Geometry of quasiperiodic functions on the plane

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A review of the most recent results obtained in the Novikov problem of the description of the geometry of the level curves of quasiperiodic functions in the plane is presented. Most of the paper is devoted to the results obtained for functions with three quasiperiods, which play a very important role in the theory of transport phenomena in metals. In that part, along with previously known results, a number of new results are presented that refine significantly the general description of the picture arising. New statements are also presented for functions with more than three quasiperiods, which open approaches to further investigations of the Novikov problem in the most general formulation. The role of the Novikov problem in various fields of mathematical and theoretical physics is discussed.Bibliography: 60 titles.

About the authors

Ivan Alekseevich Dynnikov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: dynnikov@mech.math.msu.su
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Andrei Yakovlevich Mal'tsev

L.D. Landau Institute for Theoretical Physics of Russian Academy of Sciences

Email: maltsev@itp.ac.ru

Sergei Petrovich Novikov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; L.D. Landau Institute for Theoretical Physics of Russian Academy of Sciences

Email: snovikov@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. H. Bohr, “Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III. Dirichletentwicklung analytischer Funktionen”, Acta Math., 47:3 (1926), 237–281
  2. A. S. Besicovitch, “On generalized almost periodic functions”, Proc. London Math. Soc. (2), 25:1 (1926), 495–512
  3. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
  4. И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов, “К теории гальваномагнитных явлений в металлах”, ЖЭТФ, 31:1 (1957), 63–79
  5. И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, “Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. I”, ЖЭТФ, 35:5 (1959), 1251–1264
  6. И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, “Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. II”, ЖЭТФ, 38:1 (1960), 188–193
  7. И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов, Электронная теория металлов, Наука, М., 1971, 416 с.
  8. А. В. Зорич, “Задача С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле, близком к рациональному”, УМН, 39:5(239) (1984), 235–236
  9. И. А. Дынников, “Доказательство гипотезы С. П. Новикова для случая малых возмущений рациональных магнитных полей”, УМН, 47:3(285) (1992), 161–162
  10. С. П. Царев, Частное сообщение, 1992–1993 гг
  11. И. А. Дынников, “Доказательство гипотезы С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона”, Матем. заметки, 53:5 (1993), 57–68
  12. I. A. Dynnikov, “Surfaces in 3-torus: geometry of plane sections”, European congress of mathematics (Budapest, 1996), v. 1, Progr. Math., 168, Birkhäuser, Basel, 1998, 162–177
  13. I. A. Dynnikov, “Semiclassical motion of the electron. A proof of the Novikov conjecture in general position and counterexamples”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 45–73
  14. И. А. Дынников, “Геометрия зон устойчивости в задаче С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона”, УМН, 54:1(325) (1999), 21–60
  15. С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, “Топологические квантовые характеристики, наблюдаемые при исследовании проводимости в нормальных металлах”, Письма в ЖЭТФ, 63:10 (1996), 809–813
  16. С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, “Топологические явления в нормальных металлах”, УФН, 168:3 (1998), 249–258
  17. А. Я. Мальцев, “Аномальное поведение тензора электропроводности в сильных магнитных полях”, ЖЭТФ, 112:5 (1997), 1710–1726
  18. А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, “Теория замкнутых 1-форм, уровни квазипериодических функций и транспортные явления в электронных системах”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 302, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 296–315
  19. A. Zorich, “Asymptotic flag of an orientable measured foliation on a surface”, Geometric study of foliations (Tokyo, 1993), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994, 479–498
  20. A. Zorich, “Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 46:2 (1996), 325–370
  21. A. Zorich, “On hyperplane sections of periodic surfaces”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1997, 173–189
  22. A. Zorich, “Deviation for interval exchange transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 17:6 (1997), 1477–1499
  23. A. Zorich, “How do the leaves of a closed 1-form wind around a surface?”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 135–178
  24. Р. Де Лео, “Существование и мера эргодических слоений в задаче Новикова о полуклассическом движении электрона”, УМН, 55:1(331) (2000), 181–182
  25. Р. Де Лео, “Характеризация множества ‘эргодических направлений’ в задаче Новикова о квазиэлектронных орбитах в нормальных металлах”, УМН, 58:5(353) (2003), 197–198
  26. R. De Leo, “Topology of plane sections of periodic polyhedra with an application to the truncated octahedron”, Experiment. Math., 15:1 (2006), 109–124
  27. A. Zorich, “Flat surfaces”, Frontiers in number theory, physics and geometry (Les Houches, 2003), v. 1, On random matrices, zeta functions and dynamical systems, 2nd print., Springer, Berlin, 2006, 437–583
  28. Р. Де Лео, И. А. Дынников, “Пример фрактального множества направлений плоскостей, дающих хаотическое пересечение с фиксированной 3-периодической поверхностью”, УМН, 62:5(377) (2007), 151–152
  29. И. А. Дынников, “Системы наложений отрезков и плоские сечения 3-периодических поверхностей”, Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 263, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 72–84
  30. R. DeLeo, I. A. Dynnikov, “Geometry of plane sections of the infinite regular skew polyhedron ${4,6 mid 4}$”, Geom. Dedicata, 138:1 (2009), 51–67
  31. A. Skripchenko, “Symmetric interval identification systems of order three”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 32:2 (2012), 643–656
  32. A. Skripchenko, “On connectedness of chaotic sections of some 3-periodic surfaces”, Ann. Global Anal. Geom., 43:3 (2013), 253–271
  33. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “On typical leaves of a measured foliated 2-complex of thin type”, Topology, geometry, integrable systems, and mathematical physics, Novikov's seminar 2012–2014, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 234, Adv. Math. Sci., 67, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 173–199
  34. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “Symmetric band complexes of thin type and chaotic sections which are not quite chaotic”, Тр. ММО, 76, no. 2, МЦНМО, М., 2015, 287–308
  35. A. Avila, P. Hubert, A. Skripchenko, “Diffusion for chaotic plane sections of 3-periodic surfaces”, Invent. Math., 206:1 (2016), 109–146
  36. A. Avila, P. Hubert, A. Skripchenko, “On the Hausdorff dimension of the Rauzy gasket”, Bull. Soc. Math. France, 144:3 (2016), 539–568
  37. L. Guidoni, B. Depret, A. di Stefano, P. Verkerk, “Atomic diffusion in an optical quasicrystal with five-fold symmetry”, Phys. Rev. A, 60:6 (1999), R4233–R4236
  38. A. Ya. Maltsev, “Quasiperiodic functions theory and the superlattice potentials for a two-dimensional electron gas”, J. Math. Phys., 45:3 (2004), 1128–1149
  39. L. Sanchez-Palencia, L. Santos, “Bose–Einstein condensates in optical quasicrystal lattices”, Phys. Rev. A, 72:5 (2005), 053607
  40. K. Viebahn, M. Sbroscia, E. Carter, Jr-Chiun Yu, U. Schneider, “Matter-wave diffraction from a quasicrystalline optical lattice”, Phys. Rev. Lett., 122:11 (2019), 110404
  41. R. Gautier, Hepeng Yao, L. Sanchez-Palencia, “Strongly interacting bosons in a two-dimensional quasicrystal lattice”, Phys. Rev. Lett., 126:11 (2021), 110401
  42. И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, “Особенности движения ультрахолодных атомов в квазипериодических потенциалах”, ЖЭТФ, 160:6 (2021), 835–864
  43. D. Stauffer, “Scaling theory of percolation clusters”, Phys. Rep., 54:1 (1979), 1–74
  44. J. W. Essam, “Percolation theory”, Rep. Prog. Phys., 43:7 (1980), 833–912
  45. E. K. Riedel, “The potts and cubic models in two dimensions: a renormalization-group description”, Phys. A, 106:1-2 (1981), 110–121
  46. S. A. Trugman, “Localization, percolation, and the quantum Hall effect”, Phys. Rev. B, 27:12 (1983), 7539–7546
  47. С. П. Новиков, “Уровни квазипериодических функций на плоскости и гамильтоновы системы”, УМН, 54:5(329) (1999), 147–148
  48. И. А. Дынников, С. П. Новиков, “Топология квазипериодических функций на плоскости”, УМН, 60:1(361) (2005), 3–28
  49. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, Dynamical systems, topology, and conductivity in normal metals, 2003, 51 pp.
  50. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, “Quasiperiodic functions and dynamical systems in quantum solid state physics”, Bull. Braz. Math. Soc. (N. S.), 34:1 (2003), 171–210
  51. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, “Dynamical systems, topology and conductivity in normal metals”, J. Statist. Phys., 115:1-2 (2004), 31–46
  52. Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, Наука, М., 1967, 491 с.
  53. Дж. Займан, Принципы теории твердого тела, Мир, М., 1974, 573 с.
  54. А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Наука, М., 1987, 520 с.
  55. R. De Leo, “A survey on quasiperiodic topology”, Advanced mathematical methods in biosciences and applications, STEAM-H: Sci. Technol. Eng. Agric. Math. Health, Springer, Cham, 2019, 53–88
  56. R. De Leo, “Topological effects in the magnetoresistance of Au and Ag”, Phys. Lett. A, 332:5-6 (2004), 469–474
  57. R. De Leo, “First-principles generation of stereographic maps for high-field magnetoresistance in normal metals: an application to Au and Ag”, Phys. B, 362:1-4 (2005), 62–75
  58. А. Я. Мальцев, “Об аналитических свойствах магнитопроводимости при наличии устойчивых открытых электронных траекторий на сложной поверхности Ферми”, ЖЭТФ, 151:5 (2017), 944–973
  59. А. Я. Мальцев, “Осцилляционные явления и экспериментальное определение точных математических зон устойчивости для магнитопроводимости в металлах, имеющих сложные поверхности Ферми”, ЖЭТФ, 152:5 (2017), 1053–1064
  60. А. Я. Мальцев, “Вторая граница зон устойчивости и угловые диаграммы проводимости для металлов со сложными поверхностями Ферми”, ЖЭТФ, 154:6 (2018), 1183–1210

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Дынников И.A., Мальцев А.Y., Новиков С.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».