Kantorovich problem of optimal transportation of measures: new directions of research

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper gives a survey of investigations in the last decade and new results on various recent modifications of the classical Kantorovich problem of the optimal transportation of measures. We discuss in detail nonlinear Kantorovich problems, problems with constraints on the densities of transport plans, and optimal transportation problems with a parameter. In addition, we consider some questions relating to the geometry and topology of spaces of measures connected with these new formulations.Bibliography: 134 items.

About the authors

Vladimir Igorevich Bogachev

Lomonosov Moscow State University; HSE University

Email: vibogach@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. B. Acciaio, J. Backhoff-Veraguas, A. Zalashko, “Causal optimal transport and its links to enlargement of filtrations and continuous-time stochastic optimization”, Stochastic Process. Appl., 130:5 (2020), 2918–2953
  2. B. Acciaio, M. Beiglböck, G. Pammer, “Weak transport for non-convex costs and model-independence in a fixed-income market”, Math. Finance, 31:4 (2021), 1423–1453
  3. K. A. Afonin, V. I. Bogachev, “Kantorovich type topologies on spaces of measures and convergence of barycenters”, Commun. Pure Appl. Anal. (to appear)
  4. J.-J. Alibert, G. Bouchitte, T. Champion, “A new class of costs for optimal transport planning”, European J. Appl. Math., 30:6 (2019), 1229–1263
  5. L. Ambrosio, E. Brue, D. Semola, Lectures on optimal transport, Unitext, 130, Springer, Cham, 2021, ix+250 pp.
  6. L. Ambrosio, M. Erbar, G. Savare, “Optimal transport, Cheeger energies and contractivity of dynamic transport distances in extended spaces”, Nonlinear Anal., 137 (2016), 77–134
  7. L. Ambrosio, N. Gigli, “A user's guide to optimal transport”, Modelling and optimisation of flows on networks, Lecture Notes in Math., 2062, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Heidelberg, 2013, 1–155
  8. L. Ambrosio, A. Pratelli, “Existence and stability results in the $L^1$ theory of optimal transportation”, Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), Lecture Notes in Math., 1813, Springer, Berlin, 2003, 123–160
  9. А. Л. Андрианов, “Развитие линейного программирования в работах Л. В. Канторовича 1930–1950-х гг.”, Истор.-матем. исслед., сер. 2, 15(50), Изд-во “Янус-К”, М., 2014, 25–40
  10. S. Athreya, W. Löhr, A. Winter, “The gap between Gromov-vague and Gromov–Hausdorff-vague topology”, Stochastic Process. Appl., 126:9 (2016), 2527–2553
  11. J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglböck, M. Eder, “Adapted Wasserstein distances and stability in mathematical finance”, Finance Stoch., 24:3 (2020), 601–632
  12. J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglböck, M. Eder, “All adapted topologies are equal”, Probab. Theory Related Fields, 178:3-4 (2020), 1125–1172
  13. J. Backhoff[-Veraguas], D. Bartl, M. Beiglböck, J. Wiesel, “Estimating processes in adapted Wasserstein distance”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 529–550
  14. J. Backhoff[-Veraguas], M. Beiglböck, Yiqing Lin, A. Zalashko, “Causal transport in discrete time and applications”, SIAM J. Optim., 27:4 (2017), 2528–2562
  15. J. Backhoff-Veraguas, M. Beiglböck, G. Pammer, “Existence, duality, and cyclical monotonicity for weak transport costs”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:6 (2019), 203, 28 pp.
  16. J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Applications of weak transport theory”, Bernoulli, 28:1 (2022), 370–394
  17. J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Stability of martingale optimal transport and weak optimal transport”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 721–752
  18. M. Barbie, A. Gupta, “The topology of information on the space of probability measures over Polish spaces”, J. Math. Econom., 52 (2014), 98–111
  19. D. Bartl, P. Cheridito, M. Kupper, L. Tangpi, “Duality for increasing convex functionals with countably many marginal constraints”, Banach J. Math. Anal., 11:1 (2017), 72–89
  20. M. Beiglböck, M. Goldstern, G. Maresch, W. Schachermayer, “Optimal and better transport plans”, J. Funct. Anal., 256:6 (2009), 1907–1927
  21. M. Beiglböck, N. Juillet, “On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints”, Ann. Probab., 44:1 (2016), 42–106
  22. J.-D. Benamou, G. Carlier, L. Nenna, “Generalized incompressible flows, multi-marginal transport and Sinkhorn algorithm”, Numer. Math., 142:1 (2019), 33–54
  23. J. Bergin, “On the continuity of correspondences on sets of measures with restricted marginals”, Econom. Theory, 13:2 (1999), 471–481
  24. S. Bobkov, M. Ledoux, One-dimensional empirical measures, order statistics, and Kantorovich transport distances, Mem. Amer. Math. Soc., 261, № 1259, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, v+126 pp.
  25. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 1, 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 544 с., 576 с.
  26. V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
  27. В. И. Богачев, “О секвенциальных свойствах пространств мер”, Матем. заметки, 110:3 (2021), 459–464
  28. В. И. Богачев, “О приближении мер их конечномерными образами”, Функц. анализ и его прил., 55:3 (2021), 75–81
  29. В. И. Богачев, “Задачи Канторовича с параметром и ограничениями на плотности”, Сиб. матем. журн., 63:1 (2022), 42–57
  30. В. И. Богачев, А. Н. Доледенок, И. И. Малофеев, “Задача Канторовича с параметром и ограничениями на плотность”, Матем. заметки, 110:6 (2021), 922–926
  31. В. И. Богачев, А. Н. Калинин, “Непрерывная функция стоимости, для которой минимумы в задачах Монжа и Канторовича не равны”, Докл. РАН, 463:4 (2015), 383–386
  32. В. И. Богачев, А. Н. Калинин, С. Н. Попова, “О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича”, Вероятность и статистика. 25, Посвящается памяти Владимира Николаевича Судакова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 457, ПОМИ, СПб., 2017, 53–73
  33. В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”, УМН, 67:5(407) (2012), 3–110
  34. V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Kantorovich problems and conditional measures depending on a parameter”, J. Math. Anal. Appl., 486:1 (2020), 123883, 30 pp.
  35. V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Nonlinear Kantorovich problems with a parameter”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Матем., 41 (2022), 96–106
  36. V. Bogachev, S. Popova, Optimal transportation of measures with a parameter, 2021, 14 pp.
  37. V. I. Bogachev, S. N. Popova, A. V. Rezbaev, “On nonlinear Kantorovich problems with density constraints”, Moscow Math. J. (to appear)
  38. В. И. Богачев, А. В. Резбаев, “Существование решений нелинейной задачи Канторовича оптимальной транспортировки”, Матем. заметки, 112:3 (2022), 360–370
  39. В. И. Богачев, А. В. Шапошников, “Оценки снизу расстояния Канторовича”, Докл. РАН, 460:6 (2015), 631–633
  40. V. I. Bogachev, A. V. Shaposhnikov, Feng-Yu Wang, “Sobolev–Kantorovich inequalities under $operatorname{CD}(0,infty)$ condition”, Commun. Contemp. Math., 24:5 (2022), 2150027, 27 pp.
  41. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, Топологические векторные пространства и их приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2012, 584 с.
  42. В. И. Богачев, Ф.-Ю. Ванг, А. В. Шапошников, “Оценки норм Канторовича на многообразиях”, Докл. РАН, 463:6 (2015), 633–638
  43. В. И. Богачев, Ф.-Ю. Ванг, А. В. Шапошников, “О неравенствах, связывающих нормы Соболева и Канторовича”, Докл. РАН, 468:2 (2016), 131–133
  44. W. Boyer, B. Brown, A. Loving, S. Tammen, “Optimal transportation with constant constraint”, Involve, 12:1 (2019), 1–12
  45. Y. Brenier, D. Vorotnikov, “On optimal transport of matrix-valued measures”, SIAM J. Math. Anal., 52:3 (2020), 2849–2873
  46. H. Brezis, P. Mironescu, “The Plateau problem from the perspective of optimal transport”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 357:7 (2019), 597–612
  47. M. Brückerhoff, N. Juillet, “Instability of martingale optimal transport in dimension $dge 2$”, Electron. Commun. Probab., 27 (2022), 24, 10 pp.
  48. D. B. Bukin, “On the Monge and Kantorovich problems for distributions of diffusion processes”, Math. Notes, 96:5 (2014), 864–870
  49. Д. Б. Букин, “О задаче Канторовича для нелинейных образов меры Винера”, Матем. заметки, 100:5 (2016), 682–688
  50. D. B. Bukin, E. P. Krugova, “Transportation costs for optimal and triangular transformations of Gaussian measures”, Theory Stoch. Process., 23:2 (2018), 21–32
  51. G. Buttazzo, T. Champion, L. De Pascale, “Continuity and estimates for multimarginal optimal transportation problems with singular costs”, Appl. Math. Optim., 78:1 (2018), 185–200
  52. C. Castaing, P. Raynaud de Fitte, M. Valadier, Young measures on topological spaces. With applications in control theory and probability theory, Math. Appl., 571, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, xii+320 pp.
  53. Hong-Bin Chen, J. Niles-Weed, “Asymptotics of smoothed Wasserstein distances”, Potential Anal., 56:4 (2022), 571–595
  54. Yongxin Chen, W. Gangbo, T. T. Georgiou, A. Tannenbaum, “On the matrix Monge–Kantorovich problem”, European J. Appl. Math., 31:4 (2020), 574–600
  55. Yongxin Chen, T. T. Georgiou, M. Pavon, “On the relation between optimal transport and Schrödinger bridges: a stochastic control viewpoint”, J. Optim. Theory Appl., 169:2 (2016), 671–691
  56. Yongxin Chen, T. T. Georgiou, M. Pavon, “Stochastic control liaisons: Richard Sinkhorn meets Gaspard Monge on a Schrödinger bridge”, SIAM Rev., 63:2 (2021), 249–313
  57. Yongxin Chen, T. T. Georgiou, A. Tannenbaum, “Vector-valued optimal mass transport”, SIAM J. Appl. Math., 78:3 (2018), 1682–1696
  58. P. Cheridito, M. Kiiski, D. J. Prömel, H. M. Soner, “Martingale optimal transport duality”, Math. Ann., 379:3-4 (2021), 1685–1712
  59. L. Chizat, G. Peyre, B. Schmitzer, F.-X. Vialard, “Unbalanced optimal transport: dynamic and Kantorovich formulations”, J. Funct. Anal., 274:11 (2018), 3090–3123
  60. K. J. Ciosmak, “Optimal transport of vector measures”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:6 (2021), 230, 22 pp.
  61. C. Clason, D. A. Lorenz, H. Mahler, B. Wirth, “Entropic regularization of continuous optimal transport problems”, J. Math. Anal. Appl., 494:1 (2021), 124432, 22 pp.
  62. M. Colombo, S. Di Marino, “Equality between Monge and Kantorovich multimarginal problems with Coulomb cost”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 194:2 (2015), 307–320
  63. J. Dedecker, C. Prieur, P. Raynaud De Fitte, “Parametrized Kantorovich–Rubinštein theorem and application to the coupling of random variables”, Dependence in probability and statistics, Lect. Notes Stat., 187, Springer, New York, 2006, 105–121
  64. А. Н. Доледенок, “О задаче Канторовича с ограничением на плотность”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 45–55
  65. Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 752 с.
  66. A. Figalli, F. Glaudo, An invitation to optimal transport, Wasserstein distances, and gradient flows, EMS Textbk. Math., EMS Press, Berlin, 2021, vi+136 pp.
  67. G. Friesecke, “A simple counterexample to the Monge ansatz in multimarginal optimal transport, convex geometry of the set of Kantorovich plans, and the Frenkel–Kontorova model”, SIAM J. Math. Anal., 51:6 (2019), 4332–4355
  68. G. Friesecke, D. Matthes, B. Schmitzer, “Barycenters for the Hellinger–Kantorovich distance over $mathbb{R}^d$”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 62–110
  69. A. Galichon, Optimal transport methods in economics, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2016, xii+170 pp.
  70. I. Gentil, C. Leonard, L. Ripani, “Dynamical aspects of the generalized Schrödinger problem via Otto calculus – a heuristic point of view”, Rev. Mat. Iberoam., 36:4 (2020), 1071–1112
  71. A. Gerolin, A. Kausamo, T. Rajala, “Nonexistence of optimal transport maps for the multimarginal repulsive harmonic cost”, SIAM J. Math. Anal., 51:3 (2019), 2359–2371
  72. M. Ghossoub, D. Saunders, “On the continuity of the feasible set mapping in optimal transport”, Econ. Theory Bull., 9:1 (2021), 113–117
  73. N. Ghoussoub, Young-Heon Kim, Tongseok Lim, “Structure of optimal martingale transport plans in general dimensions”, Ann. Probab., 47:1 (2019), 109–164
  74. N. Ghoussoub, B. Maurey, “Remarks on multi-marginal symmetric Monge–Kantorovich problems”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:4 (2014), 1465–1480
  75. N. A. Gladkov, A. V. Kolesnikov, A. P. Zimin, “On multistochastic Monge–Kantorovich problem, bitwise operations, and fractals”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:5 (2019), 173, 33 pp.
  76. N. A. Gladkov, A. V. Kolesnikov, A. P. Zimin, “The multistochastic Monge–Kantorovich problem”, J. Math. Anal. Appl., 506:2 (2022), 125666, 82 pp.
  77. N. A. Gladkov, A. P. Zimin, “An explicit solution for a multimarginal mass transportation problem”, SIAM J. Math. Anal., 52:4 (2020), 3666–3696
  78. J. Goubault-Larrecq, “Kantorovich–Rubinstein quasi-metrics I: Spaces of measures and of continuous valuations”, Topology Appl., 295 (2021), 107673, 37 pp.
  79. F. de Gournay, J. Kahn, L. Lebrat, “Differentiation and regularity of semi-discrete optimal transport with respect to the parameters of the discrete measure”, Numer. Math., 141:2 (2019), 429–453
  80. N. Gozlan, C. Roberto, P.-M. Samson, P. Tetali, “Kantorovich duality for general transport costs and applications”, J. Funct. Anal., 273:11 (2017), 3327–3405
  81. C. Griessler, “$C$-cyclical monotonicity as a sufficient criterion for optimality in the multimarginal Monge–Kantorovich problem”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:11 (2018), 4735–4740
  82. M. Huesmann, D. Trevisan, “A Benamou–Brenier formulation of martingale optimal transport”, Bernoulli, 25:4A (2019), 2729–2757
  83. M. Iacobelli, “A new perspective on Wasserstein distances for kinetic problems”, Arch. Ration. Mech. Anal., 244:1 (2022), 27–50
  84. Л. В. Канторович, “О перемещении масс”, Докл. АН СССР, 37:7-8 (1942), 227–229
  85. Л. В. Канторович, Математико-экономические работы, Избранные труды, Наука, Новосибирск, 2011, 760 с.
  86. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, 2-е изд., Наука, М., 1977, 742 с.
  87. Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах”, Докл. АН СССР, 115:6 (1957), 1058–1061
  88. Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном пространстве вполне аддитивных функций множества”, Вестн. ЛГУ, 13:7 (1958), 52–59
  89. S. Kondratyev, L. Monsaingeon, D. Vorotnikov, “A new optimal transport distance on the space of finite Radon measures”, Adv. Differential Equations, 21:11-12 (2016), 1117–1164
  90. J. Korman, R. J. McCann, “Insights into capacity-constrained optimal transport”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 110:25 (2013), 10064–10067
  91. J. Korman, R. J. McCann, “Optimal transportation with capacity constraints”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:3 (2015), 1501–1521
  92. J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “Dual potentials for capacity constrained optimal transport”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 54:1 (2015), 573–584
  93. J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “An elementary approach to linear programming duality with application to capacity constrained transport”, J. Convex Anal., 22:3 (2015), 797–808
  94. В. В. Козлов, “Задача Монжа ‘о выемках и насыпях’ на торе и проблема малых знаменателей”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1370–1374
  95. D. Kramkov, Yan Xu, “An optimal transport problem with backward martingale constraints motivated by insider trading”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 294–326
  96. S. Kuksin, V. Nersesyan, A. Shirikyan, “Exponential mixing for a class of dissipative PDEs with bounded degenerate noise”, Geom. Funct. Anal., 30:1 (2020), 126–187
  97. R. Lassalle, “Causal transport plans and their Monge–Kantorovich problems”, Stoch. Anal. Appl., 36:3 (2018), 452–484
  98. C. Leonard, “From the Schrödinger problem to the Monge–Kantorovich problem”, J. Funct. Anal., 262:4 (2012), 1879–1920
  99. C. Leonard, “A survey of the Schrödinger problem and some of its connections with optimal transport”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:4 (2014), 1533–1574
  100. В. Л. Левин, А. А. Милютин, “Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач”, УМН, 34:3(207) (1979), 3–68
  101. M. Liero, A. Mielke, G. Savare, “Optimal entropy-transport problems and a new Hellinger–Kantorovich distance between positive measures”, Invent. Math., 211:3 (2018), 969–1117
  102. А. А. Липчюс, “Замечание о равенстве в задачах Монжа и Канторовича”, Теория вероятн. и ее примен., 50:4 (2005), 779–782
  103. Chong Liu, A. Neufeld, “Compactness criterion for semimartingale laws and semimartingale optimal transport”, Trans. Amer. Math. Soc., 372:1 (2019), 187–231
  104. W. Löhr, “Equivalence of Gromov–Prohorov- and Gromov's ${underlinesquare}_lambda$-metric on the space of metric measure spaces”, Electron. Commun. Probab., 18 (2013), 17, 10 pp.
  105. D. A. Lorenz, P. Manns, C. Meyer, “Quadratically regularized optimal transport”, Appl. Math. Optim., 83:3 (2021), 1919–1949
  106. A. Marchese, A. Massaccesi, S. Stuvard, R. Tione, “A multi-material transport problem with arbitrary marginals”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:3 (2021), 88, 49 pp.
  107. R. J. McCann, L. Rifford, “The intrinsic dynamics of optimal transport”, J. Ec. Polytech. Math., 3 (2016), 67–98
  108. T. Mikami, Stochastic optimal transportation. Stochastic control with fixed marginals, SpringerBriefs Math., Springer, Singapore, 2021, xi+121 pp.
  109. A. Moameni, “A characterization for solutions of the Monge–Kantorovich mass transport problem”, Math. Ann., 365:3-4 (2016), 1279–1304
  110. A. Moameni, B. Pass, “Solutions to multi-marginal optimal transport problems concentrated on several graphs”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 23:2 (2017), 551–567
  111. A. Moameni, L. Rifford, “Uniquely minimizing costs for the Kantorovitch problem”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 29:3 (2020), 507–563
  112. A. Neufeld, J. Sester, “On the stability of the martingale optimal transport problem: a set-valued map approach”, Statist. Probab. Lett., 176 (2021), 109131, 7 pp.
  113. B. Pass, “Multi-marginal optimal transport: theory and applications”, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 49:6 (2015), 1771–1790
  114. B. W. Pass, A. Vargas-Jimenez, “Multi-marginal optimal transportation problem for cyclic costs”, SIAM J. Math. Anal., 53:4 (2021), 4386–4400
  115. M. Petrache, “Cyclically monotone non-optimal $N$-marginal transport plans and Smirnov-type decompositions for $N$-flows”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 26 (2020), 120, 11 pp.
  116. G. Ch. Pflug, A. Pichler, Multistage stochastic optimization, Springer Ser. Oper. Res. Financ. Eng., Springer, Cham, 2014, xiv+301 pp.
  117. A. Pratelli, “On the equality between Monge's infimum and Kantorovich's minimum in optimal mass transportation”, Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 43:1 (2007), 1–13
  118. S. T. Rachev, L. Rüschendorf, Mass transportation problems, v. I, Probab. Appl. (N. Y.), Theory, Springer-Verlag, New York, 1998, xxvi+508 pp.
  119. P. Rigo, “A note on duality theorems in mass transportation”, J. Theoret. Probab., 33:4 (2020), 2337–2350
  120. F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 87, Birkhäuser/Springer, Cham, 2015, xxvii+353 pp.
  121. A. Savchenko, M. Zarichnyi, “Correspondences of probability measures with restricted marginals”, Proc. Intern. Geom. Center, 7:4 (2014), 34–39
  122. B. Schmitzer, B. Wirth, “A framework for Wasserstein-$1$-type metrics”, J. Convex Anal., 26:2 (2019), 353–396
  123. T. Shioya, Metric measure geometry. Gromov's theory of convergence and concentration of metrics and measures, IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 25, EMS Publishing House, Zürich, 2016, xi+182 pp.
  124. В. М. Тихомиров, “Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения)”, Истор.-матем. исслед., сер. 2, 15(50), Изд-во “Янус-К”, М., 2014, 16–24
  125. A. M. Vershik, “Long history of the Monge–Kantorovich transportation problem”, Math. Intelligencer, 35:4 (2013), 1–9
  126. А. М. Вершик, С. С. Кутателадзе, С. П. Новиков, “Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения)”, УМН, 67:3(405) (2012), 185–191
  127. А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и ее приложения”, УМН, 69:6(420) (2014), 81–114
  128. C. Villani, Topics in optimal transportation, Grad. Stud. Math., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xvi+370 pp.
  129. C. Villani, Optimal transport. Old and new, Grundlehren Math. Wiss., 338, Springer-Verlag, Berlin, 2009, xxii+973 pp.
  130. J. Wiesel, Continuity of the martingale optimal transport problem on the real line, 2022 (v1 – 2019), 46 pp.
  131. G. Wolansky, Optimal transport. A semi-discrete approach, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 37, De Gruyter, Berlin, 2021, xii+208 pp.
  132. Д. А. Заев, “О задаче Монжа–Канторовича с дополнительными линейными ограничениями”, Матем. заметки, 98:5 (2015), 664–683
  133. Д. А. Заев, “Об эргодических разложениях, связанных с задачей Канторовича”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 437, ПОМИ, СПб., 2015, 100–130
  134. Xicheng Zhang, “Stochastic Monge–Kantorovich problem and its duality”, Stochastics, 85:1 (2013), 71–84

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Bogachev V.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».