Trace formula for the magnetic Laplacian at zero energy level

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper is devoted to the trace formula for the magnetic Laplacian associated with a magnetic system on a compact manifold. This formula is a natural generalization of Gutzwiller's semiclassical trace formula and reduces to it in the case when the magnetic field form is exact. It differs slightly from the Guillemin–Uribe trace formula considered in a previous paper of the author and Taimanov. Moreover, in contrast to that paper, the focus is on the trace formula at the zero energy level, which is a critical energy level. An overview of the main notions and results related to the trace formula at the zero energy level is presented, various approaches to its proof are described, and concrete examples of its computation are given. In addition, a brief review of Gutzwiller's trace formula for regular and critical energy levels is presented.Bibliography: 88 titles.

About the authors

Yuri Arkadevich Kordyukov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre, Russian Academy of Sciences

Email: yurikor@matem.anrb.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. R. Balian, C. Bloch, “Solution of the Schrödinger equation in term of classical paths”, Ann. Physics, 85:2 (1974), 514–545
  2. V. V. Belov, S. Yu. Dobrokhotov, T. Ya. Tudorovskiy, “Operator separation of variables for adiabatic problems in quantum and wave mechanics”, J. Engrg. Math., 55:1-4 (2006), 183–237
  3. F. A. Berezin, “General concept of quantization”, Comm. Math. Phys., 40:2 (1975), 153–174
  4. J.-M. Bismut, “Demailly's asymptotic Morse inequalities: a heat equation proof”, J. Funct. Anal., 72:2 (1987), 263–278
  5. J.-M. Bismut, G. Lebeau, “Complex immersions and Quillen metrics”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 74 (1991), 1–297
  6. M. Bordemann, E. Meinrenken, M. Schlichenmaier, “Toeplitz quantization of Kähler manifolds and $operatorname{gl}(N)$, $Ntoinfty$ limits”, Comm. Math. Phys., 165:2 (1994), 281–296
  7. D. Borthwick, A. Uribe, “Almost complex structures and geometric quantization”, Math. Res. Lett., 3:6 (1996), 845–861
  8. D. Borthwick, A. Uribe, “The semiclassical structure of low-energy states in the presence of a magnetic field”, Trans. Amer. Math. Soc., 359:4 (2007), 1875–1888
  9. Th. Bouche, “Convergence de la metrique de Fubini–Study d'un fibre lineaire positif”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49 (1990), 117–130
  10. L. Boutet de Monvel, “Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo-differential operators”, Comm. Pure Appl. Math., 27 (1974), 585–639
  11. L. Boutet de Monvel, V. Guillemin, The spectral theory of Toeplitz operators, Ann. of Math. Stud., 99, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ; Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1981, v+161 pp.
  12. L. Boutet de Monvel, J. Sjöstrand, “Sur la singularite des noyaux de Bergman et de Szegő”, Journees: Equations aux derivees partielles de Rennes (1975), Asterisque, 34-35, Soc. Math. France, Paris, 1976, 123–164
  13. R. Brummelhuis, T. Paul, A. Uribe, “Spectral estimates around a critical level”, Duke Math. J., 78:3 (1995), 477–530
  14. R. Brummelhuis, A. Uribe, “A semi-classical trace formula for Schrödinger operators”, Comm. Math. Phys., 136:3 (1991), 567–584
  15. B. Camus, “A semi-classical trace formula at a non-degenerate critical level”, J. Funct. Anal., 208:2 (2004), 446–481
  16. B. Camus, “A semi-classical trace formula at a totally degenerate critical level”, Comm. Math. Phys., 247:2 (2004), 513–526
  17. B. Camus, “Contributions of non-extremum critical points to the semi-classical trace formula”, J. Funct. Anal., 217:1 (2004), 79–102
  18. B. Camus, “Semiclassical spectral estimates for Schrödinger operators at a critical energy level. Case of a degenerate minimum of the potential”, J. Math. Anal. Appl., 341:2 (2008), 1170–1180
  19. A. M. Charbonnel, G. Popov, “A semi-classical trace formula for several commuting operators”, Comm. Partial Differential Equations, 24:1-2 (1999), 283–323
  20. L. Charles, Landau levels on a compact manifold, 2022 (v1 – 2020), 60 pp.
  21. L. Charles, On the spectrum of non degenerate magnetic Laplacian, 2021, 58 pp.
  22. J. Chazarain, “Formule de Poisson pour les varietes riemanniennes”, Invent. Math., 24 (1974), 65–82
  23. Y. Colin de Verdière, “Spectre du laplacien et longueurs des geodesiques periodiques. I”, Compositio Math., 27 (1973), 83–106
  24. Y. Colin de Verdière, “Spectre du laplacien et longueurs des geodesiques periodiques. II”, Compositio Math., 27 (1973), 159–184
  25. Y. Colin de Verdière, “Spectre conjoint d'operateurs pseudo-differentiels qui commutent. I. Le cas non integrable”, Duke Math. J., 46:1 (1979), 169–182
  26. Y. Colin de Verdière, “Spectrum of the Laplace operator and periodic geodesics: thirty years after”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 57:7 (2007), 2429–2463
  27. M. Combescure, J. Ralston, D. Robert, “A proof of the Gutzwiller semiclassical trace formula using coherent states decomposition”, Comm. Math. Phys., 202:2 (1999), 463–480
  28. Xianzhe Dai, Kefeng Liu, Xiaonan Ma, “On the asymptotic expansion of Bergman kernel”, J. Differential Geom., 72:1 (2006), 1–41
  29. J.-P. Demailly, “Champs magnetiques et inegalites de Morse pour la $d"$-cohomologie”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 35:4 (1985), 189–229
  30. J.-P. Demailly, “Holomorphic Morse inequalities”, Several complex variables and complex geometry, Part 2 (Santa Cruz, CA, 1989), Proc. Sympos. Pure Math., 52, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 93–114
  31. M. Dimassi, J. Sjöstrand, Spectral asymptotics in the semi-classical limit, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 268, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, xi+227 pp.
  32. S. Dozias, “Clustering for the spectrum of $h$-pseudodifferential operators with periodic flow on an energy surface”, J. Funct. Anal., 145:2 (1997), 296–311
  33. J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin, “The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics”, Invent. Math., 29:1 (1975), 39–79
  34. F. Faure, M. Tsujii, Prequantum transfer operator for symplectic Anosov diffeomorphism, Asterisque, 375, Soc. Math. France, Paris, 2015, ix+222 pp.
  35. S. Fournais, B. Helffer, Spectral methods in surface superconductivity, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 77, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2010, xx+324 pp.
  36. V. W. Guillemin, “Symplectic spinors and partial differential equations”, Geometrie symplectique et physique mathematique (Aix-en-Provence, 1974), Editions CNRS, Paris, 1975, 217–252
  37. V. Guillemin, Sh. Sternberg, Semi-classical analysis, International Press, Boston, MA, 2013, xxiv+446 pp.
  38. V. Guillemin, A. Uribe, “The Laplace operator on the $n$th tensor power of a line bundle: eigenvalues which are uniformly bounded in $n$”, Asymptotic Anal., 1:2 (1988), 105–113
  39. V. Guillemin, A. Uribe, “Circular symmetry and the trace formula”, Invent. Math., 96:2 (1989), 385–423
  40. V. Guillemin, A. Uribe, Z. Wang, “Semiclassical states associated with isotropic submanifolds of phase space”, Lett. Math. Phys., 106:12 (2016), 1695–1728
  41. V. W. Guillemin, A. Uribe, Zuoqin Wang, “Integral representations of isotropic semiclassical functions and applications”, J. Spectr. Theory, 12:1 (2022), 227–258
  42. M. C. Gutzwiller, “Periodic orbits and classical quantization conditions”, J. Math. Phys., 12 (1971), 343–358
  43. M. C. Gutzwiller, Chaos in classical and quantum mechanics, Interdiscip. Appl. Math, 1, Springer-Verlag, New York, 1990, xiv+432 pp.
  44. B. Helffer, Yu. A. Kordyukov, “Semiclassical analysis of Schrödinger operators with magnetic wells”, Spectral and scattering theory for quantum magnetic systems, Contemp. Math., 500, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, 105–121
  45. B. Helffer, Yu. A. Kordyukov, “Semiclassical spectral asymptotics for a magnetic Schrödinger operator with non-vanishing magnetic field”, Geometric methods in physics, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham, 2014, 259–278
  46. B. Helffer, J. Sjöstrand, “Equation de Schrödinger avec champ magnetique et equation de Harper”, Schrödinger operators (Sonderborg, 1988), Lecture Notes in Phys., 345, Springer, Berlin, 1989, 118–197
  47. L. Ioos, Wen Lu, Xiaonan Ma, G. Marinescu, “Berezin–Toeplitz quantization for eigenstates of the Bochner Laplacian on symplectic manifolds”, J. Geom. Anal., 30:3 (2020), 2615–2646
  48. D. Khuat-Duy, “A semi-classical trace formula for Schrödinger operators in the case of a critical energy level”, J. Funct. Anal., 146:2 (1997), 299–351
  49. Ю. А. Кордюков, “Об асимптотических разложениях обобщенных ядер Бергмана на симплектических многообразиях”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 163–187
  50. Yu. A. Kordyukov, “Semiclassical spectral analysis of the Bochner–Schrödinger operator on symplectic manifolds of bounded geometry”, Anal. Math. Phys., 12:1 (2022), 22, 37 pp.
  51. Yu. A. Kordyukov, “Berezin–Toeplitz quantization asssociated with higher Landau levels of the Bochner Laplacian”, J. Spectr. Theory, 12:1 (2022), 143–167
  52. Yu. A. Kordyukov, Semiclassical asymptotic expansions for functions of the Bochner–Schrödinger operator, 2022, 24 pp.
  53. Yu. A. Kordyukov, Xiaonan Ma, G. Marinescu, “Generalized Bergman kernels on symplectic manifolds of bounded geometry”, Comm. Partial Differential Equations, 44:11 (2019), 1037–1071
  54. Ю. А. Кордюков, И. А. Тайманов, “Формула следа для магнитного лапласиана”, УМН, 74:2(446) (2019), 149–186
  55. Ю. А. Кордюков, И. А. Тайманов, “Квазиклассическое приближение для магнитных монополей”, УМН, 75:6(456) (2020), 85–106
  56. Yu. A. Kordyukov, I. A. Taimanov, “Trace formula for the magnetic Laplacian on a compact hyperbolic surface”, Regul. Chaotic Dyn., 27:4 (2022), 460–476
  57. С. З. Левендорский, “Неклассические спектральные асимптотики”, УМН, 43:1(259) (1988), 123–157
  58. Xiaonan Ma, G. Marinescu, “The $mathrm{spin}^c$ Dirac operator on high tensor powers of a line bundle”, Math. Z., 240:3 (2002), 651–664
  59. Xiaonan Ma, G. Marinescu, Holomorphic Morse inequalities and Bergman kernels, Progr. Math., 254, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007, xiv+422 pp.
  60. Xiaonan Ma, G. Marinescu, “Generalized Bergman kernels on symplectic manifolds”, Adv. Math., 217:4 (2008), 1756–1815
  61. Xiaonan Ma, G. Marinescu, “Toeplitz operators on symplectic manifolds”, J. Geom. Anal., 18:2 (2008), 565–611
  62. Xiaonan Ma, G. Marinescu, “Exponential estimate for the asymptotics of Bergman kernels”, Math. Ann., 362:3-4 (2015), 1327–1347
  63. Xiaonan Ma, G. Marinescu, S. Zelditch, “Scaling asymptotics of heat kernels of line bundles”, Analysis, complex geometry, and mathematical physics: in honor of Duong H. Phong, Contemp. Math., 644, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, 175–202
  64. G. Marinescu, N. Savale, Bochner Laplacian and Bergman kernel expansion of semi-positive line bundles on a Riemann surface, 2018, 49 pp.
  65. В. П. Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Наука, М., 1977, 384 с.
  66. E. Meinrenken, “Semiclassical principal symbols and Gutzwiller's trace formula”, Rep. Math. Phys., 31:3 (1992), 279–295
  67. E. Meinrenken, “Trace formulas and the Conley–Zehnder index”, J. Geom. Phys., 13:1 (1994), 1–15
  68. A. Melin, J. Sjöstrand, “Fourier integral operators with complex-valued phase functions”, Fourier integral operators and partial differential equations (Univ. Nice, Nice, 1974), Lecture Notes in Math., 459, Springer, Berlin, 1975, 120–223
  69. L. Morin, A semiclassical Birkhoff normal form for constant-rank magnetic fields, 2021 (v1 – 2020), 36 pp.
  70. L. Morin, “A semiclassical Birkhoff normal form for symplectic magnetic wells”, J. Spectr. Theory, 12:2 (2022), 459–496
  71. L. Morin, “Review on spectral asymptotics for the semiclassical Bochner Laplacian of a line bundle”, Confluentes Math., 14:1 (2022), 65–79
  72. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
  73. С. П. Новиков, И. Шмельцер, “Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника–Шнирельмана–Морса (ЛШМ). I”, Функц. анализ и его прил., 15:3 (1981), 54–66
  74. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, “Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов”, Докл. АН СССР, 274:1 (1984), 26–28
  75. J.-P. Ortega, T. S. Ratiu, Momentum maps and Hamiltonian reduction, Progr. Math., 222, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2004, xxxiv+497 pp.
  76. T. Paul, A. Uribe, “The semi-classical trace formula and propagation of wave packets”, J. Funct. Anal., 132:1 (1995), 192–249
  77. V. Petkov, G. Popov, “Semi-classical trace formula and clustering of eigenvalues for Schrödinger operators”, Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor., 68:1 (1998), 17–83
  78. N. Raymond, Bound states of the magnetic Schrödinger operator, EMS Tracts in Math., 27, Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2017, xiv+380 pp.
  79. N. Savale, “Koszul complexes, Birkhoff normal form and the magnetic Dirac operator”, Anal. PDE, 10:8 (2017), 1793–1844
  80. N. Savale, “A Gutzwiller type trace formula for the magnetic Dirac operator”, Geom. Funct. Anal., 28:5 (2018), 1420–1486
  81. А. Зельберг, “Гармонический анализ и дискретные группы в слабосимметрических римановых пространствах; приложения к теории рядов Дирихле”, Математика, 1:4 (1957), 3–28
  82. J. Sjöstrand, M. Zworski, “Quantum monodromy and semi-classical trace formulae”, J. Math. Pures Appl. (9), 81:1 (2002), 1–33
  83. И. А. Тайманов, “Принцип перекидывания циклов в теории Морса–Новикова”, Докл. АН СССР, 268:1 (1983), 46–50
  84. И. А. Тайманов, “Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:2 (1991), 367–383
  85. И. А. Тайманов, “Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях”, УМН, 47:2(284) (1992), 143–185
  86. И. А. Тайманов, “Замкнутые несамопересекающиеся экстремали многозначных функционалов”, Сиб. матем. журн., 33:4 (1992), 155–162
  87. S. Teufel, Adiabatic perturbation theory in quantum dynamics, Lecture Notes in Math., 1821, Springer-Verlag, Berlin, 2003, vi+236 pp.
  88. A. Uribe, “Trace formulae”, First summer school in analysis and mathematical physics (Cuernavaca Morelos, 1998), Contemp. Math., 260, Aportaciones Mat., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, 61–90

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Кордюков Ю.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».