Dynamical phenomena connected with stability loss of equilibria and periodic trajectories

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This is a study of a dynamical system depending on a parameter $\kappa$. Under the assumption that the system has a family of equilibrium positions or periodic trajectories smoothly depending on $\kappa$, the focus is on details of stability loss through various bifurcations (Poincare–Andronov–Hopf, period-doubling, and so on). Two basic formulations of the problem are considered. In the first, $\kappa$ is constant and the subject of the analysis is the phenomenon of a soft or hard loss of stability. In the second, $\kappa$ varies slowly with time (the case of a dynamic bifurcation). In the simplest situation $\kappa=\varepsilon t$, where $\varepsilon$ is a small parameter. More generally, $\kappa(t)$ may be a solution of a slow differential equation. In the case of a dynamic bifurcation the analysis is mainly focused around the phenomenon of stability loss delay.Bibliography: 88 titles.

About the authors

Anatolii Iserovich Neishtadt

Loughborough University; Space Research Institute, Russian Academy of Sciences

Email: a.neishtadt@lboro.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Dmitry Valerevich Treschev

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: treschev@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. А. А. Андронов, “Математические проблемы теории автоколебаний”, I Всесоюзная конференция по колебаниям, ГТТИ, М.–Л., 1933, 32–72
  2. А. А. Андронов, С. Э. Хайкин, Теория колебаний, ОНТИ, М., 1937
  3. В. И. Арнольд, “Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона”, УМН, 18:5(113) (1963), 13–40
  4. В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, М., 1978, 304 с.
  5. В. И. Арнольд, Теория катастроф, 3-е изд., Наука, М., 1990, 128 с.
  6. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, “Математические аспекты классической и небесной механики”, Динамические системы – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5–290
  7. D. Avitabile, M. Desroches, R. Veltz, M. Wechselberger, “Local theory for spatio-temporal canards and delayed bifurcations”, SIAM J. Math. Anal., 52:6 (2020), 5703–5747
  8. S. M. Baer, T. Erneux, J. Rinzel, “The slow passage through a Hopf bifurcation: delay, memory effects, and resonance”, SIAM J. Appl. Math., 49:1 (1989), 55–71
  9. C. Baesens, “Slow sweep through a period-doubling cascade: delayed bifurcations and renormalisation”, Phys. D, 53:2-4 (1991), 319–375
  10. I. Baldoma, E. Fontich, M. Guardia, T. M. Seara, “Exponentially small splitting of separatrices beyond Melnikov analysis: rigorous results”, J. Differential Equations, 253:12 (2012), 3304–3439
  11. Г. Бэйтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966, 295 с.
  12. E. Benoît (ed.), Dynamic bifurcations (Luminy, 1990), Lecture Notes in Math., 1493, Springer-Verlag, Berlin, 1991, vi+219 pp.
  13. E. Benoit, J. L. Callot, F. Diener, M. Diener, “Chasse au canard. I–IV”, Collect. Math., 32:1, 2 (1981), 37–119
  14. N. Berglund, “Control of dynamic Hopf bifurcations”, Nonlinearity, 13:1 (2000), 225–248
  15. A. Bounemoura, B. Fayad, L. Niederman, “Super-exponential stability for generic real-analytic elliptic equilibrium points”, Adv. Math., 366 (2020), 107088, 30 pp.
  16. А. Д. Брюно, “Нормализация системы Гамильтона вблизи инвариантного цикла или тора”, УМН, 44:2(266) (1989), 49–78
  17. J.-L. Callot, “Champs lents-rapides complexes à une dimension lente”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 26:2 (1993), 149–173
  18. L. Chierchia, C. E. Koudjinan, “V. I. Arnold's ‘Global’ KAM theorem and geometric measure estimates”, Regul. Chaotic Dyn., 26:1 (2021), 61–88
  19. O. Costin, Asymptotics and Borel summability, Chapman & Hall/CRC Monogr. Surv. Pure Appl. Math., 141, CRC Press, Boca Raton, FL, 2009, xiv+250 pp.
  20. P. De Maesschalck, F. Dumortier, R. Roussarie, Canard cycles. From birth to transition, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), Springer, Cham, 2021, xxi+408 pp.
  21. M. Desroches, B. Krauskopf, H. M. Osinga, “The geometry of mixed-mode oscillations in the Olsen model for the peroxidase-oxidase reaction”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 2:4 (2009), 807–827
  22. F. Diener, M. Diener, “Maximal delay”, Dynamic bifurcations (Luminy, 1990), Lecture Notes in Math., 1493, Springer-Verlag, Berlin, 1991, 71–86
  23. R. B. Dingle, Asymptotic expansions: their derivation and interpretation, Academic Press, London–New York, 1973, xv+521 pp.
  24. J. Drover, J. Rubin, Jianzhong Su, B. Ermentrout, “Analysis of a canard mechanism by which excitatory synaptic coupling can synchronize neurons at low firing frequencies”, SIAM J. Appl. Math., 65:1 (2004), 69–92
  25. H. Engler, H. G. Kaper, T. J. Kaper, T. Vo, “Dynamical systems analysis of the Maasch–Saltzman model for glacial cycles”, Phys. D, 359 (2017), 1–20
  26. T. Erneux, P. Mandel, “Stationary, harmonic, and pulsed operations of an optically bistable laser with saturable absorber. II”, Phys. Rev. A (3), 30:4 (1984), 1902–1909
  27. B. Fayad, Lyapunov unstable elliptic equilibria, 2020 (v1 – 2018), 22 pp.
  28. B. Fayad, J.-P. Marco, D. Sauzin, “Attracted by an elliptic fixed point”, Quelques aspects de la theorie des systèmes dynamiques: un hommage à Jean-Christophe Yoccoz, v. II, Asterisque, 416, Soc. Math. France, Paris, 2020, 321–340
  29. N. Fenichel, “Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations”, J. Differential Equations, 31:1 (1979), 53–98
  30. A. Fruchard, “Existence of bifurcation delay: the discrete case”, Dynamic bifurcations (Luminy, 1990), Lecture Notes in Math., 1493, Springer, Berlin, 1991, 87–106
  31. A. Fruchard, “Canards et râteaux”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 42:4 (1992), 825–855
  32. A. Fruchard, R. Schäfke, “Bifurcation delay and difference equations”, Nonlinearity, 16:6 (2003), 2199–2220
  33. В. Г. Гельфрейх, В. Ф. Лазуткин, “Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость”, УМН, 56:3(339) (2001), 79–142
  34. R. Goh, T. J. Kaper, T. Vo, Delayed Hopf bifurcation and space-time buffer curves in the complex Ginzburg–Landau equation, 2020, 49 pp.
  35. В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории линейных дифференциальных уравнений, ГИТТЛ, М.–Л., 1950, 436 с.
  36. E. Jakobsson, R. Guttman, “Continuous stimulation and threshold of axons: the other legacy of Kenneth cole”, The biophysical approach to excitable systems, Plenum Press, New York–London, 1981, 197–211
  37. T. J. Kaper, T. Vo, “Delayed loss of stability due to the slow passage through Hopf bifurcations in reaction-diffusion equations”, Chaos, 28:9 (2018), 091103, 9 pp.
  38. С. Каримов, “Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости ‘быстрых движений’”, Дифференц. уравнения, 21:10 (1985), 1698–1701
  39. E. Knobloch, R. Krechetnikov, “Stability on time-dependent domains”, J. Nonlinear Sci., 24:3 (2014), 493–523
  40. А. В. Ковалев, А. Н. Чудненко, “Об устойчивости положения равновесия двумерной гамильтоновой системы в случае равных частот”, Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, № 11, 1011–1014
  41. В. В. Козлов, С. Д. Фурта, Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений, Изд-во Моск. ун-та, М., 1996, 244 с.
  42. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами, Изд-во Моск. ун-та, М., 1991, 168 с.
  43. M. Krupa, A. Vidal, M. Desroches, F. Clement, “Mixed-mode oscillations in a multiple time scale phantom bursting system”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 11:4 (2012), 1458–1498
  44. C. Kuehn, P. Szmolyan, “Multiscale geometry of the Olsen model and non-classical relaxation oscillations”, J. Nonlinear Sci., 25:3 (2015), 583–629
  45. L. M. Lerman, A. P. Markova, “On stability at the Hamiltonian Hopf bifurcation”, Regul. Chaotic Dyn., 14:1 (2009), 148–162
  46. M. Y. Li, Weishi Liu, Chunhua Shan, Yingfei Yi, “Turning points and relaxation oscillation cycles in simple epidemic models”, SIAM J. Appl. Math., 76:2 (2016), 663–687
  47. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, Харьк. матем. о-во, Харьков, 1892, 250 с.
  48. А. П. Маркеев, Точки либраций в небесной механике и космодинамике, Наука, М., 1978, 312 с.
  49. А. П. Маркеев, А. Г. Сокольский, “Численное исследование усточивости лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел”, ПММ, 38:1 (1974), 49–55
  50. Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов, Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, Наука, М., 1975, 247 с.
  51. C. Mitschi, D. Sauzin, Divergent series, summability and resurgence. I. Monodromy and resurgence, Lecture Notes in Math., 2153, Springer, Cham, 2016, xxi+298 pp.
  52. А. И. Нейштадт, “О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой”, ПММ, 48:2 (1984), 197–204
  53. А. И. Нейштадт, “Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось”, В ст.: “Заседания семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики”, УМН, 40:5(245) (1985), 300–301
  54. А. И. Нейштадт, “О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. I”, Дифференц. уравнения, 23:12 (1987), 2060–2067
  55. А. И. Нейштадт, “О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. II”, Дифференц. уравнения, 24:2 (1988), 226–233
  56. A. I. Neishtadt, “On calculation of stability loss delay time for dynamical bifurcations”, XI International congress of mathematical physics (Paris, 1994), Int. Press, Cambridge, MA, 1995, 280–287
  57. А. И. Нейштадт, В. В. Сидоренко, “Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера”, ПММ, 61:1 (1997), 18–29
  58. A. I. Neishtadt, C. Simo, D. V. Treschev, “On stability loss delay for a periodic trajectory”, Nonlinear dynamical systems and chaos (Groningen, 1995), Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 19, Birkhäuser, Basel, 1996, 253–278
  59. Н. Н. Нехорошев, “Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. II”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 5 (1979), 5–50
  60. P. E. O'Keeffe, S. Wieczorek, “Tipping phenomena and points of no return in ecosystems: beyond classical bifurcations”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 19:4 (2020), 2371–2402
  61. В. П. Паламодов, “Об устойчивости равновесия в потенциальном поле”, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977), 42–55
  62. I. Parasyuk, B. Repeta, “Dynamical bifurcation in a system of coupled oscillators with slowly varying parameters”, Electron. J. Differential Equations, 2016 (2016), 233, 32 pp.
  63. H. Poincare, Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles, Ph.D. thesis, Universite de Paris, Faculte des sciences. Theses, 432, Gauthier-Villars, Paris, 1879, 93 pp.
  64. Л. С. Понтрягин, Л. В. Родыгин, “Периодическое решение одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных”, Докл. АН СССР, 132:3 (1960), 537–540
  65. A. V. Pronin, D. V. Treschev, “Continuous averaging in multi-frequency slow-fast systems”, Regul. Chaotic Dyn., 5:2 (2000), 157–170
  66. D. Rachinskii, K. Schneider, “Delayed loss of stability in systems with degenerate linear parts”, Z. Anal. Anwendungen, 22:2 (2003), 433–453
  67. D. Rachinskii, K. Schneider, “Dynamic Hopf bifurcations generated by nonlinear terms”, J. Differential Equations, 210:1 (2005), 65–86
  68. J.-P. Ramis, R. Schäfke, “Gevrey separation of fast and slow variables”, Nonlinearity, 9:2 (1996), 353–384
  69. A. M. Samoilenko, I. O. Parasyuk, B. V. Repeta, “Dynamical bifurcation of multifrequency oscillations in a fast-slow system”, Ukrainian Math. J., 67:7 (2015), 1008–1037
  70. K. R. Schneider, E. Shchetinina, V. A. Sobolev, “Control of integral manifolds loosing their attractivity in time”, J. Math. Anal. Appl., 315:2 (2006), 740–757
  71. М. А. Шишкова, “Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных”, Докл. АН СССР, 209:3 (1973), 576–579
  72. Y. Sibuya, “Sur reduction analytique d'un système d'equations differentielles ordinaires lineaires contenant un paramètre”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I, 7 (1958), 527–540
  73. А. Г. Сокольский, “Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот”, ПММ, 38:5 (1974), 791–799
  74. А. Г. Сокольский, “Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка”, ПММ, 41:1 (1977), 24–33
  75. Jianzhong Su, “On delayed oscillation in nonspatially uniform Fitzhugh Nagumo equation”, J. Differential Equations, 110:1 (1994), 38–52
  76. Jianzhong Su, “Persistent unstable periodic motions. I”, J. Math. Anal. Appl., 198:3 (1996), 796–825
  77. Jianzhong Su, “Effects of periodic forcing on delayed bifurcations”, J. Dynam. Differential Equations, 9:4 (1997), 561–625
  78. Jianzhong Su, J. Rubin, D. Terman, “Effects of noise on elliptic bursters”, Nonlinearity, 17:1 (2004), 133–157
  79. Д. В. Трещев, “Потеря устойчивости в гамильтоновых системах, зависящих от параметров”, ПММ, 56:4 (1992), 587–596
  80. D. V. Treschev, “Splitting of separatrices for a pendulum with rapidly oscillating suspension point”, Russian J. Math. Phys., 5:1 (1997), 63–98
  81. D. Treschev, O. Zubelevich, Introduction to the perturbation theory of Hamiltonian systems, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2010, x+211 pp.
  82. Д. В. Трещев, “Диффеоморфизмы, сохраняющие объем, как отображения Пуанкаре для сохраняющих объем потоков”, УМН, 75:1(451) (2020), 195–196
  83. A. Mielke, L. Truskinovsky, “From discrete visco-elasticity to continuum rate-independent plasticity: rigorous results”, Arch. Ration. Mech. Anal., 203:2 (2012), 577–619
  84. T. T. Tsotsis, R. C. Sane, T. H. Lindstrom, “Bifurcation behavior of a catalytic reaction due to a slowly varying parameter”, AIChE J., 34:3 (1988), 383–388
  85. J. C. Tzou, M. J. Ward, T. Kolokolnikov, “Slowly varying control parameters, delayed bifurcations, and the stability of spikes in reaction-diffusion systems”, Phys. D, 290 (2015), 24–43
  86. А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973, 272 с.
  87. T. Vo, “Generic torus canards”, Phys. D, 356/357 (2017), 37–64
  88. T. Vo, R. Bertram, M. Wechselberger, “Multiple geometric viewpoints of mixed mode dynamics associated with pseudo-plateau bursting”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 12:2 (2013), 789–830

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Neishtadt A.I., Treschev D.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».