A method for approximate computation of waveguide scattering matrices

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A waveguide occupies a domain in an $(n+1)$-dimensional Euclidean space which has several cylindrical outlets to infinity. Three classes of waveguides are considered: those of quantum theory, of electromagnetic theory, and of elasticity theory, described respectively by the Helmholtz operator, the Maxwell system, and the system of equations for an elastic medium. It is assumed that the coefficients of all problems stabilize exponentially at infinity, to functions that are independent of the axial variable in the corresponding cylindrical outlet. Each row of the scattering matrix is given approximately by minimizing a quadratic functional. This functional is constructed by use of an elliptic boundary value problem in a bounded domain obtained by cutting the cylindrical outlets of the waveguide at some distance $R$. The existence and uniqueness of a solution is proved for each of the three types of waveguides. The minimizers converge exponentially fast as functions of $R$, as $R\to\infty$, to rows of the scattering matrix.Bibliography: 47 titles.

About the authors

Boris Alekseevich Plamenevskii

Saint Petersburg State University

Email: boris.plamen@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Aleksandr S. Poretskii

Saint Petersburg State University

Candidate of physico-mathematical sciences

O. V. Sarafanov

Saint Petersburg State University

Doctor of physico-mathematical sciences

References

  1. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
  2. М. С. Агранович, М. И. Вишик, “Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида”, УМН, 19:3(117) (1964), 53–161
  3. B. A. Plamenevskii, “On spectral properties of elliptic problems in domains with cylindrical ends”, Nonlinear equations and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 220, Adv. Math. Sci., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 123–139
  4. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 26:1 (2014), 128–164
  5. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “Излучение и рассеяние в электромагнитных волноводах вблизи порогов”, Алгебра и анализ, 32:4 (2020), в печати
  6. V. E. Grikurov, E. Heikkola, P. Neittaanmäki, B. A. Plamenevskii, “On computation of scattering matrices and on surface waves for diffraction gratings”, Numer. Math., 94:2 (2003), 269–288
  7. Б. А. Пламеневский, О. В. Сарафанов, “О методе вычисления матриц рассеяния для волноводов”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 200–231
  8. L. Baskin, P. Neittaanmäki, B. Plamenevskii, O. Sarafanov, Resonant tunneling. Quantum waveguides of variable cross-section, asymptotics, numerics, and applications, Lect. Notes Numer. Methods Eng. Sci., Springer, Cham, 2015, xii+275 pp.
  9. Б. А. Пламеневский, О. В. Сарафанов, “О методе вычисления волноводных матриц рассеяния в присутствии точечного спектра”, Функц. анализ и его прил., 48:1 (2014), 61–72
  10. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, “Самосопряженные эллиптические задачи с условиями излучения на ребрах границы”, Алгебра и анализ, 4:3 (1992), 196–225
  11. И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, “Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе. 1”, Матем. сб., 190:1 (1999), 109–138
  12. И. В. Камоцкий, С. А. Назаров, “Расширенная матрица рассеяния и экспоненциально затухающие решения эллиптической задачи в цилиндрической области”, Математические вопросы теории распространения волн. 29, Зап. науч. сем. ПОМИ, 264, ПОМИ, СПб., 2000, 66–82
  13. L. M. Baskin, P. Neittaanmäki, B. A. Plamenevskii, A. A. Pozharskii, “On electron transport in 3D quantum waveguides of variable cross-section”, Nanotechnology, 17:4 (2006), 19–23
  14. L. M. Baskin, P. Neittaanmäki, B. A. Plamenevskii, Semiconductor device and method to control the states of the semiconductor device and to manufacture the same, Patent 121489, Finland, 2010
  15. Л. М. Баскин, M. Кабардов, П. Нейттаанмяки, Б. А. Пламеневский, О. В. Сарафанов, “Асимптотика и численное исследование резонансного туннелирования в двумерных квантовых волноводах переменного сечения”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 53:11 (2013), 1835–1855
  16. L. Baskin, M. Kabardov, P. Neittaanmäki, O. Sarafanov, “Asymptotic and numerical study of electron flow spin-polarization in 2D waveguides of variable cross-section in the presence of magnetic field”, Math. Methods Appl. Sci., 37:7 (2014), 1072–1092
  17. M. M. Кабардов, Б. А. Пламеневский, О. В. Сарафанов, Н. М. Шаркова, “Сравнение асимптотического и численного подходов к исследованию резонансного туннелирования в симметричном двумерном квантовом волноводе переменного сечения”, Математические вопросы теории распространения волн. 47, Зап. науч. сем. ПОМИ, 461, ПОМИ, СПб., 2017, 124–139
  18. M. M. Kabardov, B. A. Plamenevskii, N. M. Sharkova, “Computation of waveguide scattering matrix near thresholds”, Appl. Anal., 96:8 (2017), 1295–1302
  19. T. Ohmura (Kikuta), “A new formulation on the electromagnetic field”, Progr. Theoret. Phys., 16:6 (1956), 684–685
  20. И. С. Гудович, С. Г. Крейн, Краевые задачи для переопределенных систем уравнений в частных производных, Дифференциальные уравнения и их применения. Тр. сем., 9, Ин-т физ. и матем. АН ЛитССР, Вильнюс, 1974, 146 с.
  21. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных областях”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 96–110
  22. R. Picard, “On the low frequency asymptotics in electromagnetic theory”, J. Reine Angew. Math., 354 (1984), 50–73
  23. R. Picard, S. Trostorff, M. Waurick, “On a connection between the Maxwell system, the extended Maxwell system, the Dirac operator and gravito-electromagnetism”, Math. Methods Appl. Sci., 40:2 (2017), 415–434
  24. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “О системе Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность”, Алгебра и анализ, 25:1 (2013), 94–155
  25. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “Система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность и неоднородным анизотропным заполнением”, Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 89–126
  26. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “О вычислении волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла”, Функц. анализ и его прил., 49:1 (2015), 93–96
  27. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, О. В. Сарафанов, “О методе приближенного вычисления матриц рассеяния для электромагнитных волноводов”, Докл. РАН, 482:5 (2018), 517–520
  28. Л. А. Вайнштейн, Теория дифракции и метод факторизации, Сов. Радио, М., 1966, 431 с.
  29. Е. И. Нефедов, А. Т. Фиалковский, Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, Наука, М., 1972, 204 с.
  30. Р. Миттра, С. Ли, Аналитические методы теории волноводов, Мир, М., 1974, 328 с.
  31. А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников, Математические модели электродинамики, Уч. пособ. для вузов, Высшая школа, М., 1991, 224 с.
  32. Т. Н. Галишникова, А. С. Ильинский, Метод интегральных уравнений в задачах дифракции волн, МАКС Пресс, М., 2013, 248 с.
  33. А. Н. Боголюбов, А. Л. Делицын, А. Г. Свешников, “О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 39:11 (1999), 1869–1888
  34. А. Н. Боголюбов, А. Л. Делицын, А. Г. Свешников, “Об условиях разрешимости задачи возбуждения радиоволновода”, Докл. АН СССР, 370:4 (2000), 453–456
  35. А. Л. Делицын, “О постановке краевых задач для системы уравнений Максвелла в цилиндре и их разрешимости”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 61–112
  36. П. Е. Краснушкин, Е. И. Моисеев, “О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе”, Докл. АН СССР, 264:5 (1982), 1123–1127
  37. Б. А. Пламеневский, А. С. Порецкий, “О поведении волноводных матриц рассеяния в окрестности порогов”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 188–237
  38. M. Costabel, M. Dauge, “Stable asymptotics for elliptic systems on plane domains with corners”, Comm. Partial Differential Equations, 19:9-10 (1994), 1677–1726
  39. V. Maz'ya, J. Rossmann, “On a problem of Babuška (stable asymptotics of the solution to the Dirichlet problem for elliptic equations of second order in domains with angular points)”, Math. Nachr., 155 (1992), 199–220
  40. B. Schmutzler, “The structure of branching asymptotics for elliptic boundary value problems in domains with edges”, Symposium {“}Analysis on manifolds with singularities{rm”} (Breitenbrunn, 1990), Teubner-Texte Math., 131, Teubner, Stuttgart, 1992, 201–207
  41. B. W. Schulze, “Regularity with continuous and branching asymptotics for elliptic operators on manifolds with edges”, Integral Equations Operator Theory, 11:4 (1988), 557–602
  42. Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, Уравнения с частными производными, Мир, М., 1966, 351 с.
  43. D. Colton, R. Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Appl. Math. Sci., 93, 3rd ed., Springer, New York, 2013, xiv+405 pp.
  44. В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, “Оценки в $L_p$ и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе”, Math. Nachr., 81 (1978), 25–82
  45. H. O. Cordes, “Über die eindeutige Bestimmtheit der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen durch Anfangsvorgaben”, Nachr. Akad Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. IIa, 1956 (1956), 239–258
  46. В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, “Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна”, УМН, 43:5(263) (1988), 55–98
  47. M. M. Eller, M. Yamamoto, “A Carleman inequality for the stationary anisotropic Maxwell system”, J. Math. Pures Appl. (9), 86:6 (2006), 449–462

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Plamenevskii B.A., Poretskii A.S., Sarafanov O.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».