М. Мешкова, Т. А. Суслина, “Усреднение первой начально-краевой задачи для параболических систем: операторные оценки погрешности”, Алгебра и анализ, 29:6 (2017), 99–158
  69. Jun Geng, Zhongwei Shen, “Convergence rates in parabolic homogenization with time-dependent periodic coefficients”, J. Funct. Anal., 272:5 (2017), 2092–2113
  70. Т. А. Суслина, “Усреднение стационарной периодической системы Максвелла в ограниченной области в случае постоянной магнитной проницаемости”, Алгебра и анализ, 30:3 (2018), 169–209
  71. T. A. Suslina, “Homogenization of the stationary Maxwell system with periodic coefficients in a bounded domain”, Arch. Ration. Mech. Anal., 234:2 (2019), 453–507
  72. Т. А. Суслина, “Усреднение задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 139–192
  73. T. A. Suslina, “Homogenization of the Neumann problem for higher order elliptic equations with periodic coefficients”, Complex Var. Elliptic Equ., 63:7-8 (2018), 1185–1215
  74. T. A. Suslina, “Homogenization of higher-order parabolic systems in a bounded domain”, Appl. Anal., 98:1-2 (2019), 3–31
  75. Weisheng Niu, Zhongwei Shen, Yao Xu, “Convergence rates and interior estimates in homogenization of higher order elliptic systems”, J. Funct. Anal., 274:8 (2018), 2356–2398
  76. Shu Gu, “Convergence rates in homogenization of Stokes systems”, J. Differential Equations, 260:7 (2016), 5796–5815
  77. Д. И. Борисов, “Асимптотики решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 20:2 (2008), 19–42
  78. С. Е. Пастухова, Р. Н. Тихомиров, “Операторные оценки повторного и локально-периодического усреднения”, Докл. РАН, 415:3 (2007), 304–309
  79. С. Е. Пастухова, Р. Н. Тихомиров, “Оценки локально-периодического и повторного усреднения: параболические уравнения”, Докл. РАН, 428:2 (2009), 166–170
  80. С. Е. Пастухова, “Аппроксимация экспоненты оператора диффузии с многомасштабными коэффициентами”, Функц. анализ и его прил., 48:3 (2014), 34–51
  81. S. E. Pastukhova, “On resolvent approximations of elliptic differential operators with locally periodic coefficients”, Lobachevskii J. Math., 41:5 (2020), 818–838
  82. Н. Н. Сеник, “Об усреднении несамосопряженных локально периодических эллиптических операторов”, Функц. анализ и его прил., 51:2 (2017), 92–96
  83. Н. Н. Сеник, “Об усреднении локально периодических эллиптических и параболических операторов”, Функц. анализ и его прил., 54:1 (2020), 87–92
  84. N. N. Senik, “Homogenization for locally periodic elliptic operators”, J. Math. Anal. Appl., 505:2 (2022), 125581, 24 pp.
  85. N. N. Senik, “Homogenization for locally periodic elliptic problems on a domain”, SIAM J. Math. Anal., 55:2 (2023), 849–881
  86. N. N. Senik, “On homogenization for piecewise locally periodic operators”, Russ. J. Math. Phys., 30:2 (2023), 270–274
  87. Weisheng Niu, Zhongwei Shen, Yao Xu, “Quantitative estimates in reiterated homogenization”, J. Funct. Anal., 279:11 (2020), 108759, 39 pp.
  88. K. D. Cherednichenko, S. Cooper, “Resolvent estimates for high-contrast elliptic problems with periodic coefficients”, Arch. Ration. Mech. Anal., 219:3 (2016), 1061–1086
  89. K. D. Cherednichenko, Yu. Yu. Ershova, A. V. Kiselev, “Effective behaviour of critical-contrast PDEs: micro-resonanses, frequency conversion, and time dispersive properties. I”, Comm. Math. Phys., 375:3 (2020), 1833–1884
  90. D. Borisov, G. Cardone, L. Faella, C. Perugia, “Uniform resolvent convergence for strip with fast oscillating boundary”, J. Differential Equations, 255:12 (2013), 4378–4402
  91. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics”, Z. Angew. Math. Phys., 64:3 (2013), 439–472
  92. Д. И. Борисов, Т. Ф. Шарапов, “О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае третьего усредненного условия”, Проблемы матем. анализа, 83 (2015), 3–40
  93. A. G. Chechkina, C. D'Apice, U. De Maio, “Operator estimates for elliptic problem with rapidly alternating Steklov boundary condition”, J. Comput. Appl. Math., 376 (2020), 112802, 11 pp.
  94. В. В. Жиков, “О спектральном методе в теории усреднения”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 250, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 95–104
  95. T. A. Suslina, “Spectral approach to homogenization of elliptic operators in a perforated space”, Rev. Math. Phys., 30:8 (2018), 1840016, 57 pp.
  96. K. Cherednichenko, P. Dondl, F. Rösler, “Norm-resolvent convergence in perforated domains”, Asymptot. Anal., 110:3-4 (2018), 163–184
  97. С. Е. Пастухова, “$L^2$-аппроксимации резольвенты эллиптического оператора в перфорированном пространстве”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 66, № 2, РУДН, М., 2020, 314–334
  98. D. Borisov, G. Cardone, T. Durante, “Homogenization and norm-resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 146:6 (2016), 1115–1158
  99. Д. И. Борисов, А. И. Мухаметрахимова, “Равномерная сходимость и асимптотики для задач в областях с мелкой перфорацией вдоль заданного многообразия в случае усредненного условия Дирихле”, Матем. сб., 212:8 (2021), 33–88
  100. D. I. Borisov, “Operator estimates for non-periodically perforated domains: disappearance of cavities”, Appl. Anal., 2023, Publ. online
  101. D. I. Borisov, J. Křiž, “Operator estimates for non-periodically perforated domains with Dirichlet and nonlinear Robin conditions: vanishing limit”, Anal. Math. Phys., 13:1 (2023), 5, 34 pp.
  102. A. Khrabustovskyi, O. Post, “Operator estimates for the crushed ice problem”, Asymptot. Anal., 110:3-4 (2018), 137–161
  103. C. Anne, O. Post, “Wildly perturbed manifolds: norm resolvent and spectral convergence”, J. Spectr. Theory, 11:1 (2021), 229–279
  104. A. Khrabustovskyi, M. Plum, “Operator estimates for homogenization of the Robin Laplacian in a perforated domain”, J. Differential Equations, 338 (2022), 474–517
  105. S. Brahim-Otsmane, G. A. Francfort, F. Murat, “Correctors for the homogenization of the wave and heat equations”, J. Math. Pures Appl. (9), 71:3 (1992), 197–231
  106. G. Allaire, A. Piatnitski, “Homogenization of the Schrödinger equation and effective mass theorems”, Comm. Math. Phys., 258:1 (2005), 1–22
  107. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. И. Шафаревич, “Эффективные асимптотики решений задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений”, УМН, 76:5(461) (2021), 3–80
  108. М. А. Дородный, Т. А. Суслина, “Усреднение гиперболических уравнений: Операторные оценки при учете корректоров”, Функц. анализ и его прил., 57:4 (2023), 123–129
  109. Т. А. Суслина, “Пороговые аппроксимации экспоненты факторизованного операторного семейства при учете корректоров”, Алгебра и анализ, 35:3 (2023), 138–184
  110. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
  111. В. Г. Мазья, Т. О. Шапошникова, Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1986, 404 с.
  112. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2-е изд., Наука, М., 1973, 576 с.
  113. Р. Г. Штеренберг, “О структуре нижнего края спектра периодического магнитного оператора Шрeдингера с малым магнитным потенциалом”, Алгебра и анализ, 17:5 (2005), 232–243

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Суслина Т.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».