Density of quantized approximations

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

Работа содержит обзор известных и доказательства новых результатов об условиях на множество $M$ в банаховом пространстве $X$, необходимых или достаточных для того, чтобы порождаемая им аддитивная полугруппа $R(M)=\{x_1+…+x_n\colon x_k\in M, n\in {\mathbb N}\}$ была плотна в $X$. Доказывается, в частности, что если $M$ – спрямляемая кривая в равномерно гладком действительном пространстве $X$, не лежащая целиком ни в каком замкнутом полупространстве, то $R(M)$ плотна в $X$. Приводятся известные и новые результаты о приближении наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов) в различных пространствах функций комплексного переменного. При этом некоторые из известных теорем, в частности, теорема Кореваара, выводятся из новых общих результатов о плотности полугруппы. Исследуются также приближения естественным обобщением наипростейших дробей – суммами сдвигов одной функции. Библиография: 79 названий.

作者简介

Petr Borodin

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: pborodin@inbox.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Konstantin Shklyaev

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: konstantin.shklyaev@inbox.ru
without scientific degree, no status

参考

  1. E. Abakumov, A. Borichev, K. Fedorovskiy, “Chui's conjecture in Bergman spaces”, Math. Ann., 379:3-4 (2021), 1507–1532
  2. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, Geometric approximation theory, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2021, xxi+508 pp.
  3. Э. Апарисио Бернардо, “О некоторых свойствах многочленов с целыми коэффициентами и о приближении функций в среднем многочленами с целыми коэффициентами”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 19:5 (1955), 303–318
  4. W. Banaszczyk, Additive subgroups of topological vector spaces, Lecture Notes in Math., 1466, Springer-Verlag, Berlin, 1991, viii+178 pp.
  5. К. Е. Бауман, “Коэффициент растяжения кривой Пеано–Гильберта”, Матем. заметки, 80:5 (2006), 643–656
  6. П. А. Бородин, “Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме $L_p$ на этих множествах”, Матем. заметки, 82:6 (2007), 803–810
  7. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями на полуоси”, Матем. сб., 200:8 (2009), 25–44
  8. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы”, Матем. сб., 203:11 (2012), 23–40
  9. П. А. Бородин, “Плотность полугруппы в банаховом пространстве”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:6 (2014), 21–48
  10. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II”, Матем. сб., 207:3 (2016), 19–30
  11. П. А. Бородин, “Приближение суммами сдвигов одной функции на окружности”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 23–37
  12. П. А. Бородин, “Плотность сумм сдвигов одного вектора в пространствах последовательностей”, Гармонический анализ, теория приближений и теория чисел, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Владимировича Конягина, Труды МИАН, 303, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 39–44
  13. П. А. Бородин, “Приближение суммами вида $sum_k lambda_k h(lambda_k z)$ в круге”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 3–10
  14. П. А. Бородин, “Жадные приближения произвольным множеством”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:2 (2020), 43–59
  15. П. А. Бородин, “Пример расходимости жадного алгоритма относительно несимметричного словаря”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 352–360
  16. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями: универсальные множества полюсов”, Матем. заметки, 111:1 (2022), 3–7
  17. P. A. Borodin, S. V. Konyagin, “Convergence to zero of exponential sums with positive integer coefficients and approximation by sums of shifts of a single function on the line”, Anal. Math., 44:2 (2018), 163–183
  18. П. А. Бородин, О. Н. Косухин, “О приближении наипростейшими дробями на действительной оси”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2005, № 1, 3–8
  19. П. А. Бородин, О. Н. Косухин, “Количественные выражения связности множеств в ${mathbb R}^n$”, Матем. заметки, 98:5 (2015), 643–650
  20. П. А. Бородин, К. С. Шкляев, “Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях”, Матем. сб., 212:4 (2021), 3–28
  21. P. G. Casazza, S. J. Dilworth, E. Odell, Th. Schlumprecht, A. Zsak, “Coefficient quantization for frames in Banach spaces”, J. Math. Anal. Appl., 348:1 (2008), 66–86
  22. Дж. В. С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений, ИЛ, М., 1961, 213 с.
  23. R. Cauty, “Un exemple de sous-groupe additif de l'espace de Hilbert”, Colloq. Math., 77:1 (1998), 147–162
  24. C. K. Chui, “A lower bound of fields due to unit point masses”, Amer. Math. Monthly, 78:7 (1971), 779–780
  25. C. K. Chui, “On approximation in the Bers spaces”, Proc. Amer. Math. Soc., 40:2 (1973), 438–442
  26. П. В. Чунаев, “Об экстраполяции аналитических функций суммами вида $sum_k lambda_k h(lambda_kz)$”, Матем. заметки, 92:5 (2012), 794–797
  27. P. Chunaev, “Least deviation of logarithmic derivatives of algebraic polynomials from zero”, J. Approx. Theory, 185 (2014), 98–106
  28. P. Chunaev, V. Danchenko, “Approximation by amplitude and frequency operators”, J. Approx. Theory, 207 (2016), 1–31
  29. В. И. Данченко, “Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей”, Матем. сб., 185:8 (1994), 63–80
  30. В. И. Данченко, “Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы”, Матем. сб., 197:4 (2006), 33–52
  31. В. И. Данченко, “Об аппроксимативных свойствах сумм вида $sum_k lambda_k h(lambda_k z)$”, Матем. заметки, 83:5 (2008), 643–649
  32. В. И. Данченко, Д. Я. Данченко, “О приближении наипростейшими дробями”, Матем. заметки, 70:4 (2001), 553–559
  33. В. И. Данченко, М. А. Комаров, П. В. Чунаев, “Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 12, 9–49
  34. I. Daubechies, R. DeVore, “Approximating a bandlimited function using very coarsely quantized data: a family of stable sigma-delta modulators of arbitrary order”, Ann. of Math. (2), 158:2 (2003), 679–710
  35. Дж. Дистель, Геометрия банаховых пространств. Избранные главы, Вища школа, Киев, 1980, 215 с.
  36. T. Dobrowolski, J. Grabowski, “Subgroups of Hilbert spaces”, Math. Z., 211:4 (1992), 657–659
  37. Н. А. Дюжина, “Плотность сумм сдвигов одной функции в пространствах Харди в полуплоскости”, Матем. заметки, 106:5 (2019), 669–678
  38. Н. А. Дюжина, “Плотность производных наипростейших дробей в пространствах Харди в полуплоскости”, Матем. заметки, 109:1 (2021), 57–66
  39. Н. А. Дюжина, “Многомерные аналоги теорем о плотности сумм сдвигов одной функции”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 775–779
  40. J. M. Elkins, “Approximation by polynomials with restricted zeros”, J. Math. Anal. Appl., 25:2 (1969), 321–336
  41. M. Fekete, “Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten”, Math. Z., 17:1 (1923), 228–249
  42. Le Baron O. Ferguson, Approximation by polynomials with integral coefficients, Math. Surveys, 17, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, xi+160 pp.
  43. В. И. Филиппов, “Целочисленное разложение по системам из сжатий и сдвигов одной функции”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:4 (2020), 187–197
  44. В. П. Фонф, “Об условно сходящихся рядах в равномерно гладком пространстве Банаха”, Матем. заметки, 11:2 (1972), 209–214
  45. T. Ganelius, “Sequences of analytic functions and their zeros”, Ark. Mat., 3:1 (1954), 1–50
  46. А. О. Гельфонд, “О равномерных приближениях многочленами с целыми рациональными коэффициентами”, УМН, 10:1(63) (1955), 41–65
  47. J. Grabowski, “Homotopically non-trivial additive subgroups of Hilbert spaces”, Proc. Amer. Math. Soc., 127:5 (1999), 1563–1565
  48. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., доп., АФЦ, М., 1999, x+550 с.
  49. М. А. Комаров, “Скорость наилучшего приближения констант наипростейшими дробями и альтернанс”, Матем. заметки, 97:5 (2015), 718–732
  50. M. A. Komarov, “Approximation to constant functions by electrostatic fields due to electrons and positrons”, Lobachevskii J. Math., 40:1 (2019), 79–84
  51. M. A. Komarov, “A lower bound for the $L_2[-1,1]$-norm of the logarithmic derivative of polynomials with zeros on the unit circle”, Probl. Anal. Issues Anal., 8(26):2 (2019), 67–72
  52. М. А. Комаров, “О скорости аппроксимации в единичном круге функций класса $H^1$ логарифмическими производными полиномов с корнями на границе круга”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:3 (2020), 3–14
  53. M. A. Komarov, “Extremal properties of logarithmic derivatives of polynomials”, J. Math. Sci. (N. Y.), 250:1 (2020), 1–9
  54. M. A. Komarov, “Rational approximations of Lipschitz functions from the Hardy class on the line”, Probl. Anal. Issues Anal., 10(28):2 (2021), 54–66
  55. M. A. Komarov, “A Newman type bound for $L_p[-1,1]$-means of the logarithmic derivative of polynomials having all zeros on the unit circle”, Constr. Approx., 2023, Publ. online
  56. S. V. Konyagin, “On points of existence of elements of best approximation by sets in reflexive spaces”, East J. Approx., 1:1 (1995), 141–142
  57. J. Korevaar, “Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation”, Ann. of Math. (2), 80:3 (1964), 403–410
  58. О. Н. Косухин, “Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2001, № 4, 54–59
  59. Ka-Sing Lau, “Almost Chebyshev subsets in reflexive Banach spaces”, Indiana Univ. Math. J., 27:5 (1978), 791–795
  60. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, 4-е изд., Наука, М., 1973, 736 с.
  61. J. Lindenstrauss, “On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces”, Michigan Math. J., 10:3 (1963), 241–252
  62. G. G. Lorentz, M. v. Golitschek, Yu. Makovoz, Constructive approximation. Advanced problems, Grundlehren Math. Wiss., 304, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xii+649 pp.
  63. G. R. MacLane, “Polynomials with zeros on a rectifiable Jordan curve”, Duke Math. J., 16:3 (1949), 461–477
  64. G. R. MacLane, “Limits of rational functions”, Pacific J. Math., 6:1 (1956), 111–116
  65. D. J. Newman, “A lower bound for an area integral”, Amer. Math. Monthly, 79:9 (1972), 1015–1016
  66. V. Nitica, A. Török, “On a semigroup problem”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 12:8 (2019), 2365–2377
  67. Y. Okada, “On approximate polynomials with integral coefficients only”, Tôhoku Math. J., 23 (1924), 26–35
  68. D. T. Piele, “Asymptotically neutral families in $E^3$”, SIAM J. Math. Anal., 4:2 (1973), 260–268
  69. D. T. Piele, “An approximation of harmonic functions in $E^3$ by potentials of unit charges”, SIAM J. Math. Anal., 5:4 (1974), 563–568
  70. В. Ю. Протасов, “Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта”, Изв. РАН. Сер. матем., 73:2 (2009), 123–140
  71. Q. I. Rahman, “On a property of rational functions. II”, Proc. Amer. Math. Soc., 40:1 (1973), 143–145
  72. Q. I. Rahman, P. Turan, “On a property of rational functions”, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., 16 (1973), 37–45
  73. S. G. Revesz, “Note on a problem of Q. I. Rahman and P. Turan”, Acta Math. Hung., 44:3-4 (1984), 367–377
  74. К. С. Шкляев, “Плотность полугруппы, порожденной проходящими через нуль кривыми в банаховом пространстве”, Матем. заметки, 111:2 (2022), 316–320
  75. S. M. Tabatabaie, “The problem of density on $L^2(G)$”, Acta Math. Hungar., 150:2 (2016), 339–345
  76. V. Temlyakov, Greedy approximation, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math., 20, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2011, xiv+418 pp.
  77. Р. М. Тригуб, “Приближение функций с диофантовыми условиями многочленами с целыми коэффициентами”, Метрические вопросы теории функций и отображений, 2, Наукова думка, Киев, 1971, 267–333
  78. С. Троянски, “Об условно сходящихся рядах и некоторых $F$-пространствах”, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 5, Изд-во Харьк. ун-та, Харьков, 1967, 102–107
  79. N. Wiener, “Tauberian theorems”, Ann. of Math. (2), 33:1 (1932), 1–100

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Бородин П.A., Шкляев К.S., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».