Analysis of acoustic waves in periodic functionally graded rods using the cauchy formalism method

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This study investigates acoustic waves in one-dimensional periodic functionally graded rods using a modified Cauchy formalism previously applied to analyze the dispersion of surface acoustic waves in layered media. During the propagation of harmonic waves in a semi-infinite rod with harmonic periodicity of acoustic properties, phenomena were observed, including non-periodic spatial variation of the wave's phase velocity and amplitude, along with spatially periodic changes in kinetic energy and strain energy.

About the authors

S. G. Saiyan

National Research Moscow State University of Civil Engineering (NRU MGSU); Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Author for correspondence.
Email: Berformert@gmail.com
Moscow

S. V. Kuznetsov

National Research Moscow State University of Civil Engineering (NRU MGSU); Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Email: Berformert@gmail.com
Moscow

References

  1. Miyamoto Y., Koizumi M., Yamada O. High-pressure self-combustion sintering for ceramics // J. Am. Ceramic Soc., 1984, vol. 67, no. 11, pp. 224–225. http://dx.doi.org/10.1111/j.1151-2916.1984.tb19488.x
  2. Gupta A., Talha M. Recent development in modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Progress Aerospace Sci., 2015, vol. 79, no. 3, pp. 1–14. http://dx.doi.org/10.1016/j.paerosci.2015.07.001i
  3. Li Z., Yu J., Zhang X. et al. Guided wave propagation in functionally graded fractional viscoelastic plates: A quadrature-free Legendre polynomial method // Mech. Adv. Mater. Struct., 2020, vol. 29, no. 16, pp. 1–21. http://dx.doi.org/10.1080/15376494.2020.1860273
  4. Hutmacher D.W., Sittinger M., Risbud M.V. Scaffold-based tissue engineering: rationale for computer-aided design and solid free-form fabrication systems // Trends Biotech, 2004, vol. 22, no. 7, pp. 354–362. http://dx.doi.org/10.1016/j.tibtech.2004.05.005
  5. Zhang X., Zhang C., Yu J. et al. Full dispersion and characteristics of complex guided waves in functionally graded piezoelectric plates // J. Intell. Mater. Syst. Struct., 2019, no. 10, vol. 30, pp. 1466–1480. http://dx.doi.org/10.1177/1045389X19836168
  6. Parhizkar Y., Ghannad M. Electro-elastic analysis of functionally graded piezoelectric variable thickness cylindrical shells using a first-order electric potential theory and perturbation technique // J. Intell. Mater. Syst. Struct., 2020, vol. 31, no. 17, pp. 2044–2068. http://dx.doi.org/10.1177/1045389X20935627
  7. Safari-Kahnaki A., Hosseini S.M., Tahani M. Thermal shock analysis and thermo-elastic stress waves in functionally graded thick hollow cylinders using analytical method // Int. J. Mech. Mater. Design, 2011, vol. 7, no. 3, pp. 167–184. http://dx.doi.org/10.1007/s10999-011-9157-3
  8. Wu B., Su Y.P., Liu D.Y. et al. On propagation of axisymmetric waves in pressurized functionally graded elastomeric hollow cylinders // J. Sound Vibr., 2018, vol. 412, pp. 17–47. http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2107.11121
  9. Naila S., Ghazala A. Solitary dynamics of longitudinal wave equation arises in magneto-electro-elastic circular rod // Modern Phys. Let. B., 2021, vol. 35, no. 5, pp. 2150086. http://dx.doi.org/10.1142/S021798492150086X
  10. Kuznetsov S.V. Cauchy formalism for Lamb waves in functionally graded plates // J. Vibr. Control, 2019, vol. 25, no. 6, pp. 1227–1232. http://dx.doi.org/10.1177/1077546318815376
  11. Kuznetsov S.V. Lamb waves in stratified and functionally graded plates: discrepancy, similarity, and convergence // Waves Random Complex Media, 2021, vol. 31, no. 6, pp. 1540–1549. http://dx.doi.org/10.1080/17455030.2019.1683257
  12. Auld B.A. Acoustic Fields and Waves in Solids. Vol. 2. 2nd ed. Malabar, Florida: Krieger Publishing Company, 1990. 421 p.
  13. Royer D., Dieulesaint E. Elastic Waves in Solids. Vol. I. New York: Springer-Verlag, 2000. 374 p.
  14. Djeran-Maigre I., Kuznetsov S.V. Velocities, dispersion, and energy of SH-waves in anisotropic laminated plates // Acoust. Phys., 2014, vol. 60, no. 2, pp. 200–207. http://dx.doi.org/10.1134/S106377101402002X
  15. Ilyashenko A.V., Kuznetsov S.V. Pochhammer–Chree waves: polarization of the axially symmetric modes // Arch. Appl. Mech., 2018, vol. 88, no. 8, pp. 1385–1394. https://link.springer.com/article/10.1007/s00419-018-1377-7
  16. Quek S.T., Wang Q. On dispersion relations in piezoelectric coupled plate structures // Smart Mater. Struc., 2000, vol. 9, no. 6, pp. 859–867. http://dx.doi.org/10.1088/0964-1726/9/6/317
  17. Wang Q., Varadan V.K. Longitudinal wave propagation in piezoelectric coupled rods // Smart Mater. Struc., 2002, vol. 11, no. 1, pp. 48–54. http://dx.doi.org/10.1088/0964-1726/11/1/305
  18. Han X., Liu G.R., Xi Z.C. et al. Characteristics of waves in a functionally graded cylinder // Int. J. Num. Meth. Eng., 2002, vol. 53, no. 3, pp. 653–676. http://dx.doi.org/10.1002/nme.305
  19. Shuvalov A. A sextic formalism for three-dimensional elastodynamics of cylindrically anisotropic radially inhomogeneous materials // Proc. Royal Soc. London. Ser. A., 2003, vol. 459, no. 2035, pp. 1611–1639. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2002.1075
  20. Elmaimouni L., Lefebvre J.E., Zhang V. et al. Guided waves in radially graded cylinders: a polynomial approach // NDT & E Int., 2005, vol. 38, no. 5, pp. 344–353. http://dx.doi.org/10.1016/j.ndteint.2004.10.004
  21. Elmaimouni L., Lefebvre J.E., Raherison A. et al. Acoustical guided waves in inhomogeneous cylindrical materials // Ferroelectrics, 2010, vol. 372, no. 1, pp. 115–123. http://dx.doi.org/10.1080/00150190802382074
  22. Yu J.G., Wu B. Circumferential wave in magneto-electro-elastic functionally graded cylindrical curved plates // Europ. J. Mech. Ser. A/Solids, 2009, vol. 28, no. 3, pp. 560–568. http://dx.doi.org/10.1016/j.euromechsol.2008.07.011
  23. Baron C., Naili S. Propagation of elastic waves in a fluid-loaded anisotropic functionally graded waveguide: application to ultrasound characterization // J. Acoust. Soc. Am., 2010, vol. 127, pp. 1307–1317. http://dx.doi.org/10.1121/1.3292949
  24. Chan Zh.L., Chen W.Q. Torsional wave propagation in a circumferentially poled piezoelectric cylindrical transducer with unattached electrodes // IEEE Trans. Ultrasonics Ferroelectrics Freq. Control, 2010, vol. 57, pp. 1230–1236. http://dx.doi.org/10.1109/TUFFC.2010.1536
  25. Baron C. Propagation of elastic waves in an anisotropic functionally graded hollow cylinder in vacuum // Ultrasonics, 2011, vol. 51, no. 2, pp. 123–130. http://dx.doi.org/10.1016/j.ultras.2010.07.001
  26. Xue C.X., Pan E., Zhang S.Y. Solitary waves in a magneto-electro-elastic circular rod // Smart Materials and Structures, 2011, vol. 20, no. 10, pp. 105010. http://dx.doi.org/10.1088/0964-1726/20/10/105010
  27. Xue C.-X., Pan E. On the longitudinal wave along a functionally graded magneto-electro-elastic rod // Int. J. Eng. Sci., 2013, vol. 62, pp. 48–55. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijengsci.2012.08.004
  28. Zarezadeh E., Hosseini V., Hadi A. Torsional vibration of functionally graded nano-rod under magnetic field supported by a generalized torsional foundation based on nonlocal elasticity theory // Mech. Based Design Struct. Mach., 2019, vol. 48, no. 4, pp. 1–16. http://dx.doi.org/10.1080/15397734.2019.1642766
  29. Mirsky I. Wave propagation in transversely isotropic circular cylinders, part I: theory // J. Acoust. Soc. Am., 1965, vol. 37, pp. 1016–1026. http://dx.doi.org/10.1121/1.1909508
  30. Nelson F., Dong S., Kalkra R. Vibrations and waves in laminated orthotropic circular cylinders // J. Sound Vibr., 1971, vol. 18, pp. 429–444. http://dx.doi.org/10.1016/0022-460X(71)90714-0
  31. Honarvar F., Enjilela E., Sinclair A. et al. Wave propagation in transversely isotropic cylinders // Int. J. Solids and Struct., 2007, vol. 44, pp. 5236–5246. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2006.12.029
  32. Mindlin R.D., McNiven H.D. Axially symmetric waves in elastic rods // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1960, vol. 27, pp. 145–151. http://dx.doi.org/10.1115/1.3643889
  33. Kolsky H. Stress Waves in Solids. 2nd ed. Dover Publ.: N.-Y., 2012. 224 p.
  34. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Am., 1962, vol. 51, pp. 265–283. http://dx.doi.org/10.1121/1.1912838
  35. Valsamos G., Casadei F., Solomos G. A numerical study of wave dispersion curves in cylindrical rods with circular cross-section // Appl. Comput. Mech., 2013, vol. 7, pp. 99–114.
  36. Hartman Ph. Ordinary Differential Equations (Classics in Applied Mathematics). 2nd Ed. Philadelphia: SIAM, 1987. 632 p.
  37. Eastham M.S.P. The Spectral Theory of Periodic Differential Equations. Edinburgh: Scottish Academic Press, 1973. 140 p.
  38. Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures. 2nd ed., Dover: N.Y., 1946. 600 p.
  39. Mead D.J. Free wave propagation in periodically supported, infinite beams // J. Sound Vibr., 1970, vol. 11, pp. 181–197. http://dx.doi.org/10.1016/S0022-460X(70)80062-1
  40. Kushwaha M., Halevi P., Dobrzynski L. et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites // Phys. Rev. Lett., 1993, vol. 71, no. 13, pp. 2022–2025. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.71.2022
  41. Kushwaha M.S., Halevi P., Martínez G. et al. Theory of acoustic band structure of periodic elastic composites // Phys. Rev. B., 1994, vol. 49, no. 4, pp. 2313–2322. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.49.2313
  42. Mester S.S., Benaroya H. Periodic and near-periodic structures // Shock Vibr., 1995, vol. 2, pp. 69–95. http://dx.doi.org/10.3233/SAV-1995-2107
  43. Bruck H.A. A one-dimensional model for designing functionally graded materials to manage stress waves // Int. J. Solids Struct., 2000, vol. 37, pp. 6383–6395. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(99)00236-X
  44. Tongele T.N., Chen T. Control of longitudinal wave propagation in conical periodic structures // J. Vib. Control, 2004, vol. 10, pp. 1795–1811. http://dx.doi.org/10.1177/1077546304042532
  45. Hussein M.I., Leamy M.J., Ruzzene M. Dynamics of phononic materials and structures: historical origins, recent progress, and future outlook // Appl. Mech. Rev., 2014, vol. 66, pp. 40802. http://dx.doi.org/10.1115/1.4026911
  46. Morandi F., Miniaci M., Marzani A. et al. Standardised acoustic characterisation of sonic crystals noise barriers: sound insulation and reflection properties // Appl. Acoust., 2016, vol. 114, pp. 294–306. http://dx.doi.org/10.1016/j.apacoust.2016.07.028
  47. Shmat’ko A.A., Mizernik V.N., Odarenko E.N. Floquet-Bloch waves in magnetophotonic crystals with transverse magnetic field // J. Electromagnetic Waves Appl., 2020, vol. 34, no. 12, pp. 1667–1679. http://dx.doi.org/10.1080/09205071.2020.1780955
  48. Askes H., Metrikine A.V., Pichugin A.V. et al. Four simplified gradient elasticity models for the simulation of dispersive wave propagation // Phil. Mag., 2008, vol. 88, pp. 3415–3443. http://dx.doi.org/10.1080/14786430802524108
  49. Butt S.N., Timothy J.J., Meschke G. Wave dispersion and propagation in state-based peridynamics // Comp. Mech., 2017, vol. 60, pp. 725–738. https://link.springer.com/article/10.1007/s00466-017-1439-7
  50. Guo Z., Wu F., Xue C. et al. Significant enhancement of magneto-optical effect in one-dimensional photonic crystals with a magnetized epsilon-near-zero defect // J. Appl. Phys., 2018, vol. 124, pp. 103104. http://dx.doi.org/10.1063/1.5042096
  51. Silling S.A. Propagation of a stress pulse in a heterogeneous elastic bar // J. Peridyn. Nonlocal Model, 2021, vol. 3, pp. 255–275. http://dx.doi.org/10.1007/s42102-020-00048-5
  52. Silling S.A. Attenuation of waves in a viscoelastic peridynamic medium // Math. Mech. Solids, 2019, vol. 24, no. 11, pp. 3597–3613. http://dx.doi.org/10.1177/1081286519847241
  53. Wang L., Xu J., Wang J. Static and dynamic Green’s functions in peridynamics // J. Elast., 2017, vol. 126, pp. 95–125. https://link.springer.com/article/10.1007/s10659-016-9583-4
  54. Xu X., Foster J.T. Deriving peridynamic influence functions for one-dimensional elastic materials with periodic microstructure // J. Peridyn. Nonlocal Model, 2020, vol. 2, pp. 337–351. https://link.springer.com/article/10.1007/s42102-020-00037-8
  55. Mikata Y. Analytical solutions of peristatic and peridynamic problems for a ld infinite rod // Int. J. Solids Struct., 2012, vol. 49, pp. 2887–2897. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2012.02.012
  56. Van Pamel A., Sha G., Rokhlin S.I. et al. Finite-element modelling of elastic wave propagation and scattering within heterogeneous media // Proc. Royal Soc. Ser. A. Math., Phys. Eng. Sci., 2017, vol. 473, no. 2197, pp. 20160738. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2016.0738
  57. Chakraborty A., Gopalakrishnan S. A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams // Int. J. Solids Struct., 2003, vol. 40, pp. 2421–2448. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(03)00029-5
  58. Wu M.-L., Wu L.-Y., Yang W.-P. et al. Elastic wave band gaps of one-dimensional phononic crystals with functionally graded materials // Smart Mater. Struct., 2009, vol. 18, no. 11, pp. 115013. http://dx.doi.org/10.1088/0964-1726/18/11/115013
  59. Kuznetsov S.V. Forbidden planes for Rayleigh waves // Quart. Appl. Math., 2002, vol. 60, pp. 87–97. http://dx.doi.org/10.1090/qam/1878260
  60. Kuznetsov S.V. Love waves in layered anisotropic media // J. Appl. Math. Mech., 2006, vol. 70, no. 1, pp. 116–127. http://dx.doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2006.03.004
  61. Ilyashenko A.V., Kuznetsov S. V. Theoretical aspects of applying Lamb waves in nondestructive testing of anisotropic media // Russ. J. Nondestruct. Test., 2017, vol. 53, pp. 243–259. http://dx.doi.org/10.1134/S1061830917040039
  62. Marcus M., Mink H. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. Revised ed. N.Y.: Dover Publications, 2010. 180 p.
  63. Carcione J.M., Cavallini F. Forbidden directions for inhomogeneous pure shear waves in dissipative anisotropic media // Geophys., 1995, vol. 60, no. 2., pp. 522–530. http://dx.doi.org/10.1190/1.1443789
  64. Carcione J.M. Wave Fields in Real Media: Wave Propagation in Anisotropic, Anelastic, Porous and Electromagnetic Media. N.Y.: Elsevier, 2014. 690 p.
  65. Kuznetsov S.V. Love waves in stratified monoclinic media // Quart. Appl. Math., 2004, vol. 62, pp. 749–766. http://dx.doi.org/10.1090/qam/2104272
  66. Krylov V.V. New type of vibration dampers utilising the effect of acoustic ‘black holes’ // Acta Acustica united with Acustica, 2004, vol. 90, no. 5, pp. 830–837.
  67. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I. et al. Hybrid asynchronous absorbing layers based on Kosloff damping for seismic wave propagation in unbounded domains // Comp. Geotech., 2019, vol. 109, no. 1, pp. 69–81. http://dx.doi.org/10.1016/j.compgeo.2019.01.019
  68. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I. et al. Explicit/implicit multi-time step co-simulation in unbounded medium with Rayleigh damping and application for wave barrier // Europ. J. Environ. Civil Eng., 2020, vol. 24, no. 14, pp. 2400–2421. http://dx.doi.org/10.1080/19648189.2018.1506826
  69. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I. et al. Benchmark for three-dimensional explicit asynchronous absorbing layers for ground wave propagation and wave barriers // Comp. Geotech., 2021, vol. 131, pp. 103808. http://dx.doi.org/10.1016/j.compgeo.2020.103808
  70. Dudchenko A.V., Dias D., Kuznetsov S. V. Vertical wave barriers for vibration reduction // Arch. Appl. Mech., 2021, vol. 91, pp. 257–276. http://dx.doi.org/10.1007/s00419-020-01768-2
  71. Gavrilov S.N., Herman G.C. Wave propagation in a semi-infinite heteromodular elastic bar subjected to a harmonic loading // J. Sound Vib., 2012, vol. 331, no. 20, pp. 4464–4480. http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2012.05.022
  72. Kaplunov J., Prikazchikov D. A., Prikazchikova L. A. et al. The lowest vibration spectra of multi-component structures with contrast material properties // J. Sound Vibr., 2019, vol. 445, pp. 132–147. http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2019.01.013

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».