Convergence of Bieberbach polynomials: Keldysh's theorems and Mergelyan's conjecture
- Authors: Aptekarev A.I.1
-
Affiliations:
- Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 76, No 3 (2021)
- Pages: 3-12
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0042-1316/article/view/142240
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm9991
- ID: 142240
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Results due to Keldysh on the convergence of Bieberbach polynomials and the density of polynomials in spaces of analytic functions are considered. Their further development and relevance in the contemporary context of constructive complex analysis are discussed. Particular focus is placed on Mergelyan's conjecture on the rate of convergence in a domain with smooth boundary, which is still open.Bibliography: 20 titles.
About the authors
Alexander Ivanovich Aptekarev
Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences
Email: aptekaa@keldysh.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- А. И. Аптекарев, Н. Г. Афендикова, “Неизвестные автографы академика М. В. Келдыша”, Вестник РАН, 88:12 (2018), 1153–1159
- М. В. Келдыш, Математический текст без названия о свойствах полиномов Бибербаха, Архив Кабинета-музея академика М. В. Келдыша. Ф. 2. Оп. 1. Д. 35
- M. Keldych, “Sur l'approximation en moyenne quadratique des fonctions analytiques”, Матем. сб., 5(47):2 (1939), 391–401
- С. Н. Мергелян, “О полноте систем аналитических функций”, УМН, 8:4(56) (1953), 3–63
- В. П. Хавин, “Аппроксимация многочленами в среднем в некоторых некаратеодориевых областях. I”, Изв. вузов. Матем., 1968, № 9, 86–93
- В. П. Хавин, “Аппроксимация многочленами в среднем в некоторых некаратеодориевых областях. II”, Изв. вузов. Матем., 1968, № 10, 87–94
- М. С. Мельников, С. О. Синанян, “Вопросы теории приближений функций одного комплексного переменного”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 4, ВИНИТИ, М., 1975, 143–250
- D. Gaier, Konstructive Methoden der konformen Abbildung, Springer Tracts Nat. Philos., 3, Springer-Verlag, Berlin, 1964, xiii+294 pp.
- V. V. Andrievskii, I. E. Pritsker, “Convergence of Bieberbach polynomials in domains with interior cusps”, J. Anal. Math., 82 (2000), 315–332
- С. Н. Мергелян, “Некоторые вопросы конструктивной теории функций”, Тр. МИАН СССР, 37, Изд-во АН СССР, М., 1951, 3–91
- П. К. Суетин, “Многочлены, ортогональные по площади, и многочлены Бибербаха”, Тр. МИАН СССР, 100 (1971), 3–90
- D. Gaier, “On the convergence of the Bieberbach polynomials in regions with corners”, Constr. Approx., 4:3 (1988), 289–305
- D. Gaier, “On the convergence of the Bieberbach polynomials in regions with piecewise analytic boundary”, Arch. Math. (Basel), 58:5 (1992), 462–470
- D. Gaier, “Polynomial approximation of conformal maps”, Constr. Approx., 14:1 (1998), 27–40
- И. Б. Симоненко, “О сходимости полиномов Бибербаха в случае липшицевой области”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:4 (1978), 870–878
- В. В. Андриевский, “Сходимость многочленов Бибербаха в областях с квазиконформной границей”, Укр. матем. журн., 35:3 (1983), 273–277
- F. G. Abdullayev, “Uniform convergence of the Bieberbach polynomials inside and on the closure of domains in the complex plane”, East J. Approx., 7:1 (2001), 77–101
- I. E. Pritsker, “On the convergence of Bieberbach polynomials in domains with interior zero angles”, Methods of approximation theory in complex analysis and mathematical physics (Leningrad, 1991), Lecture Notes in Math., 1550, Springer, Berlin, 1993, 169–172
- D. M. Israfilov, “Approximation by $p$-Faber polynomials in the weighted Smirnov class $E^p(G,omega)$ and the Bieberbach polynomials”, Constr. Approx., 17:3 (2001), 335–351
- D. M. Israfilov, “Uniform convergence of the Bieberbach polynomials in closed smooth domains of bounded boundary rotation”, J. Approx. Theory, 125:1 (2003), 116–130
Supplementary files
