Геометрия диофантовых экспонент

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Диофантовы экспоненты являются одними из самых простых количественных характеристик, отвечающих за аппроксимационные свойства линейных подпространств евклидова пространства. Данный обзор посвящён описанию современного состояния раздела теории диофантовых приближений, изучающего диофантовы экспоненты и соотношения, которым они удовлетворяют. Мы обсуждаем классические диофантовы экспоненты, возникающие в задаче приближения нуля набором значений нескольких линейных форм в целых точках, их аналоги в теории диофантовых приближений с весами, мультипликативные диофантовы экспоненты, а также диофантовы экспоненты решёток. Особое внимание уделяется принципу переноса. Библиография: 99 названий.

Об авторах

Олег Николаевич Герман

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Email: german.oleg@gmail.com
доктор физико-математических наук, без звания

Список литературы

  1. J. P. G. Lejeune Dirichlet, “Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1842, 93–95
  2. J. Liouville, “Nouvelle demonstration d'un theorème sur les irrationelles algebriques”, C. R. Acad. Sci. Paris, 18 (1844), 910–911
  3. J. Liouville, “Sur des classes très-etendues de quantites dont la valeur n'est ni algebrique, ni même reductible à des irrationelles algebriques”, J. Math. Pures Appl., 16 (1851), 133–142
  4. A. Thue, “Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen”, J. Reine Angew. Math., 1909:135 (1909), 284–305
  5. C. Siegel, “Approximation algebraischer Zahlen”, Math Z., 10:3-4 (1921), 173–213
  6. F. J. Dyson, “The approximation to algebraic numbers by rationals”, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 79 (1947), 225–240
  7. А. О. Гельфонд, Трансцендентные и алгебраические числа, Гостехиздат, М., 1952, 224 с.
  8. K. F. Roth, “Rational approximation to algebraic numbers”, Mathematika, 2:1 (1955), 1–20
  9. H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Parts I, II, B. G. Teubner, Leipzig, 1896, 1910, 240 pp., viii+241–256 pp.
  10. Дж. Касселс, Введение в геометрию чисел, Мир, М., 1965, 421 с.
  11. В. Шмидт, Диофантовы приближения, М., Мир, 1983, 230 с.
  12. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 4-е изд., Наука, М., 1978, 112 с.
  13. С. Ленг, Введение в теорию диофантовых приближений, Мир, М., 1970, 104 с.
  14. P. Fatou, “Sur l'approximation des incommensurables et des series trigonometriques”, C. R. Acad. Sci. Paris, 139 (1904), 1019–1021
  15. J. H. Grace, “The classification of rational approximations”, Proc. London Math. Soc. (2), 17 (1918), 247–258
  16. Б. Н. Делоне, “Алгорифм разделенных параллелограммов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 11:6 (1947), 505–538
  17. В. И. Арнольд, Цепные дроби, МЦНМО, М., 2009, 40 с.
  18. P. Erdös, P. M. Gruber, J. Hammer, Lattice points, Pitman Monogr. Surveys Pure Appl. Math., 39, Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989, viii+184 pp.
  19. O. Karpenkov, Geometry of continued fractions, Algorithms Comput. Math., 26, Springer, Heidelberg, 2013, xviii+405 pp.
  20. O. N. German, I. A. Tlyustangelov, “Palindromes and periodic continued fractions”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 6:2-3 (2016), 233–252
  21. F. Klein, “Über eine geometrische Auffassung der gewöhnlichen Kettenbruchentwichlung”, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl., 3 (1895), 357–359
  22. Е. И. Коркина, “Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры”, Особенности гладких отображений с дополнительными структурами, Сборник статей, Тр. МИАН, 209, Наука, Физматлит, М., 1995, 143–166
  23. O. Karpenkov, “Elementary notions of lattice trigonometry”, Math. Scand., 102:2 (2008), 161–205
  24. Дж. В. С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений, ИЛ, М., 1961, 213 с.
  25. O. Perron, “Über diophantische Approximationen”, Math. Ann., 83:1-2 (1921), 77–84
  26. A. Khintchine, “Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit das Herrn Perron”, Math. Z., 22:1 (1925), 274–284
  27. А. Я. Хинчин, Избранные труды по теории чисел, МЦНМО, М., 2006, xx+260 с.
  28. A. Khintchine, “Über eine Klasse linearer diophantischer Approximationen”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 50 (1926), 170–195
  29. A. Khintchine, “Über die angenäherte Auflösung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen”, Acta Arith., 2 (1937), 161–172
  30. А. Я. Хинчин, “Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 12:3 (1948), 249–258
  31. Н. Г. Мощевитин, “Сингулярные диофантовы системы А. Я. Хинчина и их применение”, УМН, 65:3(393) (2010), 43–126
  32. V. Jarnik, “Über einen Satz von A. Khintchine”, Prace Mat.-Fiz., 43 (1936), 151–166
  33. V. Jarnik, “Über einen Satz von A. Khintchine. II”, Acta Arith., 2 (1936), 1–22
  34. V. Jarnik, “Zum Khintchineschen ‘Übertragungssatz’ ”, Trav. Inst. Math. Tbilissi, 3 (1938), 193–212
  35. А. Я. Хинчин, “О некоторых приложениях метода добавочной переменной”, УМН, 3:6(28) (1948), 188–200
  36. O. N. German, “On Diophantine exponents and Khintchine's transference principle”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 2:2 (2012), 22–51
  37. O. N. German, “Intermediate Diophantine exponents and parametric geometry of numbers”, Acta Arith., 154:1 (2012), 79–101
  38. A. Marnat, “About Jarnik's-type relation in higher dimension”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 68:1 (2018), 131–150
  39. W. M. Schmidt, L. Summerer, “The generalization of Jarnik's identity”, Acta Arith., 175:2 (2016), 119–136
  40. M. Laurent, “On transfer inequalities in Diophantine approximation”, Analytic number theory, Essays in honour of Klaus Roth, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009, 306–314
  41. Y. Bugeaud, M. Laurent, “On transfer inequalities in Diophantine approximation. II”, Math. Z., 265:2 (2010), 249–262
  42. M. Laurent, “Exponents of Diophantine approximation in dimension two”, Canad. J. Math., 61:1 (2009), 165–189
  43. J. Schleischitz, “Optimality of two inequalities for exponents of Diophantine approximation”, J. Number Theory, 244 (2023), 169–203
  44. W. M. Schmidt, L. Summerer, “Diophantine approximation and parametric geometry of numbers”, Monatsh. Math., 169:1 (2013), 51–104
  45. O. N. German, N. G. Moshchevitin, “A simple proof of Schmidt–Summerer's inequality”, Monatsh. Math., 170:3-4 (2013), 361–370
  46. O. N. German, N. G. Moshchevitin, “On transference principle and Nesterenko's linear independence criterion”, Изв. РАН Сер. матем., 87:2 (2023), 56–68
  47. V. Jarnik, “Une remarque sur les approximations diophantiennes lineaires”, Acta Sci. Math. (Szeged), 12 (1950), 82–86
  48. V. Jarnik, “К теoрии oднoрoдных линейных диoфантoвых приближений”, Czechoslovak Math. J., 4(79):4 (1954), 330–353
  49. N. G. Moshchevitin, “Exponents for three-dimensional simultaneous Diophantine approximations”, Czechoslovak Math. J., 62(137):1 (2012), 127–137
  50. W. M. Schmidt, L. Summerer, “Simultaneous approximation to three numbers”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 3:1 (2013), 84–107
  51. A. Marnat, N. G. Moshchevitin, “An optimal bound for the ratio between ordinary and uniform exponents of Diophantine approximation”, Mathematika, 66:3 (2020), 818–854
  52. M. Rivard-Cooke, Parametric geometry of numbers, PhD thesis, Univ. of Ottawa, 2019
  53. Ngoc Ai Van Nguyen, A. Poëls, D. Roy, “A transference principle for simultaneous rational approximation”, J. Theor. Nombres Bordeaux, 32:2 (2020), 387–402
  54. J. Schleischitz, “Applications of Siegel's lemma to a system of linear forms and its minimal points”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 11:2 (2022), 125–148
  55. K. Mahler, “Neuer Beweis eines Satzes von A. Khintchine”, Матем. сб., 1(43):6 (1936), 961–962
  56. K. Mahler, “Ein Übertragungsprinzip für lineare Ungleichungen”, Časopis Pěst. Mat. Fys., 68 (1939), 85–92
  57. K. Mahler, “On compound convex bodies. I”, Proc. London Math. Soc. (3), 5:3 (1955), 358–379
  58. K. Mahler, “On compound convex bodies. II”, Proc. London Math. Soc. (3), 5:3 (1955), 380–384
  59. П. М. Грубер, К. Г. Леккеркеркер, Геометрия чисел, Наука, М., 2008, 716 с.
  60. J. D. Vaaler, “A geometric inequality with applications to linear forms”, Pacific J. Math., 83:2 (1979), 543–553
  61. K. Mahler, “Ein Übertragungsprinzip für konvexe Körper”, Časopis Pěst. Mat. Fys., 68 (1939), 93–102
  62. О. Н. Герман, К. Г. Евдокимов, “Усиление теоремы переноса Малера”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 63–76
  63. W. M. Schmidt, Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Math., 1467, Springer-Verlag, Berlin, 1991, viii+217 pp.
  64. O. N. German, “Transference theorems for Diophantine approximation with weights”, Mathematika, 66:2 (2020), 325–342
  65. W. M. Schmidt, “Open problems in Diophantine approximation”, Approximations Diophantiennes et nombres transcendants (Luminy, 1982), Progr. Math., 31, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983, 271–287
  66. W. M. Schmidt, L. Summerer, “Parametric geometry of numbers and applications”, Acta Arith., 140:1 (2009), 67–91
  67. W. M. Schmidt, “On heights of algebraic subspaces and Diophantine approximations”, Ann. of Math. (2), 85:3 (1967), 430–472
  68. O. N. German, “Multiparametric geometry of numbers and its application to splitting transference theorems”, Monatsh. Math., 197:4 (2022), 579–606
  69. D. Roy, “On Schmidt and Summerer parametric geometry of numbers”, Ann. of Math. (2), 182:2 (2015), 739–786
  70. D. Roy, “Spectrum of the exponents of best rational approximation”, Math. Z., 283:1-2 (2016), 143–155
  71. F. J. Dyson, “On simultaneous Diophantine approximations”, Proc. London Math. Soc. (2), 49 (1947), 409–420
  72. V. Jarnik, “Eine Bemerkung zum Übertragungssatz”, Bŭlgar. Akad. Nauk Izv. Mat. Inst., 3:2 (1959), 169–175
  73. A. Apfelbeck, “A contribution to Khintchine's principle of transfer”, Czechoslovak Math. J., 1:3 (1951), 119–147
  74. N. G. Moshchevitin, “Diophantine exponents for systems of linear forms in two variables”, Acta Sci. Math. (Szeged), 79:1-2 (2013), 347–367
  75. W. M. Schmidt, Yuan Wang, “A note on a transference theorem of linear forms”, Sci. Sinica, 22:3 (1979), 276–280
  76. Y. Bugeaud, “Multiplicative Diophantine approximation”, Dynamical systems and Diophantine approximation, Semin. Congr., 19, Soc. Math. France, Paris, 2009, 105–125
  77. O. N. German, “Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents”, Классическая и современная математика в поле деятельности Бориса Николаевича Делоне, Сборник статей. К 120-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР Бориса Николаевича Делоне, Труды МИАН, 275, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2011, 227–239
  78. J. W. S. Cassels, H. P. F. Swinnerton-Dyer, “On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms”, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 248:940 (1955), 73–96
  79. H. Davenport, “A note on Diophantine approximation”, Studies in mathematical analysis and related topics, Stanford Univ. Press, Stanford, CA, 1962, 77–81
  80. D. Badziahin, A. Pollington, S. Velani, “On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture”, Ann. of Math. (2), 174:3 (2011), 1837–1883
  81. S. Chow, A. Ghosh, L. Guan, A. Marnat, D. Simmons, “Diophantine transference inequalities: weighted, inhomogeneous, and intermediate exponents”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 21 (2020), 643–671
  82. A. Marnat, “There is no analogue to Jarnik's relation for twisted Diophantine approximation”, Monatsh. Math., 181:3 (2016), 675–688
  83. З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, М., 1964, 566 с.
  84. W. M. Schmidt, “Norm form equations”, Ann. of Math. (2), 96:3 (1972), 526–551
  85. E. Bombieri, W. Gubler, Heights in Diophantine geometry, New Math. Monogr., 4, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006, xvi+652 pp.
  86. M. M. Skriganov, “Ergodic theory on $operatorname{SL}(n)$, Diophantine approximations and anomalies in the lattice point problem”, Invent. Math., 132:1 (1998), 1–72
  87. О. Н. Герман, “Диофантовы экспоненты решеток”, Теория чисел и приложения. 1, К 80-летию со дня рождения профессора Анатолия Алексеевича Карацубы, Совр. пробл. матем., 23, МИАН, М., 2016, 35–42
  88. О. Н. Герман, “Линейные формы заданного диофантового типа и экспоненты решеток”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:1 (2020), 5–26
  89. G. A. Margulis, “Oppenheim conjecture”, Fields medalists' lectures, World Sci. Ser. 20th Century Math., 5, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1997, 272–327
  90. О. Н. Герман, И. А. Тлюстангелов, “Симметрии двумерной цепной дроби”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:4 (2021), 53–68
  91. J.-O. Moussafir, “Convex hulls of integral points”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. V, Зап. науч. сем. ПОМИ, 266, ПОМИ, СПб., 2000, 188–217
  92. О. Н. Герман, “Паруса и норменные минимумы решеток”, Матем. сб., 196:3 (2005), 31–60
  93. О. Н. Герман, “Полиэдры Клейна и норменные минимумы решеток”, Докл. РАН, 406:3 (2006), 298–302
  94. O. N. German, “Klein polyhedra and lattices with positive norm minima”, J. Theor. Nombres Bordeaux, 19:1 (2007), 175–190
  95. Э. Р. Бигушев, О. Н. Герман, “Диофантовы экспоненты решеток и рост многомерных аналогов неполных частных”, Матем. сб., 214:3 (2023), 71–84
  96. L. J. Mordell, “Note on an arithmetical problem on linear forms”, J. London Math. Soc., 12:1 (1937), 34–36
  97. H. Davenport, “Note on a result of Siegel”, Acta Arith., 2:2 (1936), 262–265
  98. U. Shapira, B. Weiss, “Stable lattices and the diagonal group”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 18:8 (2016), 1753–1767
  99. G. Ramharter, “On the densities of certain lattice packings by parallelepipeds”, Acta Math. Hungar., 88:4 (2000), 331–340

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Герман О.Н., 2023

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).