Non-uniform Kozlov–Treschev averagings in the ergodic theorem

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

Generalizations and refinements are given for results of Kozlov and Treschev on non-uniform averagings in the ergodic theorem in the case of operator semigroups on spaces of integrable functions and semigroups of measure-preserving transformations. Conditions on the averaging measures are studied under which the averages converge for broad classes of integrable functions.Bibliography: 96 items.

作者简介

Vladimir Bogachev

Lomonosov Moscow State University; HSE University

Email: vibogach@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

参考

  1. H. Aimar, A. L. Bernardis, F. J. Martin-Reyes, “Ergodic transforms associated to general averages”, Studia Math., 199:2 (2010), 107–143
  2. M. A. Akcoglu, “A pointwise ergodic theorem in $L_p$-spaces”, Canadian J. Math., 27:5 (1975), 1075–1082
  3. M. A. Akcoglu, R. V. Chacon, “Ergodic properties of operators in Lebesgue space”, Advances in probability and related topics, v. 2, Dekker, New York, 1970, 1–47
  4. M. A. Akcoglu, R. V. Chacon, “A local ratio theorem”, Canadian J. Math., 22:3 (1970), 545–552
  5. M. A. Akcoglu, J. Cunsolo, “An ergodic theorem for semigroups”, Proc. Amer. Math. Soc., 24 (1970), 161–170
  6. M. A. Akcoglu, Y. Deniel, “Moving weighted averages”, Canadian J. Math., 45:3 (1993), 449–469
  7. N. Asmar, E. Berkson, T. A. Gillespie, “Distributional control and generalized analyticity”, Integral Equations Operator Theory, 14:3 (1991), 311–341
  8. S. Banach, “Sur la convergence presque partout de fonctionnelles lineaires”, Bull. Sci. Math. (2), 50 (1926), 27–32
  9. S. Banach, {OE}uvres, v. II, Travaux sur l'analyse fonctionnelle, PWN–Editions Scientifiques de Pologne, Warsaw, 1979, 470 pp.
  10. M. E. Becker, “Weighted ergodic theorems for weakly mixing transformation groups”, Publ. Mat., 34:2 (1990), 307–309
  11. A. Bellow, V. Losert, “The weighted pointwise ergodic theorem and the individual ergodic theorem along subsequences”, Trans. Amer. Math. Soc., 288:1 (1985), 307–345
  12. K. N. Berk, “Ergodic theory with recurrent weights”, Ann. Math. Statist., 39:4 (1968), 1107–1114
  13. A. L. Bernardis, F. J. Martin-Reyes, M. D. Sarrion Gavilan, “Convergence in the Cesàro sense of ergodic operators associated with a flow”, Illinois J. Math., 44:3 (2000), 667–680
  14. В. И. Богачев, Гауссовские меры, Наука, М., 1997, 352 с.
  15. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 1, 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 544 с., 576 с.
  16. В. И. Богачев, Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2008, 544 с.
  17. V. I. Bogachev, “Gaussian measures on infinite-dimensional spaces”, Real and stochastic analysis. Current trends, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, 1–83
  18. В. И. Богачев, “Операторы и полугруппы Орнштейна–Уленбека”, УМН, 73:2(440) (2018), 3–74
  19. V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
  20. В. И. Богачев, А. В. Королев, “Об эргодической теореме в форме Козлова–Трещева”, Докл. РАН, 412:3 (2007), 295–301
  21. В. И. Богачев, А. В. Королев, А. Ю. Пилипенко, “Неравномерные усреднения в эргодической теореме для стохастических потоков”, Докл. РАН, 432:4 (2010), 443–446
  22. В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, “Эллиптические и параболические уравнения для мер”, УМН, 64:6(390) (2009), 5–116
  23. В. И. Богачeв, Н. В. Крылов, М. Рeкнер, С. В. Шапошников, Уравнения Фок-кера–Планка–Колмогорова, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2013, 592 с.
  24. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Distances between transition probabilities of diffusions and applications to nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Funct. Anal., 271:5 (2016), 1262–1300
  25. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Convergence in variation of solutions of nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations to stationary measures”, J. Funct. Anal., 276:12 (2019), 3681–3713
  26. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On convergence to stationary distributions for solutions of nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, J. Math. Sci. (N.Y.), 242:1 (2019), 69–84
  27. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ, Университетский курс, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 2009, 724 с.
  28. M. Broise, Y. Deniel, Y. Derriennic, “Rearrangement, inegalites maximales et theorèmes ergodiques fractionnaires”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 39:3 (1989), 689–714
  29. M. Broise, Y. Deniel, Y. Derriennic, “Maximal inequalities and ergodic theorems for Cesàro or weighted averages”, Almost everywhere convergence (Evanston, IL, 1989), v. II, Academic Press, Boston, MA, 1991, 93–107
  30. R. V. Chacon, U. Krengel, “Linear modulus of a linear operator”, Proc. Amer. Math. Soc., 15:4 (1964), 553–559
  31. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин, Эргодическая теория, Наука, М., 1980, 384 с.
  32. N. Dunford, D. S. Miller, “On the ergodic theorem”, Trans. Amer. Math. Soc., 60 (1946), 538–549
  33. N. Dunford, J. T. Schwartz, “Convergence almost everywhere of operator averages”, J. Rational Mech. Anal., 5 (1956), 129–178
  34. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, т. I, Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.
  35. D. A. Edwards, “A maximal ergodic theorem for Abel means of continuous-parameter operator semigroups”, J. Funct. Anal., 7 (1971), 61–70
  36. R. Emilion, “Mean-bounded operators and mean ergodic theorems”, J. Funct. Anal., 61:1 (1985), 1–14
  37. R. Emilion, “On the pointwise ergodic theorem in $L^p$, $1
  38. D. Feyel, “Espaces complètement reticules de pseudo-noyaux. Applications aux resolvantes et aux semi-groupes complexes”, Seminaire de theorie du potentiel (Paris, 1976/1977), v. 3, Lecture Notes in Math., 681, Springer, Berlin, 1978, 54–80
  39. D. Feyel, “Theorèmes de convergence presque-sûre, existence de semi-groupes”, Adv. in Math., 34:2 (1979), 145–162
  40. H. Fong, L. Sucheston, “On the ratio ergodic theorem for semi-groups”, Pacific J. Math., 39:3 (1971), 659–667
  41. T. A. Gillespie, J. L. Torrea, “Weighted ergodic theory and dimension free estimates”, Q. J. Math., 54:3 (2003), 257–280
  42. A. Gorodnik, A. Nevo, The ergodic theory of lattice subgroups, Ann. of Math. Stud., 172, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2010, xiv+121 pp.
  43. M. Haase, “Convexity inequalities for positive operators”, Positivity, 11:1 (2007), 57–68
  44. S. Hasegawa, R. Satō, “A general ratio ergodic theorem for semigroups”, Pacific J. Math., 62:2 (1976), 435–437
  45. R. L. Jones, R. Kaufman, J. M. Rosenblatt, M. Wierdl, “Oscillation in ergodic theory”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 18:4 (1998), 889–935
  46. R. L. Jones, J. Rosenblatt, “Differential and ergodic transforms”, Math. Ann., 323:3 (2002), 525–546
  47. А. Г. Качуровский, “Скорости сходимости в эргодических теоремах”, УМН, 51:4(310) (1996), 73–124
  48. А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Тр. ММО, 77:1 (2016), 1–66, МЦНМО, М.
  49. L. Kantorovitch, “Linear operations in semi-ordered spaces. I”, Матем. сб., 7(49):2 (1940), 209–284
  50. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 4-е изд., Наука, М., 1978, 112 с.
  51. C. Kipnis, “Majoration des semi-groupes de contractions de $L^1$ et applications”, Ann. Inst. H. Poincare Sect. B (N. S.), 10 (1974), 369–384
  52. А. И. Комеч, Е. А. Копылова, “Аттракторы нелинейных гамильтоновых уравнений в частных производных”, УМН, 75:1(451) (2020), 3–94
  53. А. В. Королев, “Об эргодической теореме в форме Козлова–Трещева для полугруппы операторов”, Укр. матем. журн., 62:5 (2010), 702–707
  54. А. В. Королев, “О сходимости неравномерных эргодических средних”, Матем. заметки, 87:6 (2010), 944–947
  55. В. В. Козлов, “Весовые средние, равномерное распределение и строгая эргодичность”, УМН, 60:6(366) (2005), 115–138
  56. В. В. Козлов, “Обобщенное кинетическое уравнение Власова”, УМН, 63:4(382) (2008), 93–130
  57. В. В. Козлов, “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148
  58. V. V. Kozlov, D. V. Treschev, “On new forms of the ergodic theorem”, J. Dynam. Control Syst., 9:3 (2003), 449–453
  59. В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Эволюция мер в фазовом пространстве нелинейных гамильтоновых систем”, ТМФ, 136:3 (2003), 496–506
  60. V. V. Kozlov, D. V. Treschev, “Weak convergence of measures in conservative systems”, Теория представлений, динамические системы. VIII, Спец. вып., Зап. науч. сем. ПОМИ, 300, ПОМИ, СПб., 2003, 194–205
  61. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, “Тонкая и грубая энтропия в задачах статистической механики”, ТМФ, 151:1 (2007), 120–137
  62. М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, М., 1958, 271 с.
  63. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов, Интерполяция линейных операторов, Наука, М., 1978, 400 с.
  64. U. Krengel, Ergodic theorems, De Gruyter Stud. Math., 6, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985, viii+357 pp.
  65. Y. Kubokawa, “Ergodic theorems for contraction semi-groups”, J. Math. Soc. Japan, 27:2 (1975), 184–193
  66. H. Kunita, Stochastic flows and stochastic differential equations, Cambridge Stud. Adv. Math., 24, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, xiv+346 pp.
  67. A. L. Kuzemsky, Irreversible evolution of open systems and the nonequilibrium statistical operator method, 2019, 40 pp.
  68. M. Lacey, E. Terwilleger, “A Wiener–Wintner theorem for the Hilbert transform”, Ark. Mat., 46:2 (2008), 315–336
  69. M. Lin, M. Weber, “Weighted ergodic theorems and strong laws of large numbers”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 27:2 (2007), 511–543
  70. E. Lindenstrauss, “Pointwise theorems for amenable groups”, Invent. Math., 146:2 (2001), 259–295
  71. M. Lorente Dominguez, F. J. Martin-Reyes, “The ergodic Hilbert transform for Cesàro bounded flows”, Tohoku Math. J. (2), 46:4 (1994), 541–556
  72. G. G. Lorentz, “On the theory of spaces $Lambda$”, Pacific J. Math., 1:3 (1951), 411–429
  73. Е. Лукач, Характеристические функции, Наука, М., 1979, 424 с.
  74. R. Oberlin, A. Seeger, T. Tao, C. Thiele, J. Wright, “A variation norm Carleson theorem”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 14:2 (2012), 421–464
  75. K. Petersen, Ergodic theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 2, Corr. reprint of the 1983 original, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, xii+329 pp.
  76. M. M. Rao, Z. D. Ren, Theory of Orlicz spaces, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., 146, Marcel Dekker, Inc., New York, 1991, xii+449 pp.
  77. R. Satō, “An Abel-maximal ergodic theorem for semi-groups”, Pacific J. Math., 51:2 (1974), 543–547
  78. R. Satō, “Ergodic theorems for semi-groups in $L_p$, $1
  79. R. Sato, “Ergodic theorems for semigroups of positive operators”, J. Math. Soc. Japan, 29:4 (1977), 591–606
  80. R. Sato, “Individual ergodic theorems for pseudo-resolvents”, Math. J. Okayama Univ., 23:1 (1981), 59–67
  81. R. Sato, “An ergodic maximal equality for nonsingular flows and applications”, Acta Math. Hungar., 61:1-2 (1993), 51–58
  82. R. Sato, “Ergodic properties of contraction semigroups in $L_p$, $1
  83. B. Scarpellini, “Fourier analysis on dynamical systems”, J. Differential Equations, 28:3 (1978), 309–326
  84. А. Р. Ширикян, “Управляемость влечeт перемешивание. I. Сходимость в метрике полной вариации”, УМН, 72:5(437) (2017), 165–180
  85. А. В. Скороход, Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений, Наукова думка, Киев, 1987, 328 с.
  86. E. M. Stein, Topics in harmonic analysis related to the Littlewood–Paley theory, Ann. of Math. Stud., 63, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ; Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1970, viii+146 pp.
  87. А. А. Темпельман, “Эргодические теоремы для общих динамических систем”, Тр. ММО, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 1972, 95–132
  88. А. А. Темпельман, Эргодические теоремы на группах, Мокслас, Вильнюс, 1986, 224 с.
  89. A. Tempelman, A. Shulman, “Dominated and pointwise ergodic theorems with ‘weighted’ averages for bounded Lamperti representations of amenable groups”, J. Math. Anal. Appl., 474:1 (2019), 23–58
  90. S. Tsurumi, “An ergodic theorem for a semigroup of linear contractions”, Proc. Japan Acad., 49:5 (1973), 306–309
  91. S. Tsurumi, “General ergodic theorems for semigroups of linear operators”, Publications des seminaires de mathematiques et informatique de Rennes, 1975, no. 1, 11, 9 pp.
  92. А. Ю. Веретенников, “О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений”, Матем. сб., 111(153):3 (1980), 434–452
  93. N. Wiener, A. Wintner, “On the ergodic dynamics of almost periodic systems”, Amer. J. Math., 63:4 (1941), 794–824
  94. T. Yoshimoto, “On multiparameter Chacon's type ergodic theorems”, Acta Sci. Math. (Szeged), 78:3-4 (2012), 489–515
  95. T. Yoshimoto, “Multiparameter ratio ergodic theorems for semigroups”, J. Funct. Anal., 265:12 (2013), 3104–3132
  96. T. Yoshimoto, “Almost everywhere convergence of multiple operator averages for affine semigroups”, Acta Sci. Math. (Szeged), 84:3-4 (2018), 509–554

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Bogachev V.I., 2020

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».