Dynamics of metrics in measure spaces and scaling entropy

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Настоящий обзор посвящен новому направлению в теории динамических систем: динамике метрик в пространствах с мерой и новым (каталитическим) инвариантам преобразований с инвариантной мерой. Пространство с согласованными мерой и метрикой (метрические тройки или mm-пространства) автоматически определяет понятие своего энтропийного класса, позволяет построить иную и более общую по сравнению с теорией Шеннона–Колмогорова теорию энтропии динамических систем с инвариантной мерой. Незамеченный ранее намек на такую возможность высказывал еще К. Шеннон. Приводимая в статье классификация метрических троек с помощью матричных распределений принадлежит М. Громову и А. М. Вершику. Приводятся некоторые следствия и применения излагаемой теории. Библиография: 88 названий.

About the authors

Anatolii Moiseevich Vershik

St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute); Saint Petersburg State University

Email: avershik@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Georgii A. Veprev

Saint Petersburg State University; University of Geneva

without scientific degree, no status

Pavel Borisovich Zatitskii

St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; University of Cincinnati

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. T. Adams, “Genericity and rigidity for slow entropy transformations”, New York J. Math., 27 (2021), 393–416
  2. D. J. Aldous, “Exchangeability and related topics”, Ecole d'ete de probabilites de Saint-Flour XIII – 1983, Lecture Notes in Math., 1117, Springer, Berlin, 1985, 1–198
  3. T. Austin, E. Glasner, J.-P. Thouvenot, B. Weiss, “An ergodic system is dominant exactly when it has positive entropy”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 2022, 1–15, Publ. online
  4. В. И. Богачев, “Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований”, УМН, 77:5(467) (2022), 3–52
  5. В. И. Богачев, А. Н. Калинин, С. Н. Попова, “О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича”, Вероятность и статистика. 25, Посвящается памяти Владимира Николаевича Судакова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 457, ПОМИ, СПб., 2017, 53–73
  6. E. Bogomolny, O. Bohigas, C. Schmit, “Spectral properties of distance matrices”, J. Phys. A, 36:12 (2003), 3595–3616
  7. P. J. Cameron, A. M. Vershik, “Some isometry groups of the Urysohn space”, Ann. Pure Appl. Logic, 143:1-3 (2006), 70–78
  8. T. Downarowicz, J. Serafin, “Universal systems for entropy intervals”, J. Dynam. Differential Equations, 29:4 (2017), 1411–1422
  9. S. Ferenczi, “Measure-theoretic complexity of ergodic systems”, Israel J. Math., 100 (1997), 187–207
  10. S. Ferenczi, K. K. Park, “Entropy dimensions and a class of constructive examples”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 17:1 (2007), 133–141
  11. S. Gadgil, M. Krishnapur, “Lipschitz correspondence between metric measure spaces and random distance matrices”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2013:24 (2013), 5623–5644
  12. И. В. Гирсанов, “О спектрах динамических систем, порождаемых стационарными гауссовскими процессами”, Докл. АН СССР, 119:5 (1958), 851–853
  13. A. Greven, P. Pfaffelhuber, A. Winter, “Convergence in distribution of random metric measure spaces ($Lambda$-coalescent measure trees)”, Probab. Theory Related Fields, 145:1-2 (2009), 285–322
  14. M. Gromov, Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Transl. from the French, Progr. Math., 152, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, xx+585 pp.
  15. H. A. Helfgott, “Growth and generation in $operatorname{SL}_2(mathbb Z/pmathbb Z)$”, Ann. of Math. (2), 167:2 (2008), 601–623
  16. L. Hogben, C. Reinhart, “Spectra of variants of distance matrices of graphs and digraphs: a survey”, Matematica, 1:1 (2022), 186–224
  17. H. E. Jordan, “Group-characters of various types of linear groups”, Amer. J. Math., 29:4 (1907), 387–405
  18. K. Juschenko, N. Monod, “Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups”, Ann. of Math. (2), 178:2 (2013), 775–787
  19. S. Kakutani, “A problem of equidistribution on the unit interval $[0,1]$”, Measure theory (Oberwolfach, 1975), Lecture Notes in Math., 541, Springer, Berlin, 1976, 369–375
  20. A. Kanigowski, “Slow entropy for some smooth flows on surfaces”, Israel J. Math., 226:2 (2018), 535–577
  21. A. Kanigowski, A. Katok, D. Wei, Survey on entropy-type invariants of sub-exponential growth in dynamical systems, 2020, 47 pp.
  22. A. Kanigowski, K. Vinhage, D. Wei, “Slow entropy of some parabolic flows”, Comm. Math. Phys., 370:2 (2019), 449–474
  23. Л. В. Канторович, “О перемещении масс”, Докл. АН СССР, 37:7-8 (1942), 227–229
  24. A. Katok, J.-P. Thouvenot, “Slow entropy type invariants and smooth realization of commuting measure-preserving transformations”, Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 33:3 (1997), 323–338
  25. A. S. Kechris, Global aspects of ergodic group actions, Math. Surveys Monogr., 160, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, xii+237 pp.
  26. А. Н. Колмогоров, “Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега”, Докл. АН СССР, 119:5 (1958), 861–864
  27. А. Н. Колмогоров, “Теория передачи информации”, Теория информации и теория алгоритмов, Наука, М., 1987, 29–58
  28. V. Koltchinskii, E. Gine, “Random matrix approximation of spectra of integral operators”, Bernoulli, 6:1 (2000), 113–167
  29. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин, Эргодическая теория, Наука, М., 1980, 384 с.
  30. W. Krieger, “On entropy and generators of measure-preserving transformations”, Trans. Amer. Math. Soc., 149 (1970), 453–464
  31. А. Г. Кушниренко, “О метрических инвариантах типа энтропии”, УМН, 22:5(137) (1967), 57–65
  32. A. A. Лодкин, И. Е. Манаев, А. Р. Минабутдинов, “Асимптотика масштабированной энтропии автоморфизма Паскаля”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XVIII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 378, ПОМИ, СПб., 2010, 58–72
  33. A. Lott, “Zero entropy actions of amenable groups are not dominant”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 2023, 1–16, Publ. online
  34. L. Motto Ros, “Can we classify complete metric spaces up to isometry?”, Boll. Unione Mat. Ital., 10:3 (2017), 369–410
  35. D. S. Ornstein, B. Weiss, “Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups”, J. Analyse Math., 48:1 (1987), 1–141
  36. Ф. Петров, “Исправление непрерывных гиперграфов”, Алгебра и анализ, 28:6 (2016), 84–90
  37. L. Pyber, E. Szabo, “Growth in finite simple groups of Lie type”, J. Amer. Math. Soc., 29:1 (2016), 95–146
  38. M. Queffelec, Substitution dynamical systems – spectral analysis, Lecture Notes in Math., 1294, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2010, xvi+351 pp.
  39. В. А. Рохлин, “Об основных понятиях теории меры”, Матем. сб., 25(67):1 (1949), 107–150
  40. В. А. Рохлин, “Метрическая классификация измеримых функций”, УМН, 12:2(74) (1957), 169–174
  41. В. А. Рохлин, “Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой”, УМН, 22:5(137) (1967), 3–56
  42. В. В. Рыжиков, “Компактные семейства и типичные энтропийные инварианты сохраняющих меру действий”, Тр. ММО, 82, № 1, МЦНМО, М., 2021, 137–145
  43. J. Schur, “Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen”, J. Reine Angew. Math., 132 (1907), 85–137
  44. J. Serafin, “Non-existence of a universal zero-entropy system”, Israel J. Math., 194:1 (2013), 349–358
  45. К. Шеннон, “Математическая теория связи”, Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., 1963, 243–332
  46. K.-T. Sturm, The space of spaces: curvature bounds and gradient flows on the space of metric measure spaces, 2020 (v1 – 2012), 88 pp.
  47. П. С. Урысон, “Об универсальном метрическом пространстве”, Труды по топологии и другим областям математики, т. 2, ГИТТЛ, М.–Л., 1951, 747–776
  48. G. A. Veprev, “Scaling entropy of unstable systems”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXXI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 498, ПОМИ, СПб., 2020, 5–17
  49. Г. А. Вепрев, “Масштабированная энтропия типичного преобразования”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXXIII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 507, ПОМИ, СПб., 2021, 5–14
  50. G. Veprev, Non-existence of a universal zero entropy system via generic actions of almost complete growth, 2022, 12 pp.
  51. G. Veprev, “Non-existence of a universal zero entropy system for non-periodic amenable group actions”, Israel J. Math., 253 (2023), 715–743
  52. А. М. Вершик, “О спектральном и метрическом изоморфизме некоторых нормальных динамических систем”, Докл. АН СССР, 144:2 (1962), 255–257
  53. А. М. Вершик, “Равномерная алгебраическая аппроксимация операторов сдвига и умножения”, Докл. АН СССР, 259:3 (1981), 526–529
  54. А. М. Вершик, “Теорема о марковской периодической аппроксимации в эргодической теории”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 14, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 115, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1982, 72–82
  55. А. М. Вершик, “Универсальное пространство Урысона, метрические тройки Громова и случайные метрики на натуральном ряде”, УМН, 53:5(323) (1998), 57–64
  56. А. М. Вершик, “Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона”, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733–736
  57. A. M. Vershik, Distance matrices, random metrics and Urysohn space, The MPIM preprint series, № 2002-8, Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, 2002, 19 pp.
  58. А. М. Вершик, “Классификация измеримых функций нескольких аргументов и инвариантно распределенные случайные матрицы”, Функц. анализ и его прил., 36:2 (2002), 12–27
  59. А. М. Вершик, “Случайные и универсальные метрические пространства”, Фундаментальная математика сегодня, МЦНМО, М., 2003, 54–88
  60. А. М. Вершик, “Метрика Канторовича: начальная история и малоизвестные применения”, Теория представлений, динамические системы. XI, Специальный выпуск, Зап. науч. сем. ПОМИ, 312, ПОМИ, СПб., 2004, 69–85
  61. А. М. Вершик, “Случайные метрические пространства и универсальность”, УМН, 59:2(356) (2004), 65–104
  62. А. М. Вершик, “Информация, энтропия, динамика”, Математика XX века: взгляд из Петербурга, МЦНМО, М., 2010, 47–76
  63. A. M. Vershik, “Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants”, Markov Process. Related Fields, 16:1 (2010), 169–184
  64. А. М. Вершик, “Масштабированная энтропия и автоморфизмы с чисто точечным спектром”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 111–135
  65. А. М. Вершик, “Автоморфизм Паскаля имеет непрерывный спектр”, Функц. анализ и его прил., 45:3 (2011), 16–33
  66. A. M. Vershik, “Long history of the Monge–Kantorovich transportation problem”, Math. Intelligencer, 35:2 (2013), 1–9
  67. А. М. Вершик, “Теория фильтраций подалгебр, стандартность и независимость”, УМН, 72:2(434) (2017), 67–146
  68. А. М. Вершик, “Одномерные центральные меры на нумерациях упорядоченных множеств”, Функц. анализ и его прил., 56:4 (2022), 17–24
  69. А. М. Вершик, “Энтропия метрических троек (мм-энтропия), динамика метрик и каталитические инварианты”, Препринты ПОМИ, № 4, 2023 (в печати)
  70. A. M. Vershik, U. Haböck, “Compactness of the congruence group of measurable functions in several variables”, Численные методы и вопросы организации вычислений. XIX, Зап. науч. сем. ПОМИ, 334, ПОМИ, СПб., 2006, 57–67
  71. A. M. Vershik, U. Haböck, “On the classification problem of measurable functions in several variables and on matrix distributions”, Вероятность и статистика. 22, Зап. науч. сем. ПОМИ, 441, ПОМИ, СПб., 2015, 119–143
  72. А. М. Вершик, М. А. Лифшиц, “mm-энтропия банахова пространства с гауссовской мерой”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023) (в печати)
  73. A. M. Vershik, A. N. Livshits, “Adic models of ergodic transformations, spectral theory, substitutions, and related topics”, Representation theory and dynamical systems, Adv. Soviet Math., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 185–204
  74. А. М. Вершик, Ф. В. Петров, “Предельные спектральные меры матричных распределений метрических троек”, Функц. анализ и его прил., 57:2 (2023), 106–110
  75. А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, “Универсальная адическая аппроксимация, инвариантные меры и масштабированная энтропия”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:4 (2017), 68–107
  76. А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, “Об универсальном борелевском адическом пространстве”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXIX, Зап. науч. сем. ПОМИ, 468, ПОМИ, СПб., 2018, 24–38
  77. А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, “Комбинаторные инварианты метрических фильтраций и автоморфизмов; универсальный адический граф”, Функц. анализ и его прил., 52:4 (2018), 23–37
  78. A. M. Vershik, P. B. Zatitskiy, F. V. Petrov, “Geometry and dynamics of admissible metrics in measure spaces”, Cent. Eur. J. Math., 11:3 (2013), 379–400
  79. А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и теоремы вложения”, Функц. анализ и его прил., 47:3 (2013), 1–11
  80. А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и ее приложения”, УМН, 69:6(420) (2014), 81–114
  81. Tao Yu, Guohua Zhang, Ruifeng Zhang, “Discrete spectrum for amenable group actions”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 41:12 (2021), 5871–5886
  82. П. Б. Затицкий, “О масштабирующей энтропийной последовательности динамической системы”, Функц. анализ и его прил., 48:4 (2014), 70–74
  83. П. Б. Затицкий, Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамических систем, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, ПОМИ, СПб., 2014, 87 с.
  84. П. Б. Затицкий, “Масштабирующая энтропийная последовательность: инвариантность и примеры”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXIV, Зап. науч. сем. ПОМИ, 432, ПОМИ, СПб., 2015, 128–161
  85. П. Б. Затицкий, “О возможной скорости роста масштабирующей энтропийной последовательности”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXV, Зап. науч. сем. ПОМИ, 436, ПОМИ, СПб., 2015, 136–166
  86. П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Об исправлении метрик”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XX, Зап. науч. сем. ПОМИ, 390, ПОМИ, СПб., 2011, 201–209
  87. П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “О субаддитивности масштабирующей энтропийной последовательности”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXV, Зап. науч. сем. ПОМИ, 436, ПОМИ, СПб., 2015, 167–173
  88. Yun Zhao, Ya. Pesin, “Scaled entropy for dynamical systems”, J. Stat. Phys., 158:2 (2015), 447–475

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Vershik A.M., Veprev G.A., Zatitskii P.B.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».