Averaging and mixing for stochastic perturbations of linear conservative systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study stochastic perturbations of linear systems of the form\begin{equation}dv(t)+Av(t) dt =\varepsilon P(v(t)) dt+\sqrt{\varepsilon} \mathcal{B}(v(t)) dW (t), \qquad v\in\mathbb{R}^D, \tag{*}\end{equation}where $A$ is a linear operator with non-zero imaginary spectrum.It is assumed that the vector field $P(v)$and the matrix function $\mathcal{B}(v)$ are locally Lipschitz with at most polynomial growth at infinity, that the equationis well-posed and a few of first moments of the norms of solutions $v(t)$ are bounded uniformly in $\varepsilon$. We use Khasminski'sapproach to stochastic averaging to show that, as $\varepsilon\to0$, a solution $v(t)$, written in the interaction representation interms of the operator $A$, for $0\leqslant t\leqslantConst\cdot\varepsilon^{-1}$ converges in distribution to a solution of an effective equation.The latter is obtained from $(*)$ by means of certain averaging. Assuming that equation $(*)$ and/or the effectiveequation are mixing, we examine this convergence further.Bibliography: 27 titles.

About the authors

Guan Huang

School of Physics, Beijing Institute of Technology; Peoples Friendship University of Russia

Email: huangguan@tsinghua.edu.cn

Sergei Borisovich Kuksin

Université Paris VII — Denis Diderot, UFR de Mathématiques; Peoples Friendship University of Russia

Author for correspondence.
Email: huangguan@tsinghua.edu.cn

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, 2-е изд., перераб. и доп., Едиториал УРСС, М., 2002, 416 с.
  2. П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977, 351 с.
  3. В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, Уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2013, 592 с.
  4. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 2-е изд., Физматгиз, М., 1958, 408 с.
  5. A. Boritchev, S. Kuksin, One-dimensional turbulence and the stochastic Burgers equation, Math. Surveys Monogr., 255, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, vii+192 pp.
  6. В. Ш. Бурд, Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний, ЯрГУ, Ярославль, 2013, 416 с.
  7. Jinqiao Duan, Wei Wang, Effective dynamics of stochastic partial differential equations, Elsevier, Amsterdam, 2014, xii+270 pp.
  8. R. M. Dudley, Real analysis and probability, Cambridge Stud. Adv. Math., 74, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+555 pp.
  9. A. Dymov, “Nonequilibrium statistical mechanics of weakly stochastically perturbed system of oscillators”, Ann. Henri Poincare, 17:7 (2016), 1825–1882
  10. А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин, Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений, Наука, M., 1979, 424 с.
  11. G. Huang, S. Kuksin, “On averaging and mixing for stochastic PDEs”, J. Dynam. Differential Equations, 2022, Publ. online
  12. Guan Huang, S. Kuksin, A. Maiocchi, “Time-averaging for weakly nonlinear CGL equations with arbitrary potentials”, Hamiltonian partial differential equations and applications, Fields Inst. Commun., 75, Fields Inst. Res. Math. Sci., Toronto, ON, 2015, 323–349
  13. В. Иан, С. Б. Куксин, Ю. Ву, “Усреднение Крылова–Боголюбова”, УМН, 75:3(453) (2020), 37–54
  14. I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, Grad. Texts in Math., 113, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 2005, xxiii+470 pp.
  15. Р. З. Хасьминский, “О случайных процессах, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром”, Теория вероятн. и ее примен., 11:2 (1966), 240–259
  16. Р. З. Хасьминский, “О принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений Ито”, Kybernetika (Prague), 4:3 (1968), 260–279
  17. Р. З. Хасьминский, Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров, Наука, М., 1969, 367 с.
  18. Yu. Kifer, Large deviations and adiabatic transitions for dynamical systems and Markov processes in fully coupled averaging, Mem. Amer. Math. Soc., 201, № 944, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, viii+129 pp.
  19. S. Kuksin, A. Maiocchi, “Resonant averaging for small-amplitude solutions of stochastic nonlinear Schrödinger equations”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 148:2 (2018), 357–394
  20. A. Kulik, Ergodic behavior of Markov processes. With applications to limit theorems, De Gruyter Stud. Math., 67, De Gruyter, Berlin, 2018, x+256 pp.
  21. Shu-Jun Liu, M. Krstic, Stochastic averaging and stochastic extremum seeking, Comm. Control Engrg. Ser., Springer, London, 2012, xii+224 pp.
  22. J. C. Mattingly, A. M. Stuart, D. J. Higham, “Ergodicity for SDEs and approximations: locally Lipschitz vector fields and degenerate noise”, Stochastic Process. Appl., 101:2 (2002), 185–232
  23. А. В. Скороход, Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений, Наук. думка, Киев, 1987, 328 с.
  24. D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan, Multidimensional diffusion processes, Grundlehren Math. Wiss., 233, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1979, xii+338 pp.
  25. А. Ю. Веретенников, “О принципе усреднения для систем стохастических дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 181:2 (1990), 256–268
  26. C. Villani, Optimal transport. Old and new, Grundlehren Math. Wiss., 338, Springer-Verlag, Berlin, 2009, xxii+973 pp.
  27. H. Whitney, “Differentiable even functions”, Duke Math. J., 10 (1943), 159–160

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2023 Huang G., Kuksin S.B.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».