Functions with general monotone Fourier coefficients

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper is a study of trigonometric series with general monotone coefficients in the class $\operatorname{GM}(p)$ with $p\geqslant 1$. Sharp estimates are proved for the Fourier coefficients of integrable and continuous functions. Also obtained are optimal results in terms of coefficients for various types of convergence of Fourier series. For $1 < p < \infty$ two-sided estimates are obtained for the $L_p$-moduli of smoothness of sums of series with $\operatorname{GM}(p)$-coefficients, as well as for the (quasi-)norms of such sums in Lebesgue, Lorentz, Besov, and Sobolev spaces in terms of Fourier coefficients.
Bibliography: 99 titles.

About the authors

Aleksandr Sergeevich Belov

Ivanovo State University

Author for correspondence.
Email: asbelov2@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Mikhail Ivanovich Dyachenko

Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: dyach@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Sergei Yur'evich Tikhonov

Centre de Recerca Matemàtica; Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats; Universitat Autònoma de Barcelona

Email: stikhonov@crm.cat
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. S. Aljančic, “On the integral moduli of continuity in $L_p$ ($1 < p < infty$) of Fourier series with monotone coefficients”, Proc. Amer. Math. Soc., 17:2 (1966), 287–294
  2. S. Aljančic, M. Tomic, “Über den Stetigkeitsmodul von Fourier-Reihen mit monotonen Koeffizienten”, Math. Z., 88 (1965), 274–284
  3. R. Askey, “Smoothness conditions for Fourier series with monotone coefficients”, Acta Sci. Math. (Szeged), 28 (1967), 169–171
  4. Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.
  5. A. С. Белов, “Об условиях сходимости в среднем тригонометрических рядов Фурье”, Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика, 4:1 (1998), 40–46
  6. A. С. Белов, “Об условиях сходимости (ограниченности) в среднем частных сумм тригонометрического ряда”, Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа, АФЦ, М., 1999, 1–17
  7. A. С. Белов, “Замечания о сходимости (ограниченности) в среднем частных сумм тригонометического ряда”, Матем. заметки, 71:6 (2002), 807–817
  8. C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of operators, Pure Appl. Math., 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xiv+469 pp.
  9. R. P. Boas, Jr., Integrability theorems for trigonometric transforms, Ergeb. Math. Grenzgeb., 38, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1967, v+66 pp.
  10. R. P. Boas, Jr., “The integrability class of the sine transform of a monotonic function”, Studia Math., 44 (1972), 365–369
  11. B. Booton, “General monotone sequences and trigonometric series”, Math. Nachr., 287:5-6 (2014), 518–529
  12. B. Booton, “General monotone functions and their Fourier coefficients”, J. Math. Anal. Appl., 426:2 (2015), 805–823
  13. A. P. Calderon, “Intermediate spaces and interpolation, the complex method”, Studia Math., 24:2 (1964), 113–190
  14. Chang-Pao Chen, Lonkey Chen, “Asymptotic behavior of trigonometric series with $O$-regularly varying quasimonotone coefficients. II”, J. Math. Anal. Appl., 245:1 (2000), 297–301
  15. D. B. H. Cline, “Regularly varying rates of decrease for moduli of continuity and Fourier transforms of functions on $mathbf{R}^d$”, J. Math. Anal. Appl., 159:2 (1991), 507–519
  16. F. Dai, Z. Ditzian, S. Tikhonov, “Sharp Jackson inequalities”, J. Approx. Theory, 151:1 (2008), 86–112
  17. A. Debernardi, “Hankel transforms of general monotone functions”, Topics in classical and modern analysis, Appl. Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser/Springer, Cham, 2019, 87–104
  18. A. Debernardi, “The Boas problem on Hankel transforms”, J. Fourier Anal. Appl., 25:6 (2019), 3310–3341
  19. A. Debernardi, “Weighted norm inequalities for generalized Fourier-type transforms and applications”, Publ. Mat., 64:1 (2020), 3–42
  20. R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive approximation, Grundlehren Math. Wiss., 303, Springer-Verlag, Berlin, 1993, x+449 pp.
  21. Z. Ditzian, V. H. Hristov, K. G. Ivanov, “Moduli of smoothness and $K$-functionals in $L_p$, $0
  22. O. Dominguez, D. D. Haroske, S. Tikhonov, “Embeddings and characterizations of Lipschitz spaces”, J. Math. Pures Appl. (9), 144 (2020), 69–105
  23. O. Dominguez, S. Tikhonov, “Function spaces of logarithmic smoothness: embeddings and characterizations”, Mem. Amer. Math. Soc. (to appear)
  24. O. Dominguez, S. Tikhonov, New estimates for the maximal functions and applications, 2021, 47 pp.
  25. М. И. Дьяченко, “Кусочно-монотонные функции нескольких переменных и теорема Харди–Литтлвуда”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:6 (1991), 1156–1170
  26. М. И. Дьяченко, “Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов”, УМН, 47:5(287) (1992), 97–162
  27. М. И. Дьяченко, “Теорема Харди–Литтлвуда для тригонометрических рядов с обобщенно-монотонными коэффициентами”, Изв. вузов. Матем., 2008, № 5, 38–47
  28. М. И. Дьяченко, А. Б. Муканов, С. Ю. Тихонов, “Гладкость функций и коэффициенты Фурье”, Матем. сб., 210:7 (2019), 94–119
  29. M. Dyachenko, A. Mukanov, S. Tikhonov, “Uniform convergence of trigonometric series with general monotone coefficients”, Canad. J. Math., 71:6 (2019), 1445–1463
  30. M. Dyachenko, A. Mukanov, S. Tikhonov, “Hardy–Littlewood theorems for trigonometric series with general monotone coefficients”, Studia Math., 250:3 (2020), 217–234
  31. М. И. Дьяченко, Е. Д. Нурсултанов, “Теорема Харди–Литтлвуда для тригонометрических рядов с $alpha$-монотонными коэффициентами”, Матем. сб., 200:11 (2009), 45–60
  32. M. Dyachenko, E. Nursultanov, A. Kankenova, “On summability of Fourier coefficients of functions from Lebesgue space”, J. Math. Anal. Appl., 419:2 (2014), 959–971
  33. M. Dyachenko, S. Tikhonov, “Convergence of trigonometric series with general monotone coefficients”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 345:3 (2007), 123–126
  34. M. Dyachenko, S. Tikhonov, “General monotone sequences and convergence of trigonometric series”, Topics in classical analysis and applications in honor of Daniel Waterman, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, 88–101
  35. M. Dyachenko, S. Tikhonov, “Integrability and continuity of functions represented by trigonometric series: coefficients criteria”, Studia Math., 193:3 (2009), 285–306
  36. M. I. Dyachenko, S. Yu. Tikhonov, “Smoothness and asymptotic properties of functions with general monotone Fourier coefficients”, J. Fourier Anal. Appl., 24:4 (2018), 1072–1097
  37. Lei Feng, V. Totik, Song Ping Zhou, “Trigonometric series with a generalized monotonicity condition”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 30:8 (2014), 1289–1296
  38. Lei Feng, Songping Zhou, “Trigonometric inequalities in the MVBV condition”, Math. Inequal. Appl., 18:2 (2015), 485–491
  39. J. Garcia-Cuerva, V. I. Kolyada, “Rearrangement estimates for Fourier transforms in $L^p$ and $H^p$ in terms of moduli of continuity”, Math. Nachr., 228 (2001), 123–144
  40. D. Gorbachev, E. Liflyand, S. Tikhonov, “Weighted Fourier inequalities: Boas' conjecture in $mathbb{R}^n$”, J. Anal. Math., 114 (2011), 99–120
  41. D. Gorbachev, S. Tikhonov, “Moduli of smoothness and growth properties of Fourier transforms: two-sided estimates”, J. Approx. Theory, 164:9 (2012), 1283–1312
  42. S. M. Grigoriev, Y. Sagher, T. R. Savage, “General monotonicity and interpolation of operators”, J. Math. Anal. Appl., 435:2 (2016), 1296–1320
  43. G. H. Hardy, “Some theorems concerning trigonometrical series of a special type”, Proc. London Math. Soc. (2), 32:6 (1931), 441–448
  44. P. Heywood, “A note on a theorem of Hardy on trigonometrical series”, J. London Math. Soc., 29:3 (1954), 373–378
  45. A. Jumabayeva, B. Simonov, “Inequalities for moduli of smoothness of functions and their Liouville–Weyl derivatives”, Acta Math. Hungar., 156:1 (2018), 1–17
  46. А. А. Джумабаева, Б. В. Симонов, “Преобразование рядов Фурье с помощью обобщенно монотонных последовательностей”, Матем. заметки, 107:5 (2020), 674–692
  47. В. Кокилашвили, “О приближении периодических функций”, Тр. Тбилисского матем. ин-та, 34 (1968), 51–81
  48. А. А. Конюшков, “Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье”, Матем. сб., 44(86):1 (1958), 53–84
  49. B. Lakovic, “On a class of functions”, Mat. Vesnik, 39:4 (1987), 405–415
  50. R. J. Le, S. P. Zhou, “A remark on ‘two-sided’ monotonicity condition: an application to $L^p$ convergence”, Acta Math. Hungar., 113:1-2 (2006), 159–169
  51. H. Lebesgue, “Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfaisant à une condition de Lipschitz”, Bull. Soc. Math. France, 38 (1910), 184–210
  52. L. Leindler, “On the uniform convergence and boundedness of a certain class of sine series”, Anal. Math., 27:4 (2001), 279–285
  53. L. Leindler, “Embedding relations of classes of numerical sequences”, Acta Sci. Math. (Szeged), 68:3-4 (2002), 689–695
  54. L. Leindler, “Relations among Fourier coefficients and sum-functions”, Acta Math. Hungar., 104:1-2 (2004), 171–183
  55. L. Leindler, “Generalization of embedding relations of Besov classes”, Anal. Math., 31:1 (2005), 1–12
  56. L. Leindler, “Embedding relations of Besov classes”, Acta Sci. Math., 73:1-2 (2007), 133–149
  57. E. Liflyand, S. Tikhonov, “Extended solution of Boas' conjecture on Fourier transforms”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 346:21-22 (2008), 1137–1142
  58. E. Liflyand, S. Tikhonov, “A concept of general monotonicity and applications”, Math. Nachr., 284:8-9 (2011), 1083–1098
  59. E. Liflyand, S. Tikhonov, “Two-sided weighted Fourier inequalities”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 11:2 (2012), 341–362
  60. G. G. Lorentz, “Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen”, Math. Z., 51 (1948), 135–149
  61. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., Наука, М., 1977, 455 с.
  62. Е. Д. Нурсултанов, “Сетевые пространства и неравенства типа Харди–Литтлвуда”, Матем. сб., 189:3 (1998), 83–102
  63. E. Nursultanov, S. Tikhonov, “Net spaces and boundedness of integral operators”, J. Geom. Anal., 21:4 (2011), 950–981
  64. C. Oehring, “Asymptotics of singular numbers of smooth kernels via trigonometric transforms”, J. Math. Anal. Appl., 145:2 (1990), 573–605
  65. C. Oehring, “Some extensions of Konyushkov's theorem concerning the moduli of Fourier coefficients”, Houston J. Math., 16:3 (1990), 373–386
  66. И. Н. Пак, “О суммах тригонометрических рядов”, УМН, 35:2(212) (1980), 91–144
  67. R. E. A. C. Paley, N. Wiener, “Notes on the theory and application of Fourier transforms. II. On conjugate functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 35:2 (1933), 354–355
  68. H. R. Pitt, “Theorems on Fourier series and power series”, Duke Math. J., 3:4 (1937), 747–755
  69. А. Ю. Попов, “Оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами некоторых классов”, Матем. заметки, 74:6 (2003), 877–888
  70. М. К. Потапов, M. Бериша, “Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N. S.), 26(40) (1979), 215–228
  71. C. S. Rees, “On the integral modulus of continuity of Fourier series”, Indian J. Math., 9 (1967), 489–497
  72. W. Rudin, “Some theorems on Fourier coefficients”, Proc. Amer. Math. Soc., 10:6 (1959), 855–859
  73. Y. Sagher, “An application of interpolation theory to Fourier series”, Studia Math., 41:2 (1972), 169–181
  74. Y. Sagher, “Integrability conditions for the Fourier transform”, J. Math. Anal. Appl., 54:1 (1976), 151–156
  75. R. Salem, “Determination de l'ordre de grandeur à l'origine de certaines series trigonometriques”, C. R. Acad. Sci. Paris, 186 (1928), 1804–1806
  76. R. Salem, Essais sur les series trigonometriques, Hermann et Cie., Paris, 1940, 87 pp.
  77. R. Salem, A. Zygmund, “The approximation by partial sums of Fourier series”, Trans. Amer. Math. Soc., 59:1 (1946), 14–22
  78. S. M. Shah, “A note on quasi-monotone series”, Math. Student, 15 (1947), 19–24
  79. H. S. Shapiro, Extremal problems for polynomials and power series, Thesis (Ph.D.), Massachusetts Institute of Technology, 1952, 102 pp. (no paging)
  80. Б. В. Симонов, С. Ю. Тихонов, “Теоремы вложения в конструктивной теории приближений”, Матем. сб., 199:9 (2008), 107–148
  81. С. Б. Стечкин, “Тригонометрические ряды с коэффициентами монотонного типа”, Теория приближений. Асимптотические разложения, Сборник статей, Тр. ИММ УрО РАН, 7, № 1, 2001, 197–207
  82. E. M. Stein, “Interpolation of linear operators”, Trans. Amer. Math. Soc., 83:2 (1956), 482–492
  83. B. Szal, “Application of the MRBVS classes to embedding relations of the Besov classes”, Demonstratio Math., 42:2 (2009), 303–322
  84. B. Szal, “Generalization of a theorem on Besov–Nikol'skiĭ classes”, Acta Math. Hungar., 125:1-2 (2009), 161–181
  85. O. Szasz, “Quasi-monotone series”, Amer. J. Math., 70 (1948), 203–206
  86. S. Tikhonov, “Characteristics of Besov–Nikol'skiĭ class functions”, Electron. Trans. Numer. Anal., 19 (2005), 94–104
  87. S. Tikhonov, “Embedding results in questions of strong approximation by Fourier series”, Acta Sci. Math. (Szeged), 72:1-2 (2006), 117–128
  88. C. Тихонов, “О равномерной сходимости тригонометрических рядов”, Матем. заметки, 81:2 (2007), 304–310
  89. S. Tikhonov, “Trigonometric series with general monotone coefficients”, J. Math. Anal. Appl., 326:1 (2007), 721–735
  90. S. Tikhonov, “Trigonometric series of Nikol'skii classes”, Acta Math. Hungar., 114:1-2 (2007), 61–78
  91. S. Tikhonov, “Best approximation and moduli of smoothness: computation and equivalence theorems”, J. Approx. Theory, 153:1 (2008), 19–39
  92. S. Tikhonov, “On $L_1$-convergence of Fourier series”, J. Math. Anal. Appl., 347:2 (2008), 416–427
  93. C. Тихонов, “Весовые неравенства для рядов Фурье и ограниченность вариации”, Труды МИАН, 312, Функциональные пространства, теория приближений и смежные вопросы анализа (2021), 294–312
  94. D. Torres-Latorre, “Functions preserving general monotone sequences”, Anal. Math., 47:1 (2021), 211–227
  95. Х. Трибель, Теория функциональных пространств, Мир, М., 1986, 448 с.
  96. Ван Куньян, С. А. Теляковский, “Дифференциальные свойства сумм одного класса тригонометрических рядов”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1999, № 1, 24–29
  97. Dansheng Yu, Ping Zhou, Songping Zhou, “On $L^p$ integrability and convergence of trigonometric series”, Studia Math., 182:3 (2007), 215–226
  98. A. Zygmund, “Some points in the theory of trigonometric and power series”, Trans. Amer. Math. Soc., 36:3 (1934), 586–617
  99. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, II, Мир, М., 1965, 615 с., 537 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Белов А.S., Дьяченко М.I., Тихонов С.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».