One-dimensional dynamical systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The survey is devoted to the topological dynamics of maps defined on one-dimensional continua such as a closed interval, a circle, finite graphs (for instance, finite trees), or dendrites (locally connected continua without subsets homeomorphic to a circle). Connections between the periodic behaviour of trajectories, the existence of a horseshoe and homoclinic trajectories, and the positivity of topological entropy are investigated. Necessary and sufficient conditions for entropy chaos in continuous maps of an interval, a circle, or a finite graph, and sufficient conditions for entropy chaos in continuous maps of dendrites are presented. Reasons for similarities and differences between the properties of maps defined on the continua under consideration are analyzed. Extensions of Sharkovsky's theorem to certain discontinuous maps of a line or an interval and continuous maps on a plane are considered.Bibliography: 207 titles.

About the authors

Lyudmila Sergeevna Efremova

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod; Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Email: lefunn@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Elena Nikolaevna Makhrova

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

Email: elena_makhrova@inbox.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. El H. El Abdalaoui, G. Askri, H. Marzougui, “Möbius disjointness conjecture for local dendrite maps”, Nonlinearity, 32:1 (2019), 285–300
  2. G. Acosta, R. Hernandez-Gutierrez, I. Naghmouchi, P. Oprocha, “Periodic points and transitivity on dendrites”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 37:7 (2017), 2017–2033
  3. R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew, “Topological entropy”, Trans. Amer. Math. Soc., 114:2 (1965), 309–319
  4. В. С. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников, “О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца”, Тр. ММО, 44, Изд-во Моск. ун-та, М., 1982, 150–212
  5. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Localized asymptotic solutions of the wave equation with variable velocity on the simplest graphs”, Russ. J. Math. Phys., 24:3 (2017), 279–289
  6. L. Alsedà, D. Juher, P. Mumbru, “Periodic behavior on trees”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 25:5 (2005), 1373–1400
  7. L. Alsedà, J. Llibre, “A note on the set of periods for continuous maps of the circle which have degree one”, Proc. Amer. Math. Soc., 93:1 (1985), 133–138
  8. L. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz, “Periodic orbits of maps of $Y$”, Trans. Amer. Math. Soc., 313:2 (1989), 475–538
  9. L. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz, Combinatorial dynamics and entropy in dimension one, Adv. Ser. Nonlinear Dynam., 5, 2nd ed., World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2000, xvi+415 pp.
  10. L. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz, C. Tresser, “Periods and entropy for Lorenz-like maps”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 39:4 (1989), 929–952
  11. Д. В. Аносов, “Грубые системы”, Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы, Сборник обзорных статей. 2. К 50-летию института, Тр. МИАН СССР, 169, 1985, 59–93
  12. A. Anušic, H. Bruin, J. Činč, “Topological properties of Lorenz maps derived from unimodal maps”, J. Difference Equ. Appl., 26:8, Special issue on the occasion of the 82nd birthday of O. M. Sharkovsky (2020), 1174–1191
  13. D. Arevalo, W. J. Charatonic, P. Pellicer Covarrubias, L. Simon, “Dendrites with a closed set of end points”, Topology Appl., 115:1 (2001), 1–17
  14. G. Askri, “Li–Yorke chaos for dendrite maps with zero topological entropy and $omega$-limit sets”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 37:6 (2017), 2957–2976
  15. J. Auslander, Y. Katznelson, “Continuous maps on the circle without periodic points”, Israel J. Math., 32:4 (1979), 375–381
  16. W. L. Ayres, “Some generalizations of the Scherrer fixed-point theorem”, Fund. Math., 16 (1930), 332–336
  17. St. Baldwin, “An extension of Šarkovskiĭ's theorem to the $n$-od”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 11:2 (1991), 249–271
  18. St. Baldwin, “Some limitations toward extending Šarkovskiĭ's theorem to connected linearly ordered spaces”, Houston J. Math., 17:1 (1991), 39–53
  19. F. Balibrea, L. Snoha, “Topological entropy of Devaney chaotic maps”, Topology Appl., 133:3 (2003), 225–239
  20. R. Bamon, I. P. Malta, M. J. Pacifico, F. Takens, “Rotation intervals of endomorphisms of the circle”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 4:4 (1984), 493–498
  21. J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey, “On Devaney's definition of chaos”, Amer. Math. Monthly, 99:4 (1992), 332–334
  22. С. С. Бельмесова, “Бифуркация рождения замкнутой инвариантной кривой в однопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости”, Изв. вузов. Матем., 2019, № 12, 16–24
  23. S. S. Bel'mesova, L. S. Efremova, “On the concept of integrability for discrete dynamical systems. Investigation of wandering points of some trace map”, Nonlinear maps and their applications, Springer Proc. Math. Stat., 112, Springer, Cham, 2015, 127–158
  24. S. S. Bel'mesova, L. S. Efremova, D. Fournier-Prunaret, “Invariant curves of quadratic maps of the plane from the one-parameter family containing the trace map”, ECIT 2012, 19th European conference on iteration theory, ESAIM Proc. Surveys, 46, EDP Sci., Les Ulis, 2014, 98–110
  25. C. Bernhardt, “Rotation intervals of a class of endomorphisms of the circle”, Proc. London Math. Soc. (3), 45:2 (1982), 258–280
  26. C. Bernhardt, “Periodic points and topological entropy of maps of the circle”, Proc. Amer. Math. Soc., 87:3 (1983), 516–518
  27. C. Bernhardt, “A Sharkovsky theorem for vertex maps on trees”, J. Difference Equ. Appl., 17:1 (2011), 103–113
  28. D. Berry, B. D. Mestel, “Wandering intervals for Lorenz maps with bounded nonlinearity”, Bull. London Math. Soc., 23:2 (1991), 183–189
  29. F. Blanchard, E. Glasner, S. Kolyada, A. Maass, “On Li–Yorke pairs”, J. Reine Angew. Math., 547 (2002), 51–68
  30. М. Л. Бланк, “О сопряжении некоторого класса одномерных эндоморфизмов с классом кусочно-растягивающихся отображений”, УМН, 40:1(241) (1985), 187–188
  31. M. L. Blank, “Metric properties of $varepsilon$-trajectories of dynamical systems with stochastic behaviour”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 8:3 (1988), 365–378
  32. L. Block, “Homoclinic points of mappings of the interval”, Proc. Amer. Math. Soc., 72:3 (1978), 576–580
  33. L. S. Block, W. A. Coppel, Dynamics in one dimension, Lecture Notes in Math., 1513, Springer-Verlag, Berlin, 1992, viii+249 pp.
  34. L. Block, E. Coven, I. Mulvey, Z. Nitecki, “Homoclinic and non-wandering points for maps of the circle”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 3:4 (1983), 521–532
  35. L. Block, J. Guckenheimer, M. Misiurewicz, Lai Sang Yang, “Periodic points and topological entropy of one dimensional maps”, Global theory of dynamical systems (Northwestern Univ., Evanston, IL, 1979), Lecture Notes in Math., 819, Springer, Berlin, 1980, 18–34
  36. A. M. Блох, “О транзитивных отображениях одномерных разветвленных многообразий”, Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики, Сб. науч. тр., Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1984, 3–9
  37. А. М. Блох, “О динамических системах на одномерных разветвленных многообразиях. I”, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 46 (1986), 8–18
  38. A. M. Blokh, “Spectral decomposition, periods of cycles and a conjecture of M. Misiurewicz for graph maps”, Ergodic theory and related topics (Güstrow, 1990), v. III, Lecture Notes in Math., 1514, Springer, Berlin, 1992, 24–31
  39. A. M. Blokh, R. J. Fokkink, J. C. Mayer, L. G. Oversteegen, E. D. Tymchatyn, Fixed point theorems for plane continua with applications, Mem. Amer. Math. Soc., 224, № 1053, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, xiv+97 pp.
  40. А. М. Блох, М. Ю. Любич, “О разложении одномерных динамических систем на эргодические компоненты. Случай отрицательного шварциана”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 128–145
  41. A. M. Blokh, M. Yu. Lyubich, “Non-existence of wandering intervals and structure of topological attractors of one dimensional dynamical systems. II. The smooth case”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 9:4 (1989), 751–758
  42. A. Blokh, E. Teoh, “How little is little enough?”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 9:4 (2003), 969–978
  43. B. H. Bowditch, “Hausdorff dimension and dendritic limit sets”, Math. Ann., 332:3 (2005), 667–676
  44. R. Bowen, “Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 153 (1971), 401–414
  45. P. Brandão, On the structure of Lorenz maps, 2014, 76 pp.
  46. А. А. Бухштаб, Теория чисел, 2-е испр. изд., Просвещение, М., 1966, 392 с.
  47. Е. Вл. Булинская, “Максимум каталитического ветвящегося случайного блуждания”, УМН, 74:3(447) (2019), 187–188
  48. U. Burkart, “Interval mapping graphs and periodic points of continuous functions”, J. Combin. Theory. Ser. B, 32:1 (1982), 57–68
  49. K. Burns, B. Hasselblatt, “The Sharkovsky theorem: a natural direct proof”, Amer. Math. Monthly, 118:3 (2011), 229–244
  50. J. Byszewski, F. Falniowski, D. Kwietniak, “Transitive dendrite map with zero entropy”, Ergod. Theory and Dynam. Syst., 37:7 (2017), 2077–2083
  51. R. Camerlo, U. B. Darji, A. Marcone, “Classification problems in continuum theory”, Trans. Amer. Math. Soc., 357:11 (2005), 4301–4328
  52. J. J. Charatonik, “History of continuum theory”, Handbook of the history of general topology (San Antonio, TX, 1993), v. 2, Hist. Topol., 2, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, 703–786
  53. J. J. Charatonik, W. J. Charatonik, “Dendrites”, XXX national congress of the Mexican Mathematical Society (Aguascalientes, 1997), Aportaciones Mat. Comun., 22, Soc. Mat. Mexicana, Mexico, 1998, 227–253
  54. J. J. Charatonik, A. Illanes, “Mappings on dendrites”, Topology Appl., 144:1-3 (2004), 109–132
  55. P. Collet, J.-P. Eckmann, O. E. Lanford III, “Universal properties of maps on an interval”, Comm. Math. Phys., 76:3 (1980), 211–254
  56. M. Y. Cosnard, A. Eberhard, Sur les cycles d'une application continue de la variable reele, Sem. Anal. Num. 274, USMG Lab. Math. Appl. Grenoble, 1977, 61 pp.
  57. A. Denjoy, “Sur les courbes definies par les equations differentielles à la surface du tore”, J. Math. Pures Appl. (9), 11 (1932), 333–375
  58. A. Denjoy, “Les trajectoires à la surface du tore”, C. R. Acad. Sci., 223 (1946), 5–8
  59. R. L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley Stud. Nonlinearity, 2nd ed., Addison-Wesley Publishing Co., Redwood City, CA, 1989, xviii+336 pp.
  60. Е. И. Динабург, “Соотношение между топологической энтропией и метрической энтропией”, Докл. АН СССР, 190:1 (1970), 19–22
  61. Е. И. Динабург, “Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 35:2 (1971), 324–366
  62. T. Drwiega, “Dendrites and chaos”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 28:13 (2018), 1850158, 14 pp.
  63. Bau-Sen Du, “A simple proof of Sharkovsky's theorem”, Amer. Math. Monthly, 111:7 (2004), 595–599
  64. J.-P. Eckmann, “Roads to turbulence in dissipative dynamical systems”, Rev. Modern Phys., 53:4 (1981), 643–654
  65. J.-P. Eckmann, P. Wittwer, “A complete proof of the Feigenbaum conjectures”, J. Statist. Phys., 46:3-4 (1987), 455–475
  66. Л. С. Ефремова, “Периодические орбиты и степень непрерывного отображения окружности”, Дифференциальные и интегральные уравнения, 2, Горьк. гос. ун-т, Горький, 1978, 109–115
  67. Л. С. Ефремова, Периодические движения дискретных полудинамических систем, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Горьк. гос. ун-т, Горький, 1981, 117 с.
  68. Л. С. Ефремова, “Периодические точки непрерывного отображения окружности”, IX международная конференция по нелинейным колебаниям (Киев, 1981), т. 2, ИМ АН УССР, Киев, 1984, 124–126
  69. Л. С. Ефремова, “Отношение периодов, отличное от степени двойки, приводит к хаосу на окружности”, УМН, 40:1(241) (1985), 197–198
  70. Л. С. Ефремова, “О пространстве $C^1$-гладких косых произведений отображений интервала”, ТМФ, 164:3 (2010), 447–454
  71. L. S. Efremova, “Example of the smooth skew product in the plane with the one-dimensional ramified continuum as the global attractor”, European conference on iteration theory 2010, ESAIM Proc., 36, EDP Sci., Les Ulis, 2012, 15–25
  72. Л. С. Ефремова, “Теорема о разложении пространства $C^1$-гладких косых произведений со сложной динамикой факторотображений”, Матем. сб., 204:11 (2013), 55–82
  73. Л. С. Ефремова, “Динамика косых произведений отображений интервала”, УМН, 72:1(433) (2017), 107–192
  74. L. S. Efremova, “Periodic behavior of maps obtained by small perturbations of smooth skew products”, Discontinuity, Nonlinearity, Complexity, 9:4 (2020), 519–523
  75. L. S. Efremova, “Small perturbations of smooth skew products and Sharkovsky's theorem”, J. Difference Equ. Appl., 26:8, Special issue on the occasion of the 82nd birthday of O. M. Sharkovsky (2020), 1192–1211
  76. L. S. Efremova, “Small $C^1$-smooth perturbations of skew products and the partial integrability property”, Appl. Math. Nonlinear Sci., 5:2 (2020), 317–328
  77. L. S. Efremova, “Geometrically integrable maps in the plane and their periodic orbits”, Lobachevskii J. Math., 42:10 (2021), 2315–2324
  78. Л. С. Ефремова, Е. Н. Махрова, “Динамика монотонных отображений дендритов”, Матем. сб., 192:6 (2001), 15–30
  79. L. S. Efremova, E. N. Makhrova, “On homoclinic points of piecewice monotone mappings of dendrites”, Progress in nonlinear science (Nizhny Novgorod, 2001), v. 1, Univ. of Nizhny Novgorod, 2002, 225–228
  80. L. S. Efremova, E. N. Makhrova, “On the center of continuous maps of dendrites”, J. Difference Equ. Appl., 9:3-4 (2003), 381–392
  81. Л. С. Ефремова, Р. Г. Рахманкулов, “Теоремы сосуществования периодических орбит эндоморфимов окружности”, Дифференциальные и интегральные уравнения, 4, Горьк. гос. ун-т, Горький, 1980, 116–118
  82. P. Fatou, “Sur les equations fonctionnelles”, Bull. Soc. Math. France, 47 (1919), 161–271
  83. P. Fatou, “Sur l'iteration des fonctions transcendantes entières”, Acta Math., 47:4 (1926), 337–370
  84. H. M. Gehman, “Concerning the subsets of a plane continuous curve”, Ann. of Math. (2), 27:1 (1925), 29–46
  85. А. Д. Грехнева, В. Ж. Сакбаев, “Динамика множества квантовых состояний, порождаемая нелинейным уравнением Лиувилля–фон Неймана”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 60:8 (2020), 1383–1393
  86. R. Grigorchuk, S. Samarakoon, “Integrable and chaotic systems associated with fractal groups”, Entropy, 23:2 (2021), 237, 43 pp.
  87. J. Guckenheimer, “On the bifurcation of maps of the interval”, Invent. Math., 39:2 (1977), 165–178
  88. J. Guckenheimer, “Limit sets of $S$-unimodal maps with zero entropy”, Comm. Math. Phys., 110:4 (1987), 655–659
  89. Chung-Wu Ho, Ch. E. Morris, Jr., “A graph-theoretic proof of Sharkovsky's theorem on the periodic points of continuous functions”, Pacific J. Math., 96:2 (1981), 361–370
  90. F. Hofbauer, “Periodic points for piecewise monotonic transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 5:2 (1985), 237–256
  91. R. Hric, M. Malek, “Omega limit sets and distributional chaos on graphs”, Topology Appl., 153:14 (2006), 2469–2475
  92. A. Illanes, “A characterization of dendrites with the periodic-recurrent property”, Proceedings of the 13th summer conference on general topology and its applications (Mexico City, 1998), Topology Proc., 23, Summer (2000), 221–235
  93. R. Ito, “Rotation sets are closed”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 89:1 (1981), 107–111
  94. R. Ito, “Note on rotation set”, Proc. Amer. Math. Soc., 89:4 (1983), 730–732
  95. М. В. Якобсон, “О гладких отображениях окружности в себя”, Матем. сб., 85(127):2(6) (1971), 163–188
  96. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Comm. Math. Phys., 81:1 (1981), 39–88
  97. L. B. Jonker, “Rotation intervals for a family of degree one circle maps”, Ergod. Theory and Dynam. Syst., 8:3 (1988), 395–409
  98. G. Julia, “Memoire sur l'iteration des fonctions rationnelles”, J. Math. Pures Appl. (8), 1 (1918), 47–245
  99. H. Kato, “A note on periodic points and recurrent points of maps of dendrites”, Bull. Austral. Math. Soc., 51:3 (1995), 459–461
  100. H. Kato, “The depth of centres of maps on dendrites”, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 64:1 (1998), 44–53
  101. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, М., 1999, 768 с.
  102. P. E. Kloeden, “On Sharkovsky's cycle coexistence ordering”, Bull. Austral. Math. Soc., 20:2 (1979), 171–177
  103. Zd. Kočan, “Chaos on one-dimensional compact metric spaces”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 22:10 (2012), 1250259, 10 pp.
  104. Zd. Kočan, V. Kornecka-Kurkova, M. Malek, “On the centre and the set of $omega$-limit points of continuous maps on dendrites”, Topology Appl., 156:18 (2009), 2923–2931
  105. Zd. Kočan, V. Kornecka-Kurkova, M. Malek, “Entropy, horseshoes and homoclinic trajectories on trees, graphs and dendrites”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 31:1 (2011), 165–175
  106. А. Н. Колмогоров, “Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега”, Докл. АН СССР, 119:5 (1958), 861–864
  107. А. Н. Колмогоров, “Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов”, Докл. АН СССР, 124 (1959), 754–755
  108. M. Kuchta, “Characterization of chaos for continuous maps of the circle”, Comment. Math. Univ. Carolin., 31:2 (1990), 383–390
  109. К. Куратовский, Топология, т. 1, Мир, М., 1966, 594 с.
  110. D. Kwietniak, M. Misiurewicz, “Exact Devaney chaos and entropy”, Qual. Theory Dyn. Syst., 6:1 (2005), 169–179
  111. F. Ledrappier, “Some properties of absolutely continuous invariant measures on an interval”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 1:1 (1981), 77–93
  112. Н. Н. Леонов, “О точечном преобразовании прямой в прямую”, Изв. вузов. Радиофизика, 2:6 (1959), 942–956
  113. Н. Н. Леонов, “О разрывном точечном преобразовании прямой в прямую”, Докл. АН СССР, 143:5 (1962), 1038–1041
  114. Jian Li, Jie Li, Siming Tu, “Devaney chaos plus shadowing implies distributional chaos”, Chaos, 26:9 (2016), 093103, 6 pp.
  115. Tien-Yien Li, J. A. Yorke, “Period three implies chaos”, Amer. Math. Monthly, 82:10 (1975), 985–992
  116. J. Llibre, M. Misiurewicz, “Horseshoes, entropy and periods for graph maps”, Topology, 32:3 (1993), 649–664
  117. M. Yu. Lyubich, “Non-existence of wandering intervals and structure of topological attractors of one dimensional dynamical systems. I. The case of negative Schwarzian derivative”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 9:4 (1989), 737–749
  118. Jie-Hua Mai, Song Shao, “The structure of graph maps without periodic points”, Topology Appl., 154:14 (2007), 2714–2728
  119. Jiehua Mai, Enhui Shi, “$overline{R}=overline{P}$ for maps of dendrites $X$ with $operatorname{Card}(operatorname{End}(X))
  120. Jie-hua Mai, Tai-xiang Sun, “Non-wandering points and the depth for graph maps”, Sci. China Ser. A, 50:12 (2007), 1818–1824
  121. Jiehua Mai, Gengrong Zhang, Taixiang Sun, “Recurrent points and non-wandering points of graph maps”, J. Math. Anal. Appl., 383:2 (2011), 553–559
  122. А. Г. Майер, “Грубое преобразование окружности в окружность”, Уч. зап. Горьк. гос. ун-та, 1939, № 12, 215–229
  123. Е. Н. Махрова, “О существовании периодических точек непрерывных отображений дендритов”, Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики, Сб. науч. тр., МФТИ, М., 2007, 133–141
  124. Е. Н. Махрова, “Гомоклинические точки и топологическая энтропия непрерывного отображения дендрита”, Труды международной конференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям (Суздаль, 2006), Совр. матем. и ее приложения, 54 (2008), 79–86
  125. Е. Н. Махрова, “Структура дендритов со свойством существования периодических точек”, Изв. вузов. Матем., 2011, № 11, 41–45
  126. Е. Н. Махрова, “Существование линейной подковы непрерывных отображений дендритов”, Изв. вузов. Матем., 2013, № 3, 40–46
  127. Е. Н. Махрова, “Структура дендритов, допускающих существование дуговой подковы”, Изв. вузов. Матем., 2015, № 8, 64–74
  128. E. Makhrova, “On strong sensitive points of continuous maps on dendrites”, J. Phys. Conf. Ser., 990 (2018), 012006, 6 pp.
  129. E. N. Makhrova, “Monotone maps on dendrites”, Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity, 9:4 (2020), 541–552
  130. M. И. Малкин, “Периодические орбиты, энтропия и множества вращения непрерывных отображений окружности”, Укр. матем. журн., 35:3 (1983), 327–332
  131. М. И. Малкин, “О непрерывности энтропии разрывных отображений интервала”, Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Межвуз. сб. науч. тр., Горьк. гос. ун-т, Горький, 1982, 35–47
  132. М. И. Малкин, “Интервалы вращения и динамика отображений типа Лоренца”, Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Межвуз. сб. науч. тр., Горьк. гос. ун-т, Горький, 1986, 122–139
  133. А. В. Малютин, “О группах, действующих на дендронах”, Геометрия и топология. 12, Зап. науч. сем. ПОМИ, 415, ПОМИ, СПб., 2013, 62–74
  134. F. R. Marotto, “Snap-back repellers imply chaos in $mathbb R^n$”, J. Math. Anal. Appl., 63:1 (1978), 199–223
  135. H. Marzougui, I. Naghmouchi, “Minimal sets for group actions on dendrites”, Proc. Amer. Math. Soc., 144:10 (2016), 4413–4425
  136. W. de Melo, S. van Strien, “One-dimensional dynamics: the Schwarzian derivative and beyond”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 18:2 (1988), 159–162
  137. W. de Melo, S. van Strien, One-dimensional dynamics, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 25, Springer-Verlag, Berlin, 1993, xiv+605 pp.
  138. Y. N. Minsky, “On rigidity, limit sets, and ends of hyperbolic 3-manifolds”, J. Amer. Math. Soc., 7:3 (1994), 539–588
  139. M. Misiurewicz, “Structure of mappings of an interval with zero entropy”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 53 (1981), 5–16
  140. M. Misiurewicz, “Periodic points of maps of degree one of a circle”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 2:2 (1982), 221–227
  141. M. Misiurewicz, “Remarks on Sharkovsky's theorem”, Amer. Math. Monthly, 104:9 (1997), 846–847
  142. M. Misiurewicz, “Horseshoes for continuous mappings of an interval”, Dynamical systems (Bressanone, 1978), C.I.M.E. Summer Schools, 78, Springer, Berlin, Heidelberg, 2010, 125–135
  143. M. Misiurewicz, J. Smital, “Smooth chaotic maps with zero topological entropy”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 8:3 (1988), 221–224
  144. M. Miyazawa, “Chaos and entropy for circle maps”, Tokyo J. Math., 25:2 (2002), 453–458
  145. M. Miyazawa, “Chaos and entropy for graph maps”, Tokyo J. Math., 27:1 (2004), 221–225
  146. J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hail, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000, xvi+537 pp.
  147. S. B. Nadler, Jr., Continuum theory. An introduction, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., 158, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992, xiv+328 pp.
  148. I. Naghmouchi, “Dynamical properties of monotone dendrite maps”, Topology Appl., 159:1 (2012), 144–149
  149. S. Newhouse, J. Palis, F. Takens, “Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 57 (1983), 5–71
  150. З. Нитецки, Введение в дифференциальную динамику, Мир, М., 1975, 304 с.
  151. Z. Nitecki, “Topological dynamics on the interval”, Ergodic theory and dynamical systems (College Park, MD, 1979/1980), v. II, Progr. Math., 21, Birkhäuser, Boston, MA, 1982, 1–73
  152. P. Oprocha, “Relations between distributional and Devaney chaos”, Chaos, 16:3 (2006), 033112, 5 pp.
  153. H.-O. Peitgen, P. H. Richter, The beauty of fractals. Images of complex dynamical systems, Springer-Verlag, Berlin, 1986, xii+199 pp.
  154. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, ГИТТЛ, М.–Л., 1947, 392 с.
  155. А. Пуанкаре, “Новые методы небесной механики. III”, Избранные труды, т. II, Наука, М., 1972, 9–356
  156. C. Preston, Iterates of piecewise monotone mappings of an interval, Lecture Notes in Math., 1347, Springer-Verlag, Berlin, 1988, vi+166 pp.
  157. С. П. Пулькин, “Об итерациях функций одного независимого переменного”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 6:1-2 (1942), 71–108
  158. С. П. Пулькин, “Осцилляционные последовательности итераций”, Докл. АН СССР, 73:6 (1950), 1129–1132
  159. Р. Г. Рахманкулов, “О циклических группах однозначного непрерывного преобразования окружности в окружность”, Волжск. матем. сб., 13 (1972), 80–92
  160. Р. Г. Рахманкулов, “Сосуществование циклов непрерывного преобразования окружности”, Изв. вузов. Матем., 1974, № 2, 97–106
  161. D. Rand, “The topological classification of Lorenz attractors”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 83:3 (1978), 451–460
  162. Z. Roth, “Distributional chaos and dendrites”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 28:14 (2018), 1850178, 10 pp.
  163. M. R. Rychlik, “Lorenz attractors through Šil'nikov-type bifurcations. I”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 10:4 (1990), 793–821
  164. В. Ж. Сакбаев, О. Г. Смолянов, “Диффузия и квантовая динамика на графах”, Докл. РАН, 451:2 (2013), 141–145
  165. H. Schirmer, “Properties of fixed point sets on dendrites”, Pacific J. Math., 36:3 (1971), 795–810
  166. H. Schirmer, “A topologist's view of Sharkovsky's theorem”, Houston J. Math., 11:3 (1985), 385–395
  167. B. Schweizer, J. Smital, “Measures of chaos and a spectral decomposition of dynamical systems on the interval”, Trans. Amer. Math. Soc., 344:2 (1994), 737–754
  168. A. I. Shafarevich, A. V. Tsvetkova, “Localized asymptotic solution of the wave equation with a radially symmetric velocity on a simplest decorated graph”, Russ. J. Math. Phys., 25:3 (2018), 333–344
  169. А. Н. Шарковский, “Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя”, Укр. матем. журн., 16:1 (1964), 61–71
  170. О. М. Шарковський, “Неблукаючi точки та центр непреривного вiдображення прямоi в себе”, Допов. АН УРСР, 7 (1964), 865–868
  171. А. Н. Шарковский, “О циклах и структуре непрерывного отображения”, Укр. матем. журн., 17:3 (1965), 104–111
  172. А. Н. Шарковский, “О притягивающих и притягивающихся множествах”, Докл. АН СССР, 160:5 (1965), 1036–1038
  173. А. Н. Шарковский, “Поведение отображения в окрестности притягивающего множества”, Укр. матем. журн., 18:2 (1966), 60–83
  174. А. Н. Шарковский, “Частично упорядоченная система притягивающих множеств”, Докл. АН СССР, 170:6 (1966), 1276–1278
  175. О. М. Шарковський, “Про одну теорему Дж. Бiркгофа”, Допов. АН УРСР. Сер. А, 5 (1967), 429–432
  176. А. Н. Шарковский, “О проблеме изоморфизма динамических систем”, Труды V Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1969), т. 2, Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1970, 541–545
  177. А. Н. Шарковский, Аттракторы траекторий и их бассейны, Наукова думка, Киев, 2013, 319 с.
  178. А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Сивак, В. В. Федоренко, Динамика одномерных отображений, Наукова думка, Киев, 1989, 218 с.
  179. А. Н. Шарковский, Ю. Л. Майстренко, Е. Ю. Романенко, Разностные уравнения и их приложения, Наукова думка, Киев, 1986, 280 с.
  180. Е. В. Щепин, “О кривой Серпинского–Кноппа”, УМН, 75:2(452) (2020), 191–192
  181. Enhui Shi, Suhua Wang, Yan Di, “Sensitivity of dendrite maps”, J. Math. Anal. Appl., 446:1 (2017), 908–919
  182. Enhui Shi, Suhua Wang, Lizhen Zhou, “Minimal group actions on dendrites”, Proc. Amer. Math. Soc., 138:1 (2010), 217–223
  183. Л. П. Шильников, “Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней”, Математические события XX века, ФАЗИС, М., 2003, 466–499
  184. К. С. Сибирский, Введение в топологическую динамику, Ред.-изд. отд. АН МССР, Кишинев, 1970, 144 с.
  185. Я. Г. Синай, “О понятии энтропии динамической системы”, Докл. АН СССР, 124:4 (1959), 768–771
  186. S. Smale, “Diffeomorphisms with many periodic points”, Differential and combinatorial topology, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965, 63–80
  187. S. Smale, “Differentiable dynamical systems”, Bull. Amer. Math. Soc., 73:6 (1967), 747–817
  188. J. Smital, “Chaotic functions with zero topological entropy”, Trans. Amer. Math. Soc., 297:1 (1986), 269–282
  189. О. Г. Смолянов, “Гладкие меры на группах петель”, Докл. РАН, 345:4 (1995), 455–458
  190. V. Špitalsky, “Transitive dendrite map with infinite decomposition ideal”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 35:2 (2015), 771–792
  191. P. Štefan, “A theorem of Šarkovskii on the existence of periodic orbits of continuous endomorphisms of the real line”, Comm. Math. Phys., 54:3 (1977), 237–248
  192. P. D. Straffin, Jr., “Periodic points of continuous functions”, Math. Mag., 51:2 (1978), 99–105
  193. Guangwang Su, Taixiang Sun, Lue Li, Caihong Han, Guoen Xia, “The centre and the depth of the centre for continuous maps on dendrites with unique branch point”, Topology Appl., 282 (2020), 107314, 6 pp.
  194. Taixiang Sun, Guangwang Su, Bin Qin, “The depths of the centres and the attracting centres of a class of dendrite maps”, J. Math. Anal. Appl., 479:1 (2019), 1158–1171
  195. Taixiang Sun, Taixiang Xi, “The centre and the depth of the centre for continuous maps on dendrites with finite branch points”, Qual. Theory Dyn. Syst., 16:3 (2017), 697–702
  196. G. Swia̧tek, “Rational rotation numbers for maps of the circle”, Comm. Math. Phys., 119:1 (1988), 109–128
  197. G. Swia̧tek, “Endpoints of rotation intervals for maps of the circle”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 9:1 (1989), 173–190
  198. М. И. Войнова, Л. С. Ефремова, “О динамике простейших отображений дендритов”, Матем. заметки, 63:2 (1998), 183–195
  199. Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин, “Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм”, УМН, 39:3(237) (1984), 3–37
  200. Suhua Wang, Enhui Shi, Lizhen Zhou, Xunli Su, “Topological transitivity and chaos of group actions on dendrites”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 19:12 (2009), 4165–4174
  201. Suhua Wang, Enhui Shi, Yujun Zhu, Bin Chen, “Auslander–Yorke chaos for group actions on dendrites”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 23:06 (2013), 1350097, 10 pp.
  202. T. Wazewski, “Sur les courbes de Jordan ne renfermant aucune courbe simple fermee de Jordan”, Ann. Soc. Polon. Math., 2 (1923), 49–170
  203. R. F. Williams, “The structure of Lorenz attractors”, Turbulence seminar (Univ. Calif., Berkeley, CA, 1976/1977), Lecture Notes in Math., 615, Springer, Berlin, 1977, 94–112
  204. S. Wong, “Some metric properties of piecewise monotonic mappings of the unit interval”, Trans. Amer. Math. Soc., 246 (1978), 493–500
  205. Xiangdong Ye, “The centre and the depth of the centre of a tree map”, Bull. Austral. Math. Soc., 48:2 (1993), 347–350
  206. Xiangdong Ye, “Non-wandering points and the depth of a graph map”, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 69:2 (2000), 143–152
  207. В. А. Зорич, Математический анализ, т. I, Наука, М., 1981, 544 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Efremova L.S., Makhrova E.N.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».