Effective results in the theory of birational rigidity

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper is a survey of recent effective results in the theory of birational rigidity of higher-dimensional Fano varieties and Fano–Mori fibre spaces.Bibliography: 59 titles.

About the authors

Aleksandr Valentinovich Pukhlikov

University of Liverpool

Email: pukh@liv.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. C. Birkar, P. Cascini, C. D. Hacon, J. McKernan, “Existence of minimal models for varieties of log general type”, J. Amer. Math. Soc., 23:2 (2010), 405–468
  2. В. А. Исковских, “Бирациональная жесткость гиперповерхностей Фано в рамках теории Мори”, УМН, 56:2(338) (2001), 3–86
  3. И. А. Чельцов, “Бирационально жесткие многообразия Фано”, УМН, 60:5(365) (2005), 71–160
  4. А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие многообразия. I. Многообразия Фано”, УМН, 62:5(377) (2007), 15–106
  5. А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие многообразия. II. Расслоения Фано”, УМН, 65:6(396) (2010), 87–180
  6. A. Pukhlikov, Birationally rigid varieties, Math. Surveys Monogr., 190, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, vi+365 pp.
  7. А. В. Пухликов, “Бирациональная геометрия многомерных многообразий Фано”, Совр. пробл. матем., 19, МИАН, М., 2014, 7–173
  8. T. de Fernex, “Birationally rigid hypersurfaces”, Invent. Math., 192:3 (2013), 533–566
  9. F. Suzuki, “Birational rigidity of complete intersections”, Math. Z., 285:1-2 (2017), 479–492
  10. Ziquan Zhuang, “Birational superrigidity and $K$-stability of Fano complete intersections of index 1”, Duke Math. J., 169:12 (2020), 2205–2229
  11. Th. Eckl, A. Pukhlikov, “On the locus of nonrigid hypersurfaces”, Automorphisms in birational and affine geometry, Springer Proc. Math. Stat., 79, Springer, Cham, 2014, 121–139
  12. А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие расслоения Фано. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:4 (2015), 175–204
  13. A. Grothendieck, Cohomologie locale des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2), Augmente d'un expose par M. Raynaud. Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie, 1962, Adv. Stud. Pure Math., 2, North-Holland Publishing Co., Amsterdam; Masson & Cie, Editeur, Paris, 1968, vii+287 pp.
  14. F. Call, G. Lyubeznik, “A simple proof of Grothendieck's theorem on the parafactoriality of local rings”, Commutative algebra: syzygies, multiplicities, and birational algebra (South Hadley, MA, 1992), Contemp. Math., 159, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, 15–18
  15. F. W. Call, “A theorem of Grothendieck using Picard groups for the algebraist”, Math. Scand., 74:2 (1994), 161–183
  16. A. V. Pukhlikov, “Birationally rigid Fano complete intersections”, J. Reine Angew. Math., 2001:541 (2001), 55–79
  17. A. V. Pukhlikov, “Birational automorphisms of Fano hypersurfaces”, Invent. Math., 134:2 (1998), 401–426
  18. A. V. Pukhlikov, “The $4n^2$-inequality for complete intersection singularities”, Arnold Math. J., 3:2 (2017), 187–196
  19. В. В. Шокуров, “Трехмерные лог-перестройки”, Изв. РАН. Сер. матем., 56:1 (1992), 105–203
  20. J. Kollar (ed.), Flips and abundance for algebraic threefolds (Univ. of Utah, Salt Lake City, 1991), Asterisque, 211, Soc. Math. France, Paris, 1992, 258 pp.
  21. А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие гиперповерхности Фано”, Изв. РАН. Сер. матем., 66:6 (2002), 159–186
  22. A. V. Pukhlikov, “Birational geometry of algebraic varieties with a pencil of Fano complete intersections”, Manuscripta Math., 121:4 (2006), 491–526
  23. А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие гиперповерхности Фано с изолированными особенностями”, Матем. сб., 193:3 (2002), 135–160
  24. A. V. Pukhlikov, “Birationally rigid complete intersections with a singular point of high multiplicity”, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 62:1 (2019), 221–239
  25. D. Foord, “Birationally rigid Fano cyclic covers over a hypersurface containing a singular point”, Eur. J. Math., 2020, 1–16, Publ. online
  26. Th. Eckl, A. Pukhlikov, “Effective birational rigidity of Fano double hypersurfaces”, Arnold Math. J., 4:3-4 (2018), 505–521
  27. Д. Еванс, А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие полные пересечения высокой коразмерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:4 (2019), 100–128
  28. А. В. Пухликов, “Бирациональная геометрия многообразий, расслоенных на полные пересечения коразмерности два”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:2 (2022), 128–212
  29. А. В. Пухликов, “Бирационально жесткие конечные накрытия проективного пространства”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Труды МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 254–266
  30. A. V. Pukhlikov, “Canonical and log canonical thresholds of multiple projective spaces”, Eur. J. Math., 7:1 (2021), 135–162
  31. В. А. Исковских, Ю. И. Манин, “Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота”, Матем. сб., 86(128):1(9) (1971), 140–166
  32. А. В. Пухликов, “Бирациональная геометрия алгебраических многообразий, расслоенных на двойные пространства Фано”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:3 (2017), 160–188
  33. А. В. Пухликов, “Бирациональная геометрия прямых произведений Фано”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:6 (2005), 153–186
  34. A. V. Pukhlikov, “Rationally connected rational double covers of primitive Fano varieties”, Epijournal Geom. Algebrique, 4 (2020), 18, 14 pp.
  35. А. В. Пухликов, “Замечания о рациональных накрытиях Галуа”, Матем. заметки, 110:2 (2021), 258–265
  36. J. Kollar, Rational curves on algebraic varieties, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 32, Springer-Verlag, Berlin, 1996, viii+320 pp.
  37. A. V. Pukhlikov, “Birational geometry of Fano hypersurfaces of index two”, Math. Ann., 366:1-2 (2016), 721–782
  38. A. V. Pukhlikov, “Birational geometry of singular Fano hypersurfaces of index two”, Manuscripta Math., 161:1-2 (2020), 161–203
  39. А. В. Пухликов, “Бирациональная геометрия двойных пространств Фано индекса два”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:5 (2010), 45–114
  40. А. В. Пухликов, “Бирациональная геометрия двойных пространств Фано индекса 2 с особенностями”, Матем. сб., 212:4 (2021), 113–130
  41. Ж.-Л. Кольe-Телэн, Е. В. Пирютко, “Циклические накрытия, которые не являются стабильно рациональными”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:4 (2016), 35–48
  42. B. Hassett, A. Kresch, Y. Tschinkel, “Stable rationality and conic bundles”, Math. Ann., 365:3-4 (2016), 1201–1217
  43. B. Totaro, “Hypersurfaces that are not stably rational”, J. Amer. Math. Soc., 29:3 (2016), 883–891
  44. A. Auel, Ch. Böhning, A. Pirutka, “Stable rationality of quadric and cubic surface bundle fourfolds”, Eur. J. Math., 4:3 (2018), 732–760
  45. B. Hassett, A. Pirutka, Yu. Tschinkel, “A very general quartic double fourfold is not stably rational”, Algebr. Geom., 6:1 (2019), 64–75
  46. S. Schreieder, “Stably irrational hypersurfaces of small slopes”, J. Amer. Math. Soc., 32:4 (2019), 1171–1199
  47. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan property for groups of birational selfmaps”, Compos. Math., 150:12 (2014), 2054–2072
  48. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan property for Cremona groups”, Amer. J. Math., 138:2 (2016), 403–418
  49. A. Avilov, “Automorphisms of singular three-dimensional cubic hypersurfaces”, Eur. J. Math., 4:3 (2018), 761–777
  50. А. А. Авилов, “Бирегулярная и бирациональная геометрия двойных накрытий проективного пространства с ветвлением в квартике с 15 обыкновенными двойными точками”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 5–14
  51. I. Cheltsov, A. Dubouloz, J. Park, “Super-rigid affine Fano varieties”, Compos. Math., 154:11 (2018), 2462–2484
  52. A. Dubouloz, T. Kishimoto, “Explicit biregular/birational geometry of affine threefolds: completions of ${mathbb A}^3$ into del Pezzo fibrations and Mori conic bundles”, Algebraic varieties and automorphism groups, Adv. Stud. Pure Math., 75, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2017, 49–71
  53. I. Cheltsov, V. Przyjalkowski, C. Shramov, “Quartic double solids with icosahedral symmetry”, Eur. J. Math., 2:1 (2016), 96–119
  54. I. Cheltsov, V. Przyjalkowski, C. Shramov, “Burkhardt quartic, Barth sextic, and the icosahedron”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2019:12 (2019), 3683–3703
  55. I. Cheltsov, C. Shramov, “Three embeddings of the Klein simple group into the Cremona group of rank three”, Transform. Groups, 17:2 (2012), 303–350
  56. I. Cheltsov, C. Shramov, “Five embeddings of one simple group”, Trans. Amer. Math. Soc., 366:3 (2014), 1289–1331
  57. I. Cheltsov, C. Shramov, Cremona groups and the icosahedron, Monogr. Res. Notes Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 2016, xxi+504 pp.
  58. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Finite groups of birational selfmaps of threefolds”, Math. Res. Lett., 25:3 (2018), 957–972
  59. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “$p$-subgroups in the space Cremona group”, Math. Nachr., 291:8–9 (2018), 1374–1389

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Pukhlikov A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».