Extremal problems in geometric function theory

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Обзорная статья посвящена ряду достижений в области экстремальных проблем геометрической теории функций. В основе методов и подходов к решению рассматриваемых проблем лежат конформные изоморфизмы, а также теория однолистных функций, развивавшаяся с начала XX в. Приведены результаты по интегральным средним конформных отображений круга, в частности, дано распространение неравенства Е. П. Долженко для рациональных функций на случай произвольных областей со спрямляемыми границами. Описаны исследования в области неравенств типа Бора. Особо выделены интегральные неравенства типа Харди и Реллиха, в которых аналитические свойства неравенств тесно переплетаются с геометрическими характеристиками границ областей. Представлены результаты, касающиеся решения задачи Вуоринена о поведении конформных модулей при неограниченном растяжении плоскости. Получены формулы для вариации емкостей Робена. Охарактеризованы однопараметрические семейства рациональных и эллиптических функций, критические значения которых изменяются по заданному закону. Описаны также последние результаты по гипотезе Смейла, а также дуальной гипотезе Смейла. Библиография: 149 названий.

About the authors

Farit Gabidinovich Avkhadiev

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: avkhadiev47@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Ilgiz Rifatovich Kayumov

Kazan (Volga Region) Federal University; Saint Petersburg State University

Email: Ilgis.Kayumov@kpfu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Semen Rafailovich Nasyrov

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: snasyrov@kpfu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Y. Abu Muhanna, R. M. Ali, S. Ponnusamy, “On the Bohr inequality”, Progress in approximation theory and applicable complex analysis, Springer Optim. Appl., 117, Springer, Cham, 2017, 269–300
  2. M. B. Ahamed, V. Allu, H. Halder, “Bohr radius for certain classes of close-to-convex harmonic mappings”, Anal. Math. Phys., 11:3 (2021), 111, 30 pp.
  3. Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Мир, М., 1969, 133 с.
  4. L. V. Ahlfors, Conformal invariants. Topics in geometric function theory, Reprint of the 1973 original, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2010, xii+162 pp.
  5. Л. А. Айзенберг, И. Б. Гроссман, Ю. Ф. Коробейник, “Некоторые замечания о радиусе Бора для степенных рядов”, Изв. вузов. Матем., 10 (2002), 3–10
  6. R. M. Ali, R. W. Barnard, A. Yu. Solynin, “A note on the Bohr's phenomenon for power series”, J. Math. Anal. Appl., 449:1 (2017), 154–167
  7. S. A. Alkhaleefah, I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, “On the Bohr inequality with a fixed zero coefficient”, Proc. Amer. Math. Soc., 147:12 (2019), 5263–5274
  8. A. Ancona, “On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in $mathbb{R}^n$”, J. London Math. Soc. (2), 34:2 (1986), 274–290
  9. F. G. Avkhadiev, “Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants”, Lobachevskii J. Math., 21 (2006), 3–31
  10. Ф. Г. Авхадиев, “Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна $1/4$”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 3–26
  11. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения”, Матем. сб., 206:12 (2015), 3–28
  12. F. G. Avkhadiev, “Hardy–Rellich inequalities in domains of the Euclidean space”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 469–484
  13. F. G. Avkhadiev, “Sharp Hardy constants for annuli”, J. Math. Anal. Appl., 466:1 (2018), 936–951
  14. Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства Реллиха для полигармонических операторов в областях на плоскости”, Матем. сб., 209:3 (2018), 4–33
  15. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства Харди и Реллиха в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 18–44
  16. Ф. Г. Авхадиев, “О неравенствах Реллиха в евклидовом пространстве”, Изв. вузов. Матем., 8 (2018), 83–87
  17. F. G. Avkhadiev, “Euclidean maximum moduli of plane domains and their applications”, Complex Var. Elliptic Equ., 64:11 (2019), 1869–1880
  18. Ф. Г. Авхадиев, Конформно-инвариантные неравенства, Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2020, 260 с.
  19. F. Avkhadiev, “Selected results and open problems on Hardy–Rellich and Poincare–Friedrichs inequalities”, Anal. Math. Phys., 11:3 (2021), 134, 20 pp.
  20. Ф. Г. Авхадиев, “Универсальные неравенства в областях евклидова пространства и их применения”, Уфимск. матем. журн., 14:3 (2022), 3–16
  21. Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства типа Харди с точными константами в областях, лямбда-близких к выпуклым”, Сиб. матем. журн., 63:3 (2022), 481–499
  22. Ф. Г. Авхадиев, “Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:1 (2022), 3–35
  23. F. G. Avkhadiev, Ch. Pommerenke, K.-J. Wirths, “Sharp inequalities for the coefficients of concave schlicht functions”, Comment. Math. Helv., 81:4 (2006), 801–807
  24. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Estimates of the derivatives of meromorphic maps from convex domains into concave domains”, Comput. Methods Funct. Theory, 8:1-2 (2008), 107–119
  25. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, Schwarz–Pick type inequalities, Front. Math., Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, viii+156 pp.
  26. A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The analysis and geometry of Hardy's inequality, Universitext, Springer, Cham, 2015, xv+263 pp.
  27. R. Bañuelos, C. N. Moore, “Mean growth of Bloch functions and Makarov's law of the iterated logarithm”, Proc. Amer. Math. Soc., 112:3 (1991), 851–854
  28. А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов, “Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:5 (2022), 5–17
  29. А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов, “Интегральные оценки производных рациональных функций в гельдеровых областях”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 507:1 (2022), 15–21
  30. A. F. Beardon, D. Minda, T. W. Ng, “Smale's mean value conjecture and the hyperbolic metric”, Math. Ann., 322:4 (2002), 623–632
  31. A. F. Beardon, Ch. Pommerenke, “The Poincare metric of plane domains”, J. London Math. Soc. (2), 18:3 (1978), 475–483
  32. B. Bhowmik, N. Das, “Bohr phenomenon for subordinating families of certain univalent functions”, J. Math. Anal. Appl., 462:2 (2018), 1087–1098
  33. H. Bohr, “A theorem concerning power series”, Proc. London Math. Soc. (2), 13 (1914), 1–5
  34. E. Bombieri, “Sopra un teorema di H. Bohr e G. Ricci sulle funzioni maggioranti delle serie di potenze”, Boll. Un. Mat. Ital. (3), 17 (1962), 276–282
  35. E. Bombieri, J. Bourgain, “A remark on Bohr's inequality”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2004:80 (2004), 4307–4330
  36. J. E. Brennan, “The integrability of the derivative in conformal mapping”, J. London Math. Soc. (2), 18:2 (1978), 261–272
  37. D. Carando, A. Defant, D. Garcia, M. Maestre, P. Sevilla-Peris, “The Dirichlet–Bohr radius”, Acta Arith., 171:1 (2015), 23–37
  38. L. Carleson, T. W. Gamelin, Complex dynamics, Universitext Tracts Math., Springer-Verlag, New York, 1993, x+175 pp.
  39. L. Carleson, P. W. Jones, “On coefficient problems for univalent functions and conformal dimension”, Duke Math. J., 66:2 (1992), 169–206
  40. J. Clunie, T. Sheil-Small, “Harmonic univalent functions”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 9 (1984), 3–25
  41. A. Conte, E. Fujikawa, N. Lakic, “Smale's mean value conjecture and the coefficients of univalent functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 135:10 (2007), 3295–3300
  42. E. Crane, “Extremal polynomials in Smale's mean value conjecture”, Comput. Methods Funct. Theory, 6:1 (2006), 145–163
  43. E. Crane, “A bound for Smale's mean value conjecture for complex polynomials”, Bull. Lond. Math. Soc., 39:5 (2007), 781–791
  44. В. И. Данченко, “Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью”, Матем. сб., 187:10 (1996), 33–52
  45. В. И. Данченко, М. А. Комаров, П. В. Чунаев, “Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 12, 9–49
  46. Д. Н. Даутова, С. Р. Насыров, “Асимптотика модулей зеркально симметричных двусвязных областей при растяжении”, Матем. заметки, 103:4 (2018), 503–518
  47. D. N. Dautova, S. R. Nasyrov, “Asymptotics of conformal module of nonsymmetric doubly connected domain under unbounded stretching along the real axis”, Lobachevskii J. Math., 40:9 (2019), 1268–1274
  48. D. Dautova, S. Nasyrov, M. Vuorinen, “Conformal modulus of the exterior of two rectilinear slits”, Comput. Methods Funct. Theory, 21:1 (2021), 109–130
  49. E. B. Davies, “The Hardy constant”, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 46:184 (1995), 417–431
  50. E. B. Davies, “A review of Hardy inequalities”, The Maz'ya anniversary collection, v. 2, Oper. Theory Adv. Appl., 110, Birkhäuser, Basel, 1999, 55–67
  51. A. Defant, M. Mastylo, S. Schlüters, “On Bohr radii of finite dimensional complex Banach spaces”, Funct. Approx. Comment. Math., 59:2 (2018), 251–268
  52. P. B. Djakov, M. S. Ramanujan, “A remark on Bohr's theorem and its generalizations”, J. Anal., 8 (2000), 65–77
  53. Е. П. Долженко, “Рациональные аппроксимации и граничные свойства аналитических функций”, Матем. сб., 69(111):4 (1966), 497–524
  54. В. Н. Дубинин, “Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения”, Аналитическая теория чисел и теория функций. 14, Зап. науч. сем. ПОМИ, 237, ПОМИ, СПб., 1997, 56–73
  55. В. Н. Дубинин, “Неравенства для критических значений полиномов”, Матем. сб., 197:8 (2006), 63–72
  56. В. H. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного, Дальнаука, Владивосток, 2009, ix+390 с.
  57. В. Н. Дубинин, “Методы геометрической теории функций в классических и современных задачах для полиномов”, УМН, 67:4(406) (2012), 3–88
  58. В. Н. Дубинин, “К дуальной гипотезе о среднем значении для комплексных полиномов”, Матем. заметки, 106:1 (2019), 134–137
  59. В. Н. Дубинин, “Асимптотика емкости конденсатора с переменными уровнями потенциала”, Сиб. матем. журн., 61:4 (2020), 796–802
  60. В. Н. Дубинин, В. Ю. Ким, “О конденсаторах с переменными пластинами, уровнями потенциала и областью задания”, Дальневост. матем. журн., 22:1 (2022), 55–60
  61. V. Dubinin, T. Sugawa, “Dual mean value problem for complex polynomials”, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 85:9 (2009), 135–137
  62. V. N. Dubinin, M. Vuorinen, “Robin functions and distortion theorems for regular mappings”, Math. Nachr., 283:11 (2010), 1589–1602
  63. P. L. Duren, Harmonic mappings in the plane, Cambridge Tracts in Math., 156, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, xii+212 pp.
  64. P. Duren, J. Pfaltzgraff, “Robin capacity and extremal length”, J. Math. Anal. Appl., 179:1 (1993), 110–119
  65. P. L. Duren, M. M. Schiffer, “Robin functions and energy functionals of multiply connected domains”, Pacific J. Math., 148:2 (1991), 251–273
  66. P. Duren, M. M. Schiffer, “Robin functions and distortion of capacity under conformal mapping”, Complex Variables Theory Appl., 21:3-4 (1993), 189–196
  67. Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества”, Докл. АН СССР, 127:2 (1959), 254–257
  68. М. А. Евграфов, Асимптотические оценки и целые функции, 3-е изд., Наука, М., 1979, 320 с.
  69. J. L. Fernandez, “Domains with strong barrier”, Rev. Mat. Iberoamericana, 5:1-2 (1989), 47–65
  70. J. L. Fernandez, J. M. Rodriguez, “The exponent of convergence of Riemann surfaces. Bass Riemann surfaces”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 15:1 (1990), 165–183
  71. E. Fujikawa, T. Sugawa, “Geometric function theory and Smale's mean value conjecture”, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 82:7 (2006), 97–100
  72. S. R. Garcia, J. Mashreghi, W. T. Ross, Finite Blaschke products and their connections, Springer, Cham, 2018, xix+328 pp.
  73. J. B. Garnett, D. E. Marshall, Harmonic measure, New Math. Monogr., 2, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005, xvi+571 pp.
  74. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.
  75. В. В. Горяйнов, “Полугруппы аналитических функций в анализе и приложениях”, УМН, 67:6(408) (2012), 5–52
  76. В. В. Горяйнов, “Эволюционные семейства конформных отображений с неподвижными точками и уравнение Лeвнера–Куфарева”, Матем. сб., 206:1 (2015), 39–68
  77. H. Hamada, “Bohr phenomenon for analytic functions subordinate to starlike or convex functions”, J. Math. Anal. Appl., 499:1 (2021), 125019, 15 pp.
  78. H. Hedenmalm, “Bloch functions, asymptotic variance, and geometric zero packing”, Amer. J. Math., 142:1 (2020), 267–321
  79. H. Hedenmalm, A. Sola, “Spectral notions for conformal maps: a survey”, Comput. Methods Funct. Theory, 8:1-2 (2008), 447–474
  80. A. Hinkkanen, I. Kayumov, “On critical values of polynomials with real critical points”, Constr. Approx., 32:2 (2010), 385–392
  81. A. Hinkkanen, I. Kayumov, “Smale's problem for critical points on certain two rays”, J. Aust. Math. Soc., 88:2 (2010), 183–191
  82. A. Hinkkanen, I. R. Kayumov, D. M. Khammatova, “Dual Smale's mean value conjecture”, Proc. Amer. Math. Soc., 147:12 (2019), 5227–5237
  83. M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev, “A geometrical version of Hardy's inequality”, J. Funct. Anal., 189:2 (2002), 539–548
  84. Yong Huang, Ming-Sheng Liu, S. Ponnusamy, “Bohr-type inequalities for harmonic mappings with a multiple zero at the origin”, Mediterr. J. Math., 18:2 (2021), 75, 22 pp.
  85. A. Hurwitz, “Ueber Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungpunkten”, Math. Ann., 39:1 (1891), 1–60
  86. A. Hurwitz, “Ueber die Anzahl der Riemann'schen Flac̈hen mit gegebenen Verzweigungpunkten”, Math. Ann., 55:1 (1901), 53–66
  87. A. Ismagilov, I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, “Sharp Bohr type inequality”, J. Math. Anal. Appl., 489:1 (2020), 124147, 10 pp.
  88. Г. Е. Иванов, “Множества, слабо выпуклые по Виалю и по Ефимову–Стечкину”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:6 (2005), 35–60
  89. О. В. Иврий, И. Р. Каюмов, “Принцип Макарова для единичного шара в пространстве Блоха”, Матем. сб., 208:3 (2017), 96–110
  90. И. Р. Каюмов, “Сходимость рядов наипростейших дробей в $L_p(mathbb{R})$”, Матем. сб., 202:10 (2011), 87–98
  91. I. R. Kayumov, D. M. Khammatova, S. Ponnusamy, “On the Bohr inequality for the Cesaro operator”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 358:5 (2020), 615–620
  92. I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, “Bohr inequality for odd analytic functions”, Comput. Methods Funct. Theory, 17:4 (2017), 679–688
  93. I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, “Improved version of Bohr's inequality”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 356:3 (2018), 272–277
  94. I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, “On a powered Bohr inequality”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 44:1 (2019), 301–310
  95. I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, N. Shakirov, “Bohr radius for locally univalent harmonic mappings”, Math. Nachr., 291:11-12 (2018), 1757–1768
  96. G. Kresin, V. Maz'ya, “Sharp Bohr type real part estimates”, Comput. Methods Funct. Theory, 7:1 (2007), 151–165
  97. G. Kresin, V. Maz'ya, Sharp real-part theorems. A unified approach, Lecture Notes in Math., 1903, Springer, Berlin, 2007, xvi+140 pp.
  98. R. Kühnau, “The conformal module of quadrilaterals and of rings”, Handbook of complex analysis: geometric function theory, v. 2, Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2005, 99–129
  99. С. К. Ландо, “Разветвленные накрытия двумерной сферы и теория пересечений в пространствах мероморфных функций на алгебраических кривых”, УМН, 57:3(345) (2002), 29–98
  100. С. К. Ландо, А. К. Звонкин, Графы на поверхностях и их приложения, МЦНМО, М., 2010, 480 с.
  101. М. А. Лаврентьев, Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана, Гостехтеориздат, М.–Л., 1934, 40 с.
  102. Н. А. Лебедев, Принцип площадей в теории однолистных функций, Наука, М., 1975, 336 с.
  103. N. G. Makarov, “On the distortion of boundary sets under conformal mappings”, Proc. London Math. Soc. (3), 51:2 (1985), 369–384
  104. N. G. Makarov, “Conformal mapping and Hausdorff measures”, Ark. Mat., 25:1 (1987), 41–89
  105. Н. Г. Макаров, “Вероятностные методы в теории конформных отображений”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 3–59
  106. M. Marcus, V. J. Mitzel, Y. Pinchover, “On the best constant for Hardy's inequality in $mathbb R^n$”, Trans. Amer. Math. Soc., 350:8 (1998), 3237–3255
  107. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  108. А. Д. Медных, “Определение числа неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью”, Докл. АН СССР, 239:2 (1978), 269–271
  109. А. Д. Медных, “Неэквивалентные накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления”, Сиб. матем. журн., 25:4 (1984), 120–142
  110. В. М. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применение, Изд-во Волгоград. гос. ун-та, Волгоград, 2005, 273 с.
  111. V. M. Miklyukov, M. K. Vuorinen, “Hardy's inequality for $W_0^{1,p}$-functions on Riemannian manifolds”, Proc. Amer. Math. Soc., 127:9 (1999), 2745–2754
  112. S. Nasyrov, “Robin capacity and lift of infinitely thin airfoils”, Complex Var. Theory Appl., 47:2 (2002), 93–107
  113. С. Р. Насыров, “Вариации емкостей Робена и их приложения”, Сиб. матем. журн., 49:5 (2008), 1128–1146
  114. С. Р. Насыров, Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий римановых поверхостей, Магариф, Казань, 2008, 279 с.
  115. С. Р. Насыров, “Униформизация односвязных разветвлeнных накрытий сферы рациональными функциями”, Докл. РАН, 476:1 (2017), 14–16
  116. С. Р. Насыров, “Униформизация однопараметрических семейств комплексных торов”, Изв. вузов. Матем., 8 (2017), 42–52
  117. S. Nasyrov, “Uniformization of simply-connected ramified coverings of the sphere by rational functions”, Lobachevskii J. Math., 39:2 (2018), 252–258
  118. S. R. Nasyrov, “Families of elliptic functions and uniformization of complex tori with a unique point over infinity”, Probl. Anal. Issues Anal., 7(25):2 (2018), 98–111
  119. S. Nasyrov, “Families of elliptic functions, realizing coverings of the sphere, with branch-points and poles of arbitrary multiplicities”, Lobachevskii J. Math., 41:11 (2020), 2223–2230
  120. S. R. Nasyrov, Nguyen Van Giang, “Asymptotics of the conformal modulus of unbounded symmetric doubly connected domain under stretching”, Lobachevskii J. Math., 42:12 (2021), 2895–2904
  121. Tuen-Wai Ng, Yongquan Zhang, “Smale's mean value conjecture for finite Blaschke products”, J. Anal., 24:2 (2016), 331–345
  122. G. V. Nguyen, S. R. Nasyrov, “Asymptotics of the conformal modulus of a nonsymmetric unbounded doubly-connected domain under stretching”, Lobachevskii J. Math., 43:10 (2022), 2977–2988
  123. N. Papamichael, N. Stylianopoulos, Numerical conformal mapping. Domain decomposition and the mapping of quadrilaterals, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2010, xii+229 pp.
  124. V. I. Paulsen, G. Popescu, D. Singh, “On Bohr's inequality”, Proc. London Math. Soc. (3), 85:2 (2002), 493–512
  125. А. А. Пекарский, “Неравенства типа Бернштейна для произвольных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации”, Матем. сб., 124(166):4(8) (1984), 571–588
  126. А. А. Пекарский, “Новое доказательство неравенства Семмеса для производной рациональной функции”, Матем. заметки, 72:2 (2002), 258–264
  127. В. В. Пеллер, “Операторы Ганкеля класса $mathfrak S_p$ и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажорации операторов)”, Матем. сб., 113(155):4(12) (1980), 538–581
  128. Ch. Pommerenke, “Uniformly perfect sets and the Poincare metric”, Arch. Math. (Basel), 32:2s (1979), 192–199
  129. Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Grundlehren Math. Wiss., 299, Springer-Verlag, Berlin, 1992, x+300 pp.
  130. S. Ponnusamy, R. Vijayakumar, K.-J. Wirths, “Improved Bohr's phenomenon in quasi-subordination classes”, J. Math. Anal. Appl., 506:1 (2022), 125645, 10 pp.
  131. Д. В. Прохоров, “Метод оптимального управления в экстремальной задаче на классе однолистных функций”, Докл. АН СССР, 275:4 (1984), 798–801
  132. Д. В. Прохоров, “Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций”, Матем. сб., 181:12 (1990), 1659–1677
  133. В. Ю. Протасов, “Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта”, Изв. РАН. Сер. матем., 73:2 (2009), 123–140
  134. H. Queffelec, “Old and recent results in the analytic theory of Dirichlet series: a survey”, Acta Math. Sci. Ser. B (Engl. Ed.), 41:6 (2021), 2107–2122
  135. Q. I. Rahman, G. Schmeisser, Analytic theory of polynomials, London Math. Soc. Monogr. (N. S.), 26, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, Oxford, 2002, xiv+742 pp.
  136. S. Semmes, “Trace ideal criteria for Hankel operators, and applications to Besov spaces”, Integral Equations Operator Theory, 7:2 (1984), 241–281
  137. B. Sendov, P. Marinov, “Verification of Smale's mean value conjecture for $nleqslant 10$”, C. R. Acad. Bulgare Sci., 60:11 (2007), 1151–1156
  138. T. Sheil-Small, Complex polynomials, Cambridge Stud. Adv. Math., 75, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, xx+428 pp.
  139. M. Shub, S. Smale, “Computational complexity: on the geometry of polynomials and a theory of cost. II”, SIAM J. Comput., 15:1 (1986), 145–161
  140. S. Smale, “The fundamental theorem of algebra and complexity theory”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 4:1 (1981), 1–36
  141. А. Ю. Солынин, “Модули и экстремальные метрические задачи”, Алгебра и анализ, 11:1 (1999), 3–86
  142. В. В. Старков, “Опровержение одной гипотезы о подчинении для звездообразных функций”, Докл. АН СССР, 214:1 (1974), 52–55
  143. В. В. Старков, “Локально биголоморфные конечнолистные отображения ограниченных областей”, Сиб. матем. журн., 52:1 (2011), 177–186
  144. D. Sullivan, “Related aspects of positivity in Riemannian geometry”, J. Differential Geom., 25:3 (1987), 327–351
  145. D. Tischler, “Critical points and values of complex polynomials”, J. Complexity, 5:4 (1989), 438–456
  146. J.-Ph. Vial, “Strong and weak convexity of sets and functions”, Math. Oper. Res., 8:2 (1983), 231–259
  147. Л. П. Власов, “Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах”, УМН, 28:6(174) (1973), 3–66
  148. M. Vuorinen, Xiaohui Zhang, “On exterior moduli of quadrilaterals and special functions”, J. Fixed Point Theory Appl., 13:1 (2013), 215–230
  149. H. Weyl, “Ueber das Hurwitzsche Problem der Bestimmung der Anzahl Riemannscher Flächen von gegebener Verzweigungsart”, Comment. Math. Helv., 3:1 (1931), 103–113

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Avkhadiev F.G., Kayumov I.R., Nasyrov S.R.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».