The normal derivative lemma and surrounding issues
- Autores: Apushkinskaya D.E.1,2, Nazarov A.I.3,2
-
Afiliações:
- Peoples' Friendship University of Russia
- Saint Petersburg State University
- St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Edição: Volume 77, Nº 2 (2022)
- Páginas: 3-68
- Seção: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0042-1316/article/view/133690
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm10049
- ID: 133690
Citar
Resumo
Sobre autores
Darya Apushkinskaya
Peoples' Friendship University of Russia; Saint Petersburg State University
Email: darya@math.uni-sb.de
Candidate of physico-mathematical sciences
Alexander Nazarov
St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Saint Petersburg State University
Email: al.il.nazarov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences
Bibliografia
- К. Ф. Гаусс, “Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния”, Избранные труды по земному магнетизму, Классики науки, Изд-во АН СССР, М., 1952, 179–234
- С. Заремба, “Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 125–146
- A. Harnack, Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunction in der Ebene, Teubner, Leipzig, 1887, 158 pp.
- G. Kresin, V. Maz'ya, On sharp Agmon–Miranda maximum principles, 2020, 20 pp.
- M. H. Protter, H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Corr. reprint of the 1967 original, Springer-Verlag, New York, 1984, x+261 pp.
- R. P. Sperb, Maximum principles and their applications, Math. Sci. Eng., 157, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1981, ix+224 pp.
- В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис, “Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка”, Дифференциальные уравнения с частными производными – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 32, ВИНИТИ, М., 1988, 99–215
- M. Bramanti, “Potential theory for stationary Schrödinger operators: a survey of results obtained with non-probabilistic methods”, Matematiche (Catania), 47:1 (1992), 25–61
- L. E. Fraenkel, An introduction to maximum principles and symmetry in elliptic problems, Cambridge Tracts in Math., 128, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, x+340 pp.
- P. Pucci, J. Serrin, “The strong maximum principle revisited”, J. Differential Equations, 196:1 (2004), 1–66
- А. И. Назаров, “Принцип максимума А. Д. Александрова”, Совр. матем. и ее приложения, 29 (2005), 129–145
- M. Kassmann, “Harnack inequalities: an introduction”, Bound. Value Probl., 2007 (2007), 081415, 21 pp.
- P. Pucci, J. Serrin, The maximum principle, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 73, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007, x+235 pp.
- Р. Альворадо, Д. Бригхам, В. Мазья, М. Митреа, Е. Зиадэ, “О регулярности областей, удовлетворяющих равномерному условию песочных часов, и точная версия принципа граничных точек Хопфа–Олейник”, Проблемы матем. анализа, 57, 2011, 3–68
- D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “A counterexample to the Hopf–Oleinik lemma (elliptic case)”, Anal. PDE, 9:2 (2016), 439–458
- D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “On the boundary point principle for divergence-type equations”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 30:4 (2019), 677–699
- Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир, М., 1980, 664 с.
- А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Выпукло-монотонные оболочки и оценка максимума решения параболического уравнения”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 17, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 147, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1985, 95–109
- Н. Г. Кузнецов, “Свойства средних значений гармонических функций и родственные темы”, Проблемы матем. анализа, 99, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2019, 3–21
- E. Hopf, “Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 19 (1927), 147–152
- G. Giraud, “Generalisation des problèmes sur les operations du type elliptique”, Bull. Sci. Math. (2), 56 (1932), 316–352
- G. Giraud, “Problèmes de valeurs à la frontière relatifs à certaines donnees discontinues”, Bull. Soc. Math. France, 61 (1933), 1–54
- Л. И. Камынин, Б. Н. Химченко, “О принципе максимума для эллиптико-параболического уравнения 2-го порядка”, Сиб. матем. журн., 13:4 (1972), 773–789
- E. Hopf, “A remark on linear elliptic differential equations of second order”, Proc. Amer. Math. Soc., 3:5 (1952), 791–793
- О. А. Олейник, “О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа”, Матем. сб., 30(72):3 (1952), 695–702
- B. Gidas, Wei-Ming Ni, L. Nirenberg, “Symmetry and related properties via the maximum principle”, Comm. Math. Phys., 68:3 (1979), 209–243
- Е. М. Ландис, “$s$-емкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами”, Матем. сб., 76(118):2 (1968), 186–213
- Е. М. Ландис, Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов, Наука, М., 1971, 287 с.
- C. Pucci, “Proprietà di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico. I”, Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 23:6 (1957), 370–375
- А. Д. Александров, “Исследования о принципе максимума. I”, Изв. вузов. Матем., 1958, № 5, 126–157
- R. Vyborny, “On a certain extension of the maximum principle”, Differential equations and their applications (Prague, 1962), Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague; Academic Press, New York, 1963, 223–228
- R. Vyborny, “Über das erweiterte {M}aximumprinzip”, Czech. Math. J., 14 (1964), 116–120
- G. M. Lieberman, “Regularized distance and its applications”, Pacific J. Math., 117:2 (1985), 329–352
- K.-O. Widman, “Inequalities for the Green function and boundary continuity of the gradient of solutions of elliptic differential equations”, Math. Scand., 21 (1967), 17–37
- Г. М. Вержбинский, В. Г. Мазья, “Об асимптотике решений задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы”, Докл. АН СССР, 176:3 (1967), 498–501
- Б. Н. Химченко, “О поведении супергармонической функции вблизи границы области типа $A^{(1)}$”, Дифференц. уравнения, 5:10 (1969), 1845–1853
- Б. Н. Химченко, “О поведении решений эллиптических уравнений вблизи границы области типа $A^{(1)}$”, Докл. АН СССР, 193:2 (1970), 304–305
- Л. И. Камынин, Б. Н. Химченко, “Теоремы типа Жиро для уравнений $2$-го порядка со слабо вырождающейся неотрицательной характеристической частью”, Сиб. матем. журн., 18:1 (1977), 103–121
- Sungwon Cho, Boo Rim Choe, Hyungwoon Koo, “Weak Hopf lemma for the invariant Laplacian and related elliptic operators”, J. Math. Anal. Appl., 408:2 (2013), 576–588
- Н. С. Надирашвили, “К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 122(164):3(11) (1983), 341–359
- Л. И. Камынин, “Теорема о внутренней производной для слабо вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 126(168):3 (1985), 307–326
- G. M. Lieberman, “The Dirichlet problem for quasilinear elliptic equations with continuously differentiable boundary data”, Comm. Partial Differential Equations, 11:2 (1986), 167–229
- А. Д. Александров, “Некоторые оценки, касающиеся задачи Дирихле”, Докл. АН СССР, 134:5 (1960), 1001–1004
- И. Я. Бакельман, “К теории квазилинейных эллиптических уравнений”, Сиб. матем. журн., 2:2 (1961), 179–186
- I. J. Bakelman, Convex analysis and nonlinear geometric elliptic equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxii+510 pp.
- И. Я. Бакельман, “Задача Дирихле для уравнений типа Монжа–Ампера и их $n$-мерных аналогов”, Докл. АН СССР, 126 (1959), 923–926
- И. Я. Бакельман, Первая краевая задача для нелинейных эллиптических уравнений, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ЛГПИ им. А. И. Герцена, Л., 1959
- А. Д. Александров, “Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 18:13(3) (1963), 5–29
- C. Pucci, “Su una limitazione per soluzioni di equazioni ellittiche”, Boll. Un. Mat. Ital. (3), 21 (1966), 228–233
- C. Pucci, “Limitazioni per soluzioni di equazioni ellittiche”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 74 (1966), 15–30
- Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
- А. Д. Александров, “Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:1(1) (1966), 5–25
- А. Д. Александров, “Один общий метод мажорирования решений задачи Дирихле”, Сиб. матем. журн., 7:3 (1966), 486–498
- А. Д. Александров, “О мажорантах решений и условиях единственности для эллиптических уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:7(2) (1966), 5–20
- А. Д. Александров, “Невозможность общих оценок решений и условий единственности для линейных уравнений с нормами, более слабыми, чем $L_n$”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 21:13(3) (1966), 5–10
- А. Д. Александров, “Некоторые оценки решений задачи Дирихле”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 22:7(2) (1967), 19–29
- Н. В. Крылов, “Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения”, Сиб. матем. журн., 17:2 (1976), 290–303
- Н. С. Надирашвили, “Некоторые оценки в задаче с наклонной производной”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:5 (1988), 1982–1090
- А. И. Назаров, “Гeльдеровские оценки для ограниченных решений задач с наклонной производной для параболических уравнений недивергентной структуры”, Нелинейные уравнения и вариационные неравенства. Линейные операторы и спектральная теория, Проблемы матем. анализа, 11, ЛГУ, Л., 1990, 37–46
- G. M. Lieberman, “The maximum principle for equations with composite coefficients”, Electron. J. Differential Equations, 2000, 38, 17 pp.
- Yousong Luo, “An Aleksandrov–Bakelman type maximum principle and applications”, J. Differential Equations, 101:2 (1993), 213–231
- Yousong Luo, N. S. Trudinger, “Linear second order elliptic equations with Venttsel boundary conditions”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 118:3-4 (1991), 193–207
- D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Hölder estimates of solutions to initial-boundary value problems for parabolic equations of nondivergent form with Wentzel boundary condition”, Nonlinear evolution equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 164, Adv. Math. Sci., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 1–13
- Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Гeльдеровские оценки решений вырожденных граничных задач Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений недивергентного вида”, Проблемы математической физики и теории функций, Проблемы матем. анализа, 17, СПбГУ, СПб., 1997, 3–19
- D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, “Linear two-phase Venttsel problems”, Ark. Mat., 39:2 (2001), 201–222
- Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Оценки на границе области градиента решения недивергентного параболического уравнения с “составной” правой частью и коэффициентами при младших производных”, Линейные и нелинейные краевые задачи. Экстремальные задачи, Проблемы матем. анализа, 14, СПбГУ, СПб., 1995, 3–27
- А. И. Назаров, “Приграничные оценки решений задачи Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений в области с границей класса $W^2_{q-1}$”, Теория функций и приложения, Проблемы матем. анализа, 24, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2002, 181–204
- А. И. Назаров, “Оценки максимума решений эллиптических и параболических уравнений через весовые нормы правой части”, Алгебра и анализ, 13:2 (2001), 151–164
- L. Caffarelli, “Elliptic second order equations”, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 58 (1988), 253–284
- L. A. Caffarelli, X. Cabre, Fully nonlinear elliptic equations, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 43, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, vi+104 pp.
- E. B. Fabes, D. W. Stroock, “The $L^p$-integrability of {G}reen's functions and fundamental solutions for elliptic and parabolic equations”, Duke Math. J., 51:4 (1984), 997–1016
- C. E. Kenig, N. S. Nadirashvili, “On optimal estimates for some oblique derivative problems”, J. Funct. Anal., 187:1 (2001), 70–93
- G. M. Lieberman, “Maximum estimates for oblique derivative problems with right hand side in $L^p$, $p
- C. Pucci, “Operatori ellittici estremanti”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 72 (1966), 141–170
- К. Пуччи, “Максимизирующие эллиптические операторы, приложения и гипотезы”, Дифференциальные уравнения с частными производными (Новосибирск, 1983), Наука, Новосибирск, 1986, 167–172
- K. Astala, T. Iwaniec, G. Martin, “Pucci's conjecture and the Alexandrov inequality for elliptic PDEs in the plane”, J. Reine Angew. Math., 2006:591 (2006), 49–74
- S. Koike, “On the ABP maximum principle and applications”, Suurikaisekikenkyusho Kokyuroku, 1845 (2013), 107–120
- Hung-Ju Kuo, N. S. Trudinger, “New maximum principles for linear elliptic equations”, Indiana Univ. Math. J., 56:5 (2007), 2439–2452
- N. S. Trudinger, “Remarks on the {P}ucci conjecture”, Indiana Univ. Math. J., 69:1 (2020), 109–118
- X. Cabre, “On the Alexandroff–Bakelman–Pucci estimate and the reversed Hölder inequality for solutions of elliptic and parabolic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 48:5 (1995), 539–570
- A. I. Nazarov, N. N. Ural'tseva, Qualitative properties of solutions to elliptic and parabolic equations with unbounded lower-order coefficients, Препринты С.-Петерб. матем. о-ва, электрон. архив, № 2009-05, СПбМО, СПб., 2009, 6 с.
- M. V. Safonov, “Non-divergence elliptic equations of second order with unbounded drift”, Nonlinear partial differential equations and related topics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 229, Adv. Math. Sci., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 211–232
- A. I. Nazarov, “A centennial of the Zaremba–Hopf–Oleinik lemma”, SIAM J. Math. Anal., 44:1 (2012), 437–453
- О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Оценки на границе области первых производных функций, удовлетворяющих эллиптическому или параболическому неравенству”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, Наука, М., 1988, 102–125
- M. V. Safonov, Boundary estimates for positive solutions to second order elliptic equations, 2008, 20 pp.
- M. V. Safonov, “On the boundary estimates for second-order elliptic equations”, Complex Var. Elliptic Equ., 63:7-8 (2018), 1123–1141
- Е. М. Ландис, “Неравенство Харнака для эллиптических уравнений второго порядка кордесовского типа”, Докл. АН СССР, 179:6 (1968), 1272–1275
- Н. В. Крылов, М. В. Сафонов, “Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:1 (1980), 161–175
- М. В. Сафонов, “Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их решений”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 12, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 96, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1980, 272–287
- О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности”, УМН, 41:5(251) (1986), 59–83
- E. Ferretti, M. V. Safonov, “Growth theorems and Harnack inequality for second order parabolic equations”, Harmonic analysis and boundary value problems (Fayetteville, AR, 2000), Contemp. Math., 277, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, 87–112
- M. V. Safonov, “Narrow domains and the {H}arnack inequality for elliptic equations”, Алгебра и анализ, 27:3 (2015), 220–237
- Gong Chen, M. Safonov, “On second order elliptic and parabolic equations of mixed type”, J. Funct. Anal., 272:8 (2017), 3216–3237
- M. V. Safonov, “Growth theorems for metric spaces with applications to PDE”, Алгебра и анализ, 32:4 (2020), 271–284
- Doyoon Kim, Seungjin Ryu, “The weak maximum principle for second-order elliptic and parabolic conormal derivative problems”, Commun. Pure Appl. Anal., 19:1 (2020), 493–510
- L. Escauriaza, “Bounds for the fundamental solution of elliptic and parabolic equations in nondivergence form”, Comm. Partial Differential Equations, 25:5-6 (2000), 821–845
- V. Maz'ya, R. McOwen, “Asymptotics for solutions of elliptic equations in double divergence form”, Comm. Partial Differential Equations, 32:2 (2007), 191–207
- J. Moser, “On Harnack's theorem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 14:3 (1961), 577–591
- E. DiBenedetto, N. S. Trudinger, “Harnack inequalities for quasi-minima of variational integrals”, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 1:4 (1984), 295–308
- E. De Giorgi, “Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 3 (1957), 25–43
- G. Stampacchia, “Le problème de {D}irichlet pour les equations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 15:1 (1965), 189–257
- J. Serrin, “Local behavior of solutions of quasi-linear equations”, Acta Math., 111 (1964), 247–302
- J. Moser, “A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 13:3 (1960), 457–468
- О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с.
- А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Неравенство Гарнака и связанные с ним свойства решений эллиптических и параболических уравнений с бездивергентными младшими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 136–168
- N. Filonov, “On the regularity of solutions to the equation $-Delta u+bcdotnabla u=0$”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 43, Зап. науч. сем. ПОМИ, 410, ПОМИ, СПб., 2013, 168–186
- D. E. Apushkinskaya, A. I. Nazarov, D. K. Palagachev, L. G. Softova, “Venttsel boundary value problems with discontinuous data”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 221–252
- О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1996, 480 с.
- N. S. Trudinger, “On the regularity of generalized solutions of linear, non-uniformly elliptic equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 42 (1971), 50–62
- N. S. Trudinger, “Linear elliptic operators with measurable coefficients”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 27 (1973), 265–308
- P. Bella, M. Schäffner, “Local boundedness and Harnack inequality for solutions of linear nonuniformly elliptic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 74:3 (2021), 453–477
- B. Franchi, R. Serapioni, F. Serra Cassano, “Irregular solutions of linear degenerate elliptic equations”, Potential Anal., 9:3 (1998), 201–216
- E. B. Fabes, C. E. Kenig, R. P. Serapioni, “The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 7:1 (1982), 77–116
- V. De Cicco, M. A. Vivaldi, “Harnack inequalities for Fuchsian type weighted elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 21:9-10 (1996), 1321–1347
- S. Chanillo, R. L. Wheeden, “Harnack's inequality and mean-value inequalities for solutions of degenerate elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 11:10 (1986), 1111–1134
- F. Chiarenza, A. Rustichini, R. Serapioni, “De Giorgi–Moser theorem for a class of degenerate non-uniformly elliptic equations”, Comm. Partial Differential Equations, 14:5 (1989), 635–662
- M. Schechter, “On the invariance of the essential spectrum of an arbitrary operator. III”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 64:4 (1968), 975–984
- M. Schechter, Spectra of partial differential operators, North-Holland Ser. Appl. Math. Mech., 14, 2nd ed., North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1986, xiv+310 pp.
- F. Stummel, “Singuläre elliptische Differentialoperatoren in Hilbertschen Räumen”, Math. Ann., 132 (1956), 150–176
- T. Kato, “Schr{ö}dinger operators with singular potentials”, Israel J. Math., 13 (1972), 135–148
- Quan Zheng, Xiaohua Yao, “Higher-order Kato class potentials for Schrödinger operators”, Bull. Lond. Math. Soc., 41:2 (2009), 293–301
- M. Aizenman, B. Simon, “Brownian motion and Harnack inequality for Schrödinger operators”, Comm. Pure Appl. Math., 35:2 (1982), 209–273
- F. Chiarenza, E. Fabes, N. Garofalo, “Harnack's inequality for Schrödinger operators and the continuity of solutions”, Proc. Amer. Math. Soc., 98:3 (1986), 415–425
- M. Cranston, E. Fabes, Z. Zhao, “Conditional gauge and potential theory for the Schrödinger operator”, Trans. Amer. Math. Soc., 307:1 (1988), 171–194
- K. Kurata, “Continuity and {H}arnack's inequality for solutions of elliptic partial differential equations of second order”, Indiana Univ. Math. J., 43:2 (1994), 411–440
- M. Cranston, Z. Zhao, “Conditional transformation of drift formula and potential theory for $frac12Delta+b( cdot )cdot nabla$”, Comm. Math. Phys., 112:4 (1987), 613–625
- P. Zamboni, “Hölder continuity for solutions of linear degenerate elliptic equations under minimal assumptions”, J. Differential Equations, 182:1 (2002), 121–140
- Qi Zhang, “A Harnack inequality for the equation $nabla(anabla u)+bnabla u=0$, when $|b|in K_{n+1}$”, Manuscripta Math., 89:1 (1996), 61–77
- M. Grüter, K.-O. Widman, “The Green function for uniformly elliptic equations”, Manuscripta Math., 37:3 (1982), 303–342
- V. Kozlov, A. Nazarov, “A comparison theorem for nonsmooth nonlinear operators”, Potential Anal., 54:3 (2021), 471–481
- Qi S. Zhang, “A strong regularity result for parabolic equations”, Comm. Math. Phys., 244:2 (2004), 245–260
- G. Koch, N. Nadirashvili, G. A. Seregin, V. Šverak, “Liouville theorems for the Navier–Stokes equations and applications”, Acta Math., 203:1 (2009), 83–105
- G. Seregin, L. Silvestre, V. Šverak, A. Zlatoš, “On divergence-free drifts”, J. Differential Equations, 252:1 (2012), 505–540
- N. Filonov, T. Shilkin, “On some properties of weak solutions to elliptic equations with divergence-free drifts”, Mathematical analysis in fluid mechanics: selected recent results, Contemp. Math., 710, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, 105–120
- Н. Д. Филонов, П. А. Ходунов, “О локальной ограниченности решений уравнения $-Delta u+apartial_z u=0$”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 49, К юбилею Григория Александровича Серегина, Зап. науч. сем. ПОМИ, 508, ПОМИ, СПб., 2021, 173–184
- R. Finn, D. Gilbarg, “Asymptotic behavior and uniqueness of plane subsonic flows”, Comm. Pure Appl. Math., 10 (1957), 23–63
- V. Kozlov, N. Kuznetsov, “A comparison theorem for super- and subsolutions of $nabla^2 u+f(u)=0$ and its application to water waves with vorticity”, Алгебра и анализ, 30:3 (2018), 112–128
- V. Kozlov, V. Maz'ya, “Asymptotic formula for solutions to the Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients near the boundary”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 2:3 (2003), 551–600
- У. Литтман, Г. Стампаккья, Г. Ф. Вайнбергер, “Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами”, Математика, 9:2 (1965), 72–97
- Yu. Alkhutov, M. Surnachev, “Global Green's function estimates for the convection-diffusion equation”, Complex Var. Elliptic Equ., 2020, 1–30, Publ. online
- А. Д. Александров, “Теоремы единственности для поверхностей ‘в целом’. I”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 11:19(4) (1956), 5–17
- Yan Yan Li, L. Nirenberg, “A geometric problem and the Hopf lemma. I”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 8:2 (2006), 317–339
- P. L. Lions, “Two geometrical properties of solutions of semilinear problems”, Appl. Anal., 12:4 (1981), 267–272
- B. Gidas, Wei Ming Ni, L. Nirenberg, “Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in $mathbb{R}^n$”, Mathematical analysis and applications, Part A, Adv. Math. Suppl. Stud., 7, Academic Press, New York–London, 1981, 369–402
- H. Berestycki, L. Nirenberg, “On the method of moving planes and the sliding method”, Bol. Soc. Brasil. Mat. (N. S.), 22:1 (1991), 1–37
- L. Damascelli, F. Pacella, M. Ramaswamy, “A strong maximum principle for a class of non-positone singular elliptic problems”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 10:2 (2003), 187–196
- F. Esposito, B. Sciunzi, “On the Höpf boundary lemma for quasilinear problems involving singular nonlinearities and applications”, J. Funct. Anal., 278:4 (2020), 108346, 25 pp.
- Yanyan Li, Meijun Zhu, “Uniqueness theorems through the method of moving spheres”, Duke Math. J., 80:2 (1995), 383–417
- A. Aeppli, “On the uniqueness of compact solutions for certain elliptic differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 11 (1960), 826–832
- J. Serrin, “On surfaces of constant mean curvature which span a given space curve”, Math. Z., 112 (1969), 77–88
- V. I. Oliker, “Hypersurfaces in $mathbb{R}^{n+1}$ with prescribed Gaussian curvature and related equations of Monge–Ampère type”, Comm. Partial Differential Equations, 9:8 (1984), 807–838
- R. Musina, “Planar loops with prescribed curvature: existence, multiplicity and uniqueness results”, Proc. Amer. Math. Soc., 139:12 (2011), 4445–4459
- X. Cabre, “Equacions en derivades parcials, geometria i control estocàstic”, Butl. Soc. Catalana Mat., 15:1 (2000), 7–27
- X. Cabre, “Elliptic PDE's in probability and geometry: symmetry and regularity of solutions”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 20:3 (2008), 425–457
- X. Cabre, X. Ros-Oton, J. Serra, “Sharp isoperimetric inequalities via the ABP method”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 18:12 (2016), 2971–2998
- X. Cabre, “Topics in regularity and qualitative properties of solutions of nonlinear elliptic equations”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 8:2 (2002), 331–359
- E. Phragmen, E. Lindelöf, “Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques proprietes de fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier”, Acta Math., 31:1 (1908), 381–406
- Е. М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений”, УМН, 14:1(85) (1959), 21–85
- Е. М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных)”, УМН, 18:1(109) (1963), 3–62
- Е. М. Ландис, “О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений”, в ст.: “Заседания Московского математического общества”, УМН, 11:2(68) (1956), 235–237
- В. Г. Мазья, “О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме”, Матем. заметки, 2:2 (1967), 209–220
- Г. Н. Блохина, “Теоремы типа Фрагмена–Линделeфа для линейного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 82(124):4(8) (1970), 507–531
- В. Г. Мазья, “О непрерывности в граничной точке решения квазилинейных эллиптических уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон., 25:13(3) (1970), 42–55
- А. И. Ибрагимов, Е. М. Ландис, “О поведении решений задачи Неймана в неограниченных областях”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 19, Изд-во Моск. ун-та, М., 1996, 218–234
- A. I. Ibragimov, E. M. Landis, “Zaremba's problem for elliptic equations in the neighbourhood of a singular point or at infinity”, Appl. Anal., 67:3-4 (1997), 269–282
- Dat Cao, A. Ibraguimov, A. I. Nazarov, “Mixed boundary value problems for non-divergence type elliptic equations in unbounded domains”, Asymptot. Anal., 109:1-2 (2018), 75–90
- B. Sirakov, P. Souplet, “The Vazquez maximum principle and the Landis conjecture for elliptic PDE with unbounded coefficients”, Adv. Math., 387 (2021), 107838, 27 pp.
- A. Logunov, E. Malinnikova, N. Nadirashvili, F. Nazarov, The Landis conjecture on exponential decay, 2020, 40 pp.
- Н. В. Крылов, “Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области”, Изв. АН СССР, 47:1 (1983), 75–108
- Х. Ким, М. Сафонов, “Граничный принцип Харнака для эллиптических уравнений второго порядка с неограниченным сносом”, Проблемы матем. анализа, 61, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 109–122
- R. F. Bass, K. Burdzy, “A boundary Harnack principle in twisted Hölder domains”, Ann. of Math. (2), 134:2 (1991), 253–276
- Х. Ким, М. Сафонов, “Оценка типа Карлесона для эллиптических уравнений второго порядка с неограниченным сносом”, Проблемы матем. анализа, 58, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 195–207
- B. E. J. Dahlberg, “Estimates of harmonic measure”, Arch. Ration. Mech. Anal., 65:3 (1977), 275–288
- D. S. Jerison, C. E. Kenig, “Boundary behavior of harmonic functions in non-tangentially accessible domains”, Adv. Math., 46:1 (1982), 80–147
- H. Aikawa, “Boundary {H}arnack principle and {M}artin boundary for a uniform domain”, J. Math. Soc. Japan, 53:1 (2001), 119–145
- A. Ancona, “Principe de Harnack à la frontière et theorème de Fatou pour un operateur elliptique dans un domaine lipschitzien”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 28:4 (1978), 169–213
- L. Caffarelli, E. Fabes, S. Mortola, S. Salsa, “Boundary behavior of nonnegative solutions of elliptic operators in divergence form”, Indiana Univ. Math. J., 30:4 (1981), 621–640
- R. Bañuelos, R. F. Bass, K. Burdzy, “Hölder domains and the boundary Harnack principle”, Duke Math. J., 64:1 (1991), 195–200
- E. Fabes, N. Garofalo, S. Marin-Malave, S. Salsa, “Fatou theorems for some nonlinear elliptic equations”, Rev. Mat. Iberoamericana, 4:2 (1988), 227–251
- P. Bauman, “Positive solutions of elliptic equations in nondivergence form and their adjoints”, Ark. Mat., 22:2 (1984), 153–173
- H. Aikawa, “Equivalence between the boundary Harnack principle and the Carleson estimate”, Math. Scand., 103:1 (2008), 61–76
- R. F. Bass, K. Burdzy, “The boundary {H}arnack principle for non-divergence form elliptic operators”, J. London Math. Soc. (2), 50:1 (1994), 157–169
- H. Kim, M. Safonov, “The boundary Harnack principle for second order elliptic equations in John and uniform domains”, Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Workshop dedicated to the 90th anniversary of the O. A. Ladyzhenskaya birthday (Stockholm, 2012), v. XV, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 232, Advances in mathematical analysis of partial differential equations, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 153–176
- D. De Silva, O. Savin, “A short proof of boundary Harnack principle”, J. Differential Equations, 269:3 (2020), 2419–2429
- D. De Silva, O. Savin, “On the boundary Harnack principle in Hölder domains”, Math. Eng., 4:1 (2022), 004, 12 pp.
- M. Allen, H. Shahgholian, “A new boundary Harnack principle (equations with right hand side)”, Arch. Ration. Mech. Anal., 234:3 (2019), 1413–1444
- G. Sweers, “Hopf's lemma and two dimensional domains with corners”, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 28, suppl. (1996), 383–419
- B. Sirakov, Global integrability and boundary estimates for uniformly elliptic PDE in divergence form, 2020 (v1 – 2019), 26 pp.
- M. T. Barlow, M. Murugan, “Boundary Harnack principle and elliptic Harnack inequality”, J. Math. Soc. Japan, 71:2 (2019), 383–412
- A. Ancona, “Une propriete d'invariance des ensembles absorbants par perturbation d'un operateur elliptique”, Comm. Partial Differential Equations, 4:4 (1979), 321–337
- H. Brezis, A. C. Ponce, “Remarks on the strong maximum principle”, Differential Integral Equations, 16:1 (2003), 1–12
- M. Bertsch, F. Smarrazzo, A. Tesei, “A note on the strong maximum principle”, J. Differential Equations, 259:8 (2015), 4356–4375
- A. C. Ponce, N. Wilmet, “The Hopf lemma for the Schrödinger operator”, Adv. Nonlinear Stud., 20:2 (2020), 459–475
- H. Berestycki, L. Nirenberg, S. R. S. Varadhan, “The principal eigenvalue and maximum principle for second-order elliptic operators in general domains”, Comm. Pure Appl. Math., 47:1 (1994), 47–92
- J. Barta, “Sur la vibration fondamentale d'une membrane”, C. R. Acad. Sci. Paris, 204 (1937), 472–473
- E. Battaglia, S. Biagi, A. Bonfiglioli, “The strong maximum principle and the Harnack inequality for a class of hypoelliptic non-Hörmander operators”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 66:2 (2016), 589–631
- V. Martino, G. Tralli, “On the Hopf–Oleinik lemma for degenerate-elliptic equations at characteristic points”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 55:5 (2016), 115, 20 pp.
- С. Н. Ощепкова, О. М. Пенкин, Д. В. Савастеев, “Сильный принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве”, Матем. заметки, 92:2 (2012), 276–290
- С. Н. Ощепкова, О. М. Пенкин, Д. В. Савастеев, “Лемма о нормальной производной для лапласиана на полиэдральном множестве”, Матем. заметки, 96:1 (2014), 116–125
- N. S. Trudinger, “On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 20:4 (1967), 721–747
- N. S. Trudinger, “Harnack inequalities for nonuniformly elliptic divergence structure equations”, Invent. Math., 64:3 (1981), 517–531
- M. A. Dow, R. Vyborny, “Maximum principles for some quasilinear second order partial differential equations”, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 47 (1972), 331–351
- P. Tolksdorf, “On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points”, Comm. Partial Differential Equations, 8:7 (1983), 773–817
- D. Castorina, G. Riey, B. Sciunzi, “Hopf Lemma and regularity results for quasilinear anisotropic elliptic equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:3 (2019), 95, 18 pp.
- A. Cellina, “On the strong maximum principle”, Proc. Amer. Math. Soc., 130:2 (2002), 413–418
- S. Bertone, A. Cellina, E. M. Marchini, “On Hopf's lemma and the strong maximum principle”, Comm. Partial Differential Equations, 31:4-6 (2006), 701–733
- J. L. Vazquez, “A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations”, Appl. Math. Optim., 12:3 (1984), 191–202
- P. Pucci, J. Serrin, “A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities”, J. Math. Pures Appl. (9), 79:1 (2000), 57–71
- P. L. Felmer, A. Quaas, “On the strong maximum principle for quasilinear elliptic equations and systems”, Adv. Differential Equations, 7:1 (2002), 25–46
- V. Julin, “Generalized {H}arnack inequality for semilinear elliptic equations”, J. Math. Pures Appl. (9), 106:5 (2016), 877–904
- M.-F. Bidaut-Veron, R. Borghol, L. Veron, “Boundary Harnack inequality and a priori estimates of singular solutions of quasilinear elliptic equations”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 27:2 (2006), 159–177
- K. Nyström, “$p$-harmonic functions in the {H}eisenberg group: boundary behaviour in domains well-approximated by non-characteristic hyperplanes”, Math. Ann., 357:1 (2013), 307–353
- B. Sirakov, “Boundary Harnack estimates and quantitative strong maximum principles for uniformly elliptic PDE”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2018:24 (2018), 7457–7482
- Ю. А. Алхутов, “Неравенство Харнака и гeльдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста”, Дифференц. уравнения, 33:12 (1997), 1651–1660
- Ю. А. Алхутов, М. Д. Сурначeв, “О неравенстве Харнака для $p(x)$-лапласиана с двухфазным показателем $p(x)$”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 32, Изд-во Моск. ун-та, М., 2019, 8–56
- I. I. Skrypnik, M. V. Voitovych, “$mathcal{B}_1$ classes of De Giorgi–Ladyzhenskaya–Ural'tseva and their applications to elliptic and parabolic equations with generalized Orlicz growth conditions”, Nonlinear Anal., 202 (2021), 112135, 30 pp.
- T. Adamowicz, N. L. P. Lundström, “The boundary Harnack inequality for variable exponent $p$-Laplacian, Carleson estimates, barrier functions and $p( cdot )$-harmonic measures”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 195:2 (2016), 623–658
- M. Riesz, “Integrales de Riemann–Liouville et potentiels”, Acta Litt. Sci. Szeged, 9 (1938), 1–42
- R. Musina, A. I. Nazarov, “On fractional Laplacians”, Comm. Partial Differential Equations, 39:9 (2014), 1780–1790
- R. Musina, A. I. Nazarov, “On fractional Laplacians – 2”, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 33:6 (2016), 1667–1673
- L. Silvestre, “Regularity of the obstacle problem for a fractional power of the Laplace operator”, Comm. Pure Appl. Math., 60:1 (2007), 67–112
- A. Capella, J. Davila, L. Dupaigne, Y. Sire, “Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations”, Comm. Partial Differential Equations, 36:8 (2011), 1353–1384
- A. Iannizzotto, S. Mosconi, M. Squassina, “$H^s$ versus $C^0$-weighted minimizers”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 22:3 (2015), 477–497
- R. Musina, A. I. Nazarov, “Strong maximum principles for fractional Laplacians”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 149:5 (2019), 1223–1240
- N. Abatangelo, S. Jarohs, A. Saldaña, “On the loss of maximum principles for higher-order fractional Laplacians”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:11 (2018), 4823–4835
- K. Bogdan, “The boundary Harnack principle for the fractional Laplacian”, Studia Math., 123:1 (1997), 43–80
- X. Ros-Oton, J. Serra, “The boundary Harnack principle for nonlocal elliptic operators in non-divergence form”, Potential Anal., 51:3 (2019), 315–331
- X. Ros-Oton, J. Serra, “The Dirichlet problem for the fractional Laplacian: regularity up to the boundary”, J. Math. Pures Appl. (9), 101:3 (2014), 275–302
- X. Ros-Oton, “Boundary regularity, {P}ohozaev identities and nonexistence results”, Recent developments in nonlocal theory, De Gruyter, Berlin, 2018, 335–358
- L. M. Del Pezzo, A. Quaas, “A Hopf's lemma and a strong minimum principle for the fractional $p$-Laplacian”, J. Differential Equations, 263:1 (2017), 765–778
- Panki Kim, Renming Song, Z. Vondraček, “Potential theory of subordinate killed Brownian motion”, Trans. Amer. Math. Soc., 371:6 (2019), 3917–3969
- N. Abatangelo, M. M. Fall, R. Y. Temgoua, A Hopf lemma for the regional fractional Laplacian, 2021, 16 pp.
- N. Guillen, R. W. Schwab, “Aleksandrov–Bakelman–Pucci type estimates for integro-differential equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 206:1 (2012), 111–157
- M. M. Fall, S. Jarohs, “Overdetermined problems with fractional Laplacian”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 924–938
Arquivos suplementares
