Sobolev-orthogonal systems of functions and some of their applications

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Systems of functions are considered which are associated with a given orthogonal system and are orthogonal with respect to an inner product of Sobolev type involving terms with masses concentrated at a point. Special attention is paid to such systems generated by classical orthogonal systems such as the cosine system, the Haar system, and the systems of Legendre, Jacobi, and Laguerre polynomials. The approximation properties of Fourier series in Sobolev-orthogonal systems are investigated in several cases. For (generally speaking, non-linear) systems of differential equations deep connections between Sobolev-orthogonal systems and the Cauchy problem are considered.Bibliography: 54 titles.

About the authors

Idris Idrisovich Sharapudinov

Daghestan Scientific Centre of Russian Academy of Sciences; Vladikavkaz Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: sharapud@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. G. Faber, “Über die Orthogonalfunctionen des Herrn Haar”, Jahresber. Deutsch Math. Verein., 19 (1910), 104–112
  2. J. Schauder, “Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen”, Math. Z., 26:1 (1927), 47–65
  3. И. И. Шарапудинов, “Системы функций, ортогональные по Соболеву, ассоциированные с ортогональной системой”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:1 (2018), 225–258
  4. И. И. Шарапудинов, М. Г. Магомед-Касумов, “О представлении решения задачи Коши рядом Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву, порожденным многочленами Лагерра”, Дифференц. уравнения, 54:1 (2018), 51–68
  5. М. Г. Магомед-Касумов, “Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием смешанных рядов по системе Хаара”, Современные проблемы теории функций и их приложения, Материалы 18-й международной Саратовской зимней школы, Научная книга, Саратов, 2016, 176–178
  6. P. Althammer, “Eine Erweiterung des Orthogonalitätsbegriffes bei Polynomen und deren Anwendung auf die beste Approximation”, J. Reine Angew. Math., 1962:211 (1962), 192–204
  7. A. Iserles, P. E. Koch, S. P. Norsett, J. M. Sanz-Serna, “On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products”, J. Approx. Theory, 65:2 (1991), 151–175
  8. H. G. Meijer, “Laguerre polynomials generalized to a certain discrete Sobolev inner product space”, J. Approx. Theory, 73:1 (1993), 1–16
  9. F. Marcellan, M. Alfaro, M. L. Rezola, “Orthogonal polynomials on Sobolev spaces: old and new directions”, J. Comput. Appl. Math., 48:1-2 (1993), 113–131
  10. G. Lopez, F. Marcellan, W. Van Assche, “Relative asymptotics for polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product”, Constr. Approx., 11:1 (1995), 107–137
  11. K. H. Kwon, L. L. Littlejohn, “The orthogonality of the Laguerre polynomials ${L_n^{-k}(x)}$ for positive integers $k$”, Ann. Numer. Anal., 2:1-4 (1995), 289–303
  12. K. H. Kwon, L. L. Littlejohn, “Sobolev orthogonal polynomials and second-order differential equations”, Rocky Mountain J. Math., 28:2 (1998), 547–594
  13. F. Marcellan, Y. Xu, “On Sobolev orthogonal polynomials”, Expo. Math., 33:3 (2015), 308–352
  14. А. А. Гончар, “О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций”, Матем. сб., 97(139):4(8) (1975), 607–629
  15. H. Bavinck, “On polynomials orthogonal with respect to an inner product involving differences”, J. Comput. Appl. Math., 57:1-2 (1995), 17–27
  16. H. Bavinck, “On polynomials orthogonal with respect to an inner product involving differences (the general case)”, Appl. Anal., 59:1-4 (1995), 233–240
  17. H. Bavinck, R. Koekoek, “Difference operators with Sobolev type Meixner polynomials as eigenfunctions”, Comput. Math. Appl., 36:10-12 (1998), 163–177
  18. I. Area, E. Godoy, F. Marcellan, “Inner products involving differences: the Meixner–Sobolev polynomials”, J. Differ. Equations Appl., 6:1 (2000), 1–31
  19. И. И. Шарапудинов, “Аппроксимативные свойства операторов ${mathscr Y}_{n+2r}(f)$ и их дискретных аналогов”, Матем. заметки, 72:5 (2002), 765–795
  20. И. И. Шарапудинов, Смешанные ряды по ортогональным полиномам, Изд-во Дагестан. науч. центра РАН, Махачкала, 2004, 176 с.
  21. I. Area, E. Godoy, F. Marcellan, J. J. Moreno-Balcazar, “$Delta$-Sobolev orthogonal polynomials of Meixner type: asymptotics and limit relation”, J. Comput. Appl. Math., 178:1-2 (2005), 21–36
  22. И. И. Шарапудинов, “Смешанные ряды по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке”, Матем. заметки, 78:3 (2005), 442–465
  23. И. И. Шарапудинов, “Приближение дискретных функций и многочлены Чебышева, ортогональные на равномерной сетке”, Матем. заметки, 67:3 (2000), 460–470
  24. И. И. Шарапудинов, Т. И. Шарапудинов, “Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Чебышева, ортогональными на сетке”, Изв. вузов. Матем., 2017, № 8, 67–79
  25. И. И. Шарапудинов, З. Д. Гаджиева, “Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 16:3 (2016), 310–321
  26. И. И. Шарапудинов, З. Д. Гаджиева, Р. М. Гаджимирзаев, “Разностные уравнения и полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера”, Владикавк. матем. журн., 19:2 (2017), 58–72
  27. И. И. Шарапудинов, И. Г. Гусейнов, “Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные полиномами Шарлье”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 18:2 (2018), 196–205
  28. И. И. Шарапудинов, “Приближение функций с переменной гладкостью суммами Фурье–Лежандра”, Матем. сб., 191:5 (2000), 143–160
  29. И. И. Шарапудинов, “Смешанные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства”, Матем. сб., 194:3 (2003), 115–148
  30. И. И. Шарапудинов, “Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лежандра на классах $W^r$”, Матем. сб., 197:3 (2006), 135–154
  31. И. И. Шарапудинов, “Аппроксимативные свойства средних типа Валле-Пуссена частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лежандра”, Матем. заметки, 84:3 (2008), 452–471
  32. И. И. Шарапудинов, Г. Н. Муратова, “Некоторые свойства $r$-кратно интегрированных рядов по системе Хаара”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 9:1 (2009), 68–76
  33. И. И. Шарапудинов, Т. И. Шарапудинов, “Смешанные ряды по полиномам Якоби и Чебышева и их дискретизация”, Матем. заметки, 88:1 (2010), 116–147
  34. И. И. Шарапудинов, “Некоторые специальные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 201–224
  35. И. И. Шарапудинов, “Смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам”, Дагестан. электрон. матем. изв., 2015, № 3, 1–254
  36. И. И. Шарапудинов, “Некоторые специальные ряды по общим полиномам Лагерра и ряды Фурье по полиномам Лагерра, ортогональным по Соболеву”, Дагестан. электрон. матем. изв., 2015, № 4, 31–73
  37. И. И. Шарапудинов, “Аппроксимативные свойства рядов Фурье по многочленам, ортогональным по Соболеву с весом Якоби и дискретными массами”, Матем. заметки, 101:4 (2017), 611–629
  38. И. И. Шарапудинов, “Специальные ряды по полиномам Лагерра и их аппроксимативные свойства”, Сиб. матем. журн., 58:2 (2017), 440–467
  39. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, М., 1977, 511 с.
  40. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., АФЦ, М., 1999, x+550 с.
  41. И. И. Шарапудинов, “Асимптотические свойства полиномов, ортогональных по Соболеву, порожденных полиномами Якоби”, Дагестан. электрон. матем. изв., 2016, № 6, 1–24
  42. Г. Сегe, Ортогональные многочлены, Физматгиз, М., 1962, 500 с.
  43. С. А. Теляковский, “Две теоремы о приближении функций алгебраическими многочленами”, Матем. сб., 70(112):2 (1966), 252–265
  44. И. Е. Гопенгауз, “К теореме А. Ф. Тимана о приближении функций многочленами на конечном отрезке”, Матем. заметки, 1:2 (1967), 163–172
  45. К. И. Осколков, “К неравенству Лебега в равномерной метрике и на множестве полной меры”, Матем. заметки, 18:4 (1975), 515–526
  46. I. I. Šarapudinov, “On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation”, Anal. Math., 9:3 (1983), 223–234
  47. И. И. Шарапудинов, “О наилучшем приближении и суммах Фурье–Якоби”, Матем. заметки, 34:5 (1983), 651–661
  48. А. Ф. Тиман, Теория приближения функций действительного переменного, Физматгиз, М., 1960, 624 с.
  49. G. Gasper, “Positivity and special functions”, Theory and application of special functions (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, WI, 1975), Academic Press, New York, 1975, 375–433
  50. L. N. Trefethen, Spectral methods in Matlab, Software Environ. Tools, 10, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000, xviii+165 pp.
  51. L. N. Trefethen, Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equation, 1996, 325 pp.
  52. В. В. Солодовников, А. Н. Дмитриев, Н. Д. Егупов, Спектральные методы расчета и проектирования систем управления, Машиностроение, М., 1986, 440 с.
  53. С. Пашковский, Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева, Наука, М., 1983, 384 с.
  54. R. Askey, S. Wainger, “Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series”, Amer. J. Math., 87:3 (1965), 698–708

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Sharapudinov I.I.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).