The finite-gap method and the periodic Cauchy problem for $(2+1)$-dimensional anomalous waves for the focusing Davey–Stewartson $2$ equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The focusing nonlinear Schrödinger equation is the simplest universal model describing the modulation instability of $(1+1)$-dimensional quasi monochromatic waves in weakly nonlinear media, and modulation instability is considered to be the main physical mechanism for the appearance of anomalous (rogue) waves in nature. By analogy with the recently developed analytic theory of periodic anomalous waves of the focusing nonlinear Schrödinger equation, in this paper we extend these results to a $(2+1)$-dimensional context, concentrating on the focusing Davey–Stewartson $2$ equation, an integrable $(2+1)$-dimensional generalization of the focusing nonlinear Schrödinger equation. More precisely, we use the finite gap theory to solve, to the leading order, the doubly periodic Cauchy problem for the focusing Davey–Stewartson $2$ equation, for small initial perturbations of the unstable background solution, which we call the doubly periodic Cauchy problem for anomalous waves. As in the case of the nonlinear Schrödinger equation, we show that, to the leading order, the solution of this Cauchy problem is expressed in terms of elementary functions of the initial data.Bibliography: 86 titles.

About the authors

Petr Georgievich Grinevich

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: pgg@landau.ac.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Paolo Maria Santini

Dipartimento di Fisica, University of Rome "La Sapienza"; Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Roma

Email: paolo.santini@romal.infn.it

References

  1. M. J. Ablowitz, G. Biondini, S. Blair, “Nonlinear Schrödinger equations with mean terms in nonresonant multidimensional quadratic materials”, Phys. Rev. E (3), 63:4 (2001), 046605
  2. M. J. Ablowitz, R. Haberman, “Nonlinear evolution equations – two and three dimensions”, Phys. Rev. Lett., 35:18 (1975), 1185–1188
  3. М. Абловиц, Х. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, М., 1987, 480 с.
  4. N. Akhmediev, J. M. Dudley, D. R. Solli, S. K. Turitsyn, “Recent progress in investigating optical rogue waves”, J. Opt., 15:6 (2013), 060201, 9 pp.
  5. Н. Н. Ахмедиев, В. М. Елеонский, Н. Е. Кулагин, “Генерация периодических пакетов пикосекундных импульсов в оптическом фибере: точные решения”, ЖЭТФ, 89:5 (1985), 1542–1551
  6. D. Anker, N. C. Freeman, “On the soliton solutions of the Davey–Stewartson equation for long waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 360:1703 (1978), 529–540
  7. H. Bailung, S. K. Sharma, Y. Nakamura, “Observation of Peregrine solitons in a multicomponent plasma with negative ions”, Phys. Rev. Lett., 107:25 (2011), 255005
  8. F. Baronio, M. Conforti, A. Degasperis, S. Lombardo, M. Onorato, S. Wabnitz, “Vector rogue waves and baseband modulation instability in the defocusing regime”, Phys. Rev. Lett., 113:3 (2014), 034101, 5 pp.
  9. E. D. Belokolos, A. I. Bobenko, V. Z. Enolskii, A. R. Its, V. B. Matveev, Algebro-geometric approach to nonlinear integrable equations, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer-Verlag, Berlin, 1994, xii+337 pp.
  10. T. B. Benjamin, J. E. Feir, “The disintegration of wave trains on deep water. Part I. Theory”, J. Fluid Mech., 27 (1967), 417–430
  11. D. J. Benney, G. J. Roskes, “Wave instabilities”, Stud. Appl. Math., 48:4 (1969), 377–385
  12. В. И. Беспалов, В. И. Таланов, “О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях”, Письма в ЖЭТФ, 3:12 (1966), 471–476
  13. Yu. V. Bludov, V. V. Konotop, N. Akhmediev, “Matter rogue waves”, Phys. Rev. A, 80:3 (2009), 033610
  14. M. Boiti, J. J.-P. Leon, L. Martina, F. Pempinelli, “Scattering of localized solitons in the plane”, Phys. Lett. A, 132:8-9 (1988), 432–439
  15. A. Chabchoub, N. P. Hoffmann, N. Akhmediev, “Rogue wave observation in a water wave tank”, Phys. Rev. Lett., 106:20 (2011), 204502
  16. И. В. Чередник, “Об условиях вещественности в ‘конечнозонном интегрировании’ ”, Докл. АН СССР, 252:5 (1980), 1104–1108
  17. F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Effect of a small loss or gain in the periodic nonlinear Schrödinger anomalous wave dynamics”, Phys. Rev. E, 101:3 (2020), 032204, 8 pp.
  18. F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Periodic rogue waves and perturbation theory”, Encyclopedia of complexity and systems science, Springer, Berlin–Heidelberg, 2022, 1–22, Publ. online
  19. F. Coppini, P. M. Santini, “The Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence of periodic anomalous waves in the complex Ginzburg–Landau and in the Lugiato–Lefever equations”, Phys. Rev. E, 102:6 (2020), 062207, 11 pp.
  20. A. Davey, K. Stewartson, “On three-dimensional packets of surface waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 338:1613 (1974), 101–110
  21. G. Dematteis, T. Grafke, M. Onorato, E. Vanden-Eijnden, “Experimental evidence of hydrodynamic instantons: the universal route to rogue waves”, Phys. Rev. X, 9 (2019), 041057, 12 pp.
  22. Б. А. Дубровин, “Тэта-функции и нелинейные уравнения”, УМН, 36:2(218) (1981), 11–80
  23. Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков, “Уравнение Шредингера в периодическом поле и римановы поверхности”, Докл. АН СССР, 229:1 (1976), 15–18
  24. K. B. Dysthe, K. Trulsen, “Note on breather type solutions of the NLS as models for freak-waves”, Phys. Scr., T82:1 (1999), 48–52
  25. G. A. El, “Soliton gas in integrable dispersive hydrodynamics”, J. Stat. Mech. Theory Exp., 2021, no. 11, 114001, 69 pp.
  26. G. A. El, A. Tobvis, “Spectral theory of soliton and breather gases for the focusing nonlinear Schrödinger equation”, Phys. Rev. E, 101:5 (2020), 052207, 21 pp.
  27. J. D. Fay, Theta functions on Riemann surfaces, Lecture Notes in Math., 352, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, iv+137 pp.
  28. F. Fedele, J. Brennan, S. Ponce de Leon, J. Dudley, F. Dias, “Real world ocean rogue waves explained without the modulational instability”, Sci. Rep., 6 (2016), 27715
  29. A. S. Fokas, P. M. Santini, “Coherent structures in multidimensions”, Phys. Rev. Lett., 63:13 (1989), 1329–1333
  30. A. S. Fokas, P. M. Santini, “Dromions and a boundary value problem for the Davey–Stewartson 1 equation”, Phys. D, 44:1-2 (1990), 99–130
  31. A. Gelash, D. Agafontsev, V. Zakharov, G. El, S. Randoux, P. Suret, “Bound state soliton gas dynamics underlying the spontaneous modulational instability”, Phys. Rev. Lett., 123:23 (2019), 234102
  32. П. Г. Гриневич, А. Е. Миронов, С. П. Новиков, “О нулевом уровне чисто магнитного двумерного нерелятивистского оператора Паули для частиц со спином $1/2$”, ТМФ, 164:3 (2010), 333–353
  33. P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite gap method and the analytic description of the exact rogue wave recurrence in the periodic NLS Cauchy problem. 1”, Nonlinearity, 31:11 (2018), 5258–5308
  34. P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The exact rogue wave recurrence in the NLS periodic setting via matched asymptotic expansions, for 1 and 2 unstable modes”, Phys. Lett. A, 382:14 (2018), 973–979
  35. П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрeдингера при наличии нескольких неустойчивых мод”, УМН, 74:2(446) (2019), 27–80
  36. S. Haver, Freak wave event at Draupner jacket January 1 1995, Tech. Rep. PTT-KU-MA, Statoil, Oslo, 2003
  37. K. L. Henderson, D. H. Peregrine, J. W. Dold, “Unsteady water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrödinger equation”, Wave Motion, 29:4 (1999), 341–361
  38. Guoxiang Huang, L. Deng, Chao Hang, “Davey–Stewartson description of two-dimensional nonlinear excitations in Bose–Einstein condensates”, Phys. Rev. E, 72:3 (2005), 036621
  39. А. Р. Итс, А. В. Рыбин, М. А. Салль, “К вопросу о точном интегрировании нелинейного уравнения Шредингера”, ТМФ, 74:1 (1988), 29–45
  40. B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, F. Dias, G. Genty, N. Akhmediev, J. M. Dudley, “The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics”, Nature Phys., 6:10 (2010), 790–795
  41. B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, G. Genty, B. Wetzel, N. Akhmediev, F. Diaz, J. M. Dudley, “Observation of Kuznetsov–Ma soliton dynamics in optical fibre”, Sci. Rep., 2 (2012), 463, 5 pp.
  42. Yu. S. Kivshar, B. Luther-Davies, “Dark optical solitons: physics and applications”, Phys. Rep., 298:2-3 (1998), 81–197
  43. C. Klein, K. Roidot, “Numerical study of the semiclassical limit of the Davey–Stewartson II equations”, Nonlinearity, 27:9 (2014), 2177–2214
  44. C. Klein, J.-C. Saut, “IST versus PDE: a comparative study”, Hamiltonian partial differential equations and applications, Fields Inst. Commun., 75, Fields Inst. Res. Math. Sci., Toronto, ON, 2015, 383–449
  45. C. Klein, N. Stoilov, “Numerical study of blow-up mechanisms for Davey–Stewartson II systems”, Stud. Appl. Math., 141:1 (2018), 89–112
  46. B. G. Konopelchenko, “Induced surfaces and their integrable dynamics”, Stud. Appl. Math., 96:1 (1996), 9–51
  47. B. G. Konopelchenko, “Weierstrass representations for surfaces in 4D spaces and their integrable deformations via DS hierarchy”, Ann. Global Anal. Geom., 18:1 (2000), 61–74
  48. И. М. Кричевер, “Спектральная теория двумерных периодических операторов и ее приложения”, УМН, 44:2(266) (1989), 121–184
  49. I. M. Krichever, Perturbation theory in periodic problems for two-dimensional integrable systems, Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math. Phys. Rev., 9, Part 2, Harwood Acad. Publ., Reading, UK, 1992, 103 pp.
  50. Е. А. Кузнецов, “О солитонах в параметрически неустойчивой плазме”, Докл. АН СССР, 236:3 (1977), 575–577
  51. C. Liu, R. E. C. van der Wel, N. Rotenberg, L. Kuipers, T. F. Krauss, A. Di Falco, A. Fratalocchi, “Triggering extreme events at the nanoscale in photonic seas”, Nature Phys., 11:4 (2015), 358–363
  52. Changfu Liu, Chuanjian Wang, Zhengde Dai, Jun Liu, “New rational homoclinic and rogue waves for Davey–Stewartson equation”, Abstr. Appl. Anal., 2014 (2014), 572863, 8 pp.
  53. Yaobin Liu, Chao Qian, D. Mihalache, Jingsong He, “Rogue waves and hybrid solutions of the Davey–Stewartson I equation”, Nonlinear Dynam., 95:1 (2019), 839–857
  54. Р. М. Матуев, И. А. Тайманов, “Преобразование Мутара двумерных операторов Дирака и конформная геометрия поверхностей в четырехмерном пространстве”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 868–880
  55. W. M. Moslem, R. Sabry, S. K. El-Labany, P. K. Shukla, “Dust-acoustic rogue waves in a nonextensive plasma”, Phys. Rev. E, 84:6 (2011), 066402
  56. Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
  57. A. C. Newell, J. V. Moloney, Nonlinear optics, Adv. Top. Interdiscip. Math. Sci., Addison-Wesley Publishing Co., Redwood City, CA, 1992, xii+436 pp.
  58. К. Нишинари, К. Абе, Д. Сатсума, “Новый тип солитонного поведения уравнений Дэви–Стюартсона в плазменной системе”, ТМФ, 99:3 (1994), 487–498
  59. Y. Ohta, Jianke Yang, “Rogue waves in the Davey–Stewartson I equation”, Phys. Rev. E, 86:3 (2012), 036604
  60. Y. Ohta, Jianke Yang, “Dynamics of rogue waves in the Davey–Stewartson II equation”, J. Phys. A, 46:10 (2013), 105202, 19 pp.
  61. M. Onorato, T. Waseda, A. Toffoli, L. Cavaleri, O. Gramstad, P. A. E. M. Janssen, T. Kinoshita, J. Monbaliu, N. Mori, A. R. Osborne, M. Serio, C. T. Stansberg, H. Tamura, K. Trulsen, “Statistical properties of directional ocean waves: the role of the modulational instability in the formation of extreme events”, Phys. Rev. Lett., 102:11 (2009), 114502
  62. A. R. Osborne, M. Onorato, M. Serio, “The nonlinear dynamics of rogue waves and holes in deep-water gravity wave trains”, Phys. Lett. A, 275:5-6 (2000), 386–393
  63. T. Ozawa, “Exact blow-up solutions to the Cauchy problem for the Davey–Stewartson systems”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 436:1897 (1992), 345–349
  64. F. Pedit, U. Pinkall, “Quaternionic analysis on Riemann surfaces and differential geometry”, Proceedings of the international congress of mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998), Doc. Math., Extra Vol. II (1998), 389–400
  65. D. H. Peregrine, “Water waves, nonlinear Schrödinger equations and their solutions”, J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 25:1 (1983), 16–43
  66. D. Pierangeli, M. Flammini, L. Zhang, G. Marcucci, A. J. Agranat, P. G. Grinevich, P. M. Santini, C. Conti, E. DelRe, “Observation of Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence and its exact dynamics”, Phys. Rev. X, 8:4 (2018), 041017, 9 pp.
  67. D. R. Solli, C. Ropers, P. Koonath, B. Jalali, “Optical rogue waves”, Nature, 450:7172 (2007), 1054–1057
  68. I. A. Taimanov, “Modified Novikov–Veselov equation and differential geometry of surfaces”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 133–151
  69. И. А. Тайманов, “Глобальное представление Вейерштрасса и его спектр”, УМН, 52:6(318) (1997), 187–188
  70. И. А. Тайманов, “Представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей в $mathbb R^3$”, Функц. анализ и его прил., 32:4 (1998), 49–62
  71. И. А. Тайманов, “О двумерных конечнозонных потенциальных операторах Шредингера и Дирака с особыми спектральными кривыми”, Сиб. матем. журн., 44:4 (2003), 870–882
  72. I. A. Taimanov, “Surfaces in the four-space and the Davey–Stewartson equations”, J. Geom. Phys., 56:8 (2006), 1235–1256
  73. И. А. Тайманов, “Двумерный оператор Дирака и теория поверхностей”, УМН, 61:1(367) (2006), 85–164
  74. И. А. Тайманов, “Сингулярные спектральные кривые в конечнозонном интегрировании”, УМН, 66:1(397) (2011), 111–150
  75. И. А. Тайманов, “Преобразование Мутара двумерных операторов Дирака и геометрия Мебиуса”, Матем. заметки, 97:1 (2015), 129–141
  76. И. А. Тайманов, “Разрушающиеся решения модифицированного уравнения Веселова–Новикова и минимальные поверхности”, ТМФ, 182:2 (2015), 213–222
  77. И. А. Тайманов, “Преобразование Мутара для уравнения Дэви–Стюартсона II и его геометрический смысл”, Матем. заметки, 110:5 (2021), 751–765
  78. И. А. Тайманов, С. П. Царев, “Распадающиеся решения уравнения Веселова–Новикова”, Докл. РАН, 420:6 (2008), 744–745
  79. А. П. Веселов, С. П. Новиков, “Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уравнения”, Докл. АН СССР, 279:1 (1984), 20–24
  80. А. П. Веселов, С. П. Новиков, “Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Потенциальные операторы”, Докл. АН СССР, 279:4 (1984), 784–788
  81. L. Wen, L. Li, Z. D. Li, S. W. Song, X. F. Zhang, W. M. Liu, “Matter rogue wave in Bose–Einstein condensates with attractive atomic interaction”, Eur. Phys. J. D, 64 (2011), 473–478
  82. В. Е. Захаров, “Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости”, Прикладная механика и техническая физика, 1968, № 2, 86–94
  83. V. E. Zakharov, A. A. Gelash, “Nonlinear stage of modulation instability”, Phys. Rev. Lett., 111:5 (2013), 054101
  84. В. Е. Захаров, А. М. Рубенчик, “О нелинейном взаимодействии высокочастотных и низкочастотных волн”, Прикладная механика и техническая физика, 1972, № 5, 84–98
  85. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах”, ЖЭТФ, 61:1 (1971), 118–134
  86. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 43–53

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Гриневич П.G., Сантини П.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».