Tetrahedron equation: algebra, topology, and integrability

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The Zamolodchikov tetrahedron equation inherits almost all the richness of structures and topics in which the Yang–Baxter equation is involved. At the same time, this transition symbolizes the growth of the order of the problem, the step from the Yang–Baxter equation to the local Yang–Baxter equation, from the Lie algebra to the 2-Lie algebra, from ordinary knots in $\mathbb{R}^3$ to 2-knots in $\mathbb{R}^4$. These transitions are followed in several examples, and there are also discussions of the manifestation of the tetrahedron equation in the long-standing question of integrability of the three-dimensional Ising model and a related model of neural network theory: the Hopfield model on a two-dimensional lattice.Bibliography: 82 titles.

About the authors

Dmitry Valer'evich Talalaev

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Centre of Integrable Systems, P.G. Demidov Yaroslavl State University

Email: dtalalaev@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. А. Б. Замолодчиков, “Уравнения тетраэдров и интегрируемые системы в трехмерном пространстве”, ЖЭТФ, 79:2 (1980), 641–664
  2. V. F. R. Jones, “A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12:1 (1985), 103–111
  3. К. Кассель, Квантовые группы, Grad. Texts in Math., 155, Фазис, М., 1999, xxi+663 пер. с англ.: с.
  4. V. G. Drinfel'd, “On some unsolved problems in quantum group theory”, Quantum groups (Leningrad, 1990), Lecture Notes in Math., 1510, Springer, Berlin, 1992, 1–8
  5. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Квантовый метод обратной задачи и $XYZ$ модель Гейзенберга”, УМН, 34:5(209) (1979), 13–63
  6. А. П. Веселов, “Интегрируемые отображения”, УМН, 46:5(281) (1991), 3–45
  7. A. P. Veselov, “Yang–Baxter maps and integrable dynamics”, Phys. Lett. A, 314:3 (2003), 214–221
  8. V. V. Bazhanov, S. M. Sergeev, “Yang–Baxter maps, discrete integrable equations and quantum groups”, Nuclear Phys. B, 926 (2018), 509–543
  9. В. М. Бухштабер, “Отображения Янга–Бакстера”, УМН, 53:6(324) (1998), 241–242
  10. И. М. Кричевер, “Уравнения Бакстера и алгебраическая геометрия”, Функц. анализ и его прил., 15:2 (1981), 22–35
  11. В. Г. Горбунов, К. Корфф, К. Строппель, “Алгебры Янга–Бакстера, алгебра конволюций и многообразия Грассмана”, УМН, 75:5(455) (2020), 3–58
  12. B. Sutherlend, “Two-dimensional hydrogen bonded crystals without the ice rule”, J. Math. Phys., 11:11 (1970), 3183–3186
  13. R. J. Baxter, “One-dimensional anisotropic Heisenberg chain”, Phys. Rev. Lett., 26:14 (1971), 834
  14. R. J. Baxter, “One-dimensional anisotropic Heisenberg chain”, Ann. Physics, 70:2 (1972), 323–337
  15. D. V. Talalaev, “Zamolodchikov tetrahedral equation and higher Hamiltonians of $2d$ quantum integrable systems”, SIGMA, 13 (2017), 031, 14 pp.
  16. J. M. Maillet, F. Nijhoff, “Integrability for multidimensional lattice models”, Phys. Lett. B, 224:4 (1989), 389–396
  17. N. Reshetikhin, V. G. Turaev, “Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups”, Invent. Math., 103 (1991), 547–597
  18. V. M. Buchstaber, “Semigroups of maps into groups, operator doubles, and complex cobordisms”, Topics in topology and mathematical physics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 170, Adv. Math. Sci., 27, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 9–31
  19. В. Г. Дринфельд, “О почти кокоммутативных алгебрах Хопфа”, Алгебра и анализ, 1:2 (1989), 30–46
  20. I. G. Korepanov, G. I. Sharygin, D. V. Talalaev, “Cohomologies of $n$-simplex relations”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 161:2 (2016), 203–222
  21. Yu. I. Manin, V. V. Schechtman, “Arrangements of hyperplanes, higher braid groups and higher Bruhat orders”, Algebraic number theory – in honour of K. Iwasawa, Adv. Stud. Pure Math., 17, Academic Press, Boston, MA, 1989, 289–308
  22. Yu. I. Manin, V. V. Schechtman, “Arrangements of real hyperplanes and Zamolodchikov equations”, Group theoretical methods in physics (Yurmala, 1985), v. 1, VNU Sci. Press, Utrecht, 1986, 151–165
  23. M. M. Kapranov, V. A. Voevodsky, “2-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”, Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 56, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, 177–259
  24. В. И. Данилов, А. В. Карзанов, Г. А. Кошевой, “Кубильяжи циклических зонотопов”, УМН, 74:6(450) (2019), 55–118
  25. F. Gray, Pulse code communication, U.S. Patent 2632058, 1953, 18 pp.
  26. L. D. Faddeev, N. Yu. Reshetikhin, L. A. Takhtajan, “Quantization of Lie groups and Lie algebras”, Algebraic analysis, v. I, Academic Press, Boston, MA, 1988, 129–139
  27. S. MacLane, “Categorical algebra'”, Bull. Amer. Math. Soc., 71 (1965), 40–106
  28. R. Fenn, M. Jordan-Santana, L. Kauffman, “Biquandles and virtual links”, Topology Appl., 145:1-3 (2004), 157–175
  29. W. Rump, “A decomposition theorem for square-free unitary solutions of the quantum Yang–Baxter equation”, Adv. Math., 193:1 (2005), 40–55
  30. W. Rump, “Braces, radical rings, and the quantum Yang–Baxter equation”, J. Algebra, 307:1 (2007), 153–170
  31. V. Lebed, L. Vendramin, “On structure groups of set-theoretic solutions to the Yang–Baxter equation”, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 62:3 (2019), 683–717
  32. В. В. Соколов, “Классификация постоянных решений ассоциативного уравнения Янга–Бакстера на алгебре $operatorname{Mat}_3$”, ТМФ, 176:3 (2013), 385–392
  33. M. Van den Bergh, “Double Poisson algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 360:11 (2008), 5711–5769
  34. М. М. Преображенская, Д. В. Талалаев, “Расширение групп, расслоения и параметрическое уравнение Янга–Бакстера”, ТМФ, 207:2 (2021), 310–318
  35. V. M. Buchstaber, S. Igonin, S. Konstantinou-Rizos, M. Preobrazhenskaia, “Yang–Baxter maps, Darboux transformations, and linear approximations of refactorisation problems”, J. Phys. A, 53:50 (2020), 504002, 23 pp.
  36. A. S. Crans, Lie 2-algebras, Ph.D. Thesis, Univ. of California, Riverside, 2004, v+114 pp.
  37. E. Neher, Jordan triple systems by the grid approach, Lecture Notes in Math., 1280, Springer-Verlag, Berlin, 1987, xii+193 pp.
  38. J. M. Maillet, “On pentagon and tetrahedron equations”, Алгебра и анализ, 6:2 (1994), 206–214
  39. R. M. Kashaev, S. M. Sergeev, “On pentagon, ten-term, and tetrahedron relations”, Comm. Math. Phys., 195:2 (1998), 309–319
  40. D. Bar-Natan, “On Khovanov's categorification of the Jones polynomial”, Algebr. Geom. Topol., 2 (2002), 337–370
  41. D. Roseman, “Reidemeister-type moves for surfaces in four-dimensional space”, Knot theory (Warsaw, 1995), Banach Center Publ., 42, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 1998, 347–380
  42. J. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, L. Langford, M. Saito, “Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 355:10 (2003), 3947–3989
  43. P. Cotta-Ramusino, M. Martellini, “BF theories and 2-knots”, Knots and quantum gravity (Riverside, CA, 1993), Oxford Lecture Ser. Math. Appl., 1, Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, New York, 1994, 169–189
  44. L. Crane, D. Yetter, “A categorical construction of 4d topological quantum field theories”, Quantum topology, Ser. Knots Everything, 3, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1993, 120–130
  45. Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Мир, М., 1985, 488 с.
  46. S. Istrail, “Statistical mechanics, three-dimensionality and NP-completeness. I. Universality of intracatability for the partition function of the Ising model across non-planar surfaces”, Proceedings of the thirty-second annual ACM symposium on theory of computing (STOC '00) (Portland, OR, 2000), ACM, New York, 2000, 87–96
  47. S. El-Showk, M. F. Paulos, D. Poland, S. Rychkov, D. Simmons-Duffin, A. Vichi, “Solving the 3D Ising model with the conformal bootstrap”, Phys. Rev. D, 86:2 (2012), 025022, 32 pp.
  48. D. V. Talalaev, “Towards integrable structure in 3d Ising model”, J. Geom. Phys., 148 (2020), 103545, 10 pp.
  49. М. Минский, С. Пейперт, Персептроны, М., Мир, 1971, 261 с.
  50. W. A. Little, “The existence of persistent states in the brain”, Math. Biosci., 19:1-2 (1974), 101–120
  51. J. J. Hopfield, “Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 79:8 (1982), 2554–2558
  52. S. Haykin, Neural networks and learning machines, 3rd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2008, 906 pp.
  53. S. Recanatesi, M. Katkov, S. Romani, M. Tsodyks, “Neural network model of memory retrieval”, Front. Comput. Neurosci., 9 (2015), 149
  54. S. Romani, M. Tsodyks, “Short-term plasticity based network model of place cells dynamics”, Hippocampus, 25 (2015), 94–105
  55. H. Sompolinsky, I. Kanter, “Temporal association in asymmetric neural networks”, Phys. Rev. Lett., 57:22 (1986), 2861–2864
  56. A. A. Frolov, D. Husek, I. P. Muraviev, “Informational capacity and recall quality in sparsely encoded Hopfield-like neural network: analytical approaches and computer simulation”, Neural Netw., 10:5 (1997), 845–855
  57. R. Roscher, B. Bohn, M. F. Duarte, J. Garcke, “Explainable machine learning for scientific insights and discoveries”, IEEE Access, 8 (2020), 42200–42216
  58. N. Pospelov, S. Nechaev, K. Anokhin, O. Valba, V. Avetisov, A. Gorsky, “Spectral peculiarity and criticality of a human connectome”, Phys. Life Rev., 31 (2019), 240–256
  59. D. J. Amit, H. Gutfreund, H. Sompolinsky, “Statistical mechanics of neural networks near saturation”, Ann. Physics, 173:1 (1987), 30–67
  60. J. Hietarinta, “Permutation-type solutions to the Yang–Baxter and other $n$-simplex equations”, J. Phys. A, 30:13 (1997), 4757–4771
  61. V. V. Bazhanov, S. M. Sergeev, “Zamolodchikov's tetrahedron equation and hidden structure of quantum groups”, J. Phys. A, 39:13 (2006), 3295–3310
  62. Р. М. Кашаев, И. Г. Корепанов, С. М. Сергеев, “Функциональное уравнение тетраэдров”, ТМФ, 117:3 (1998), 370–384
  63. S. M. Sergeev, “Supertetrahedra and superalgebras”, J. Math. Phys., 50:8 (2009), 083519, 21 pp.
  64. V. V. Bazhanov, V. V. Mangazeev, S. M. Sergeev, “Quantum geometry of three-dimensional lattices”, J. Stat. Mech. Theory Exp., 2008:7 (2008), P07004, 27 pp.
  65. I. G. Korepanov, “Tetrahedral Zamolodchikov algebras corresponding to Baxter's $L$-operators”, Comm. Math. Phys., 154:1 (1993), 85–97
  66. R. M. Kashaev, “On discrete three-dimensional equations associated with the local Yang–Baxter relation”, Lett. Math. Phys., 38:4 (1996), 389–397
  67. S. M. Sergeev, “Solutions of the functional tetrahedron equation connected with the local Yang–Baxter equation for the ferro-electric condition”, Lett. Math. Phys., 45:2 (1998), 113–119
  68. J. Hietarinta, “Labelling schemes for tetrahedron equations and dualities between them”, J. Phys. A, 27:17 (1994), 5727–5748
  69. A. Berenstein, S. Fomin, A. Zelevinsky, “Parametrizations of canonical bases and totally positive matrices”, Adv. Math., 122:1 (1996), 49–149
  70. R. M. Kashaev, “On discrete three-dimensional equations associated with the local Yang–Baxter relation”, Lett. Math. Phys., 38:4 (1996), 389–397
  71. V. Gorbounov, D. Talalaev, “Electrical varieties as vertex integrable statistical models”, J. Phys. A, 53 (2020), 454001, 28 pp.
  72. B. Bychkov, A. Kazakov, D. Talalaev, “Functional relations on anisotropic Potts models: from Biggs formula to the tetrahedron equation”, SIGMA, 17 (2021), 035, 30 pp.
  73. E. C. Zeeman, “Twisting spun knots”, Trans. Amer. Math. Soc., 115 (1965), 471–495
  74. J. S. Carter, M. Elhamdadi, M. Saito, “Homology theory for the set-theoretic Yang–Baxter equation and knot invariants from generalizations of quandles”, Fund. Math., 184 (2004), 31–54
  75. С. В. Матвеев, “Дистрибутивные группоиды в теории узлов”, Матем. сб., 119(161):1(9) (1982), 78–88
  76. И. Г. Корепанов, Д. В. Талалаев, Г. И. Шарыгин, “Интегрируемые трехмерные статистические модели на шестивалентных графах”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 302, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 214–233
  77. J. M. Maillet, “Lax equations and quantum groups”, Phys. Lett. B, 245:3-4 (1990), 480–486
  78. Д. В. Осипов, “Соответствие Кричевера для алгебраических многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 65:5 (2001), 91–128
  79. Д. В. Осипов, “Неразветвленное двумерное соответствие Ленглендса”, Изв. РАН. Cер. матем., 77:4 (2013), 73–102
  80. М. В. Федорюк, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1985, 448 с.
  81. D. V. Talalaev, “Hopfield neural network and anisotropic Ising model”, NEUROINFORMATICS 2020: Advances in neural computation, machine learning, and cognitive research IV, Stud. Comput. Intell., 925, Springer, Cham, 2021, 381–386
  82. Yi Da, Ge Xiurun, “An improved PSO-based ANN with simulated annealing technique”, Neurocomputing, 63 (2005), 527–533

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Talalaev D.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».