Спектральные разложения грамианов и энергетических метрик непрерывных неустойчивых систем управления

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматриваются детерминированные непрерывные конечномерные стационарные линейные динамические системы управления с многими входами и многими выходами. Предполагается, что матрица динамики может быть как устойчивая, так и неустойчивая, но ее собственные числа различны, не принадлежат мнимой оси и не являются зеркальным отображением друг друга относительно нуля плоскости собственных чисел. В рамках единой постановки рассмотрены задачи построения спектральных решений уравнений состояния и матриц грамианов управляемости этих систем, а также связанных с ними энергетических функционалов степени устойчивости и достижимости с целью оптимального размещения датчиков и исполнительных механизмов многосвязных систем управления и сложных сетей. Для решения перечисленных задач в статье использованы различные модели системы в пространстве состояний: общее представление, а также представление в различных канонических формах. Для вычисления спектральных разложений грамианов управляемости использованы псевдоганкелевые матрицы (матрицы Сяо). Предложены новые методы и разработаны алгоритмы вычисления грамианов управляемости и энергетических метрик линейных систем. Результаты исследований могут найти применение для оптимального размещения датчиков и исполнительных механизмов многосвязных систем управления, управления с минимальной энергией в сложных сетях различной природы.

Об авторах

И. Б Ядыкин

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Email: jad@ipu.ru
Москва

И. А. Галяев

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: ivan.galyaev@yandex.ru
Москва

Список литературы

  1. Antoulas A.C. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM. Philadephia, 2005.
  2. Benner P., Damm T. Lyapunov equations, Energy Functionals and Model Order Reduction of Bilinear and Stochastic Systems // SIAM J. Control Optim. 2011. V. 49. P. 686-711.
  3. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Теория автоматического управления. Учеб. Пособие. М.: ЛЕНАНД, 2019. 504 с.
  4. Kailath T. Linear Systems Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1980. 672 pp.
  5. Зубов Н.Е., Зыбин Е.Ю., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Общие аналитические формы решения уравнений Сильвестра и Ляпунова для непрерывных и дискретных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 1. С. 3-20.
  6. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа многосвязных динамических систем. Барнаул: Изд-во Алтайского ГТУ, 2000.
  7. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во Н.Ф. Бочкаревой, 2006.
  8. Godunov S.K. Modern Aspects of Linear Algebra / Trans. of Math. Monografs. V. 175. Providence RI: Amer. Math. Soc., 1998.
  9. Yadykin I.B., Galyaev A.A. On the methods for calculation of grammians and their use in analysis of linear dynamic systems Automation and Remote Control // Pleiades Publishing Ltd. V. 74. No. 2. P. 207-224.
  10. Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Энергетический подход к анализу устойчивости линейных стационарных динамических систем // А и Т. 2016. № 12. С. 37-58.
  11. Yadykin I.B. Spectral Decompositions of Gramians of Continuous Stationary Systems Given by Equations of State in Canonical Forms // Mathematics. 2022. V. 10. No. 13. 2339.
  12. Сasadei G., Wit C., Zampieri S. Model Reduction Based Approximation of the Output Controllability Gramian in Large-Scale Networks // IEEE Transactions on Control of Network Systems. 2020 V. 7. No. 4. P. 1778-1788. https://doi.org/10.1109/TCNS.2020.3000694
  13. Zhou K., Salomon G., Wu E. Balanced realization and model reduction for unstable systems // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1999. Vol. 9. No. 3. P. 183-198.
  14. Lee H., Park Y. Degree of controllability for linear unstable systems // Journal of Vibration and Control. 2016. V. 22. No. 7. P. 1928-1934. https://doi.org/10.1177/1077546314545101
  15. Shaker H., Tahavori M. Optimal sensor and actuator location for unstable systems // Journal of Vibration and Control. 2013. V. 19. No. 12. P. 1915-1920. https://doi.org/10.1177/1077546312451302
  16. Wal M., Jager B. A review of methods for input/output selection // Automatica. 2001. V. 37. No. 4. P. 487-510. https://doi.org/10.1016/S0005-1098(00)00181-3
  17. Birk W., Medvedev A. A note on gramian-based interaction measures // 2003 European Control Conference (ECC). Cambridge, UK, 2003. P. 2625-2630. https://doi.org/10.23919/ECC.2003.7086437.
  18. Mehr F. A Determination of Design of Optimal Actuator Location Based on Control Energy. London/Publisher: City, University of London, 2018.
  19. Петров Б.Н. Избранные труды Т. 1. Теория автоматического управления. М: Наука, 1983. С. 432 (163-178, 223-227 (двукратная), 294-323).
  20. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М: Наука, 1980. 243 с.
  21. Xiao C.S., Feng Z.M., Shan X.M. On the Solution of the Continuous-Time Lyapunov Matrix Equation in Two Canonical Forms // IEE Proc. 1992. V. 139. No. 3. P. 286-290. https://doi.org/10.1049/ip-d.1992.0038
  22. Hauksdottir A., Sigurdsson S. The continuous closed form controllability Gramian and its inverse // 2009 American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10-12, 2009. P. 5345-5351. https://doi.org/978-1-4244-4524-0/09
  23. Hsu C., Hou D. Reducing Unstable Linear Control Systems via Real Schur Transformation // Electronics Letters. 1991. V. 27. No. 11. https://doi.org/10.1049/el:19910614
  24. Safonov M., Chiang G. A schur method for balanced-truncation model reduction // IEEE Trans. Autom. Control. 1989. V. 34. No. 7. P. 729-733. https://doi.org/10.1109/9.29399
  25. Lindmark G., Altafini C. Minimum energy control for complex networks // Scientific Reports. 2018. V. 8. No. 3188. P. 1-14. https://doi.org/10.1038/s41598-018-21398-7
  26. Dilip A. The Controllability Gramian, the Hadamard Product, and the Optimal Actuator/Leader and Sensor Selection Problem // Nature Physics. 2019. V. 3. No. 4. P. 883-888. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2019.2919278
  27. Pasqualetti F., Zampieri S., Bullo F. Controllability metrics, limitations and algorithms for complex networks // IEEE Transactions on Control of Network Systems. 2014. V. 1. No. 1. P. 40-52. https://doi.org/10.1109/ACC.2014.6858621
  28. Hac A., Liu L. Sensor and actuator location in motion control of flexible structures // Journal of Sound and Vibration. 1993. V. 167. No. 2. P. 239-261.
  29. Faddeev D.K., Faddeeva V.N. Computational Methods of Linear Algebra. Freeman: San-Francisco, CA, USA, 2016.
  30. Hanson B., Peeters R. A Faddeev Sequence Method for solving Lyapunov and Sylvester Equations // Linear Algebra and its Applications. 1996. V. 241-243. P. 401-430.
  31. Nagar S., Singh S. An algorithmic approach for system decomposition and balanced realized model reduction // Journal of the Franklin Institute. 2004. V. 341. No. 7. P. 615-630. https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2004.07.005
  32. Robust Control Tool Box, Mathworks, Version 2. 1997.

© Российская академия наук, 2023

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах