Trace formula for the magnetic Laplacian

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Ашық рұқсат Ашық рұқсат
Рұқсат жабық Рұқсат берілді
Рұқсат жабық Тек жазылушылар үшін

Аннотация

The Guillemin–Uribe trace formula is a semiclassical version of the Selberg trace formula and the more general Duistermaat–Guillemin formula for elliptic operators on compact manifolds, which reflects the dynamics of magnetic geodesic flows in terms of eigenvalues of a natural differential operator (the magnetic Laplacian) associated with the magnetic field. This paper gives a survey of basic notions and results related to the Guillemin–Uribe trace formula and provides concrete examples of its computation for two-dimensional constant curvature surfaces with constant magnetic fields and for the Katok example.Bibliography: 53 titles.

Негізгі сөздер

Авторлар туралы

Yuri Kordyukov

Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: yurikor@matem.anrb.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Iskander Taimanov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University

Email: taimanov@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Әдебиет тізімі

  1. A. Abbondandolo, L. Asselle, G. Benedetti, M. Mazzucchelli, I. A. Taimanov, “The multiplicity problem for periodic orbits of magnetic flows on the 2-sphere”, Adv. Nonlinear Stud., 17:1 (2017), 17–30
  2. A. Abbondandolo, L. Macarini, M. Mazzucchelli, G. P. Paternain, “Infinitely many periodic orbits of exact magnetic flows on surfaces for almost every subcritical energy level”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 19:2 (2017), 551–579
  3. J. Bolte, F. Steiner, “Flux quantization and quantum mechanics on Riemann surfaces in an external magnetic field”, J. Phys. A, 24:16 (1991), 3817–3823
  4. R. Bott, “On the iteration of closed geodesics and the Sturm intersection theory”, Comm. Pure Appl. Math., 9:2 (1956), 171–206
  5. R. Brummelhuis, A. Uribe, “A semi-classical trace formula for Schrödinger operators”, Comm. Math. Phys., 136:3 (1991), 567–584
  6. Й. Брюнинг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, “Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле”, Матем. заметки, 81:1 (2007), 32–42
  7. K. Cieliebak, U. Frauenfelder, G. P. Paternain, “Symplectic topology of Mañe's critical values”, Geom. Topol., 14:3 (2010), 1765–1870
  8. Y. Colin de Verdière, “Spectre conjoint d'operateurs pseudo-differentiels qui commutent. I. Le cas non integrable”, Duke Math. J., 46:1 (1979), 169–182
  9. Y. Colin de Verdière, “Semiclassical trace formulas and heat expansions”, Anal. PDE, 5:3 (2012), 693–703
  10. M. Combescure, J. Ralston, D. Robert, “A proof of the Gutzwiller semiclassical trace formula using coherent states decomposition”, Comm. Math. Phys., 202:2 (1999), 463–480
  11. A. Comtet, B. Georgeot, S. Ouvry, “Trace formula for Riemann surfaces with magnetic field”, Phys. Rev. Lett., 71:23 (1993), 3786–3789
  12. A. Comtet, P. J. Houston, “Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field”, J. Math. Phys., 26:1 (1985), 185–191
  13. G. Contreras, R. Iturriaga, G. P. Paternain, M. Paternain, “Lagrangian graphs, minimizing measures and Mañe's critical values”, Geom. Funct. Anal., 8:5 (1998), 788–809
  14. G. Contreras, L. Macarini, G. P. Paternain, “Periodic orbits for exact magnetic flows on surfaces”, Int. Math. Res. Not., 2004:8 (2004), 361–387
  15. C. Ю. Доброхотов, А. И. Шафаревич, “Квазиклассическое квантование инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем”, Топологические методы в теории гамильтоновых систем, Факториал, М., 1998, 41–114
  16. J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin, “The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics”, Invent. Math., 29:1 (1975), 39–79
  17. J. Elstrodt, “Die Resolvente zum Eigenwertproblem der automorphen Formen in der hyperbolischen Ebene. I”, Math. Ann., 203:4 (1973), 295–330
  18. E. V. Ferapontov, A. P. Veselov, “Integrable Schrödinger operators with magnetic fields: factorization method on curved surfaces”, J. Math. Phys., 42:2 (2001), 590–607
  19. V. L. Ginzburg, “On the existence and non-existence of closed trajectories for some Hamiltonian flows”, Math. Z., 223:3 (1996), 397–409
  20. V. Guillemin, “Wave-trace invariants”, Duke Math. J., 83:2 (1996), 287–352
  21. V. Guillemin, T. Paul, “Some remarks about semiclassical trace invariants and quantum normal forms”, Comm. Math. Phys., 294:1 (2010), 1–19
  22. V. Guillemin, A. Uribe, “Clustering theorems with twisted spectra”, Math. Ann., 273:3 (1986), 479–506
  23. V. Guillemin, A. Uribe, “Circular symmetry and the trace formula”, Invent. Math., 96:2 (1989), 385–423
  24. V. Guillemin, A. Uribe, “Reduction and the trace formula”, J. Differential Geom., 32:2 (1990), 315–347
  25. M. C. Gutzwiller, “Periodic orbits and classical quantization conditions”, J. Math. Phys., 12:3 (1971), 343–358
  26. D. A. Hejhal, The Selberg trace formula for $mathrm{PSL}(2,mathbb R)$, v. I, Lecture Notes in Math., 548, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, vi+516 pp.
  27. B. Helffer, R. Purice, “Magnetic calculus and semiclassical trace formulas”, J. Phys. A, 43:47 (2010), 474028, 21 pp.
  28. P. Herbrich, Magnetic Schrödinger operators and Mañe's critical value, 2014, 46 pp.
  29. А. Б. Каток, “Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых систем”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:3 (1973), 539–576
  30. R. Kuwabara, “On spectra of the Laplacian on vector bundles”, J. Math. Tokushima Univ., 16 (1982), 1–23
  31. J. Marklof, “Selberg's trace formula: an introduction”, Hyperbolic geometry and applications in quantum chaos and cosmology, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 397, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, 83–119
  32. E. Meinrenken, “Semiclassical principal symbols and Gutzwiller's trace formula”, Rep. Math. Phys., 31:3 (1992), 279–295
  33. E. Meinrenken, “Trace formulas and the Conley–Zehnder index”, J. Geom. Phys., 13:1 (1994), 1–15
  34. С. П. Новиков, “Магнитно-блоховские функции и векторные расслоения. Типичные законы дисперсии и их квантовые числа”, Докл. АН СССР, 257:3 (1981), 538–543
  35. С. П. Новиков, “Двумерные операторы Шрeдингера в периодических полях”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 23, ВИНИТИ, М., 1983, 3–32
  36. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
  37. С. П. Новиков, И. Шмельцер, “Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника–Шнирельмана–Морса (ЛШМ). I”, Функц. анализ и его прил., 15:3 (1981), 54–66
  38. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, “Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов”, Докл. АН СССР, 274:1 (1984), 26–28
  39. T. Paul, A. Uribe, “The semi-classical trace formula and propagation of wave packets”, J. Funct. Anal., 132:1 (1995), 192–249
  40. H.-B. Rademacher, “A sphere theorem for non-reversible Finsler metrics”, Math. Ann., 328:3 (2004), 373–387
  41. A. Selberg, “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N. S.), 20 (1956), 47–87
  42. Z. Shen, “Two-dimensional Finsler metrics with constant flag curvature”, Manuscripta Math., 109:3 (2002), 349–366
  43. J. Sjöstrand, M. Zworski, “Quantum monodromy and semi-classical trace formulae”, J. Math. Pures Appl. (9), 81:1 (2002), 1–33
  44. И. А. Тайманов, “Принцип перекидывания циклов в теории Морса–Новикова”, Докл. АН СССР, 268:1 (1983), 46–50
  45. И. А. Тайманов, “Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:2 (1991), 367–383
  46. И. А. Тайманов, “Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях”, УМН, 47:2(284) (1992), 143–185
  47. И. А. Тайманов, “Замкнутые несамопересекающиеся экстремали многозначных функционалов”, Сиб. матем. журн., 33:4 (1992), 155–162
  48. A. Uribe, “Trace formulae”, First summer school in analysis and mathematical physics (Cuernavaca Morelos, 1998), Contemp. Math., 260, Aportaciones Mat., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, 61–90
  49. А. Б. Венков, “Спектральная теория автоморфных функций”, Тр. МИАН СССР, 153 (1981), 3–171
  50. T. T. Wu, C. N. Yang, “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys. Rev. D (3), 12:12 (1975), 3845–3857
  51. T. T. Wu, C. N. Yang, “Dirac monopole without strings: monopole harmonics”, Nuclear Phys. B, 107:3 (1976), 365–380
  52. S. Zelditch, “Wave invariants at elliptic closed geodesics”, Geom. Funct. Anal., 7:1 (1997), 145–213
  53. S. Zelditch, “Wave invariants for non-degenerate closed geodesics”, Geom. Funct. Anal., 8:1 (1998), 179–217

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

© Kordyukov Y.A., Taimanov I.A., 2019

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».