Об интегрируемости уравнений динамики в непотенциальном силовом поле
- Авторы: Козлов В.В.1
-
Учреждения:
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Выпуск: Том 77, № 6 (2022)
- Страницы: 137-158
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/0042-1316/article/view/142323
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm10057
- ID: 142323
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Рассматривается круг вопросов, связанных с точным интегрированием уравнений движения механических систем в непотенциальном силовом поле (часто называемых циркуляционными). Подход к интегрированию основан на теореме Эйлера–Якоби–Ли: если $n$ – число степеней свободы, то (с учётом сохранения фазового объёма) для точного интегрирования необходимо иметь ещё $2n-2$ первых интегралов и полей симметрий, находящихся в некоторых естественных отношениях. Указаны случаи движения в непотенциальном поле, интегрируемые с помощью разделения переменных. Обсуждаются геометрические свойства систем с ненётеровыми полями симметрий. Указаны примеры существования неприводимых полиномиальных интегралов третьей степени по импульсам. Рассмотрена задача об условиях существования однозначных полиномиальных интегралов циркуляционных систем с двумя степенями свободы и торическим пространством положений. Показано, что в типичном случае уравнения движения вообще не допускают непостоянных полиномиальных интегралов. Библиография: 32 названия.
Об авторах
Валерий Васильевич Козлов
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Email: kozlov@pran.ru
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- В. Ф. Журавлeв, “О разложении нелинейных обобщeнных сил на потенциальную и циркуляционную компоненты”, Докл. РАН, 414:5 (2007), 622–624
- J. Lerbet, N. Challamel, F. Nicot, F. Darve, “Geometric degree of nonconservativity: set of solutions for the linear case and extension to the differentiable non-linear case”, Appl. Math. Model., 40:11-12 (2016), 5930–5941
- J. Lerbet, N. Challamel, F. Nicot, F. Darve, “Coordinate free nonlinear incremental discrete mechanics”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 98:10 (2018), 1813–1833
- Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956, 250 с.
- V. V. Kozlov, “On the instability of equilibria of mechanical systems in nonpotential force fields in the case of typical degeneracies”, Acta Mech., 232:9 (2021), 3331–3341
- А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян, Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложения в механике, Физматлит, М., 2009, 399 с.
- O. N. Kirillov, Nonconservative stability problems of modern physics, De Gruyter Stud. Math. Phys., 14, De Gruyter, Berlin, 2013, xviii+429 pp.
- V. V. Kozlov, “Integrals of circulatory systems which are quadratic in momenta”, Regul. Chaotic Dyn., 26:6 (2021), 647–657
- V. V. Kozlov, “On the integrability of circulatory systems”, Regul. Chaotic Dyn., 27:1 (2022), 11–17
- В. В. Козлов, “Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем”, Докл. АН СССР, 249:6 (1979), 1299–1302
- В. Н. Колокольцов, “Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:5 (1982), 994–1010
- И. А. Тайманов, “Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 51:2 (1987), 429–435
- И. А. Тайманов, “О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков”, Матем. заметки, 44:2 (1988), 283–284
- В. В. Козлов, Н. В. Денисова, “Полиномиальные интегралы геодезических потоков на двумерном торе”, Матем. сб., 185:12 (1994), 49–64
- И. А. Тайманов, “О первых интегралах геодезических потоков на двумерном торе”, Современные проблемы механики, Сборник статей, Труды МИАН, 295, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2016, 241–260
- В. В. Козлов, “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148
- К. Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, М.–Л., 1936, 272 с.
- V. V. Kozlov, “The Euler–Jakobi–Lie integrability theorem”, Regul. Chaotic Dyn., 18:4 (2013), 329–343
- В. В. Козлов, Методы качественного анализа в динамике твердого тела, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2000, 248 с.
- А. В. Цыганов, Интегрируемые системы в методе разделения переменных, Современная математика, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2005, 384 с.
- А. П. Веселов, “О замене времени в интегрируемых системах”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1987, № 5, 25–29
- В. В. Козлов, “Лиувиллевость инвариантных мер вполне интегрируемых систем и уравнение Монжа–Ампера”, Матем. заметки, 53:4 (1993), 45–52
- A. Пуанкаре, Теория вероятностей, РХД, М.–Ижевск, 1999, 280 с.
- А. Н. Колмогоров, “О динамических системах с интегральным инвариантом на торе”, Докл. АН СССР, 93:5 (1953), 763–766
- В. И. Арнольд, “Полиинтегрируемые потоки”, Алгебра и анализ, 4:6 (1992), 54–62
- А. В. Рождественский, “Об аддитивном когомологическом уравнении и замене времени в линейном потоке на торе с диофантовым вектором частот”, Матем. сб., 195:5 (2004), 115–156
- В. В. Козлов, “Динамические системы на торе с многозначными интегралами”, Динамические системы и оптимизация, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Труды МИАН, 256, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2007, 201–218
- А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2003, 294 с.
- М. Л. Бялый, “О полиномиальных по импульсам первых интегралах для механической системы на двумерном торе”, Функц. анализ и его прил., 21:4 (1987), 64–65
- А. Пуанкаре, “Новые методы небесной механики. I”, Избранные труды, т. I, Наука, М., 1971, 9–328
- В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений”, Матем. сб., 135(177):1 (1988), 119–138
- Л. Ауслендер, Л. Грин, Ф. Хан, Потоки на однородных пространствах, Мир, М., 1966, 208 с.
Дополнительные файлы
