Model of a global electric circuit with conditions at magnetic conjugate points of the upper boundary of the atmosphere in the non-stationary case

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

В теории атмосферного электричества предложено несколько математических моделей глобальной электрической цепи (ГЭЦ), основанных на исследовании распределения потенциала электрического поля, вызванного сторонними токами, моделирующими токи разделения в грозовом облаке. Большинство математических моделей сводится к нахождению потенциала электрического поля из краевой задачи (в стационарном случае) или начально-краевой задачи (в нестационарном случае) для дифференциального уравнения в некоторой области. В этих задачах могут меняться 1) область, в которой решается задача, 2) функция, моделирующая проводимость атмосферы, 3) правая часть уравнения, моделирующая грозовые генераторы, и 4) граничные условия. С основными результатами теории ГЭЦ и обзором литературы можно познакомиться в публикациях [Мареев, 2010; Мареев и др., 2019; Морозов, 2011].

В данной работе рассматривается нестационарная классическая модель ГЭЦ для атмосферы, занимающей шаровой слой, где в качестве краевых условий на верхней границе атмосферы используются соотношения, связывающие значения электрического потенциала и тока в магнито-сопряженных точках. Такие граничные условия для стационарной задачи использовались в работах [Hays and Roble, 1979; Ogawa, 1985]. Вопросы математической корректности постановок задач как в стационарном, так и в нестационарном случаях с такими граничными условиями обсуждаются в работе [Kalinin and Slyunyaev, 2017].

Аналогичная нестационарная задача с более простым граничным условием рассматривалась в работе [Морозов, 2005]. Главным основанием для использования простого граничного условия являлось утверждение о том, что в нижней атмосфере верхнее граничное условие не оказывает влияние на решение.

В работе [Денисова и Калинин, 2018] была предпринята попытка сравнить аналитические решения двух соответствующих стационарных задач с различными условиями на верхней границе атмосферы. В работе показано, что, если верхняя граница шарового слоя находится на высоте большей 90 км то действительно есть часть шарового слоя, содержащая токовые генераторы, в которой значения решений двух разных краевых задач близки. Однако, в части шарового слоя, расположенной над генераторами, эти решения различны. Если верхняя граница шарового слоя находится на высоте, меньшей 70 км решения задач отличаются во всем шаровом слое, и особенно в магнито-сопряженных точках на всех высотах. Так как решения задач с разными краевыми условиями в области выше токовых генераторов различны при любой толщине шарового слоя, то исследование распределения электрического поля в задаче с граничными условиями [Hays and Roble, 1979] на верхней границе атмосферы, учитывающими магнито-сопряженные точки, представляет интерес.

Целью настоящей работы является аналитическое решение начально-краевой задачи для потенциала в атмосфере, электрическая проводимость которой экспоненциально растет, с граничными условиями [Hays and Roble, 1979] на верхней границе шарового слоя. Нахождение функции Грина соответствующей начально-краевой задачи. Исследование распределения потенциала токового диполя и получение асимптотических формул при t→∞.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Электрический потенциал $\Phi \left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ атмосферы, занимающей шаровой слой $r_0<r<r_m$, при включении в начальный момент вертикального тока удовлетворяет уравнению:

$\frac{1}{4\pi }\frac{\partial \Delta \Phi }{\partial t}+\text{div}\left(\sigma \text{grad}\Phi \right)=\text{div}{\mathbf{\text{j}}}^{ext},$ (1)

граничным

${\left.\Phi \left(r,\theta ,\phi ,t\right)\right|}_{r=r_m}={\left.\Phi \left(r,\pi -\theta ,\phi ,t\right)\right|}_{r=r_m, }$ (2)

${\left.\frac{\partial \Phi (r,\theta ,\phi ,t)}{\partial r}\right|}_{r=r_m}=-{\left.\frac{\partial \Phi (r,\pi -\theta ,\phi ,t)}{\partial r}\right|}_{r=r_m},$ (3)

${\left.\Phi \right|}_{r=r_0}=0$ (4)

и начальному  ${\left.\Phi \right|}_{t=0}=0$ (5)

условиям.

Далее в работе предполагается, что электрическая проводимость атмосферы  зависит только от радиуса и экспоненциально возрастает по радиусу

$\sigma \left(r\right)={\sigma }_0\exp \left(\frac{r-r_0}{H}\right),$

${\sigma }_0-$электрическая проводимость вблизи сферической земной поверхности; r – расстояние от центра Земли; – радиус Земли (при численных расчетах использовались следующие значения: r₀ = 6370 км, H = 6 км; высота магнитосферы h_m = r_m – r₀, h_m = 100 км); j^ext – плотность сторонних электрических токов, создаваемых грозовыми генераторами; $r, \theta \text{и} \phi$ –сферические координаты.

Будем рассматривать отдельный источник стороннего тока с номером s. В случае нескольких источников тока в формулах, приведенных ниже, следует провести суммирование по переменной s. Плотность стороннего радиального электрического тока запишем в виде [Денисова и Калинин, 2018]

$j^{ext}=\frac{I_{s0}\left(t\right)}{r^2\sin \theta }{\delta }_{N_s}\left(\theta ,{\theta }_s,\phi ,{\phi }_s\right)\left(\vartheta \left(r-r_{s0}\right)-\vartheta \left(r-r_{s1}\right)\right)e_r,$

где $r_{s1} \text{и} r_{s0}$ – радиальные расстояния, соответствующие положительному и отрицательному зарядам грозового генератора, причем $r_{s0}<r_{s1}; I_{s0}\left(t\right)$ – сила тока. Функцией $\vartheta \left(r\right)$ обозначена функция Хевисайда. Функция $\frac{1}{\sin \theta }{\delta }_{N_s}\left(\theta ,{\theta }_s,\phi ,{\phi }_s\right)$ содержит дополнительный параметр $N_s$ и имеет вид:

$\frac{1}{\sin \theta }{\delta }_{N_s}\left(\theta ,{\theta }_s,\phi ,{\phi }_s\right)=\underset{n=0}{\overset{N_s}{}}\underset{k=0}{\overset{n}{}}\frac{\left[Y_{n,k}^{\left(1\right)}\left(\theta ,\phi \right)Y_{n,k}^{\left(1\right)}\left({\theta }_s,{\phi }_s\right)+Y_{n,k}^{\left(2\right)}\left(\theta ,\phi \right)Y_{n,k}^{\left(2\right)}\left({\theta }_s,{\phi }_s\right)\right]}{{||Y_{n,k}||}^2}=\underset{n=0}{\overset{N_s}{}}\frac{\left(2n+1\right)}{4\pi }{\text{P}}_n\left(\cos \gamma \right).$ (6)

Здесь введено обозначение

$\cos \gamma =\cos \theta \cos {\theta }_s+\sin \theta \sin {\theta }_s\cos \left(\phi -{\phi }_s\right),$

${\text{Y}}_{n,k}^{\left(1\right)}\left(\theta ,\phi \right), {\text{Y}}_{n,k}^{\left(2\right)}\left(\theta ,\phi \right)-$ вещественные сферические функции; ${\text{P}}_n\left(\text{cos}\gamma \right)-$полиномы Лежандра, нормы сферических функций из первого и второго семейств совпадают, поэтому верхний индекс при записи норм $||{\text{Y}}_{n,k}||$ отсутствует.

Если $N_s=\infty$, то ряд, стоящий в правой части формулы (6), представляет собой разложение дельта-функции Дирака $\frac{1}{\sin \theta }\delta \left(\theta -{\theta }_s\right)\delta \left(\phi -{\phi }_s\right)$ в ряд по сферическим функциям, что соответствует использованию в задаче (1)(5) точечных зарядов для описания дипольного источника тока. Тогда $\gamma$ – угол между радиальным лучем точки наблюдения и осью диполя.

Если $N_s$ принимает конечное значение, то сумма (6) является частичной суммой ряда. Графики функции (6) приведены в работе [Денисова и Калинин, 2018]. Эта функция имеет максимум в точке $\theta ={\theta }_s$, $\phi ={\phi }_s$, но знакопеременна, что затрудняет ее физическую интерпретацию. Решение задачи, полученное в приложении 1 данной статьи, а также асимптотические формулы приложения 2, справедливы при любом значении $N_s$ в том числе и при $N_s=\infty$.

Для решения задачи (1)−(5) использовалось преобразование Лапласа по временной переменной [Лаврентьев и Шабат, 1973], применяя которое приходим к краевой задаче для уравнения:

$\begin{array}{c}\left(1+\frac{p}{4\pi \sigma }\right)\left(\frac{{\partial }^2\overline{\Phi }}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial \overline{\Phi }}{\partial r}+\frac{1}{r^2}{\Delta }_{\theta ,\phi }\overline{\Phi }\right)+\\ +\frac{1}{H}\frac{\partial \overline{\Phi }}{\partial r}=\frac{1}{\sigma } \text{div}\overline{{}^{\mathrm{ext}}} \end{array}$ (7)
с граничными условиями, аналогичными (2)(4). Через $\overline{\Phi }, \overline{{}^{\mathrm{ext}}}$ обозначены изображения функции $\Phi$ и ${\mathit{j}}^{\mathbf{ext}}$. В шаровом слое $r_0<r<r_m$, если  $\left|p\right|\ll \frac{2\pi {\sigma }_0{r}_0}{H},$ модули коэффициентов уравнения (7) мало отличаются от модулей коэффициентов уравнения:

$\left(1+\frac{p}{4\pi \sigma }\right)\left(\frac{{\partial }^2\overline{\Phi }}{\partial r^2}+\frac{1}{r_0^2}{\Delta }_{\theta ,\phi }\overline{\Phi }\right)+\frac{1}{H}\frac{\partial \overline{\Phi }}{\partial r}=\frac{1}{\sigma } \text{div}\mathbf{\text{j}}\overline{{}^{\mathrm{ext}}}.$ (8)

Поэтому при $t\gg \frac{H}{2\pi {\sigma }_0{r_0}_{ }}$ для исследования распределения электрического потенциала $\Phi \left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ можно воспользоваться оригиналом решения краевой задачи для уравнения (8) с граничными условиями, аналогичными (2)(4).

Среди уравнений (8) можно выделить уравнение, соответствующее стационарному дипольному генератору, у которого сила тока не меняется с течением времени $I_{s0}\left(t\right)=I_{s0}\vartheta \left(t\right),$ а $\overline{I_{s0}}\left(p\right)=I_{s0}/p$. В случае нестационарного тока вида $I_{s0}\left(t\right)=I_{s0}f\left(t\right),f\left(0\right)=0 I_{s0}\left(t\right)=I_{s0}f\left(t\right),f\left(0\right)=0$в правой части уравнения (8) нужно заменить $\frac{1}{p}$ функцией $\overline{f}\left(p\right)$. Решения краевых задач для этих уравнений отличаются только множителем, и знание оригинала для функции $\stackrel{\mathbf{-}}{\mathbf{Ф}}$ позволяет записать решение задачи с нестационарным током в виде свертки функций Ф и $f^{\text{'}}\left(t\right)$. В простейших случаях выбора вида функции $f\left(t\right)$ решение задачи с нестационарным током имеет простой вид. Приведем несколько примеров.

1. Источник прекращает действовать в момент времени $t=T$, моделируется использованием функции $f\left(t\right)=\vartheta \left(t\right)-\vartheta \left(t-T\right)$. Тогда решение задачи с нестационарным источником (обозначаем ${\Phi }^{\left(\text{нестац}\right)}$) запишется в виде:

${\Phi }^{\left(\text{нестац}\right)}\left(t\right)=\Phi \left(t\right)-\Phi \left(t-T\right)\vartheta \left(t-T\right).$ (9)

2. Для мгновенного источника тока:

$f\left(t\right)=T\delta \left(t-T\right)$,

${\Phi }^{\left(\text{нестац}\right)} \left(t\right)=T\frac{\partial \Phi \left(t-T\right)}{\partial t}\vartheta \left(t-T\right).$ (10)

3. Если $f\left(t\right)=1-e^{-t/T}$, то

${\Phi }^{\left(\text{нестац}\right)}=\frac{1}{T}{\int }_0^t\Phi \left(t^{\text{'}}\right)\exp \left(-\frac{(t-t^{\text{'}})}{T}\right)d{t}^{\text{'}}.$ (11)

Эти формулы справедливы в любой фиксированной точке $\left(r,\theta ,\phi \right)$, поэтому в формулах опущена зависимость функций от пространственных переменных. Во всех приведенных примерах решение задачи для дипольного генератора с нестационарным током выражается через решение задачи со стационарным током.

В данной статье решение краевой задачи для уравнения (8) со стационарным током найдено аналитически. Это позволяет в случае нестационарного тока примеров 13 также записать аналитическое решение, подставив решение со стационарным током в формулы (9), (10), (11) в соответствии с физикой задачи. Более того, в приложении 1 получено аналитическое выражение функции Грина краевой задачи для уравнения (8). Тогда с помощью формулы (10) можно записать решение, отличающееся от функции Грина соответствующей начально-краевой задачи только числовым множителем. Знание функции Грина позволяет представить решения начально-краевых задач для широкого класса нестационарных правых частей уравнения в виде свертки с функцией Грина.

В статье используются следующие обозначения: высота $h=r-r_0, {\sigma }_m=\sigma \left(r_m\right), {\sigma }_{s0}= \sigma \left(r_{s0}\right), {\sigma }_{s1}= \sigma \left(r_{s1}\right),$$$\begin{gathered} Q_s=\frac{I_{s0}H}{r_0^2}, {\sigma }_m=\sigma \left(r_m\right), {\sigma }_{s0}= \sigma \left(r_{s0}\right), {\sigma }_{s1}= \sigma \left(r_{s1}\right), Q_s=\frac{I_{s0}H}{r_0^2}, \\ {V}_{\infty ,s}=\frac{Q_s}{4\pi {\sigma }_0}\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_{s0}}-\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_{s1}}\right). \end{gathered}$$

Подробное аналитическое решение краевой задачи для уравнения (8) со стационарным током и нахождение оригинала приведено в приложении 1. Для решения задачи применяется метод разложения решения по сферическим функциям, коэффициенты разложения, зависящие от радиальной переменной, выражаются через гипергеометрические функции. Функция (10), в правую часть которой подставлено найденное в приложении 1 решение (П1.27) с $N_s=\infty$, отличается от функции Грина только множителем. Функция Грина является обобщенной функцией, и в работе найдено ее представление в виде суперпозиции двух рядов по полиномам Лежандра.

Стационарная модель токового диполя является одной из простейших моделей правой части уравнения, для которой получаются сходящиеся ряды в шаровом слое. Формулы (П1.34)(П1.36) определяют распределение электрического потенциала $\Phi \left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ во всем шаровом слое $r_0<r<r_m$ при всех $t\gg \frac{H}{2\pi {\sigma }_0{r_0}_{ }} . \text{Функция\hspace{0.33em}} \Phi \left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ зависит от большого числа параметров: H, r₀, θ_s, φ_s, h_s0 = r_s0 – r₀, h_s1 = r_s1 – r₀, h_m = r_m – r₀, N_s. В работе будем полагать, что h_s0 = 5 км, h_s1 = 10 км, h_m = 100 км и оценивать влияние на потенциал только параметра N_s.

1. Если $N_s=\infty$, формулы (П1.35)  (П1.37), определяющие решение краевой задачи, представляют собой функциональные ряды, которые сходятся во всем шаровом слое, кроме точек расположения зарядов, но сходятся неравномерно и очень медленно. На рис. 1 приведен график стационарной части этого решения, нормированной на ионосферный потенциал, в зависимости от высоты $h$ на радиальном луче расположения зарядов. Для построения графика проводились расчеты решения в нескольких точках интервалов (0, 4.5], [5.5, 9.5], [10.5, 20) оси $h$ и использовалась линейная интерполяция. При этом для нахождения суммы ряда с точностью до первых двух значащих цифр приходится использовать частичные суммы ряда с $N_s=30000$.

Рис. 1. График функции ${\mathbf{\Phi }}^{\left(\text{ст}\right)}\mathbf{/}{\mathbf{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}$ в зависимости от высоты h. Здесь ${\mathit{h}}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\mathbf{100}\mathit{к}\mathit{м}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{\theta }\mathbf{=}{\mathit{\theta }}_{\mathbf{s}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{\phi }\mathbf{=}{\mathit{\phi }}_{\mathbf{s}}$.

Численное исследование решения в нестационарном случае, при $N_s=\infty$ по формулам (П1.35)–(П1.36) требует длительного счета и в статье проводится только в верхней части шарового слоя при больших значениях $t$. В приложении 2 при $t\to \infty$ для потенциала $\Phi \left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ получена асимптотическая формула (П2.1), справедливая при любом значении $N_s$. Формула (П2.1) содержит только операцию суммирования и при $N_s=\infty$ определяет асимптотику потенциала в любой точке шарового слоя, кроме точек расположения зарядов. На рис. 2 представлены графики стационарного решения $\frac{{\Phi }^{\left(\text{ст}\right)}}{V_{\infty ,s}}$ (штриховая линия) и функции, стоящей в правой части асимптотической формулы (П2.1), также нормированной на $V_{\infty ,s}$ в зависимости от переменной $\theta$ в момент времени $t^{\text{'}}=4\pi {\sigma }_{0}t=2$ при фиксированных $h \text{\hspace{0.33em}и\hspace{0.33em}} \phi .$ Для нахождения суммы ряда с точностью до десятых достаточно использовать $N_s=1000$.

Рис. 2. Графики функции ${\mathbf{\Phi }}^{\left(\text{ст}\right)}\mathbf{/}{\mathbf{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}$ (штриховая линия) и функции ${\mathbf{\Phi }}^{}\mathbf{/}{\mathbf{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}$ формулы (П2.1) в зависимости от угла θ в фиксированный момент времени $\mathit{t}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{0}}\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{2}$ при фиксированных h, $\mathit{\phi }\mathbf{=}{\mathit{\phi }}_{\mathbf{s}}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{\theta }}_{\mathbf{s}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$. Левый график соответствует $\mathit{h}\mathbf{=}\mathbf{70}\mathit{к}\mathit{м}\mathbf{,}$ правый $\mathit{h}\mathbf{=}\mathbf{100}\mathit{к}\mathit{м}\mathbf{.}$

Левый график соответствует $h=70\text{ км}$, правый–верхней границе шарового слоя $h=100 \text{км}$.

Правые графики рис. 2 симметричны относительно прямой $\theta =\pi /2$, что соответствует условию (2), максимальные значения представленных на рисунке функций соответственно равны 1.37 и 1.45. Численные расчеты показывают незначительное понижение значения потенциала по сравнению с ионосферным на геомагнитных полюсах. При $t\to \infty$ в окрестности точек ($h_m,{\theta }_s,{\phi }_s$) и $(h_m,\pi -{\theta }_s,{\phi }_s)$ нестационарное решение стремится к стационарному сверху, а в окрестности точек $(\left(h_m\mathrm{,0,}{\phi }_s\right)\text{и \hspace{0.17em}}\left(h_m,\pi ,{\phi }_s\right)$ − снизу.

Проблема неравномерной сходимости ряда (П1.35), прежде всего, связана с точечностью зарядов рассматриваемого токового диполя.

2. При любом заданном конечном значении $N_s$ формулы (П1.35П1.37) содержат лишь конечные суммы, что значительно сокращает длительность расчетов, исключает разрывы в точках расположения зарядов. Кроме того, это не просто частичные суммы решения для токового диполя с точечными зарядами, а и решение начально-краевой задачи со специальной правой частью. Поэтому графики, приведенные в этом пункте, дают качественную картинку изменения потенциала с течением времени.

В нестационарном случае все расчеты проведены для $N_s=20 .$ На рис. 3 и рис. 4 штриховыми линиями изображен график стационарного решения задачи и приведены графики нестационарного решения задачи (1)(5), нормированные на ионосферный потенциал, в зависимости от высоты $h$ на радиальном луче расположения зарядов в различные моменты времени в нижней атмосфере. Построенные графики показывают монотонное изменение функции $\Phi /V_{\infty ,s}$ с течением времени в окрестности $h=5 \text{км}$ и немонотонное в окрестности $h=10 \text{км}$. Уже для $t^{\text{'}}=4\pi {\sigma }_{0}t=1$ решение $\Phi /V_{\infty ,s}$ мало отличается от стационарного ${\Phi }^{\left(\text{ст}\right)}/V_{\infty ,s}$, причем наибольшие отличия в окрестности точки $h=5 \text{км}$.

Рис. 3. Графики функций $\mathit{\Phi }\mathbf{/}{\mathit{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}\mathbf{ }\mathit{и}\mathbf{ }{\mathit{\Phi }}^{\left(\text{ст}\right)}\mathbf{/}{\mathit{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}$ (шриховая линия) в фиксированный момент времени ${\mathit{t}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{0}}\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{05}$ (слева) и ${\mathit{t}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{0}}\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{1}$ (справа) в зависимости от высоты h.

Рис. 4. Графики функций $\mathit{\Phi }\mathbf{/}{\mathit{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}\mathbf{ }\mathit{и}\mathbf{ }{\mathit{\Phi }}^{\left(\text{ст}\right)}\mathbf{/}{\mathit{V}}_{\mathbf{\infty }\mathbf{,}\mathbf{s}}$ (штриховая линия) в фиксированный момент времени ${\mathit{t}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{0}}\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$ (слева) и ${\mathit{t}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{0}}\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (справа) в зависимости от высоты h.

4. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

В приложении приведено решение краевой задачи для уравнения:

$$\begin{gathered} \left(1+\frac{p}{4\pi \sigma }\right)\left(\frac{{\partial }^2\overline{{\Phi }_{s0}}}{\partial r^2}+\frac{1}{r_0^2}{\Delta }_{\theta ,\phi }\overline{{\Phi }_{s0}}\right)+\frac{1}{H}\frac{\partial \overline{{\Phi }_{s0}}}{\partial r}= \\ =\frac{Q_s}{\sigma pH\sin \theta }{\delta }_{N_s}\left(\theta ,{\theta }_s,\phi ,{\phi }_s\right)\delta \left(r-r_{s0}\right) \end{gathered}$$ (П1.1)

с граничными условиями, аналогичными (2)–(4) ($Q_s=\frac{I_{s0}H}{r_0^2}$). Решение краевой задачи для уравнения (8) записывается в виде:

$\overline{\Phi }=\overline{{\Phi }_{s0}}-\overline{{\Phi }_{s1}}.$ (П1.2)

Если $N_s=\infty$, решение уравнения (П1.1) с условиями (2)(4) отличается от функции Грина только множителем.

В уравнении (П1.1) и граничных условиях, аналогичных (2)–(4), сделаем замену переменных:

$\left\{\begin{array}{c}\sigma ={\sigma }_0\exp \left(\frac{r-r_0}{H}\right)\\ \mu =\cos \theta \end{array}\right.$

и сформулируем краевую задачу в области ${\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_m$:

$$\begin{gathered} {\sigma }^2\frac{{\partial }^2\overline{{\Phi }_{s0}}}{\partial {\sigma }^2}+\sigma \frac{\left(8\pi \sigma +p\right)}{\left(4\pi \sigma +p\right)}\frac{\partial \overline{{\Phi }_{s0}}}{\partial \sigma }+\frac{H^2}{r_0^2}{\Delta }_{\mu ,\phi }\overline{{\Phi }_{s0}}= \\ =\frac{4\pi \sigma Q_s}{p\left(4\pi \sigma +p\right)}\delta \left(\sigma -{\sigma }_{s0}\right){\delta }_{N_s}\left(\mu ,{\mu }_s,\phi ,{\phi }_s\right), \end{gathered}$$ (П1.3)

$\overline{{\Phi }_{s0}}\left({\sigma }_m,\mu ,\phi ,p\right)=\overline{{\Phi }_{s0}}\left({\sigma }_m,-\mu ,\phi ,p\right),$ (П1.4)

$\frac{\partial \overline{{\Phi }_{s0}}\left({\sigma }_m,\mu ,\phi ,p\right)}{\partial \sigma }=-\frac{\partial \overline{{\Phi }_{s0}}\left({\sigma }_m,-\mu ,\phi ,p\right)}{\partial \sigma },$ (П1.5)

$\overline{{\Phi }_{s0}}\left({\sigma }_0,\mu ,\phi ,p\right)=0.$ (П1.6)

Здесь ${\sigma }_m=\sigma \left(r_m\right), {\mu }_s=\cos {\theta }_s.$

Решение задачи представим в виде ряда по сферическим функциям

$\overline{{\Phi }_{s0}}=\overline{A_{00}}\left(\sigma ,p\right)+\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\underset{k=0}{\overset{n}{}}\left(\overline{A_{nk}}\left(\sigma ,p\right){\text{Y}}_{n,k}^{\left(1\right)}\left(\mu ,\phi \right)+\overline{B_{nk}}\left(\sigma ,p\right){\text{Y}}_{n,k}^{\left(2\right)}\left(\mu ,\phi \right)\right).$ (П1.7)

Функция, представляемая рядом (П1.7), является решением уравнения (П1.3), если $\overline{A_{nk}}\left(\sigma ,p\right)$ коэффициенты  удовлетворяют неоднородному уравнению:

${\sigma }^2\frac{{\partial }^2\overline{A_{nk}}}{\partial {\sigma }^2}+\sigma \frac{\left(8\pi \sigma +p\right)}{\left(4\pi \sigma +p\right)}\frac{\partial \overline{A_{nk}}}{\partial \sigma }-\frac{n\left(n+1\right)H^2}{r_0^2}\overline{A_{nk}}=\frac{4\pi \sigma Q_s}{p\left(4\pi \sigma +p\right)}\frac{{\text{Y}}_{nk}^{\left(1\right)}\left({\mu }_s,{\phi }_s\right)}{{{\text{Y}}_{n,k}}^2}\delta \left(\sigma -{\sigma }_{s0}\right), 0\le n\le N_s,$ (П1.8)

для $0\le n\le N_s$ и соответствующему однородному уравнению, если $n>N_s.$ Из условия (П1.6) следует условие

$\overline{A_{nk}}\left({\sigma }_0,p\right)=0.$ (П1.9)

Условиям (П1.4П1.5), учитывающим связь электрических полей в магнито-сопряженных точках на верхней границе атмосферы, соответствуют условия:

$\overline{A_{nk}}\left({\sigma }_m,p\right)=\mathrm{0,} \text{если\hspace{0.33em}} n+k=\text{нечетное число} ,$ (П1.10)

$\frac{\partial \overline{A_{nk}}}{\partial \sigma }\left({\sigma }_m,p\right)=\mathrm{0,} \text{если} n+k=\text{четное число}.$ (П1.11)

Аналогичные краевые задачи получаются для функций $\overline{B_{nk}}\left(\sigma ,p\right)$, только в правой части уравнения (П1.8) будет стоять сферическая функция с верхним индексом 2. Для $n>N_s$ в силу однородности уравнения и однородности граничных условий, все коэффициенты $\overline{A_{nk}}\left(\sigma ,p\right)$ и $\overline{B_{nk}}\left(\sigma ,p\right)$ равны нулю.

Если $\left|\frac{p}{4\pi \sigma }\right|<1$, однородное уравнение, соответствующее (П1.8), имеет два линейно-независимых решения, которые выражаются через гипергеометрические функции [Градштейн и Рыжик, 1963]:

$$\begin{gathered} {\overline{A}}_{nk}^{\left(\text{1,одн}\right)}\left(\sigma ,p\right)={\left(-\frac{p}{4\pi \sigma }\right)}^{\frac{1+{\xi }_n}{2}}F\left({\alpha }_n,{\beta }_n,{\alpha }_n+{\beta }_n,-\frac{p}{4\pi \sigma }\right), \\ {\overline{A}}_{nk}^{\left(\text{2,одн}\right)}\left(\sigma ,p\right)={\left(-\frac{p}{4\pi \sigma }\right)}^{\frac{1-{\xi }_n}{2}}F\left(1-{\alpha }_n\mathrm{,1}-{\beta }_n\mathrm{,2}-{\alpha }_n-{\beta }_n,-\frac{p}{4\pi \sigma }\right). \end{gathered}$$ (П1.12)

Здесь

${\alpha }_n=\frac{1}{2}\left(1+{\xi }_n-\sqrt{{\xi }_n^2-1}\right), {\beta }_n=\frac{1}{2}\left(1+{\xi }_n+\sqrt{{\xi }_n^2-1}\right),$ (П1.12)

где ${\xi }_n=\sqrt{1+\frac{4n\left(n+1\right)H^2}{r_0^2}}$. При нахождении решения неоднородного уравнения (П1.8) с условиями (П1.9−П1.11) можно воспользоваться последней формулой пункта 24.2 справочника [Камке, 1976], а затем свойствами дельта-функции. Формула получается методом вариации произвольных постоянных и содержит вронскиан решений однородного уравнения. Для вычисления вронскиана функций (П1.12) используются производные от гипергеометрических функций. Чтобы сократить записи используемых в данной работе гипергеометрических функций введем обозначения:

$F_n^{\left(1\right)}\left(x\right)=F\left({\alpha }_n,{\beta }_n,{\alpha }_n+{\beta }_n,x\right),$

$F_n^{\left(2\right)}\left(x\right)=F\left(1-{\alpha }_n\mathrm{,1}-{\beta }_n\mathrm{,2}-{\alpha }_n-{\beta }_n,x\right),$

$F_n^{\left(3\right)}\left(x\right)=F\left({\alpha }_n+\mathrm{1,}{\beta }_n+\mathrm{1,}{\alpha }_n+{\beta }_n+\mathrm{1,}x\right),$

$F_n^{\left(4\right)}\left(x\right)=F\left(2-{\alpha }_n\mathrm{,2}-{\beta }_n\mathrm{,3}-{\alpha }_n-{\beta }_n,x\right).$

Функции с номерами 3, 4 появляются при дифференцировании $F_n^{\left(1\right)}, F_n^{\left(2\right)}$ по независимой переменной .

В зависимости от того, каким является число  $n+k$, четным или нечетным, для решений краевых задач (П1.8) −(П1.11) получим:

$\overline{A_{nk}}\left(\sigma ,p\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{{\text{Y}}_{n,k}^{\left(1\right)}\left({\mu }_s,{\phi }_s\right)}{{{\text{Y}}_{n,k}}^2}{\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,p\right),\text{\hspace{0.33em}если\hspace{0.33em}} n+k-\text{четное число}\\ \frac{{\text{Y}}_{n,k}^{\left(1\right)}\left({\mu }_s,{\phi }_s\right)}{{{\text{Y}}_{n,k}}^2}{\overline{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}}_n\left(\sigma ,p\right), \text{\hspace{0.33em}если \hspace{0.33em}}n+k-\text{нечетное число}\end{array}.\right.$(П1.13)

Функция ${\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)$ записывается с помощью формул

${\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{Q_s}{p{\xi }_n\sqrt{\sigma {\sigma }_{s0}}}{\left(\frac{\sigma }{{\sigma }_{s0}}\right)}^{\frac{{\xi }_n}{2}}\frac{{\tilde{V}}_n\left(-\frac{p}{4\pi {\sigma }_{s0}},-\frac{p}{4\pi {\sigma }_m}\right)I_n\left(-\frac{p}{4\pi {\sigma }_0},-\frac{p}{4\pi \sigma }\right)}{{\tilde{V}}_n\left(-\frac{p}{4\pi {\sigma }_0},-\frac{p}{4\pi {\sigma }_m}\right)}, {\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0}\\ \frac{Q_s}{p{\xi }_n\sqrt{\sigma {\sigma }_{s0}}}{\left(\frac{{\sigma }_{s0}}{\sigma }\right)}^{\frac{{\xi }_n}{2}}\frac{{\tilde{V}}_n\left(-\frac{p}{4\pi \sigma },-\frac{p}{4\pi {\sigma }_m}\right)I_n\left(-\frac{p}{4\pi {\sigma }_0},-\frac{p}{4\pi {\sigma }_{s0}}\right)}{{\tilde{V}}_n\left(-\frac{p}{4\pi {\sigma }_0},-\frac{p}{4\pi {\sigma }_m}\right)}, {\sigma }_{s0}<\sigma <{\sigma }_m\end{array}\right. ,$ (П1.14)

где

$I_n\left(x_1,x_2\right)={\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^{{\xi }_n}{F}_n^{\left(1\right)}\left(x_2\right)F_n^{\left(2\right)}\left(x_1\right)-F_n^{\left(1\right)}\left(x_1\right)F_n^{\left(2\right)}\left(x_2\right),$ (П1.15)

${\tilde{V}}_n\left(x_1,x_2\right)={\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^{{\xi }_n}{\tilde{\varphi }}_n^{\left(1\right)}\left(x_2\right)F_n^{\left(2\right)}\left(x_1\right)+F_n^{\left(1\right)}\left(x_1\right){\tilde{\varphi }}_n^{\left(2\right)}\left(x_2\right).$ (П1.16)

Здесь

${\tilde{\varphi }}_n^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{{\xi }_n-1}{{\xi }_n+1 }{F}_n^{\left(2\right)}\left(x\right)-\frac{x}{\left(1+{\xi }_n\right)}{F}_n^{\left(4\right)}\left(x\right),$ (П1.17)

${\tilde{\varphi }}_n^{\left(1\right)}\left(x\right)=F_n^{\left(1\right)}\left(x\right)+\frac{x}{\left(1+{\xi }_n\right)}{F}_n^{\left(3\right)}\left(x\right).$ (П1.18)

Для функции ${\overline{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)$ получается выражение, аналогичное (П1.14П1.16), только в этих формулах над функциями, имеющими в обозначениях одну волну, следует поставить две волны и учесть, что формулы, определяющие функции ${\widetilde{\stackrel{~}{\varphi }}}_n^{\left(2\right)}\left(x\right), {\widetilde{\stackrel{~}{\varphi }}}_n^{\left(1\right)}\left(x\right)$, другие:

${\widetilde{\stackrel{~}{\varphi }}}_n^{\left(2\right)}\left(x\right)=-F_n^{\left(2\right)}\left(x\right), {\widetilde{\stackrel{~}{\varphi }}}_n^{\left(1\right)}\left(x\right)= F_n^{\left(1\right)}\left(x\right) .$ (П1.19)

Коэффициент $\overline{B_{nk}}\left(\sigma ,p\right)$ имеет вид (П1.13), только в качестве множителя перед ${\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,p\right)$ используется сферическая функция с верхним индексом 2.

Так как функция (П1.14) симметрична по переменным $\sigma , {\sigma }_{s0}$, то удобно ввести параметр ${\sigma }_{s0}$ в аргументы функций $\overline{{\text{Ф}}_{s0}}, \overline{A_{nk}},\overline{B_{nk}},{\overline{\tilde{R}}}_n,{\overline{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}}_n$ и использовать обозначения, в которых важен порядок следования этих переменных, например,

$\overline{{\Phi }_{s0}}=\left\{\begin{array}{c}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi ,p\right), \text{если} {\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0}\\ \left({\sigma }_{s0},\sigma ,\mu ,\phi ,p\right), \text{если} {\sigma }_{s0}<\sigma <{\sigma }_m\end{array}\right.$

и рассматривать только случай ${\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0}$. Если в решении, найденном для ${\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0},$ заменить первый аргумент $\sigma \text{\hspace{0.17em}на\hspace{0.17em}} {\sigma }_{s0} \text{и второй аргумент} {\sigma }_{s0} \text{на} \sigma$ и второй аргумент $\sigma \text{\hspace{0.17em}на\hspace{0.17em}} {\sigma }_{s0} \text{и второй аргумент} {\sigma }_{s0} \text{на} \sigma$, получим решение в области ${\sigma }_{s0}<\sigma <{\sigma }_m$.

После подстановки $\overline{A_{nk}}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right), \overline{B_{nk}}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)$ в ряд (П1.7) внутреннюю сумму по k, при каждом фиксированном n, разобьем на две суммы в зависимости от того, каким является число $n+k$, четным или нечетным [Денисова и Калинин, 2018]. Тогда воспользовавшись теоремой о сложении присоединенных функций Лежандра, будем иметь

$$\begin{gathered} \stackrel{\mathbf{-}}{\mathbf{Ф}}=\overline{A_{00}}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)+\underset{n=1}{\overset{N_s}{}}\frac{\left(2n+1\right)}{8\pi }\left\{\left({\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)+{\overline{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)\right){\text{P}}_n\left(\text{cos}\gamma \right)+\right. \\ \left.+\left({\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)-{\overline{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)\right){\text{P}}_n\left(\text{cos}{\gamma }_1\right)\right\}. \end{gathered}$$ (П1.20)

Здесь

$\cos {\gamma }_1=-\mu {\mu }_s+\sqrt{1-{\mu }^2}\sqrt{1-{\mu }_s^2}\cos (\phi -{\phi }_s)$,

где ${\gamma }_1$ – угол между радиальным лучом, направленным в точку наблюдения, и радиальным лучом, содержащим точки, сопряженные точкам расположения зарядов диполя.

Для нахождения обратного преобразования Лапласа функции $\overline{\Phi }\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi ,p\right)$нужно найти обратное преобразование функций $\overline{A_{00}}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right), {\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right), {\overline{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)$. Рассмотрим сначала функцию ${\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right).$ Эта функция определяется формулой (П1.14), если $\left|\frac{p}{4\pi {\sigma }_0}\right|<1 ,$ и может быть продолжена в комплексную плоскость $p=p^{,}+i{p}^{\mathrm{,,}}$, так как в комплексную плоскость можно продолжить все гипергеометрические функции, входящие в формулу (П1.14). Учитывая особые точки этих гипергеометрических функций, будем использовать замкнутый контур С в комплексной плоскости $p=p^{,}+i{p}^{\mathrm{,,}}$, изображенный на рис. 5. Контур обходит особые точки функции ${\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right).$ Эти точки расположены на отрицательной части вещественной оси $p^{,}$ и имеют координаты: $-4\pi {\sigma }_m, -4\pi {\sigma }_{s0}, -4\pi \sigma , -4\pi {\sigma }_0$. Внутри контура С подынтегральная функция имеет полюс первого порядка в точке $p=0$, поэтому

$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C^{} {\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)\exp \left(pt\right)dp=\underset{p=0}{res}\left( {\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)\exp \left(pt\right)\right).$ (П1.21)

Обозначим этот вычет через ${\tilde{R}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)$. Учитывая, что гипергеометрические функции при $p=0$ равны 1, получим

${\tilde{R}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)=\frac{Q_s}{{\xi }_n\sqrt{\sigma {\sigma }_{s0}}}{\left(\frac{\sigma }{{\sigma }_{s0}}\right)}^{\frac{{\xi }_n}{2}}\frac{\left({\left(\frac{{\sigma }_{s0}}{{\sigma }_m}\right)}^{{\xi }_n}+\frac{{\xi }_n-1}{{\xi }_n+1}\right)\left({\left(\frac{{\sigma }_0}{\sigma }\right)}^{{\xi }_n}-1\right)}{\left({\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\right)}^{{\xi }_n}+\frac{{\xi }_n-1}{{\xi }_n+1}\right)}.$ (П1.22)

Рис. 5. Контур интегрирования для нахождения оригинала функции ${\stackrel{\mathbf{-}}{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{R}}}}_{\mathbf{n}}\mathbf{(}\mathit{\sigma }\mathbf{,}\mathit{\sigma }{}_{\mathbf{s}}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathit{p}\mathbf{)}$.

Для продолжения гипергеометрических функций $F_n^{\left(i\right)}\left(z\right)$ за внешность единичного круга комплексной плоскости z c разрезом вдоль вещественной оси от 1 до использовалась формула [Градштейн и Рыжик, 1963, ф. 9.132(2)]. В соответствии с этой формулой функция на верхнем и нижнем берегах разреза вдоль отрицательной части вещественной оси принимает комплексно-сопряженные значения. Контур рис. 5 построен с учетом сложных аргументов гипергеометрических функций, определяющих ${\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)$. Устремляя в формуле (П1.21) радиус большой окружности к $\infty$, а радиусы маленьких полуокружностей к нулю, получим

${\tilde{R}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)={\tilde{R}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)-\frac{1}{\pi }\underset{-4\pi {\sigma }_m}{\overset{-4\pi {\sigma }_0}{}}\mathrm{Im}{\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p^{.}\right)\exp \left(p^{,}t\right)d{p}^{,}.$ (П1.23)

Так как для нахождения $\text{Im}{\overline{\tilde{R}}}_n$ на верхнем берегу разреза при $-4\pi {\sigma }_m<p^{,}<-4\pi {\sigma }_0$ использовались формулы продолжения гипергеометрических функций $F_n^{\left(1\right)}\left(z\right), F_n^{\left(2\right)}\left(z\right)$ за единичный круг [Градштейн и Рыжик, 1963, ф. 9.132(2)], то появляются еще две гипергеометрические функции:

$F_n^{\left(5\right)}\left(x\right)=F\left({\alpha }_n\mathrm{,1}-{\beta }_n\mathrm{,1}+{\alpha }_n-{\beta }_n,x\right),$

$F_n^{\left(6\right)}\left(x\right)=F\left(1-{\alpha }_n,{\beta }_n\mathrm{,1}-{\alpha }_n+{\beta }_n,x\right).$

В интеграле выполним замену переменной интегрирования: $\eta =-\frac{p^{,}}{4\pi {\sigma }_0}$, выделим у функции $\mathrm{Im}{\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},-4\pi {\sigma }_0\eta \right)$ постоянный множитель и введем новую функцию

$\mathrm{Im}{\overline{\tilde{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},-4\pi {\sigma }_0\eta \right)=-\frac{Q_s}{4{\sigma }_0^2}{\tilde{C}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)$.

В результате функцию ${\tilde{R}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)$ перепишем в виде

${\tilde{R}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)={\tilde{R}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)+\frac{Q_s}{{\sigma }_0}\underset{1}{\overset{\raisebox{1ex}{${\sigma }_m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.}{}}{\tilde{C}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)\exp \left(-4\pi {\sigma }_{0}t\eta \right)d\eta .$ (1.24)

Учитывая особые точки функции ${\overline{\tilde{R}}}_{n },$ промежуток интегрирования $\left(\mathrm{1,}\raisebox{1ex}{${\sigma }_m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.\right)$ в формуле (П1.24) разделим на три части, в каждой из которых для функции ${\tilde{C}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)$ получим свое аналитическое выражение. Будем использовать следующие обозначения:

${\tilde{C}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)=\left\{\begin{array}{c}{\tilde{C}}_n^{\left(1\right)}, \eta \in \left(\mathrm{1,}\raisebox{1ex}{$\sigma $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.\right) \\ {\tilde{C}}_n^{\left(2\right)}, \eta \in \left(\raisebox{1ex}{$\sigma $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.,\raisebox{1ex}{${\sigma }_{s0}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.\right) \\ {\tilde{C}}_n^{\left(3\right)}, \eta \in \left(\raisebox{1ex}{${\sigma }_{s0}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.,\raisebox{1ex}{${\sigma }_m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.\right) \end{array}\right.,$ (П1.25)

где

${\tilde{C}}_n^{\left(1\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)=\frac{{\left(\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{\sigma {\sigma }_{s0}}}\right)}^{{\xi }_n+1}{\eta }^{{\xi }_n-1}{L}_n^2\left(\frac{1}{\eta }\right){\tilde{V}}_n\left(\frac{{\sigma }_0}{\sigma }\eta ,\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta \right){\tilde{V}}_n\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_{s0}}\eta ,\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta \right)}{{\left|{\tilde{V}}_n\left(\eta ,\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta \right)\right|}^2},$

${\tilde{C}}_n^{\left(2\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)=-\frac{{\left(\frac{\sqrt{\sigma }}{\sqrt{{\sigma }_{s0}}}\right)}^{{\xi }_n+1}{L}_n\left(\frac{1}{\eta }\right)M_n\left(\frac{1}{\eta },\frac{\sigma }{{\sigma }_0\eta }\right){\tilde{V}}_n\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_{s0}}\eta ,\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta \right){\tilde{W}}_n\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta \right)}{{\eta }^2{\left|{\tilde{V}}_n\left(\eta ,\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta )\right)\right|}^2},$

${\tilde{C}}_n^{\left(3\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)=\frac{{\left(\frac{\sqrt{\sigma {\sigma }_{s0}}}{{\sigma }_0}\right)}^{{\xi }_n+1}{M}_n\left(\frac{1}{\eta },\frac{{\sigma }_{s0}}{{\sigma }_0\eta }\right)M_n\left(\frac{1}{\eta },\frac{\sigma }{{\sigma }_0\eta }\right){\tilde{W}}_n^2\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta \right)}{{\eta }^{{\xi }_n+3}{\left|{\tilde{V}}_n\left(\eta ,\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\eta )\right)\right|}^2}$.

Здесь

$M_n\left(x_1,x_2\right)=\frac{1}{{\beta }_n-{\alpha }_n}\left({\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^{{\alpha }_n}{F}_n^{\left(3\right)}\left(x_1\right)F_n^{\left(4\right)}\left(x_2\right)-{\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^{{\beta }_n}{F}_n^{\left(3\right)}\left(x_2\right)F_n^{\left(4\right)}\left(x_1\right)\right),$

$L_n\left(x\right)=\frac{{\delta }_n^{\left(1\right)}Г\left(1-{\alpha }_n+{\beta }_n\right)}{Г\left(2-{\alpha }_n\right)Г\left({\beta }_n\right)}{x}^{{\alpha }_n}{F}_n^{\left(3\right)}\left(x\right)-\frac{{\delta }_n^{\left(2\right)}Г\left(1+{\alpha }_n-{\beta }_n\right)}{Г\left({\alpha }_n\right)Г\left(2-{\beta }_n\right)}{x}^{{\beta }_n}{F}_n^{\left(4\right)}\left(x\right),$

${\delta }_n^{\left(\mathrm{1,2}\right)}=\frac{1}{2}\left(\pm 1-\sqrt{\frac{{\xi }_n-1}{{\xi }_n+1}}\right)$.

Функция ${\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)$ представляется по формуле, аналогичной (П1.24), только все буквы с одной волной следует заменить на буквы с двумя волнами. При этом функция ${\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_n^{\left(\text{стац}\right)}$ имеет вид:

${\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)=\frac{Q_{s }}{{\xi }_n\sqrt{\sigma {\sigma }_{s0}}}{\left(\frac{\sigma }{{\sigma }_{s0}}\right)}^{\frac{{\xi }_n}{2}}\frac{\left({\left(\frac{{\sigma }_{s0}}{{\sigma }_m}\right)}^{{\xi }_n}-1\right)\left({\left(\frac{{\sigma }_0}{\sigma }\right)}^{{\xi }_n}-1\right)}{\left({\left(\frac{{\sigma }_0}{{\sigma }_m}\right)}^{{\xi }_n}-1\right)}.$ (П1.26)

Для нахождения коэффициента $\overline{A_{00}}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},p\right)$ не требуются специальные функции и, возвращаясь к оригиналу, получим

$A_{00}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)=\frac{Q_s}{4\pi }\left(\frac{1}{\sigma }-\frac{1}{{\sigma }_0}\right)+\frac{Q_s}{4\pi {\sigma }_0}{\int }_1^{\raisebox{1ex}{$\sigma $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\sigma }_0$}\right.}\frac{1}{{\eta }^2}{e}^{-4\pi {\sigma }_{0}t\eta }d\eta . {\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0}$

Учитывая (П1.24), после перегруппировки слагаемых решение (П1.20) запишем в виде

$$\begin{gathered} \Phi \left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi ,t\right)={\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi \right)+\frac{Q_s}{4\pi {\sigma }_0}\underset{1}{\overset{\frac{\sigma }{{\sigma }_0}}{\int }}\frac{1}{{\eta }^2}{e}^{-4\pi {\sigma }_{0}t\eta }d\eta + \\ +\sum _{}_{n=1}^{N_s}\left(2n+1\right)\left(P_n\left(\cos \gamma \right)B_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)+P_n\left(\cos {\gamma }_1\right)D_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)\right). \end{gathered}$$ (П1.27)

Здесь

${\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi \right)=\frac{Q_s}{4\pi }\left(\frac{1}{\sigma }-\frac{1}{{\sigma }_0}\right)+\underset{n=1}{\overset{N_s}{}}\frac{\left(2n+1\right)}{4\pi }\left\{R_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)P_n\left(\cos \gamma \right)+\right.$

$\left.+T_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)P_n\left(\cos {\gamma }_1\right)\right\},$ (П1.28)

$R_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)=\frac{1}{2}\left\{{\tilde{R}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)+{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)\right\},$ (П1.29)

$T_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)=\frac{1}{2}\left\{{\tilde{R}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)-{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_n^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)\right\},$ (П1.30)

${\overline{B}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)=\frac{Q_s}{8\pi {\sigma }_0}\left\{{\tilde{C}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)+{\widetilde{\stackrel{~}{C}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)\right\},$ (П1.31)

${\overline{D}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)=\frac{Q_s}{8\pi {\sigma }_0}\left\{{\tilde{C}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)-{\widetilde{\stackrel{~}{C}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)\right\},$ (П1.32)

$B_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)=\underset{1}{\overset{\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_0}}{}}{\overline{B}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)e^{-4\pi {\sigma }_{0}t\eta }d\eta ,$ (П1.33)

$D_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)=\underset{1}{\overset{\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_0}}{}}{\overline{D}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)e^{-4\pi {\sigma }_{0}t\eta }d\eta .$ (П1.34)

Все функции (П1.27)−(П1.34) записаны для случая ${\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0}.$ Если ${\sigma }_{s0}<\sigma <{\sigma }_m$ в правой части формул (П1.27)−(П1.33) следует поменять местами $\sigma \text{и} {\sigma }_{s0}$.

Если $N_s=\infty$, уравнение (П1.1) отличается от уравнения для функции Грина только множителем. Поэтому, подставляя решение (П1.27) в формулу (10), получим, с точностью до множителя, функцию Грина начально-краевой задачи для уравнения, соответствующего (8).

Ниже запишем решение задачи для стационарного токового диполя. Заменяя в формулах (П1.27)(П1.34) ${\sigma }_{s0}$ на ${\sigma }_{s1}$, в соответствии с формулой (П1.2) получим:

${\Phi }_s\left(\sigma ,\mu ,\phi ,t\right)={\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi \right)-{\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},\mu ,\phi \right)+$ (П1.35)

$+\sum _{}_{n=1}^{N_s}\left(2n+1\right)\left\{{\text{P}}_n\left(\cos \gamma \right)\left(B_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)-B_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},t\right)\right)+\right.$

$\left.+{\text{P}}_{\text{n}}\left(\text{cos}{\gamma }_1\right)\left(D_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},t\right)-D_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},t\right)\right)\right\}$

в области ${\sigma }_0<\sigma <{\sigma }_{s0}$.

В области ${\sigma }_{s0}<\sigma <{\sigma }_{s1}$ временной вклад дает и слагаемое, соответствующее $n=0$,

${\Phi }_s\left(\sigma ,\mu ,\phi ,t\right)={\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left({\sigma }_{s0},\sigma ,\mu ,\phi \right)-{\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},\mu ,\phi \right)-\frac{Q_s}{4\pi {\sigma }_0}\underset{\frac{{\sigma }_{s0}}{{\sigma }_0}}{\overset{\frac{\sigma }{{\sigma }_0}}{\int }}\frac{1}{{\eta }^2}{e}^{-4\pi {\sigma }_{0}t\eta }d\eta +$ (П1.36)

$+\sum _{}_{n=1}^{N_s}\left(2n+1\right)\left\{{\text{P}}_n\left(\cos \gamma \right)\left(B_n\left({\sigma }_{s0},\sigma ,t\right)-B_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},t\right)\right)+\right.\left.P_n\left(\cos {\gamma }_1\right)\left(D_n\left({\sigma }_{s0},\sigma ,t\right)-D_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},t\right)\right)\right\}.$

В области ${\sigma }_{s1}<\sigma <{\sigma }_m$ получим

${\Phi }_s\left(\sigma ,\mu ,\phi ,t\right)={\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left({\sigma }_{s0},\sigma ,\mu ,\phi \right)-{\Phi }^{\left(\text{стац}\right)}\left({\sigma }_{s1},\sigma ,\mu ,\phi \right)-\frac{Q_s}{4\pi {\sigma }_0}\underset{\frac{{\sigma }_{s0}}{{\sigma }_0}}{\overset{\frac{{\sigma }_{s1}}{{\sigma }_0}}{\int }}\frac{1}{{\eta }^2}{e}^{-4\pi {\sigma }_{0}t\eta }d\eta +$ (П1.37)

$+\sum _{}_{n=1}^{N_s}\left(2n+1\right)\left\{{\text{P}}_n\left(\cos \gamma \right)\left(B_n\left({\sigma }_{s0},\sigma ,t\right)-B_n\left({\sigma }_{s1},\sigma ,t\right)\right)+\right.\left.{\text{P}}_n\left(\cos {\gamma }_1\right)\left(D_n\left({\sigma }_{s0},\sigma ,t\right)-D_n\left({\sigma }_{s1},\sigma ,t\right)\right)\right\}.$

5. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРИ t → ∞

Асимптотические формулы при $t \to \infty$ для решений (П1.35П1.37) можно найти, используя метод Лапласа. Определяющую роль здесь играет поведение подынтегральных функций интегралов (П1.33, П1.34) в окрестности точки $\eta =1$. Так как функция ${\tilde{C}}_n^{\left(1\right)}\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\eta \right)$ симметрична по переменным $\sigma \text{и} {\sigma }_{s0}$, то главный асимптотический член во всех формулах (П1.35, П1.36, П1.37) одинаков, и асимптотическая формула имеет вид:

${\Phi }_s\left(\sigma ,\mu ,\phi ,t\right)\approx {\Phi }_s^{\left(\text{стац}\right)}\left(\sigma ,\mu ,\phi \right)+\frac{\exp \left(-4\pi {\sigma }_{0}t\right)}{4\pi {\sigma }_{0}t{\ln }^2\left(4\pi {\sigma }_{0}t\right)}{f}_s\left(\sigma ,\mu ,\phi \right), 4\pi {\sigma }_{0}t\gg \mathrm{1,} t\to \infty .$ (П2.1)

Здесь

$f_s\left(\sigma ,\mu ,\phi \right)=f\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi \right)-f\left(\sigma ,{\sigma }_{s1},\mu ,\phi \right)$,

$f\left(\sigma ,{\sigma }_{s0},\mu ,\phi \right)=\frac{Q}{4\pi {\sigma }_0}\underset{n=1}{\overset{N_s}{}}\left(2n+1\right)\left\{a_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right){\text{P}}_n\left(\cos \gamma \right)+b_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right){\text{P}}_n\left(\cos {\gamma }_1\right)\right\},$ (П2.2)

$a_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)=\frac{1}{2}\left({\tilde{a}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)+{\widetilde{\stackrel{~}{a}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)\right),$

$b_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)=\frac{1}{2}\left({\tilde{a}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)-{\widetilde{\stackrel{~}{a}}}_n\left(\sigma ,{\sigma }_{s0}\right)\right),$