The normal derivative lemma and surrounding issues

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this survey we describe the history and current state of one of the key areas in the qualitative theory of elliptic partial differential equations related to the strong maximum principle and the boundary point principle (normal derivative lemma).Bibliography: 234 titles.

About the authors

Darya Evgen'evna Apushkinskaya

Peoples' Friendship University of Russia; Saint Petersburg State University

Email: darya@math.uni-sb.de
Candidate of physico-mathematical sciences

Alexander Il'ich Nazarov

St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Saint Petersburg State University

Email: al.il.nazarov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences

References

  1. К. Ф. Гаусс, “Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния”, Избранные труды по земному магнетизму, Классики науки, Изд-во АН СССР, М., 1952, 179–234
  2. С. Заремба, “Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 125–146
  3. A. Harnack, Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunction in der Ebene, Teubner, Leipzig, 1887, 158 pp.
  4. G. Kresin, V. Maz'ya, On sharp Agmon–Miranda maximum principles, 2020, 20 pp.
  5. M. H. Protter, H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Corr. reprint of the 1967 original, Springer-Verlag, New York, 1984, x+261 pp.
  6. R. P. Sperb, Maximum principles and their applications, Math. Sci. Eng., 157, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1981, ix+224 pp.
  7. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис, “Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка”, Дифференциальные уравнения с частными производными – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 32, ВИНИТИ, М., 1988, 99–215
  8. M. Bramanti, “Potential theory for stationary Schrödinger operators: a survey of results obtained with non-probabilistic methods”, Matematiche (Catania), 47:1 (1992), 25–61
  9. L. E. Fraenkel, An introduction to maximum principles and symmetry in elliptic problems, Cambridge Tracts in Math., 128, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, x+340 pp.
  10. P. Pucci, J. Serrin, “The strong maximum principle revisited”, J. Differential Equations, 196:1 (2004), 1–66
  11. А. И. Назаров, “Принцип максимума А. Д. Александрова”, Совр. матем. и ее приложения, 29 (2005), 129–145
  12. M. Kassmann, “Harnack inequalities: an introduction”, Bound. Value Probl., 2007 (2007), 081415, 21 pp.
  13. P. Pucci, J. Serrin, The maximum principle, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 73, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007, x+235 pp.
  14. Р. Альворадо, Д. Бригхам, В. Мазья, М. Митреа, Е. Зиадэ, “О регулярности областей, удовлетворяющих равномерному условию песочных часов, и точная версия принципа граничных точек Хопфа–Олейник”, Проблемы матем. анализа, 57, 2011, 3–68
  15. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “A counterexample to the Hopf–Oleinik lemma (elliptic case)”, Anal. PDE, 9:2 (2016), 439–458
  16. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “On the boundary point principle for divergence-type equations”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 30:4 (2019), 677–699
  17. Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир, М., 1980, 664 с.
  18. А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Выпукло-монотонные оболочки и оценка максимума решения параболического уравнения”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 17, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 147, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1985, 95–109
  19. Н. Г. Кузнецов, “Свойства средних значений гармонических функций и родственные темы”, Проблемы матем. анализа, 99, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2019, 3–21
  20. E. Hopf, “Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 19 (1927), 147–152
  21. G. Giraud, “Generalisation des problèmes sur les operations du type elliptique”, Bull. Sci. Math. (2), 56 (1932), 316–352
  22. G. Giraud, “Problèmes de valeurs à la frontière relatifs à certaines donnees discontinues”, Bull. Soc. Math. France, 61 (1933), 1–54
  23. Л. И. Камынин, Б. Н. Химченко, “О принципе максимума для эллиптико-параболического уравнения 2-го порядка”, Сиб. матем. журн., 13:4 (1972), 773–789
  24. E. Hopf, “A remark on linear elliptic differential equations of second order”, Proc. Amer. Math. Soc., 3:5 (1952), 791–793
  25. О. А. Олейник, “О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа”, Матем. сб., 30(72):3 (1952), 695–702
  26. B. Gidas, Wei-Ming Ni, L. Nirenberg, “Symmetry and related properties via the maximum principle”, Comm. Math. Phys., 68:3 (1979), 209–243
  27. Е. М. Ландис, “$s$-емкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами”, Матем. сб., 76(118):2 (1968), 186–213
  28. Е. М. Ландис, Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов, Наука, М., 1971, 287 с.
  29. C. Pucci, “Proprietà di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico. I”, Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 23:6 (1957), 370–375
  30. А. Д. Александров, “Исследования о принципе максимума. I”, Изв. вузов. Матем., 1958, № 5, 126–157
  31. R. Vyborny, “On a certain extension of the maximum principle”, Differential equations and their applications (Prague, 1962), Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague; Academic Press, New York, 1963, 223–228
  32. R. Vyborny, “Über das erweiterte {M}aximumprinzip”, Czech. Math. J., 14 (1964), 116–120
  33. G. M. Lieberman, “Regularized distance and its applications”, Pacific J. Math., 117:2 (1985), 329–352
  34. K.-O. Widman, “Inequalities for the Green function and boundary continuity of the gradient of solutions of elliptic differential equations”, Math. Scand., 21 (1967), 17–37
  35. Г. М. Вержбинский, В. Г. Мазья, “Об асимптотике решений задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы”, Докл. АН СССР, 176:3 (1967), 498–501
  36. Б. Н. Химченко, “О поведении супергармонической функции вблизи границы области типа $A^{(1)}$”, Дифференц. уравнения, 5:10 (1969), 1845–1853
  37. Б. Н. Химченко, “О поведении решений эллиптических уравнений вблизи границы области типа $A^{(1)}$”, Докл. АН СССР, 193:2 (1970), 304–305
  38. Л. И. Камынин, Б. Н. Химченко, “Теоремы типа Жиро для уравнений $2$-го порядка со слабо вырождающейся неотрицательной характеристической частью”, Сиб. матем. журн., 18:1 (1977), 103–121
  39. Sungwon Cho, Boo Rim Choe, Hyungwoon Koo, “Weak Hopf lemma for the invariant Laplacian and related elliptic operators”, J. Math. Anal. Appl., 408:2 (2013), 576–588
  40. Н. С. Надирашвили, “К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 122(164):3(11) (1983), 341–359
  41. Л. И. Камынин, “Теорема о внутренней производной для слабо вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 126(168):3 (1985), 307–326
  42. G. M. Lieberman, “The Dirichlet problem for quasilinear elliptic equations with continuously differentiable boundary data”, Comm. Partial Differential Equations, 11:2 (1986), 167–229
  43. А. Д. Александров, “Некоторые оценки, касающиеся задачи Дирихле”, Докл. АН СССР, 134:5 (1960), 1001–1004
  44. И. Я. Бакельман, “К теории квазилинейных эллиптических уравнений”, Сиб. матем. журн., 2:2 (1961), 179–186
  45. I. J. Bakelman, Convex analysis and nonlinear geometric elliptic equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxii+510 pp.
  46. И. Я. Бакельман, “Задача Дирихле для уравнений типа Монжа–Ампера и их $n$-мерных аналогов”, Докл. АН СССР, 126 (1959), 923–926
  47. И. Я. Бакельман, Первая краевая задача для нелинейных эллиптических уравнений, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ЛГПИ им. А. И. Герцена, Л., 1959
  48. А. Д. Александров, “Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 18:13(3) (1963), 5–29
  49. C. Pucci, “Su una limitazione per soluzioni di equazioni ellittiche”, Boll. Un. Mat. Ital. (3), 21 (1966), 228–233
  50. C. Pucci, “Limitazioni per soluzioni di equazioni ellittiche”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 74 (1966), 15–30
  51. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
  52. А. Д. Александров, “Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:1(1) (1966), 5–25
  53. А. Д. Александров, “Один общий метод мажорирования решений задачи Дирихле”, Сиб. матем. журн., 7:3 (1966), 486–498
  54. А. Д. Александров, “О мажорантах решений и условиях единственности для эллиптических уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:7(2) (1966), 5–20
  55. А. Д. Александров, “Невозможность общих оценок решений и условий единственности для линейных уравнений с нормами, более слабыми, чем $L_n$”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:13(3) (1966), 5–10
  56. А. Д. Александров, “Некоторые оценки решений задачи Дирихле”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 22:7(2) (1967), 19–29
  57. Н. В. Крылов, “Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения”, Сиб. матем. журн., 17:2 (1976), 290–303
  58. Н. С. Надирашвили, “Некоторые оценки в задаче с наклонной производной”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:5 (1988), 1982–1090
  59. А. И. Назаров, “Гeльдеровские оценки для ограниченных решений задач с наклонной производной для параболических уравнений недивергентной структуры”, Нелинейные уравнения и вариационные неравенства. Линейные операторы и спектральная теория, Проблемы матем. анализа, 11, ЛГУ, Л., 1990, 37–46
  60. G. M. Lieberman, “The maximum principle for equations with composite coefficients”, Electron. J. Differential Equations, 2000, 38, 17 pp.
  61. Yousong Luo, “An Aleksandrov–Bakelman type maximum principle and applications”, J. Differential Equations, 101:2 (1993), 213–231
  62. Yousong Luo, N. S. Trudinger, “Linear second order elliptic equations with Venttsel boundary conditions”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 118:3-4 (1991), 193–207
  63. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Hölder estimates of solutions to initial-boundary value problems for parabolic equations of nondivergent form with Wentzel boundary condition”, Nonlinear evolution equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 164, Adv. Math. Sci., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 1–13
  64. Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Гeльдеровские оценки решений вырожденных граничных задач Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений недивергентного вида”, Проблемы математической физики и теории функций, Проблемы матем. анализа, 17, СПбГУ, СПб., 1997, 3–19
  65. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Linear two-phase Venttsel problems”, Ark. Mat., 39:2 (2001), 201–222
  66. Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Оценки на границе области градиента решения недивергентного параболического уравнения с “составной” правой частью и коэффициентами при младших производных”, Линейные и нелинейные краевые задачи. Экстремальные задачи, Проблемы матем. анализа, 14, СПбГУ, СПб., 1995, 3–27
  67. А. И. Назаров, “Приграничные оценки решений задачи Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений в области с границей класса $W^2_{q-1}$”, Теория функций и приложения, Проблемы матем. анализа, 24, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2002, 181–204
  68. А. И. Назаров, “Оценки максимума решений эллиптических и параболических уравнений через весовые нормы правой части”, Алгебра и анализ, 13:2 (2001), 151–164
  69. L. Caffarelli, “Elliptic second order equations”, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 58 (1988), 253–284
  70. L. A. Caffarelli, X. Cabre, Fully nonlinear elliptic equations, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 43, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, vi+104 pp.
  71. E. B. Fabes, D. W. Stroock, “The $L^p$-integrability of {G}reen's functions and fundamental solutions for elliptic and parabolic equations”, Duke Math. J., 51:4 (1984), 997–1016
  72. C. E. Kenig, N. S. Nadirashvili, “On optimal estimates for some oblique derivative problems”, J. Funct. Anal., 187:1 (2001), 70–93
  73. G. M. Lieberman, “Maximum estimates for oblique derivative problems with right hand side in $L^p$, $p
  74. C. Pucci, “Operatori ellittici estremanti”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 72 (1966), 141–170
  75. К. Пуччи, “Максимизирующие эллиптические операторы, приложения и гипотезы”, Дифференциальные уравнения с частными производными (Новосибирск, 1983), Наука, Новосибирск, 1986, 167–172
  76. K. Astala, T. Iwaniec, G. Martin, “Pucci's conjecture and the Alexandrov inequality for elliptic PDEs in the plane”, J. Reine Angew. Math., 2006:591 (2006), 49–74
  77. S. Koike, “On the ABP maximum principle and applications”, Suurikaisekikenkyusho Kokyuroku, 1845 (2013), 107–120
  78. Hung-Ju Kuo, N. S. Trudinger, “New maximum principles for linear elliptic equations”, Indiana Univ. Math. J., 56:5 (2007), 2439–2452
  79. N. S. Trudinger, “Remarks on the {P}ucci conjecture”, Indiana Univ. Math. J., 69:1 (2020), 109–118
  80. X. Cabre, “On the Alexandroff–Bakelman–Pucci estimate and the reversed Hölder inequality for solutions of elliptic and parabolic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 48:5 (1995), 539–570
  81. A. I. Nazarov, N. N. Ural'tseva, Qualitative properties of solutions to elliptic and parabolic equations with unbounded lower-order coefficients, Препринты С.-Петерб. матем. о-ва, электрон. архив, № 2009-05, СПбМО, СПб., 2009, 6 с.
  82. M. V. Safonov, “Non-divergence elliptic equations of second order with unbounded drift”, Nonlinear partial differential equations and related topics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 229, Adv. Math. Sci., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 211–232
  83. A. I. Nazarov, “A centennial of the Zaremba–Hopf–Oleinik lemma”, SIAM J. Math. Anal., 44:1 (2012), 437–453
  84. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Оценки на границе области первых производных функций, удовлетворяющих эллиптическому или параболическому неравенству”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, Наука, М., 1988, 102–125
  85. M. V. Safonov, Boundary estimates for positive solutions to second order elliptic equations, 2008, 20 pp.
  86. M. V. Safonov, “On the boundary estimates for second-order elliptic equations”, Complex Var. Elliptic Equ., 63:7-8 (2018), 1123–1141
  87. Е. М. Ландис, “Неравенство Харнака для эллиптических уравнений второго порядка кордесовского типа”, Докл. АН СССР, 179:6 (1968), 1272–1275
  88. Н. В. Крылов, М. В. Сафонов, “Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:1 (1980), 161–175
  89. М. В. Сафонов, “Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их решений”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 12, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 96, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1980, 272–287
  90. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности”, УМН, 41:5(251) (1986), 59–83
  91. E. Ferretti, M. V. Safonov, “Growth theorems and Harnack inequality for second order parabolic equations”, Harmonic analysis and boundary value problems (Fayetteville, AR, 2000), Contemp. Math., 277, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, 87–112
  92. M. V. Safonov, “Narrow domains and the {H}arnack inequality for elliptic equations”, Алгебра и анализ, 27:3 (2015), 220–237
  93. Gong Chen, M. Safonov, “On second order elliptic and parabolic equations of mixed type”, J. Funct. Anal., 272:8 (2017), 3216–3237
  94. M. V. Safonov, “Growth theorems for metric spaces with applications to PDE”, Алгебра и анализ, 32:4 (2020), 271–284
  95. Doyoon Kim, Seungjin Ryu, “The weak maximum principle for second-order elliptic and parabolic conormal derivative problems”, Commun. Pure Appl. Anal., 19:1 (2020), 493–510
  96. L. Escauriaza, “Bounds for the fundamental solution of elliptic and parabolic equations in nondivergence form”, Comm. Partial Differential Equations, 25:5-6 (2000), 821–845
  97. V. Maz'ya, R. McOwen, “Asymptotics for solutions of elliptic equations in double divergence form”, Comm. Partial Differential Equations, 32:2 (2007), 191–207
  98. J. Moser, “On Harnack's theorem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 14:3 (1961), 577–591
  99. E. DiBenedetto, N. S. Trudinger, “Harnack inequalities for quasi-minima of variational integrals”, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 1:4 (1984), 295–308
  100. E. De Giorgi, “Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 3 (1957), 25–43
  101. G. Stampacchia, “Le problème de {D}irichlet pour les equations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 15:1 (1965), 189–257
  102. J. Serrin, “Local behavior of solutions of quasi-linear equations”, Acta Math., 111 (1964), 247–302
  103. J. Moser, “A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 13:3 (1960), 457–468
  104. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с.
  105. А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Неравенство Гарнака и связанные с ним свойства решений эллиптических и параболических уравнений с бездивергентными младшими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 136–168
  106. N. Filonov, “On the regularity of solutions to the equation $-Delta u+bcdotnabla u=0$”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 43, Зап. науч. сем. ПОМИ, 410, ПОМИ, СПб., 2013, 168–186
  107. D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, D. K. Palagachev, L. G. Softova, “Venttsel boundary value problems with discontinuous data”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 221–252
  108. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1996, 480 с.
  109. N. S. Trudinger, “On the regularity of generalized solutions of linear, non-uniformly elliptic equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 42 (1971), 50–62
  110. N. S. Trudinger, “Linear elliptic operators with measurable coefficients”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 27 (1973), 265–308
  111. P. Bella, M. Schäffner, “Local boundedness and Harnack inequality for solutions of linear nonuniformly elliptic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 74:3 (2021), 453–477
  112. B. Franchi, R. Serapioni, F. Serra Cassano, “Irregular solutions of linear degenerate elliptic equations”, Potential Anal., 9:3 (1998), 201–216
  113. E. B. Fabes, C. E. Kenig, R. P. Serapioni, “The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 7:1 (1982), 77–116
  114. V. De Cicco, M. A. Vivaldi, “Harnack inequalities for Fuchsian type weighted elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 21:9-10 (1996), 1321–1347
  115. S. Chanillo, R. L. Wheeden, “Harnack's inequality and mean-value inequalities for solutions of degenerate elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 11:10 (1986), 1111–1134
  116. F. Chiarenza, A. Rustichini, R. Serapioni, “De Giorgi–Moser theorem for a class of degenerate non-uniformly elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 14:5 (1989), 635–662
  117. M. Schechter, “On the invariance of the essential spectrum of an arbitrary operator. III”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 64:4 (1968), 975–984
  118. M. Schechter, Spectra of partial differential operators, North-Holland Ser. Appl. Math. Mech., 14, 2nd ed., North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1986, xiv+310 pp.
  119. F. Stummel, “Singuläre elliptische Differentialoperatoren in Hilbertschen Räumen”, Math. Ann., 132 (1956), 150–176
  120. T. Kato, “Schr{ö}dinger operators with singular potentials”, Israel J. Math., 13 (1972), 135–148
  121. Quan Zheng, Xiaohua Yao, “Higher-order Kato class potentials for Schrödinger operators”, Bull. Lond. Math. Soc., 41:2 (2009), 293–301
  122. M. Aizenman, B. Simon, “Brownian motion and Harnack inequality for Schrödinger operators”, Comm. Pure Appl. Math., 35:2 (1982), 209–273
  123. F. Chiarenza, E. Fabes, N. Garofalo, “Harnack's inequality for Schrödinger operators and the continuity of solutions”, Proc. Amer. Math. Soc., 98:3 (1986), 415–425
  124. M. Cranston, E. Fabes, Z. Zhao, “Conditional gauge and potential theory for the Schrödinger operator”, Trans. Amer. Math. Soc., 307:1 (1988), 171–194
  125. K. Kurata, “Continuity and {H}arnack's inequality for solutions of elliptic partial differential equations of second order”, Indiana Univ. Math. J., 43:2 (1994), 411–440
  126. M. Cranston, Z. Zhao, “Conditional transformation of drift formula and potential theory for $frac12Delta+b( cdot )cdot nabla$”, Comm. Math. Phys., 112:4 (1987), 613–625
  127. P. Zamboni, “Hölder continuity for solutions of linear degenerate elliptic equations under minimal assumptions”, J. Differential Equations, 182:1 (2002), 121–140
  128. Qi Zhang, “A Harnack inequality for the equation $nabla(anabla u)+bnabla u=0$, when $|b|in K_{n+1}$”, Manuscripta Math., 89:1 (1996), 61–77
  129. M. Grüter, K.-O. Widman, “The Green function for uniformly elliptic equations”, Manuscripta Math., 37:3 (1982), 303–342
  130. V. Kozlov, A. Nazarov, “A comparison theorem for nonsmooth nonlinear operators”, Potential Anal., 54:3 (2021), 471–481
  131. Qi S. Zhang, “A strong regularity result for parabolic equations”, Comm. Math. Phys., 244:2 (2004), 245–260
  132. G. Koch, N. Nadirashvili, G. A. Seregin, V. Šverak, “Liouville theorems for the Navier–Stokes equations and applications”, Acta Math., 203:1 (2009), 83–105
  133. G. Seregin, L. Silvestre, V. Šverak, A. Zlatoš, “On divergence-free drifts”, J. Differential Equations, 252:1 (2012), 505–540
  134. N. Filonov, T. Shilkin, “On some properties of weak solutions to elliptic equations with divergence-free drifts”, Mathematical analysis in fluid mechanics: selected recent results, Contemp. Math., 710, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, 105–120
  135. Н. Д. Филонов, П. А. Ходунов, “О локальной ограниченности решений уравнения $-Delta u+apartial_z u=0$”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 49, К юбилею Григория Александровича Серегина, Зап. науч. сем. ПОМИ, 508, ПОМИ, СПб., 2021, 173–184
  136. R. Finn, D. Gilbarg, “Asymptotic behavior and uniqueness of plane subsonic flows”, Comm. Pure Appl. Math., 10 (1957), 23–63
  137. V. Kozlov, N. Kuznetsov, “A comparison theorem for super- and subsolutions of $nabla^2 u+f(u)=0$ and its application to water waves with vorticity”, Алгебра и анализ, 30:3 (2018), 112–128
  138. V. Kozlov, V. Maz'ya, “Asymptotic formula for solutions to the Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients near the boundary”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 2:3 (2003), 551–600
  139. У. Литтман, Г. Стампаккья, Г. Ф. Вайнбергер, “Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами”, Математика, 9:2 (1965), 72–97
  140. Yu. Alkhutov, M. Surnachev, “Global Green's function estimates for the convection-diffusion equation”, Complex Var. Elliptic Equ., 2020, 1–30, Publ. online
  141. А. Д. Александров, “Теоремы единственности для поверхностей ‘в целом’. I”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 11:19(4) (1956), 5–17
  142. Yan Yan Li, L. Nirenberg, “A geometric problem and the Hopf lemma. I”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 8:2 (2006), 317–339
  143. P. L. Lions, “Two geometrical properties of solutions of semilinear problems”, Appl. Anal., 12:4 (1981), 267–272
  144. B. Gidas, Wei Ming Ni, L. Nirenberg, “Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in $mathbb{R}^n$”, Mathematical analysis and applications, Part A, Adv. Math. Suppl. Stud., 7, Academic Press, New York–London, 1981, 369–402
  145. H. Berestycki, L. Nirenberg, “On the method of moving planes and the sliding method”, Bol. Soc. Brasil. Mat. (N. S.), 22:1 (1991), 1–37
  146. L. Damascelli, F. Pacella, M. Ramaswamy, “A strong maximum principle for a class of non-positone singular elliptic problems”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 10:2 (2003), 187–196
  147. F. Esposito, B. Sciunzi, “On the Höpf boundary lemma for quasilinear problems involving singular nonlinearities and applications”, J. Funct. Anal., 278:4 (2020), 108346, 25 pp.
  148. Yanyan Li, Meijun Zhu, “Uniqueness theorems through the method of moving spheres”, Duke Math. J., 80:2 (1995), 383–417
  149. A. Aeppli, “On the uniqueness of compact solutions for certain elliptic differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 11 (1960), 826–832
  150. J. Serrin, “On surfaces of constant mean curvature which span a given space curve”, Math. Z., 112 (1969), 77–88
  151. V. I. Oliker, “Hypersurfaces in $mathbb{R}^{n+1}$ with prescribed Gaussian curvature and related equations of Monge–Ampère type”, Comm. Partial Differential Equations, 9:8 (1984), 807–838
  152. R. Musina, “Planar loops with prescribed curvature: existence, multiplicity and uniqueness results”, Proc. Amer. Math. Soc., 139:12 (2011), 4445–4459
  153. X. Cabre, “Equacions en derivades parcials, geometria i control estocàstic”, Butl. Soc. Catalana Mat., 15:1 (2000), 7–27
  154. X. Cabre, “Elliptic PDE's in probability and geometry: symmetry and regularity of solutions”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 20:3 (2008), 425–457
  155. X. Cabre, X. Ros-Oton, J. Serra, “Sharp isoperimetric inequalities via the ABP method”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 18:12 (2016), 2971–2998
  156. X. Cabre, “Topics in regularity and qualitative properties of solutions of nonlinear elliptic equations”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 8:2 (2002), 331–359
  157. E. Phragmen, E. Lindelöf, “Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques proprietes de fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier”, Acta Math., 31:1 (1908), 381–406
  158. Е. М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений”, УМН, 14:1(85) (1959), 21–85
  159. Е. М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных)”, УМН, 18:1(109) (1963), 3–62
  160. Е. М. Ландис, “О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений”, в ст.: “Заседания Московского математического общества”, УМН, 11:2(68) (1956), 235–237
  161. В. Г. Мазья, “О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме”, Матем. заметки, 2:2 (1967), 209–220
  162. Г. Н. Блохина, “Теоремы типа Фрагмена–Линделeфа для линейного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 82(124):4(8) (1970), 507–531
  163. В. Г. Мазья, “О непрерывности в граничной точке решения квазилинейных эллиптических уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 25:13(3) (1970), 42–55
  164. А. И. Ибрагимов, Е. М. Ландис, “О поведении решений задачи Неймана в неограниченных областях”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 19, Изд-во Моск. ун-та, М., 1996, 218–234
  165. A. I. Ibragimov, E. M. Landis, “Zaremba's problem for elliptic equations in the neighbourhood of a singular point or at infinity”, Appl. Anal., 67:3-4 (1997), 269–282
  166. Dat Cao, A. Ibraguimov, A. I. Nazarov, “Mixed boundary value problems for non-divergence type elliptic equations in unbounded domains”, Asymptot. Anal., 109:1-2 (2018), 75–90
  167. B. Sirakov, P. Souplet, “The Vazquez maximum principle and the Landis conjecture for elliptic PDE with unbounded coefficients”, Adv. Math., 387 (2021), 107838, 27 pp.
  168. A. Logunov, E. Malinnikova, N. Nadirashvili, F. Nazarov, The Landis conjecture on exponential decay, 2020, 40 pp.
  169. Н. В. Крылов, “Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области”, Изв. АН СССР, 47:1 (1983), 75–108
  170. Х. Ким, М. Сафонов, “Граничный принцип Харнака для эллиптических уравнений второго порядка с неограниченным сносом”, Проблемы матем. анализа, 61, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 109–122
  171. R. F. Bass, K. Burdzy, “A boundary Harnack principle in twisted Hölder domains”, Ann. of Math. (2), 134:2 (1991), 253–276
  172. Х. Ким, М. Сафонов, “Оценка типа Карлесона для эллиптических уравнений второго порядка с неограниченным сносом”, Проблемы матем. анализа, 58, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 195–207
  173. B. E. J. Dahlberg, “Estimates of harmonic measure”, Arch. Ration. Mech. Anal., 65:3 (1977), 275–288
  174. D. S. Jerison, C. E. Kenig, “Boundary behavior of harmonic functions in non-tangentially accessible domains”, Adv. Math., 46:1 (1982), 80–147
  175. H. Aikawa, “Boundary {H}arnack principle and {M}artin boundary for a uniform domain”, J. Math. Soc. Japan, 53:1 (2001), 119–145
  176. A. Ancona, “Principe de Harnack à la frontière et theorème de Fatou pour un operateur elliptique dans un domaine lipschitzien”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 28:4 (1978), 169–213
  177. L. Caffarelli, E. Fabes, S. Mortola, S. Salsa, “Boundary behavior of nonnegative solutions of elliptic operators in divergence form”, Indiana Univ. Math. J., 30:4 (1981), 621–640
  178. R. Bañuelos, R. F. Bass, K. Burdzy, “Hölder domains and the boundary Harnack principle”, Duke Math. J., 64:1 (1991), 195–200
  179. E. Fabes, N. Garofalo, S. Marin-Malave, S. Salsa, “Fatou theorems for some nonlinear elliptic equations”, Rev. Mat. Iberoamericana, 4:2 (1988), 227–251
  180. P. Bauman, “Positive solutions of elliptic equations in nondivergence form and their adjoints”, Ark. Mat., 22:2 (1984), 153–173
  181. H. Aikawa, “Equivalence between the boundary Harnack principle and the Carleson estimate”, Math. Scand., 103:1 (2008), 61–76
  182. R. F. Bass, K. Burdzy, “The boundary {H}arnack principle for non-divergence form elliptic operators”, J. London Math. Soc. (2), 50:1 (1994), 157–169
  183. H. Kim, M. Safonov, “The boundary Harnack principle for second order elliptic equations in John and uniform domains”, Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Workshop dedicated to the 90th anniversary of the O. A. Ladyzhenskaya birthday (Stockholm, 2012), v. XV, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 232, Advances in mathematical analysis of partial differential equations, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 153–176
  184. D. De Silva, O. Savin, “A short proof of boundary Harnack principle”, J. Differential Equations, 269:3 (2020), 2419–2429
  185. D. De Silva, O. Savin, “On the boundary Harnack principle in Hölder domains”, Math. Eng., 4:1 (2022), 004, 12 pp.
  186. M. Allen, H. Shahgholian, “A new boundary Harnack principle (equations with right hand side)”, Arch. Ration. Mech. Anal., 234:3 (2019), 1413–1444
  187. G. Sweers, “Hopf's lemma and two dimensional domains with corners”, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 28, suppl. (1996), 383–419
  188. B. Sirakov, Global integrability and boundary estimates for uniformly elliptic PDE in divergence form, 2020 (v1 – 2019), 26 pp.
  189. M. T. Barlow, M. Murugan, “Boundary Harnack principle and elliptic Harnack inequality”, J. Math. Soc. Japan, 71:2 (2019), 383–412
  190. A. Ancona, “Une propriete d'invariance des ensembles absorbants par perturbation d'un operateur elliptique”, Comm. Partial Differential Equations, 4:4 (1979), 321–337
  191. H. Brezis, A. C. Ponce, “Remarks on the strong maximum principle”, Differential Integral Equations, 16:1 (2003), 1–12
  192. M. Bertsch, F. Smarrazzo, A. Tesei, “A note on the strong maximum principle”, J. Differential Equations, 259:8 (2015), 4356–4375
  193. A. C. Ponce, N. Wilmet, “The Hopf lemma for the Schrödinger operator”, Adv. Nonlinear Stud., 20:2 (2020), 459–475
  194. H. Berestycki, L. Nirenberg, S. R. S. Varadhan, “The principal eigenvalue and maximum principle for second-order elliptic operators in general domains”, Comm. Pure Appl. Math., 47:1 (1994), 47–92
  195. J. Barta, “Sur la vibration fondamentale d'une membrane”, C. R. Acad. Sci. Paris, 204 (1937), 472–473
  196. E. Battaglia, S. Biagi, A. Bonfiglioli, “The strong maximum principle and the Harnack inequality for a class of hypoelliptic non-Hörmander operators”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 66:2 (2016), 589–631
  197. V. Martino, G. Tralli, “On the Hopf–Oleinik lemma for degenerate-elliptic equations at characteristic points”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 55:5 (2016), 115, 20 pp.
  198. С. Н. Ощепкова, О. М. Пенкин, Д. В. Савастеев, “Сильный принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве”, Матем. заметки, 92:2 (2012), 276–290
  199. С. Н. Ощепкова, О. М. Пенкин, Д. В. Савастеев, “Лемма о нормальной производной для лапласиана на полиэдральном множестве”, Матем. заметки, 96:1 (2014), 116–125
  200. N. S. Trudinger, “On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 20:4 (1967), 721–747
  201. N. S. Trudinger, “Harnack inequalities for nonuniformly elliptic divergence structure equations”, Invent. Math., 64:3 (1981), 517–531
  202. M. A. Dow, R. Vyborny, “Maximum principles for some quasilinear second order partial differential equations”, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 47 (1972), 331–351
  203. P. Tolksdorf, “On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points”, Comm. Partial Differential Equations, 8:7 (1983), 773–817
  204. D. Castorina, G. Riey, B. Sciunzi, “Hopf Lemma and regularity results for quasilinear anisotropic elliptic equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:3 (2019), 95, 18 pp.
  205. A. Cellina, “On the strong maximum principle”, Proc. Amer. Math. Soc., 130:2 (2002), 413–418
  206. S. Bertone, A. Cellina, E. M. Marchini, “On Hopf's lemma and the strong maximum principle”, Comm. Partial Differential Equations, 31:4-6 (2006), 701–733
  207. J. L. Vazquez, “A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations”, Appl. Math. Optim., 12:3 (1984), 191–202
  208. P. Pucci, J. Serrin, “A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities”, J. Math. Pures Appl. (9), 79:1 (2000), 57–71
  209. P. L. Felmer, A. Quaas, “On the strong maximum principle for quasilinear elliptic equations and systems”, Adv. Differential Equations, 7:1 (2002), 25–46
  210. V. Julin, “Generalized {H}arnack inequality for semilinear elliptic equations”, J. Math. Pures Appl. (9), 106:5 (2016), 877–904
  211. M.-F. Bidaut-Veron, R. Borghol, L. Veron, “Boundary Harnack inequality and a priori estimates of singular solutions of quasilinear elliptic equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 27:2 (2006), 159–177
  212. K. Nyström, “$p$-harmonic functions in the {H}eisenberg group: boundary behaviour in domains well-approximated by non-characteristic hyperplanes”, Math. Ann., 357:1 (2013), 307–353
  213. B. Sirakov, “Boundary Harnack estimates and quantitative strong maximum principles for uniformly elliptic PDE”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2018:24 (2018), 7457–7482
  214. Ю. А. Алхутов, “Неравенство Харнака и гeльдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста”, Дифференц. уравнения, 33:12 (1997), 1651–1660
  215. Ю. А. Алхутов, М. Д. Сурначeв, “О неравенстве Харнака для $p(x)$-лапласиана с двухфазным показателем $p(x)$”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 32, Изд-во Моск. ун-та, М., 2019, 8–56
  216. I. I. Skrypnik, M. V. Voitovych, “$mathcal{B}_1$ classes of De Giorgi–Ladyzhenskaya–Ural'tseva and their applications to elliptic and parabolic equations with generalized Orlicz growth conditions”, Nonlinear Anal., 202 (2021), 112135, 30 pp.
  217. T. Adamowicz, N. L. P. Lundström, “The boundary Harnack inequality for variable exponent $p$-Laplacian, Carleson estimates, barrier functions and $p( cdot )$-harmonic measures”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 195:2 (2016), 623–658
  218. M. Riesz, “Integrales de Riemann–Liouville et potentiels”, Acta Litt. Sci. Szeged, 9 (1938), 1–42
  219. R. Musina, A. I. Nazarov, “On fractional Laplacians”, Comm. Partial Differential Equations, 39:9 (2014), 1780–1790
  220. R. Musina, A. I. Nazarov, “On fractional Laplacians – 2”, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 33:6 (2016), 1667–1673
  221. L. Silvestre, “Regularity of the obstacle problem for a fractional power of the Laplace operator”, Comm. Pure Appl. Math., 60:1 (2007), 67–112
  222. A. Capella, J. Davila, L. Dupaigne, Y. Sire, “Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations”, Comm. Partial Differential Equations, 36:8 (2011), 1353–1384
  223. A. Iannizzotto, S. Mosconi, M. Squassina, “$H^s$ versus $C^0$-weighted minimizers”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 22:3 (2015), 477–497
  224. R. Musina, A. I. Nazarov, “Strong maximum principles for fractional Laplacians”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 149:5 (2019), 1223–1240
  225. N. Abatangelo, S. Jarohs, A. Saldaña, “On the loss of maximum principles for higher-order fractional Laplacians”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:11 (2018), 4823–4835
  226. K. Bogdan, “The boundary Harnack principle for the fractional Laplacian”, Studia Math., 123:1 (1997), 43–80
  227. X. Ros-Oton, J. Serra, “The boundary Harnack principle for nonlocal elliptic operators in non-divergence form”, Potential Anal., 51:3 (2019), 315–331
  228. X. Ros-Oton, J. Serra, “The Dirichlet problem for the fractional Laplacian: regularity up to the boundary”, J. Math. Pures Appl. (9), 101:3 (2014), 275–302
  229. X. Ros-Oton, “Boundary regularity, {P}ohozaev identities and nonexistence results”, Recent developments in nonlocal theory, De Gruyter, Berlin, 2018, 335–358
  230. L. M. Del Pezzo, A. Quaas, “A Hopf's lemma and a strong minimum principle for the fractional $p$-Laplacian”, J. Differential Equations, 263:1 (2017), 765–778
  231. Panki Kim, Renming Song, Z. Vondraček, “Potential theory of subordinate killed Brownian motion”, Trans. Amer. Math. Soc., 371:6 (2019), 3917–3969
  232. N. Abatangelo, M. M. Fall, R. Y. Temgoua, A Hopf lemma for the regional fractional Laplacian, 2021, 16 pp.
  233. N. Guillen, R. W. Schwab, “Aleksandrov–Bakelman–Pucci type estimates for integro-differential equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 206:1 (2012), 111–157
  234. M. M. Fall, S. Jarohs, “Overdetermined problems with fractional Laplacian”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 924–938

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Apushkinskaya D.E., Nazarov A.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».