Iterates of holomorphic maps, fixed points, and domains of univalence

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Fixed points play an important part in the dynamics of a holomorphic map. Given a holomorphic self-map of a unit disc, all of its fixed points, with the exception of at most one of them, lie on the boundary of the disc. Furthermore, it turns out that the existence of an angular derivative and its value at a boundary fixed point affect significantly the behaviour of the map itself and its iterates. In addition, some classical problems in geometric function theory acquire new settings and statements in this context. These questions are considered in this paper. The presentation focuses on the problem of fractional iterations, domains of univalence, and the influence of the angular derivative at a boundary fixed point on the regions of values of Taylor coefficients.Bibliography: 90 titles.

About the authors

Victor Vladimirovich Goryainov

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Email: goryainov_vv@hotmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Olga Sergeevna Kudryavtseva

Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics; Volgograd State Technical University

Email: Kudryavceva_os@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Aleksei Petrovich Solodov

Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: apsolodov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. J. Dieudonne, “Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynômes et aux fonctions bornees d'une variable complexe”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 48 (1931), 247–358
  2. L. V. Ahlfors, Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, McGraw-Hill Book Co., New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973, ix+157 pp.
  3. H. Unkelbach, “Über die Randverzerrung bei konformer Abbildung”, Math. Z., 43:1 (1938), 739–742
  4. R. Osserman, “A sharp Schwarz inequality on the boundary”, Proc. Amer. Math. Soc., 128:12 (2000), 3513–3517
  5. O. Kudryavtseva, A. Solodov, “On the boundary Dieudonne–Pick lemma”, Mathematics, 9:10 (2021), 1108, 9 pp.
  6. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 208:3 (2017), 54–71
  7. H. Yanagihara, “On the locally univalent Bloch constant”, J. Anal. Math., 65 (1995), 1–17
  8. P. R. Mercer, “An improved Schwarz lemma at the boundary”, Open Math., 16:1 (2018), 1140–1144
  9. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, “Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций”, УМН, 30:4(184) (1975), 3–60
  10. Г. В. Кузьмина, “Численное определение радиусов однолистности аналитических функций”, Работы по приближенному анализу, Тр. МИАН СССР, 53, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1959, 192–235
  11. K. Noshiro, “On the theory of schlicht functions”, J. Fac. Sci. Hokkaido Imp. Univ. Ser. I, 2:3 (1934), 129–155
  12. S. E. Warschawski, “On the higher derivatives at the boundary in conformal mapping”, Trans. Amer. Math. Soc., 38:2 (1935), 310–340
  13. E. Study, Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie, v. II, Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche, B. G. Teubner, Leipzig–Berlin, 1913, iv+142 pp.
  14. J. W. Alexander, “Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions”, Ann. of Math. (2), 17:1 (1915), 12–22
  15. P. T. Mocanu, “Two simple sufficient conditions for starlikeness”, Mathematica (Cluj), 34(57):2 (1992), 175–181
  16. S. Ponnusamy, V. Singh, “Criteria for strongly starlike functions”, Complex Variables Theory Appl., 34:3 (1997), 267–291
  17. M. Obradovic, “Simple sufficient conditions for univalence”, Mat. Vesnik, 49:3-4 (1997), 241–244
  18. L. Špaček, “Prispevek k teorii funkci prostych [Contribution à la theorie des fonctions univalentes]”, Časopis Pěst. Mat. Fys., 62 (1932), 12–19
  19. W. Kaplan, “Close-to-convex schlicht functions”, Michigan Math. J., 1:2 (1952), 169–185
  20. R. Nevanlinna, “Über die schlichten Abbildungen des Einheitskreises”, Översikt av Finska Vet. Soc. Förh., 62 (A) (1920), 7, 14 pp.
  21. H. Grunsky, “Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung”, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., 43 (1934), 140–143
  22. В. В. Горяйнов, В. Я. Гутлянський, “Про радiус зiрчастостi при конформному вiдображеннi ”, Доповiдi АН УРСР. Сер. А, 1974 (1974), 100–102
  23. В. В. Горяйнов, Области значений некоторых функционалов и геометрические свойства конформного отображения, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Кубанский гос. ун-т, Краснодар, 1975, 104 с.
  24. O. Lehto, Univalent functions and Teichmüller spaces, Grad. Texts in Math., 109, Springer-Verlag, New York, 1987, xii+257 pp.
  25. В. Н. Дубинин, “Геометрические оценки производной Шварца”, УМН, 72:3(435) (2017), 97–130
  26. В. Н. Дубинин, “Производная Шварца и покрытие дуг пучка окружностей голоморфными функциями”, Матем. заметки, 98:6 (2015), 865–871
  27. W. Kraus, “Über den Zusammenhang einiger Characteristiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches mit der Kreisabbildung”, Mitt. Math. Sem. Univ. Giessen, 21 (1932), 1–28
  28. Z. Nehari, “The Schwarzian derivative and schlicht functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:6 (1949), 545–551
  29. E. Hille, “Remarks on a paper by Zeev Nehari”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:6 (1949), 552–553
  30. Z. Nehari, “Some criteria of univalence”, Proc. Amer. Math. Soc., 5 (1954), 700–704
  31. В. В. Покорный, “О некоторых достаточных условиях однолистности”, Докл. АН СССР, 79:5 (1951), 743–746
  32. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.
  33. Ch. Pommerenke, Univalent functions, Studia Math./Math. Lehrbücher, 25, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1975, 376 pp.
  34. P. L. Duren, H. S. Shapiro, A. L. Shields, “Singular measures and domains not of Smirnov type”, Duke Math. J., 33:2 (1966), 247–254
  35. J. Becker, “Löwnersche Differentlialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichte Funktionen”, J. Reine Angew. Math., 1972:255 (1972), 23–43
  36. J. Becker, Ch. Pommerenke, “Schlichtheitskriterien und Jordangebiete”, J. Reine Angew. Math., 1984:354 (1984), 74–94
  37. О. А. Бусовская, В. В. Горяйнов, “О гомеоморфном продолжении спиральных функций”, Укр. матем. журн., 33:5 (1981), 656–660
  38. P. Koebe, “Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II”, Math. Ann., 69:1 (1910), 1–81
  39. L. Bieberbach, “Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln”, Sitzungsber Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 138 (1916), 940–955
  40. A. Bloch, “Les theorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la theorie de l'uniformisation”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. (3), 17 (1925), 1–22
  41. L. V. Ahlfors, “An extension of Schwarz's lemma”, Trans. Amer. Math. Soc., 43:3 (1938), 359–364
  42. M. Heins, “On a class of conformal metrics”, Nagoya Math. J., 21 (1962), 1–60
  43. M. Bonk, “On Bloch's constant”, Proc. Amer. Math. Soc., 110:4 (1990), 889–894
  44. Huaihui Chen, P. M. Gauthier, “On Bloch's constant”, J. Anal. Math., 69 (1996), 275–291
  45. L. V. Ahlfors, H. Grunsky, “Über die Blochsche Konstante”, Math. Z., 42:1 (1937), 671–673
  46. E. Landau, “Der Picard–Schottkysche Satz und die Blochsche Konstante”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1926 (1926), 467–474
  47. M. Tsuji, Potential theory in modern function theory, Reprint of the 1959 original, Chelsea Publishing Co., New York, 1975, x+590 pp.
  48. P. Cacridis-Theodorakopulos, “Über die untere Grenze der Rundungsschranken der beschränkten Funktionen $f(z)$, deren $|f'(0)|$ Vorgegebenen ist”, Math. Ann., 113:1 (1937), 657–664
  49. G. Pick, “Über den Koebeschen Verzerrungssatz”, Ber. Verh. sächs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl., 68 (1916), 58–64
  50. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Обобщение неравенств Ландау и Беккера–Поммеренке”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 505:4 (2022), 46–49
  51. K. Löwner, “Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I”, Math. Ann., 89:1-2 (1923), 103–121
  52. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Асимптотически точная двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Матем. сб., 211:11 (2020), 96–117
  53. Ж. Валирон, Аналитические функции, ГИТТЛ, М., 1957, 236 с.
  54. Ch. Pommerenke, “On the iteration of analytic functions in a halfplane. I”, J. London Math. Soc. (2), 19:3 (1979), 439–447
  55. I. N. Baker, Ch. Pommerenke, “On the iteration of analytic functions in a halfplane. II”, J. London Math. Soc. (2), 20:2 (1979), 255–258
  56. J. Becker, Ch. Pommerenke, “Angular derivatives for holomorphic self-maps of the disk”, Comput. Methods Funct. Theory, 17:3 (2017), 487–497
  57. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонние оценки областей однолистности классов голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 210:7 (2019), 120–144
  58. А. П. Солодов, “Точная область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:5 (2021), 190–218
  59. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Теорема об обратных функциях на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками”, УМН, 77:1(463) (2022), 187–188
  60. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения полосы в себя с ограниченным искажением на бесконечности”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Труды МИАН, 298, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2017, 101–111
  61. E. Schröder, “Ueber iterirte Functionen”, Math. Ann., 3:2 (1870), 296–322
  62. G. Koenigs, “Recherches sur les integrales de certaines equations fonctionelles”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 1 (1884), 3–41
  63. I. N. Baker, “Fractional iteration near a fixpoint of multiplier 1”, J. Austral. Math. Soc., 4:2 (1964), 143–148
  64. S. Karlin, J. McGregor, “Embedding iterates of analytic functions with two fixed points into continuous groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 132:1 (1968), 137–145
  65. E. Berkson, H. Porta, “Semigroups of analytic functions and composition operators”, Michigan Math. J., 25:1 (1978), 101–115
  66. В. В. Горяйнов, “Однопараметрические полугруппы аналитических функций и композиционный аналог безграничной делимости”, Тр. ИПММ НАН Украины, 5, ИПММ НАН Украины, Донецк, 2000, 44–57
  67. A. Denjoy, “Sur l'iteration des fonctions analytiques”, C. R. Acad. Sci. Paris, 182 (1926), 255–257
  68. J. Wolff, “Sur l'iteration des fonctions holomorphes dans une region, et dont les valeurs appartiennent à cette region”, C. R. Acad. Sci. Paris, 182 (1926), 42–43
  69. J. Wolff, “Sur l'iteration des fonctions bornees”, C. R. Acad. Sci. Paris, 182 (1926), 200–201
  70. В. В. Горяйнов, “Дробные итерации аналитических в единичном круге функций с заданными неподвижными точками”, Матем. сб., 182:9 (1991), 1281–1299
  71. D. Shoikhet, “Representations of holomorphic generators and distortion theorems for spirallike functions with respect to a boundary point”, Int. J. Pure Appl. Math., 5:3 (2003), 335–361
  72. M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, Ch. Pommerenke, “On boundary critical points for semigroups of analytic functions”, Math. Scand., 98:1 (2006), 125–142
  73. F. Bracci, M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, “Aleksandrov–Clark measures and semigroups of analytic functions in the unit disc”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1 (2008), 231–240
  74. В. В. Горяйнов, О. С. Кудрявцева, “Однопараметрические полугруппы аналитических функций, неподвижные точки и функция Кeнигса”, Матем. сб., 202:7 (2011), 43–74
  75. В. В. Горяйнов, “Полугруппы аналитических функций в анализе и приложениях”, УМН, 67:6(408) (2012), 5–52
  76. M. Elin, V. Goryainov, S. Reich, D. Shoikhet, “Fractional iteration and functional equations for analytic in the unit disk”, Comput. Methods Funct. Theory, 2:2 (2002), 353–366
  77. T. E. Harris, “Some mathematical models for branching processes”, Proceedings of the 2nd Berkeley symposium on mathematical statistics and probability (1950), Univ. of California Press, Berkeley–Los Angeles, CA, 1951, 305–328
  78. Т. Харрис, Теория ветвящихся случайных процессов, Мир, М., 1966, 356 с.
  79. S. Karlin, J. McGregor, “Embeddability of discrete time simple branching processes into continuous time branching processes”, Trans. Amer. Math. Soc., 132:1 (1968), 115–136
  80. В. В. Горяйнов, “Дробное итерирование вероятностных производящих функций и вложение дискретных ветвящихся процессов в непрерывные”, Матем. сб., 184:5 (1993), 55–74
  81. V. V. Goryaĭnov, “Semigroups of probability generating functions, and infinitely splittable random variables”, Theory Stoch. Process., 1(17):1 (1995), 2–9
  82. В. В. Горяйнов, “Функция Кeнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций”, Матем. сб., 193:7 (2002), 69–86
  83. P. R. Garabedian, M. Schiffer, “A proof of the Bieberbach conjecture for the fourh coefficient”, J. Rational Mech. Anal., 4:3 (1955), 427–465
  84. L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Preprint LOMI E-5-84, Leningrad Branch of the V. A. Steklov Math. Inst., Leningrad, 1984, 21 pp.
  85. L. de Branges, “A proof of the Bieberbach conjecture”, Acta Math., 154:1-2 (1985), 137–152
  86. О. С. Кудрявцева, “Дробное итерирование аналитических в единичном круге функций с вещественными коэффициентами”, Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1. Матем. Физ., 2011, № 2(15), 50–62
  87. O. Tammi, Extremum problems for bounded univalent functions, Lecture Notes in Math., 646, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1978, vii+313 pp.
  88. I. Schur, “Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind”, J. Reine Angew. Math., 1917:147 (1917), 205–232
  89. О. С. Кудрявцева, “Лемма Шварца и оценки коэффициентов в случае произвольного набора граничных неподвижных точек”, Матем. заметки, 109:4 (2021), 636–640
  90. C. C. Cowen, Ch. Pommerenke, “Inequalities for the angular derivative of an analytic function in the unit disk”, J. London Math. Soc. (2), 26:2 (1982), 271–289

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Горяйнов В.V., Кудрявцева О.S., Солодов А.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».